Se um tensor ´e tal que Tµν = Tνµ ele ´e dito ser sim´etrico, caso Tµν = −Tνµ ´e dito ser anti- sim´etrico.
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E importante notar que podemos ter tensores totalmente contravariantes ou totalmente covariantes, sim´etricos, anti-sim´etricos ou sem qualquer propriedade de simetria, por´em, um tensor misto, por exemplo, Tµν pode ser sim´etrico em um sistema de coordenadas e n˜ao ser
em outro. Verifique que nestes casos, n˜ao se obt´em uma lei de transforma¸c˜ao que preserve a propriedade de simetria.
Um tensor contravariante ou covariante de ordem 2, gen´erico, pode ser escrito como a soma de um tensor sim´etrico e de um tensor anti-sim´etrico. Por exemplo, para um tensor de ordem 2 contravariante, temos
Tµν = Sµν + Aµν , onde (29)
Sµν = Sνµ =⇒ parte sim´etrica ,
Aµν = −Aµν =⇒ parte antisim´etrica .
Observe que podemos escrever
Tνµ= Sνµ+ Aνµ⇒ Tνµ= Sµν− Aµν , (30)
que somando membro a membro (29) com (30) obteremos Sµν =
1
2(Tµν+ Tνµ) ; subtraindo-se membro a membro (29) e (30)
Aµν=
1
2(Tµν− Tνµ) .
Sendo assim, sempre poderemos escrever um tensor covariante do tipo Tµν, atrav´es de duas
partes, uma sim´etrica (Sµν), e outra anti-sim´etrica (Aµν). Usa-se chamar a parte sim´etrica de
T(µν) e a parte anti-sim´etrica de T[µν]. Utiliza-se a nota¸c˜ao:
T(µν)=
1
2(Tµν+ Tνµ) = Sµν , T[µν]= 1
2(Tµν− Tνµ) = Aµν . (31) Um tensor sim´etrico, do tipo T(µν), tem um total de n2 componentes, destas, somente sua
diagonal principal tem n elementos. Logo, retirando-se os elementos da diagonal teremos n2− n elementos, entretanto, destes elementos (fora da diagonal) apenas a metade deles ´e independente, j´a que a outra metade pode ser obtida a partir dos restantes. Assim, este tensor ter´a estas componentes independentes (n2− n)/2, mais as componentes da diagonal principal, que s˜ao n. Seu n´umero total de componentes ´e portanto
n +n
2− n
2 =
n(n + 1)
J´a um tensor anti-sim´etrico, do tipo T[µν], com o total tamb´em de n2 componentes, tem sua
diagonal principal obrigatoriamente nula, pois os termos da diagonal s˜ao do tipo, por exemplo T[11], o qual ter´a que ser (-) seu sim´etrico que ´e tamb´em T[11], logo para que T[11] = −T[11] teremos que ter T[11] = 0, ou seja T[µµ] ≡ 0. J´a as n2− n componentes fora da diagonal s˜ao
tamb´em obtidas por simetria, pois T[µν] = −T[νµ]. Temos ent˜ao para T[µν] apenas (n2− n)/2 componentes independentes. Assim, um tensor geral Tµν, do qual partimos, e que pode ser
escrito como a soma de uma parte sim´etrica com outra anti-sim´etrica, ter´a como n´umero total de componentes a soma destes dois resultados que obtivemos, isto ´e,
n(n + 1)
2 +
n2− n
2 = n
2 ,
o que confirma o c´alculo feito.
No caso geral de tensores de ordem (p, q) podemos estender esta defini¸c˜ao e definir simetrias ou anti-simetrias com referˆencia a pares de ´ındices ou superiores ou inferiores, por exemplo, um tensor Tλµν ser´a chamado sim´etrico ou anti-sim´etrico em λµ se
Tλµν = Tµλν ou Tλµν = −Tµλν .
Esta propriedade ´e conservada por transforma¸c˜oes gerais de coordenadas.
