As Conexões entre Aritmética e Geometria

Uma das principais dificuldades apresentadas por alunos é a construção de uma visão globalizada, tendo em vista o modo de organização disciplinar que eles vivenciam. São oferecidos fragmentos de conhecimentos e cobra-se deles a difícil tarefa de montar um verdadeiro quebra-cabeça, buscando conexões entre as várias peças. Cabe uma pergunta: Não seria mais fácil para o(a) professor(a) tentar esses encaixes e trabalhar buscando fazer os alunos perceberem as relações? Essa é uma orientação presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais e nos parece ser um caminho absolutamente necessário.

No ensino de matemática, no entanto, antes de atingir esse estágio de articulação podendo ser compreendido como um trabalho interdisciplinar existe um passo inicial que também precisa ser dado, que é estabelecer articulações entre os vários ramos que a compõe, o que não costuma ser feito por professores, dando a esses ramos um tratamento isolado.

Isso ocorre desde as séries iniciais. A Geometria é pouco utilizada para permitir a visualização de aspectos aritméticos, apesar da relação muito próxima. O paralelo entre esses dois campos de conhecimento pode permitir maior compreensão de ambos os campos. É necessário evitar os exercícios mentais sem possibilidade de um parâmetro visual e, na medida em que essa visualização ocorre, pode-se ampliar o foco de visão e traçar vínculos com a realidade, permitindo chegar ao estágio interdisciplinar.

Em razão dessa organização fragmentada do ensino e da necessidade de permitir uma visão mais unificada do conhecimento matemático, principalmente tendo como perspectiva o ensino de Geometria, é que surge a idéia de estabelecer “Conexões”. São várias as alternativas que podem ser utilizadas para um trabalho articulado entre a Aritmética e Geometria. Alguns exemplos

estão presentes nas atividades que serão apresentadas neste módulo, às vezes de modo explícito, outras vezes de modo implícito.

Atividade 14

Essa atividade é uma extensão do trabalho proposto no início da unidade e tem como ponto de partida a proposição abaixo, que possibilitará a você uma espécie de diagnóstico sobre as noções de plano e espaço que seus alunos possuem.

- Observe o ambiente ao seu redor e depois faça o que se pede, abaixo: 1) Relacione e desenhe figuras geométricas planas que você observa no ambiente. 2) Relacione e desenhe figuras geométricas não planas que você observa no ambiente.

Depois disso feito, pergunte aos alunos: - Em sua opinião, o que são figuras geométricas planas? - Em sua opinião, o que são figuras geométricas não planas?

Após as respostas dos alunos, entregue caixas para que eles possam explorá-las. Solicite que reflitam sobre a confecção dessas caixas, que desenhem as diversas faces e comparem essas faces. Depois, faça a eles as perguntas a seguir:

- A partir de figuras espaciais, é possível obter-se uma figura plana? E a partir de figuras planas, é possível obter uma figura espacial?

Comentários

A Geometria plana é, na verdade, uma idealização. O real é espacial e o surgimento da Geometria Plana se dá quando se faz o registro, no papel, daquilo que se vê. Assim sendo, é conveniente que se leve em consideração esse aspecto nas atividades iniciais de ensino, pois, dessa forma, os alunos poderão perceber o surgimento do plano oriundo do espacial. Nesse momento, o fundamental é que os alunos possam realizar essa exploração sem a preocupação com aspectos formais previamente estabelecidos.

Na exploração de caixas, é possível que os alunos as desmanchem. Se eles não o fizerem, você deve sugerir que o façam. Depois da exploração das caixas pelos alunos e das

respostas dadas por eles, certamente deverá ficar claro para eles que existe uma relação entre o plano e o espacial e que um pode gerar o outro, mas que o plano, como foi mencionado, é uma idealização que se faz presente apenas sob a forma de representação.

Atividade 15

Esta atividade com o TANGRAN tem como perspectiva, além do seu caráter lúdico e da exploração de seus aspectos geométricos, servir para a articulação de temas afins da matemática, estimular o trabalho coletivo e constituir um momento de criação e construção de conceitos pelos alunos, entre outras possibilidades que existem.

