As equa¸c˜oes de Einstein s˜ao a realiza¸c˜ao do que estabelecemos at´e agora, onde
• a geometria curva caracteriza o que usualmente chamamos de “campo gravitacional”;
• a “fonte causadora” desta geometria ´e a “mat´eria n˜ao gravitacional”, caracterizada por seu tensor energia-momentum.
Isto ´e feito de forma que do lado esquerdo da equa¸c˜ao tenhamos o chamado tensor de Einstein, G, que caracteriza a geometria, e do lado direito tenhamos o tensor energia-momentum T , que caracteriza a mat´eria (veja por exemplo, no livro de H. C. Ohanian, “Gravitation and Spacetime”, Cap. 2). As diferentes componentes do tensor T , expressam
• a densidade de energia,
• o fluxo da densidade de energia (nas diferentes dire¸c˜oes) e
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• o fluxo da densidade de momentum.
S˜ao utilizados como ferramentas matem´aticas da TRG os tensores. Estes objetos geom´etricos tˆem suas propriedades espec´ıficas que permitem que uma equa¸c˜ao escrita na forma tensorial, mantenha esta forma independente da transforma¸c˜ao de coordenadas a qual ela seja submetida. Observe que na teoria de Einstein, devemos rever o que usualmente se chamamos de “campo gravitacional”, pois tudo que se tem na TRG ´e a mat´eria, nas suas diferentes formas, gerando uma geometria curva para o espa¸co-tempo.
ATENC¸ ˜AO
i. as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao equa¸c˜oes diferenciais locais, a mat´eria respons´avel por uma determinada geometria curva nem sempre est´a presente “localmente”, pode estar distante. Na TRG, uma estrela, por exemplo, manifesta sua presen¸ca bem al´em de seu raio, veja que aqui na Terra, distante do Sol, temos sua atua¸c˜ao sobre a geometria do espa¸co-tempo bem caracterizada na geometria curva que faz com que orbitemos ao seu redor. Isto reflete a intensidade enorme da perturba¸c˜ao que ele causa no espa¸co-tempo ao seu redor. Sabemos Newtonianamente que o campo gravitacional do Sol se estende at´e ao infinito, pois o potencial gravitacional ´e do tipo 1/r;
ii. na teoria de Einstein, no caso de um objeto altamente massivo, como uma estrela, temos no espa¸co ao seu redor, uma solu¸c˜ao de v´acuo das equa¸c˜oes de Einstein. No caso de uma estrela se sup˜oe, em geral que se trata de um sistema com simetria esf´erica, o que resultar´a na chamada m´etrica de Schwarzschild, que foi uma das primeiras solu¸c˜oes encontradas para as equa¸c˜oes de Einstein.
Matematicamente as equa¸c˜oes de Einstein podem ser descritas de forma simplificada como
G ∝ T
ou
G = −kT , onde
G ⇒ tensor de Einstein que caracteriza a geometria, T ⇒ tensor energia-momentum que caracteriza a mat´eria,
k = 8πG1
c4 (200)
G1 = 6, 670 × 10−8cm3/(g sec2) (constante de Newton)
c = 3 × 1010cm/s (velocidade da luz).
A mat´eria deve ser entendida em todas as suas formas, por exemplo, a luz, um corpo car- regado, etc. Ou seja, no conceito Einsteniano, um raio de luz encurva o espa¸co-tempo assim como um aglomerado de gal´axias. Al´em disto, o espa¸co-tempo somente seria “n˜ao curvo” na ausˆencia total de mat´eria, o que n˜ao ´e poss´ıvel. Entretanto, os efeitos de curvatura s˜ao, em geral, bastante fracos devido `a pequena magnitude da constante k. Vejamos a seguir algo sobre a constante que aparece nas equa¸c˜oes de Einstein, k.