Pode ser feita uma generaliza¸c˜ao do conceito acima para tensores que tˆem somente ´ındices superiores, ou somente ´ındices inferiores. Por exemplo, para o caso de trˆes ´ındices superiores, define-se o tensor totalmente sim´etrico, ou simplesmente sim´etrico,
Tλµν = Tµλν = Tλνµ= Tνµλ .
Similarmente o tensor Tλµν ´e chamado de totalmente anti-sim´etrico ou simplesmente anti- sim´etrico se
Tλµν = −Tµλν = −Tλνµ= −Tνµλ .
Assim, seguindo-se a nota¸c˜ao utilizada em (31), para um tensor Tλµν, ou seja de ordem (0, 3)
escreveremos, T(λµν) = 1 6 Tλµν+ Tµνλ+ Tνλµ+ Tνµλ+ Tµλν+ Tλνµ , (32) T[λµν] = 1 6 Tλµν+ Tµνλ+ Tνλµ | {z } p. pares −Tνµλ− Tµλν− Tλνµ | {z } p. ´ımpares , (33)
onde observamos que as permuta¸c˜oes pares dos ´ındices λµν, no caso, 0 e 2 permuta¸c˜oes, tˆem sinal positivo, e as permuta¸cto es ´ımpares, ou seja, 1 e 3 permuta¸c˜oes, tˆem sinal negativo. Verifica-se que T(λµν) ´e um tensor sim´etrico e T[λµν] ´e anti-sim´etrico. Esta nota¸c˜ao pode ser utlizada para tensores contravariantes, assim como de ordens maiores.
Exerc´ıcio 2.6 Definimos
γ(m)ijk...=
1
m!A(ijk...)γiγjγk... ,
onde existem m ´ındices ijk.... O operador A(ijk...) significa que a express˜ao seguinte deve ser totalmente anti-simetrizada em ijk..., ou seja, que a express˜ao seguinte (no caso ´e γiγjγk...) deve
ser substitu´ıda pela soma de todas as express˜oes obtidas a partir dela pr´opria pelas permuta¸c˜oes pares de ijk..., menos a soma de todas as express˜oes obtidas a partir dela pr´opria pelas per- muta¸c˜oes ´ımpares de ijk.... Assume-se que s˜ao dadas as matrizes γi(i = 1, 2, 3, 4), no caso s˜ao
as matrizes de Dirac. O tensor γ(m)ijk...´e totalmente anti-sim´etrico. Calcule γ(1) e γ(2) e γ(3).
Estude o que acontece se m ≥ 5.
Vimos nas propriedades de simetrias, que umn tensor do tipo Tµν se for anti-sim´etrico, sua diagonal ser´a nula. Se estendermos esta conclus˜ao para o caso de outros tensores totalmente anti- sim´etricos, veremos, por exemplo, no caso de um tensor do tipo Tλµν...., ele somente poder´a ter componentes n˜ao nulas para os valores dos ´ındices que sejam todos diferentes, pois caso tenha alguns destes ´ındices igual, elas ser˜ao nulas, pela mesma raz˜ao que se Tµν ´e anti-sim´etrico, T11 = T22 = ... = 0. Portanto um tensor totalmente anti-sim´etrico (p, 0), ter´a que ter p ≤ n. Por exemplo, para n = 3, um tensor Tαβγδ ter´a todas suas componentes nulas, j´a que dois
´ındices ser˜ao obrigatoriamente iguais (funcionar˜ao como elementos de uma “diagonal”).
No caso de n = 4, o tensor totalmente anti-sim´etrico, de mais alta ordem que se pode construir ´e do tipo Tαβγδ, isto ´e, de ordem p = 4. Devido `a sua total anti-simetria, suas componentes n˜ao nulas s˜ao aquelas para as quais os ´ındices α, β, γ, δ s˜ao permuta¸c˜oes de 1, 2, 3, 4, que s˜ao os ´ındices correspondentes `as quatro coordenadas independentes. Qualquer componente ser´a obtida a partir de outra, por exemplo,
Tαβγδ= ±T1234 .