Tendo em vista esses objetivos, optamos por apresentar o TANGRAN a partir da sua construção, que deve se dar com a participação dos alunos e com a exploração, nessa construção, através de questões-desafio, das propriedades e relações entre as figuras que irão surgindo.

O processo de construção do TANGRAN pode gerar a criação e solução de alguns problemas envolvidos à compreensão de conceitos matemáticos, centrados em uma concepção significativa2 _{de aprendizagem. Tendo em vista a possibilidade de incentivar a criatividade dos}

alunos e a construção de conceitos matemáticos, a partir da manipulação de objetos e discussão das informações obtidas em tal atividade, sugerimos a exploração das várias interrogações que deverão surgir, de modo a permitir ações e reflexões diversas. Várias informações, em nível de conteúdo, se encontram presentes na proposta, à medida que o material é construído, podendo ser apresentado, em um primeiro momento, apenas com as três primeiras peças construídas.

A diretriz básica da proposta é possibilitar ao aluno a ação-reflexão-ação. Assim, a observação das propriedades geométricas antecede as definições, as quais devem ser construídas pelos alunos, sob orientação do(a) professor(a). A(o) professor(a) cabe identificar conceitos trazidos pelos alunos e trabalhar no sentido de aprimorar esses conceitos, de forma a preparar os alunos para as definições com as quais irão se deparar posteriormente. Cabe, também, perceber quais as propriedades a serem exploradas, de acordo com o nível de sua turma, pois a forma de apresentação está diretamente ligada a esse nível.

A manipulação do TANGRAN como artefato de construção de conceitos matemáticos suscita uma lenda chinesa que narra a queda de um meteorito nos arredores de um mosteiro chinês, onde os monges que lá se encontravam tentaram montar o referido objeto a partir dos sete pedaços

2_{De acordo com Ausubel, Aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto} relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo. Para ele, ocorre aprendizagem significativa quando a nova informação ancora- se em conceitos relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende.

encontrados após sua queda. Naquele momento perceberam que as peças poderiam ser permutadas entre si de maneira a gerar novos contornos e formas geométricas a partir daquela forma básica (o quadrado). É a experimentação e a investigação, fruto da manipulação de objetos, norteando a construção de conceitos que se evidencia nesse relato.

É um material composto por sete peças cujas formas geométricas são: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, originados da decomposição de um quadrado maior. Alguns conhecedores desse material (jogo) o chamam de “sete pedras teimosas”, “sete pedras mágicas”, ou ainda “sete tábuas de argúcia (habilidade, destreza)”, pois seu nome originou-se do chinês “TCH’I TCH’IãO PAN”.

A utilização do TANGRAN prevê a exploração do espaço geométrico pelo(s) aluno(s), o conhecimento das formas geométricas mais comuns e de seus elementos, relações entre essas formas, classificações, o trabalho com frações, medidas, bem como o desenvolvimento de habilidades de observação, comparação, levantamento de hipóteses, classificação, generalização, entre outras.

Na proposta, algumas interrogações devem ser feitas aos alunos. No entanto, é possível levar em consideração outras interrogações que possam surgir do tipo: como se fazer o TANGRAN ? quais as medidas? qual o material adequado à sua confecção, tendo em vista a sua utilização em sala de aula? Nesse momento, é importante que se analise primeiramente o que se quer desenvolver nessas atividades.

A partir desses questionamentos, pode-se sugerir aos alunos que construam cada um o seu TANGRAN e, de modo a cumprir esse objetivo, apresentamos a seguir algumas orientações para o trabalho de confecção coletiva, tendo como princípio o uso de dobraduras e recortes de papel.

Confecção do Tangran a partir de uma folha de papel

Para tal atividade é aconselhável utilizar papel de espessura média para não rasgar nem causar dificuldade em dobrá-lo. O papel e as formas geradas devem ser considerados como elementos matemáticos durante a confecção do TANGRAN, de modo que os conceitos matemáticos possam fluir durante o processo de construção.