Para se escrever o tensor G, precisamos dos s´ımbolos de Christoffel, Γ, os quais dependem das primeiras derivadas de gµν. Supondo-se que as coordenadas tˆem dimens˜ao de comprimento,
gµν ´e adimensional (ds2 = gµνdxµdxν tem que ter dimens˜ao de comprimento), mas G ´e formado
pelas derivadas dos Γ, isto ´e a segunda derivada de gµν e assim teremos que G ter´a dimens˜ao
L−2 (L = comprimento).
Para a constante de Newton G1, veja que a for¸ca gravitacional F para duas massas m e m0
e separadas por r temos
F = Gmm
0
r2 → F r =
G1mm0
r ,
Observe que o produto F r tem dimens˜ao de energia (for¸ca × distˆancia = trabalho, ou energia), ou seja de E = M c2. Se G1mm0
r tem a dimens˜ao de energia, a constante de Newton, G1, ter´a
a dimens˜ao LM−1c2 (M = massa). Conforme vimos acima, o lado esquerdo da equa¸c˜ao de Einstein tem dimens˜ao L−2, e seu lado direito, o tensor T , ´e a densidade de momentum-energia, logo ´e (M c2)/(L3) = M c2L−3, e assim, as equa¸c˜oes de Einstein dimensionalmente equivalem a
L−2 = k(M c2L−3) ,
acarretando que k ter´a dimens˜ao LM−1c−2, e como G1 → LM−1c2, temos finalmente que
k → [G1] c4 ,
justificando a f´ormula (200).
Em uma teoria relativ´ıstica da gravita¸c˜ao a densidade de energia (ρ = E/V , por ex.: Ergs/cm3, isto ´e, energia por unidade de volume) tem um importante papel. Entretanto n˜ao se pode considerar a densidade de energia isoladamente, pois o que ´e densidade de energia para um determinado observador, poder´a n˜ao ser para outro observador. Devemos considerar, em con- junto, as quantidades, densidade de energia, fluxo de densidade de energia e fluxo de densidade de momentum.
Sendo assim, o tensor energia momentum, ou Tµν ´e definido de forma que suas componentes representem estas diferentes quantidades, ou seja densidade de energia, densidade de momentum e fluxo da densidade de momentum nas diferentes dire¸c˜oes. Uma associa¸c˜ao que ocorre em certos casos ´e
T00 ⇒ densidade de energia
Tk0 = T0k ⇒ fluxo da densidade de energia na dire¸c˜ao k = = densidade de momentum-k
Tkl ⇒ fluxo da densidade de momentum-k na dire¸c˜ao l . Como o tensor de Einstein
Gµν = Rµν− (1/2)gµνR
´e um tensor sim´etrico, Tµν tamb´em ter´a que ser sim´etrico. Sendo assim, as equa¸c˜oes de Einstein
s˜ao
O tensor Rµν ´e obtido a partir da contra¸c˜ao do tensor de Riemann
Rµν ≡ Rλµλν ,
onde vemos a soma em λ, logo, pode ser tamb´em escrito em fun¸c˜ao dos s´ımbolos de Christoffel, Rµν = ∂Γαµν ∂xα − ∂Γαµα ∂xν + Γ α µνΓραρ− ΓαµρΓρνα
As equa¸c˜oes de Einstein podem ser escritas numa forma alternativa. Contraindo (201) com gµν teremos
gµνRµν− (1/2)gµνgµνR = −kgµνTµν .
R − (1/2)(4)R = −kT
−R = −kT ⇒ R = kT levando este valor de R de volta em (201) teremos
Rµν − (1/2)gµν(kT ) = −kTµν .
Rµν = −kTµν− gµν(1/2)(−kT )
Rµν = −k(Tµν− (1/2) gµνT ) (202)
Sendo assim as duas formas, (201) e (Eqs. Einst-2), s˜ao inteiramente equivalentes. podemos ver diretamente que no caso chamado de v´acuo, onde o tensor Tµν ≡ 0, as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao
simplesmente
Rµν = 0
.