Quer dizer um tensor totalmente anti-sim´etrico de ordem p = n somente tem uma componente, pois as demais s˜ao nulas. Conforme veremos depois, esta componente depende do sistema de coordenadas utilizado. Apesar deste tensor ter semelhan¸cas com um escalar, pois somente tem uma componente, n˜ao ´e exatamente igual a um escalar, j´a que esta componente depende do sistema de coordenadas, por esta raz˜ao ´e chamado de pseudo escalar. Notemos agora que um tensor contravariante totalmente anti-sim´etrico de ordem p = n − 1 tem somente n componen- tes independentes. Veja por exemplo para n = 4, isto ´e, cada ´ındice pode variar apenas nos valores 1, 2, 3 e 4. Um tensor Tµνλ por ser totalmente anti-sim´etrico, os ´ındices das componen-
tes n˜ao nulas ter˜ao que ser os trˆes diferentes, e al´em disto as componentes independentes s˜ao apenas aquelas onde os trˆes ´ındices tˆem valores que s˜ao a combina¸c˜ao dos 4 ´ındices 1, 2, 3, 4, por exemplo, T124 determina T142, T421, etc., logo para sabermos o n´umero de componentes independentes basta calcularmos quantas s˜ao as combina¸c˜oes de quatro, trˆes a trˆes, e n˜ao os
arranjos, pois estes diferem tamb´em pela ordem. No caso acima, C43= 4×3×23×2×1 = 4. A conclus˜ao que se tira ´e que um tensor contravariante totalmente anti-sim´etrico de ordem p = n − 1 tem apenas n componentes independentes, logo ´e semelhante a um vetor contravariante em espa¸co n-dimensional, o qual tamb´em tem apenas n componentes. Devido a esta semelhan¸ca este ten- sor ´e chamado pseudo vetor. Estas conclus˜oes s˜ao v´alidas tamb´em para tensores covariantes totalmente anti-sim´etricos.
Exemplo. Consideremos o tensor do campo eletromagnetico Fµν, antisim´etrico. Veja que para a m´etrica de Minkowski com assinatura (+ − −−), e com o operador gradiente
∂µ≡ ∂ ∂ x0; ∂ ∂ x1, ∂ ∂ x2, ∂ ∂ x3 (34) onde x0 = ct, e Aµ= φ; Ax, Ay, Az (35) Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (36)
por (34) e como ηµν = Diag (+; −, −, −, −), podemos escrever
∂µ≡ ∂ ∂ x0; − ∂ ∂ x1, − ∂ ∂ x2, − ∂ ∂ x3 , (37)
note que os termos puramente espaciais tˆem o sinais trocados devido `a m´etrica ηµν. Al´em disto,
sabemos que os potenciais φ e A s˜ao tais que
E = −∇φ − 1 c
∂A ∂t , B = −∇ × A ,
logo, o tensor do campo eletromag´etico ´e a matriz antim´etrica
Fµν =
0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −Bz By Ey Bz 0 −Bx Ez −By Bx 0 . (38)
Exerc´ıcio 2.7 Mostre que se Sαβ = Sβα e Aαβ = −Aβα, ent˜ao o escalar AµνSµν ´e
idˆenticamente nulo.
Exerc´ıcio 2.8 Mostre que se um tensor qualquer T (p, q) tem suas componentes nulas em um sistema de coordenadas, elas tamb´em ser˜ao nulas em qualquer outro sistema de coordenadas.
Exerc´ıcio 2.9 Mostre que se Λ ´e uma matriz de Lorentz, que faz a transforma¸c˜ao {xα} ⇒
{xα0}, ent˜ao podemos escrever que um tensor contravariante (2, 0) se transforma pela lei
Tα0β0 = Λα0µΛβ
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