A linguagem, nessa construção, terá maior ou menor formalidade, dependendo do nível da turma a que o material for levado. Uma alternativa para a utilização de uma linguagem adequada é a sondagem da turma em termos de domínio de conceitos, antes da construção do material.

O TANGRAN pode ser trabalhado em qualquer nível. Porém, nas séries iniciais uma forma de utilização é o trabalho com as 3 (três) peças construídas inicialmente (três triângulos).

Para iniciar o processo de construção, apresente aos alunos uma folha de papel retangular, a qual deverá ser explorada por eles, a partir de interrogações, como:

- qual a forma dessa folha de papel? - Possui quantos cantos (ângulos)?

- Os cantos (ângulos) são iguais ou diferentes?

Após as respostas, você terá condições de avaliar os conceitos dominados pelos alunos e poderá conduzir a discussão no sentido de aprimorar esses conceitos. A seguir, proponha que a partir do retângulo construam um quadrado. Como fazer isso? A tarefa é do aluno.

Comentário: Os alunos precisarão perceber que ao dobrar o papel eles terão que garantir que os lados possuam as mesmas medidas. Deverão perceber, também, que as dobras que aparecerão no quadrado construído representam elementos desse quadrado: o seu lado e a sua diagonal. Nesse momento, é possível observar que a diagonal divide o ângulo reto (90º) em duas partes iguais (dois ângulos de 45º). Os passos deverão ser correspondentes aos desenhos apresentados abaixo:

A partir do quadrado, oriente os alunos para construir dois triângulos, recortando na diagonal do quadrado.

Nesse momento, o material pode ser utilizado como jogo e algumas figuras podem ser formadas pelos alunos. É importante que você propicie condições para o desenvolvimento da

“visão espacial” dos alunos e, para isso, solicite que os alunos coloquem um triângulo em cada uma das mãos afastadas, mentalize a aproximação dessas peças e diga qual será a figura obtida quando se tocarem. Só depois de dizer qual a figura resultante é que os triângulos deverão ser aproximados, de modo a avaliarem a correção da resposta.

Comentário:O processo deverá ser o que está representado a seguir e nele, os alunos deverão

ser orientados para que observem que os triângulos resultantes sejam retângulos e isósceles, pois possuem dois lados com medidas iguais e apresentam um ângulo reto.

Um dos triângulos deverá ser recortado, de modo a obter dois outros triângulos semelhantes aos dois primeiros (isósceles retângulos). Como fazer isso? Faça esse questionamento aos alunos.

Comentário: As figuras a seguir ilustram o que será feito pelos alunos. As figuras resultantes

serão as duas primeiras peças do TANGRAN. Aqui, é possível fazer com que os alunos percebam a semelhança entre os triângulos resultantes (peças 1 e 2), com o triângulo (B) que não foi recortado. Nesse momento, os três triângulos podem ser utilizados para formar novas figuras.

Como foi dito inicialmente, você poderá trabalhar nas séries iniciais apenas com as três peças. No entanto, é interessante que o processo de construção do Tangran seja completado, pois ele deverá ser utilizado no momento em que você perceber que os alunos estão preparados para isso.

A terceira peça do TANGRAN surge no momento em que se toma a outra metade do quadrado original (triângulo B). Os alunos deverão marcar as metades dos lados de mesma medida do triângulo isósceles (pontos médios), dobrar e cortar. É importante observar que ao dobrar, o canto (vértice) superior irá coincidir com a metade (ponto médio) do maior lado do triângulo.

As ilustrações abaixo apresentam os passos a serem seguidos.

A figura (C) poderá ser utilizada, juntamente com as peças (1), (2) e (3), para gerar novas formas. Se você achar conveniente, o trapézio (isósceles) pode ser explorado. Mas a construção do TANGRAN ainda continua. A partir do trapézio (isósceles) resultante, serão construídas as quatro últimas peças do TANGRAN. Porém, a figura será recortada inicialmente ao meio, de forma a obter dois trapézios (retângulos).

Finalmente, de um dos trapézios retângulos serão construídos um quadrado e um triângulo e do outro, serão construídos um triângulo e um paralelogramo. Os procedimentos estão ilustrados a seguir:

O paralelogramo surge pela primeira vez. Assim, é importante que os alunos tenham a oportunidade de explorá-lo e fazer comparações com as demais peças construídas. A p ó s esse trabalho, os alunos terão construído seus TANGRANS. Como desafio a eles, faça a sugestão de que montem o quadrado original, com as sete peças obtidas. Eles deverão obter o seguinte:

A montagem do quadrado original deverá resgatar toda a construção dos conceitos geométricos presentes nas peças do TANGRAN, em virtude de evidenciar a composição geométrica de todo o material confeccionado. A partir desse momento, você poderá lançar desafios aos alunos, visando evidenciar novas relações entre as peças e dar continuidade à formação dos conceitos trabalhados. Proponha aos alunos, que construam:

- Um triângulo com: 2 peças, 3 peças e 4 peças. - Um quadrado com: 2 peças, 3 peças e 4 peças.

- Um retângulo com: 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.

- Um paralelogramo com: 2 peças, 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças. - Um trapézio retângulo com: 2 peças, 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças. - Um trapézio isósceles com: 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.

Todas essas atividades não devem, necessariamente, ser propostas em um mesmo momento, sendo desejável que você discuta com a turma os resultados obtidos.

Após essas atividades, você pode propor que os alunos montem figuras diversas com as peças do TANGRAN, num primeiro momento utilizando quantas peças desejarem e, posteriormente, utilizando todas as peças.

Comentários

No trabalho com o TANGRAN, os alunos estarão vivenciando o processo de classificação, sem a preocupação com definições prévias, de modo lúdico e informal. Após esse trabalho, você pode discutir com eles a classificação das diversas figuras geométricas que surgiram.

As relações entre as áreas das peças Tangran ou outras que podem ser formadas a partir da junção de duas ou mais peças permite um trabalho interessante envolvendo frações. Basta que os alunos superponham umas peças sobre as outras e observem essas relações. Além disso, você pode formular problemas de modo que eles necessitem perceber essas relações, mas isso fica para você descobrir.

Atividade 16

Objetivamos com a atividade estabelecer uma conexão entre Aritmética e Geometria, a partir do trabalho com dobraduras de papel. Além disso, a intenção é que os alunos percebam uma grande mudança que ocorre com o conceito de multiplicação. Se, quando tratamos com Números Naturais a idéia de multiplicar significa “aumentar”, quando multiplicamos fração por fração, o significado é o inverso. quando multiplicamos fração por fração, o produto é sempre menor que as partes. Vá em frente e explore com seus alunos essa mudança conceitual!

Orientações

A atividade pode ser trabalhada individualmente ou por equipes. Os alunos devem possuir folhas de papel e sempre que forem iniciar a resolução de uma multiplicação, devem a partir de uma folha, que possui forma retangular, construir um quadrado e depois seguir suas orientações. A tarefa é do aluno, mas os passos poderão ser correspondentes aos apresentados a seguir e que estão ilustrados nos desenhos que acompanham os comandos.

- Solicite que apanhem o quadrado de papel que representa o inteiro e dobrem horizontalmente, de forma a representar a fração ½. E que depois façam, na fração tomada, riscos em um sentido,

- Depois, dobrem o mesmo quadrado, agora no sentido vertical, de modo a representar a fração ¼. Façam, na fração tomada, riscos noutro sentido, como no desenho:

- Pergunte aos alunos que fração do inteiro representa a intercessão dos riscos. questione se o resultado seria igual ou diferente, caso eles representassem primeiro a fração ¼ e depois a fração ½.

- Você pode utilizar outros pedaços de papel para realizar outras multiplicações. O processo deverá ser o mesmo.

Comentários

Professor(a), observe que temos pedaço de pedaço ou fração de fração e, portanto, os pedaços resultantes são menores ainda. Para os alunos entenderem isto, você pode utilizar a seguinte linguagem: um meio de um quarto (ou metade de um quarto) ou ainda um quarto de um meio (ou quarta parte da metade). Essa inversão de parcelas deverá possibilitar que os alunos percebam a comutatividade da multiplicação de frações, na medida em que o produto obtido deverá ser sempre o mesmo.

Atividade 17

Essa atividade deverá possibilitar ao aluno a percepção da relação entre Frações decimais e Números decimais. Aqui, deve ser retomada a ponte estabelecida na construção das frações, a partir dos números naturais, que por sua vez, tem por base a idéia de formação de grupos de dez.

Orientações

O material pode ser previamente preparado por você, professor(a), ou conjuntamente com os alunos. Seja qual for o caso, solicite que seus alunos identifiquem quantas partes de dez foram pintadas e inventem um modo de representar essa quantidade.

- 1/10 um décimo ou uma parte de dez - 0,1

- Depois da tentativa deles, discuta as formas de apresentação sugeridas e introduza as utilizadas acima, fazendo uma relação entre as duas.

- Apresente outros exemplos, como os dados a seguir e dê continuidade à discussão.

- 14/10 14 décimos - 1,4

- 1/100 um centésimo ou uma parte de cem - 0,01

Comentários

É importante observar que as quantidades pintadas são pedaços de unidade (são frações) e que, portanto, são menores que a unidade, mas maiores que o zero. E, se os alunos entenderem que a representação 0,1 se aproxima de uma adição (0 unidade + 1 pedaço), eles estarão construindo um conceito significativo do Número decimal.

decimal e a construção do metro, com seus múltiplos e submúltiplos. Num primeiro momento, são construídos a partir de divisões, o decímetro, o centímetro e o milímetro; em seguida, o decâmetro, hectômetro e quilômetro, por grupamentos.

Atividade 18

Em atividades anteriores, os alunos visualizaram triângulos nas suas brincadeiras e também construíram triângulos, no momento em que trabalhavam com o Tangran. Mas é importante, no entanto, que você dê ênfase à forte presença dessa figura geométrica no mundo. Chame a atenção deles para a propriedade característica dessa figura que é a sua rigidez. Faça-os observarem a presença de triângulos nas estruturas metálicas de torres de antenas de televisão ou rádio e nas estruturas de telhados, por exemplo.

Para ilustrar essa observação, convide-os a montarem triângulos utilizando palitos de picolé e tachinhas, para que depois tentem deformar esse triângulo. A fim de que percebam a diferença, eles podem montar quadrados com os palitos e depois tentar deformá-los. Então, perceberão que o quadrado não é uma forma que dá rigidez às estruturas, mas o triângulo sim.

Depois, apresente aos alunos a tabela a seguir como forma de exercício. Solicite que observem a tabela e procurem classificar os triângulos.

Triângulo Medida dos lados _{a b c} Classificação quanto à _{medida dos lados}

1 cm 1 cm 1 cm triângulo equilátero

1 cm 1,5 cm 1,5 cm triângulo isósceles

Faça o mesmo com esta outra tabela.

Triângulo _{a b c}Tipo de Ângulo Classificação quanto à _{medida de Ângulo}

Reto agudo agudo triângulo Retângulo

obtuso agudo agudo triângulo Obtusângulo

Agudo Agudo Agudo triângulo Acutângulo

Comentários

A primeira classificação é feita com relação aos lados, tendo sido apresentada anteriormente. A segunda classificação é feita de acordo com os ângulos internos desses triângulos. O triângulo retângulo possui um ângulo reto, o triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e o triângulo acutângulo possui os três ângulos agudos.

É muito importante que os alunos percebam que, quando um triângulo possui um ângulo reto ou obtuso, não existe a possibilidade de que haja outro ângulo nesse triângulo que não

seja agudo, pois a soma dos seus ângulos internos é sempre 180º.

Atividade 19

Solicite que seus alunos leiam a Poesia Matemática, abaixo, atentando para os termos que nela aparecem e depois, façam o que se pede: