Teorias da Relatividade HCTE-2014-Teste-a1

(1)

Programa de P´

os-Gradua¸

c˜

ao em Hist´

oria das

Ciˆ

encias e das T´

ecnicas e Epistemologia (HCTE)

Curso de Teorias da Relatividade de Einstein - 2014/I

Alexandre Lyra ∗

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Observat´orio do Valongo Rio de Janeiro, RJ, 20080-090, Brazil

10 de Fevereiro de 2014

Resumo

Este texto se refere a um curso de pós-gradua¸cão em andamento no HCTE. O texto está em constante processo de revisão. O autor agradece às sugestões que poderão ser enviadas por email.

∗

(2)

Sum´

ario

1 T´opicos da Relatividade Especial 4

1.1 Eventos e sua Ordena¸c˜ao . . . 5

1.2 Conceitos Iniciais . . . 6

1.3 Observadores e Referenciais . . . 7

1.4 Postulados de Einstein . . . 10

1.5 Transforma¸c˜oes de Lorentz . . . 10

1.6 Bloco Adicional 1. . . 11

1.7 Bloco Adicional 2. . . 13

1.8 Dilata¸c˜ao do Tempo . . . 20

1.9 O Intervalo ds2 . . . 22

2 Aplica¸c˜oes da Relatividade Especial 27 2.1 Efeito Doppler . . . 27

2.2 Deslocamento Para o Vermelho ou “Red Shift” Gravitacional . . . 29

3 C´alculo Tensorial 30 3.1 Escalares e Vetores . . . 30

3.2 Ser´a que xµ_´_{e Tensor ? . . . .} ₃₄

3.3 Tensores . . . 35

3.4 Simetrias . . . 38

3.5 Densidades Tensoriais . . . 42

4 Aplica¸cões do Cálculo Tensorial 46 4.1 Métrica . . . 46

4.2 Vis˜ao Geom´etrica das Componentes Contravariantes e Covariantes . . . 48

4.3 Mudan¸ca de base: ek →eem0 . . . 48

4.4 A Matriz Inversa de (gµν) . . . 49

4.5 Opera¸c˜oes com os ´Indices . . . 50

4.6 Outra Forma de Chegar a Aα = gαβAβ . . . 51

4.7 Opera¸c˜oes Gerais com ´Indices . . . 52

5 Derivada Covariante 54 5.1 Derivada de um Vetor . . . 54

5.2 A Derivada “Invariante” . . . 54

6 Divergˆencia Covariante 62

(3)

8 Geod´esicas 65

9 Tensor de Riemann 69

10 Espa¸co Riemanniano e Pseudo-Riemanniano 71

10.1 Volume de Um Paralelep´ıpedo . . . 73

11 Os S´ımbolos de Christoffel 76 12 Rascunho Sobre os Princ´ıpios da Teoria da Relatividade Geral 78 12.1 Criticas aos Princ´ıpios e Estudos Para Trabalhos - 07-2010 . . . 89

12.2 Synge × Greub e Princ´ıpio da Equivalˆencia do Prugovecki . . . 90

12.3 Do livro do Einstein: . . . 91

12.4 V´arias Referˆencias . . . 91

13 Introdu¸c˜ao `a Teoria da Relatividade Geral 94 13.1 Princ´ıpios . . . 94

13.2 As Equa¸c˜oes de Einstein . . . 95

13.3 Solu¸c˜ao de Schwarzshild . . . 99

13.4 Aplica¸c˜oes Cosmol´ogicas da TRG . . . 101

14 Cosmologia Inflacion´aria 106

15 Cosmologia Padr˜ao 106

16 Sucesso da Cosmologia Padr˜ao 107

17 Problemas da Cosmologia Padr˜ao 108

18 Vis˜ao Geral da Cosmologia Inflacion´aria 110

19 Como Obter a Infla¸c˜ao 112

20 Equa¸c˜ao de Dirac 114

(4)

1 T´

opicos da Relatividade Especial

Nesta parte inicial do curso estudaremos os postulados de Einstein e alguns conceitos da te-oria da relatividade especial, por exemplo, as transforma¸cões de coordenadas, o intervalo e a métrica de Minkowski. As for¸cas gravitacionais somente serão consideradas posteriormente na segunda parte do curso, quando formos discutir a teoria geométrica de Einstein para o campo gravitacional.

Este curso é para os alunos do HCTE (Programa de Pós-Gradua¸cão em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia). Buscamos dar uma visão geral do que se chama “Relatividade”, ou seja, da Teoria da Relatividade Especial e da Teoria da Relatividade Geral. Não entraremos em detalhes de uma série de temas, por exemplo, mecânica da part´ıcula relativista, e diversos outros temas de Relatividade. Faremos uma primeira abordagem dos assuntos tratados, evitando maiores formalismos matemáticos devido à heterogeneidade dos alunos do HCTE.

(5)

1.1 Eventos e sua Ordena¸c˜ao

Faremos inicialmente apenas algumas defini¸cões necessárias, evitando ingressar em outras que nos levariam a sair do nosso interesse espec´ıfico e limitado, de um estudo inicial sobre a Teoria da Relatividade Especial. Nesta parte introdutória seguiremos a metodologia adotada no livro do J. L. Synge [2]. Sendo assim, os conceitos iniciais abordados são aqueles herdados da f´ısica Newtoniana. Necessitamos inicialmente sugerir de forma intuitiva certos conceitos, que depois serão definidos de forma precisa.

Neste panorama, iniciaremos o estudo com o que chamamos de eventos. Esta palavra já aparece ocasionalmente na f´ısica Newtoniana podendo ser considerado, inicialmente, de uma forma intuitiva. Assim, diremos que um evento é algo que acontece, ou seja, qualquer coisa que acontece é um evento. Esta defini¸cão é ainda muito geral ainda, pois segundo ela, a queda da ´

agua de uma cachoeira é “um evento”. Isto não é muito conveniente para nossos objetivos. Para sermos mais precisos e limitados, afirmaremos que um evento é uma ocorrência em numa extensão espacial bem precisa, ou bem pequena, e que tem uma dura¸cão no tempo muito pequena. Ou seja, o evento é algo pontual, tanto no que se refere ao espa¸co, quanto no que se refere ao tempo. Podemos, para fixar idéias, dizer que o choque de uma pequena pedra com o solo, o acender de uma pequena lanterna, são alguns exemplos de eventos pontuais, que serão os que consideraremos. Além disto, trataremos ainda da totalidade de todos os eventos poss´ıveis, observando-se que cada evento ocorre em um determinado lugar e não tem dura¸cão.

Na f´ısica Newtoniana cada evento pode ser identificado por quatro números (x, y, z, t), onde (x, y, z) são as coordenadas Cartesianas retangulares do lugar onde ocorre o evento e t o tempo no qual ele ocorre. Caso passemos para destas coordenadas para outras (X, Y, Z, T ), que são fun¸cões destas coordenadas iniciais, os valores de (X, Y, Z, T ), servem igualmente para identi-ficar o evento. Resumidamente podemos dizer que um evento necessita de 4 números para ser identificá-lo. Com isto, ainda Newtonianamente, dizemos que a totalidade de todos os eventos poss´ıveis forma um cont´ınuo 4-dimensional. Levaremos para a relatividade esta conceitua¸cão e chamaremos este cont´ınuo de espa¸co-tempo.

Os quatro números que são necessários para identificar um evento são chamados de coorde-nadas do evento, ou suas coordecoorde-nadas espa¸co-temporais. Assumiremos que estas coordenadas são válidas para identificar um evento numa certa por¸cão do espa¸co-tempo. Não se necessita que estas mesmas coordenadas cubram todo o espa¸co-tempo, pode ser necessário que tenhamos vários sistemas de coordenadas para cobrir todo o espa¸co-tempo.

Necessitamos ainda elaborar uma forma de ligarmos as coordenadas espa¸co-temporais aos eventos, para isto suporemos experimentos ideais, que permitam estabelecer este v´ıculo. Pra fixarmos id´eias, suponha que o evento seja a explos˜ao de uma bomba a uma certa altura da terra, e tenhamos quatro observadores se movendo com diferentes velocidades, por exemplo em

(6)

aviões, de uma a forma arbitrária, subindo, descendo etc. Cada observador carrega seu próprio relógio, que não pode parar de funcionar. Ao ouvir a explosão da bomba, o observador anota a leitura de seu relógio. Por algum método eles também sabem da sua posi¸cão exata. Assim, cada um deles tem uma descri¸cão das quatro coordenadas. No momento apenas nos interessa que cada um deles pode atribuir coordenadas (x1, x2, x3, x4) a um certo evento, no caso ao ouvirem o som da bomba. Dois pontos importantes nesta discussão são: (a) o evento é algo inequ´ıvoco, independente das medi¸cões diferentes que os diferentes observadores possam fazer sobre o mesmo, (b) se um observador atribui a um certo evento coordenadas (x1, x2, x3, x4) e outro observador atribui coordenadas (y1, y2, y3, y4) ao mesmo evento, existirão fórmulas de transforma¸cão das coordenadas, ou seja

x1 = x1(y1, y2, y3, y4) x2 = x2(y1, y2, y3, y4) x3 = x3(y1, y2, y3, y4) x4 ₌ _x4_(y1_{, y}2_{, y}3_{, y}4₎              ⇔              y1 = y1(x1, x2, x3, x4) y2 = y2(x1, x2, x3, x4) y3 = y3(x1, x2, x3, x4) y4 ₌ _y4_(x1_{, x}2_{, x}3_{, x}4₎ . (1)

Sobre a nota¸cão que usaremos: os ´ındices gregos, α, β, ... serão utilizados para as quatro coor-denadas do espa¸co-tempo, e os ´ındices latinos, a, b, p, ..., serão utilizados para a parte puramente espacial do espa¸co-tempo, e ´ındices repetidos terão embutida a conven¸cão de soma de Einstein, mesmo que estejam em um mesmo n´ıvel (ambos embaixo ou ambos em cima). Exemplos,

Ap Ap = A1A1+ A2A2+ A3A3

CkCk = (C1)2+ (C2)2+ (C3)2

AαAα = A1A1+ A2A2+ A3A3+ A4A4

CµCµ = (C1)2+ (C2)2+ (C3)2+ (C4)2 .

1.2 Conceitos Iniciais

A história de uma part´ıcula é uma sequência de eventos, ou seja é uma curva no espa¸co-tempo, e para restringirmos aos diferentes valores das coordenadas do espa¸co 4-dimensional àquelas da curva, é necessário expressar através de 4 equa¸cões

xµ = xµ(w) ,

onde w é um parâmetro (por exemplo o tempo t). A curva (que é um espa¸co obrigatoriamente unidimensional) que representa a história de uma part´ıcula é chamada de linha de universo. Se eliminarmos o parâmetro w destas 4 equa¸cões, teremos 3 equa¸cões, f (x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0, onde o s´ımbolo x foi utilizado para representar os diferentes xµ. Resolvendo-se estas equa¸cões em termos de x4, Teremos equa¸cões da forma xi = Fi(x4). Estas diferentes equa¸cões são formas

(7)

alternativas de expressar a linha de universo de uma part´ıcula. Quando ocorre uma colisão de duas part´ıculas há uma interse¸cão das duas linhas de universo.

O movimento de uma part´ıcula material na f´ısica Newtoniana obedece as equa¸c˜oes

md 2_x dt2 = X , m d2y dt2 = Y , m d2z dt2 = Z , (2)

sendo X, Y, Z as componentes da for¸ca que atua na part´ıcula. As equa¸cões (2) formam um conjunto de três equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem, e que determinará o movi-mento da part´ıcula. Devem ser dados os valores iniciais de x, y, z, t e dx/dt, dy/dt, dz/dt, ou seja o evento inicial (x, y, z, t) e a dire¸cão inicial definida pelas derivadas. Deveremos posteriormente escrever os equivalentes relativistas destas equa¸cões. Nestas formula¸cões assume um papel de destaque uma discussão sobre o sentido do tempo. Veremos isto a seguir.

Em compara¸cão com certas “part´ıculas” que a f´ısica lida, por exemplo, com os planetas, o ser humano tem dimensões muito pequenas, já em rela¸cão a uma part´ıcula elementar, por exemplo, com o eletron, ele é bastante grande. Apesar disto podemos hipoteticamente reduzir o ser humano a um ponto para chamá-lo de observador. Como tal, ele tem sua própria linha de universo, com as equa¸cões que vimos acima. Pela nossa própria experiência, sabemos que cada um de nós pode ordenar os eventos que ocorrem em nossa linha de universo. Isto significa que dados dois eventos em nossa linha de universo sabemos qual ocorreu primeiro e qual ocorreu depois, ou seja temos a no¸cão de passado, presente e futuro. Sendo o presente após o passado e antes do futuro.

Na Teoria da Relatividade Especial não se supõe uma ordem intr´ınseca entre os eventos, como se supõe na f´ısica Newtoniana. Apenas em nossa linha de universo podemos assegurar quais são os eventos do presente, do passado e do futuro. Pode assim, um determinado observador ordenar os eventos em sua linha de universo, onde o presente é depois do passado e antes do futuro. Ele tem a no¸cão de ontem, de hoje e de amanhã. Sendo assim, no que se refere à ordena¸cão dos eventos, a Relatividade Especial assume uma premissa mais fraca em rela¸cão à f´ısica Newtoniana.

1.3 Observadores e Referenciais

Este é um dos pontos mais intrincados na Teoria da Relatividade Especial (TRE), muito mais ainda na Teoria da Relatividade Geral (TRG), e porque não dizer, na própria F´ısica. Não iremos entrar profundamente nesta questão, mas daremos algumas defini¸cões operacionais destes conceitos e que consideramos necessárias para o estudo que se segue.

Assumiremos que temos um grande número de pequenos relógios identicamente constru´ıdos dispon´ıveis, e que nós chamaremos de relógios padrão, e que ao serem colocados em um deter-minado instante, em um mesmo local, a marcha dos seus “tic(s)” será a mesma (neste instante).

(8)

Também assumiremos a disponibilidade de um grande número de réguas, identicamente cons-tru´ıdas, que serão chamadas de réguas padrão, e que ao serem colocadas em um determinado instante, em repouso em rela¸cão a uma outra, seu comprimento será o mesmo.

Definiremos,

a. evento

qualquer ocorrˆencia f´ısica em um certo lugar e em um determinado instante do tempo.

b. observador ´

e o que designaremos como uma part´ıcula pontual inteligente, munida de uma régua padrão e de um relógio padrão; além disto, tem as seguintes propriedades:

• intera¸c˜ao desprez´ıvel com sua vizinhan¸ca;

• habilidade de se mover arbitrariamente de maneira consistente com os limites im-postos pela relatividade especial (com velocidade v < c, sendo c a velocidade da luz);

• habilidade de se comunicar com outros observadores por meio de sinais luminosos;

c. referencial ´

e um conjunto cont´ınuo de observadores que se mantém em repouso em rela¸cão um ao outro. Por inercial entendemos um referencial no qual um corpo livre de for¸cas não tem acelera¸cão.

Um observador B é considerado em repouso em rela¸cão a um observador A se este observador ao enviar um sinal luminoso de A para B e imediatamente este sinal retornar a A (fazendo uma caminho fechado) utilizar sempre o mesmo intervalo de tempo (medido por A). Um referencial não é a mesma coisa que um conjunto de coordenadas, é uma entidade f´ısica hipotética. As coordenadas são apenas uma maneira de se dar nomes a cada ponto do espa¸co, em geral estes “nomes” são dados matematicamente com coordenadas, por exemplo, coordenadas cartesianas x, y, z.

(9)

ESQUEMA

Régua Padrão + Relógio Padrão

⇓ ⇓

Observador ⇓

Conjunto de Observadores = Referencial

(10)

1.4 Postulados de Einstein

A Teoria da Relatividade Especial ´e baseada em dois postulados de Einstein,

• P₁ : a velocidade da luz, c (≈ 3 × 108m/s), no vácuo, independe do referencial, e é a mesma em todas as dire¸cões, e

• P2 : todas as leis f´ısicas são invariantes, isto é, mantêm a mesma forma, com respeito a

escolha dos referenciais inerciais.

Os referenciais inerciais são aqueles onde são válidas as leis de Newton, e são todos equi-valentes fisicamente. Em outras palavras, um sistema de referência é considerado inercial se

• uma part´ıcula livre da influência da matéria ou da radia¸cão, move-se com velocidade constante, ou equivalentemente,

• ´e v´alida a segunda lei de Newton

= md

2_x

d t2 , (4)

onde F é a soma das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula de massa m (lembrando que estas for¸cas são exclusivamente for¸cas de intera¸cão), x é a posi¸cão da part´ıcula e t é o tempo. Ao considerarmos estes dois postulados, P1 e P2, simultaneamente, se chega a um tipo

especial de transforma¸cões entre as 4 coordenadas (três espaciais e uma temporal), conhecidas como Transforma¸cões de Lorentz.

1.5 Transforma¸c˜oes de Lorentz

Chamam-se eventos aos acontecimentos naturais, por exemplo, a explosão de uma bomba, o acender de uma lâmpada, a queda de um corpo, etc. A totalidade de todos os eventos f´ısicos que estão ocorrendo, que já ocorreram e que irão ocorrer, para um determinado observador, é chamado espa¸co-tempo1_{. Como os eventos podem ocorrer em todos os instantes do passado do}

presente e do futuro, e em todos os pontos do espa¸co, o espa¸co-tempo forma um continuum 4-dimensional, que será a arena dos fenômenos f´ısicos. Até agora não privilegiamos nenhum ponto do espa¸co-tempo, isto é, todos os seus pontos são equivalentes. Porém a introdu¸cão das transforma¸cões de Lorentz irá mudar esta situa¸cão. No espa¸co-tempo atuarão os referenciais e as demais ferramentas de estudo, por exemplo, usualmente é coordenado por algum observador no estudo de fenômenos f´ısicos2.

1

Uma referência muito boa para uma visão bem clara do espa¸co-tempo é o livro do Ellis e Williams, [3].

2

Detalhes destas defini¸cões podem ser encontrados no livro do J. L. Synge [2], Cap.I. É interessante um estudo mais detalhado do sentido f´ısico desta “arena” e o papel desempenhado pelos observadores e coordenadas. Não iremos entrar mais a fundo nesta questão, entretanto, fica em aberto para os alunos esta investiga¸cão, como Exerc´ıcio 1.

(11)

O espa¸co-tempo, na Relatividade Especial, é a concretiza¸cão da hipótese f´ısica de existência de uma arena onde ocorrem os fenômenos, vazia, sem matéria, e na qual os seus diferentes pontos são totalmente equivalentes. Na presen¸ca de campos gravitacionais3_{estas premissas n˜}_{ao s˜}_{ao mais}

válidas e deverão ser reavaliadas. Se supõe ainda que ao colocarmos matéria no espa¸co-tempo ele não se modifica, continua o mesmo espa¸co-tempo, da Relatividade Especial. A hipótese de uniformidade pode ser vista como altamente não natural, pois em nosso dia a dia os diferentes pontos do espa¸co ao nosso redor gozam de diferentes propriedades, o mundo ao nosso redor é altamente inomogêneo e anisotrópico. Entretanto, em um processo de análise f´ısica dos fenˆ o-menos naturais, é comum fazermos inicialmente uma abstra¸cão que nos permita ir aos poucos colocando ingredientes que nos vá aproximando cada vez mais da realidade natural. Ou seja, devemos partir dos casos mais simples para os mais complexos. A inclusão, por exemplo, de campos gravitacionais necessita um cuidado especial, o que somente será visto (no contexto desta abordagem) quando for tratata a Teoria da Relatividade Geral, onde o espa¸co-tempo não será mais o mesmo da Relatividade Especial. Assumiremos que o espa¸co-tempo é uniforme.

Uma consequência que se assume da equivalência de todos os pontos do espa¸co-tempo é que as transforma¸cões entre referenciais na Relatividade Especial devam ser transforma¸cões lineares. Seja, por exemplo, um evento que em um referencial K0 tem coordenadas (x0, y0, z0; ct0), e este mesmo evento, agora em um referencial K, tenha coordenadas (x, y, z; ct). Partindo-se dos postulados de Einstein, desejamos chegar às transforma¸cões que levam as coordenadas do evento em K às suas coordenadas no referencial K0.

1.6 Bloco Adicional 1.

Exerc´ıcio 2: Mostre que uma transforma¸cão não linear entre referenciais no espa¸ co-tempo, pode levar a que estes observadores afirmem que não existe equivalência entre seus diferentes pontos do espa¸co-tempo.

Pode-se demonstrar que a não linearidade levaria a uma não equivalência dos pontos do espa¸co-tempo. Assumiremos que se uma part´ıcula não apresenta acelera¸cão no sistema K, também não apresentará acelera¸cão no sistema K0. Observe que uma transforma¸cão não linear do tipo x0 = ax2, com a constante, juntamente com uma transforma¸cão linear no tempo, resul-taria que mesmo se d2x/dt2 = 0 poderemos ter d2x0/dt02 6= 0. Isto é, se assumirmos que no referencial K não tem acelera¸cão do sistema, poderemos, entretanto, ter acelera¸cão no

referen-3

Há inúmeros exemplos da chamada quebra da invariância de Lorentz (ver por exemplo em [9], [10]) devido à presen¸ca de campos gravitacionais e também devido a outras intera¸cões f´ısicas.

(12)

cial K0. Violando nossa pressuposi¸c˜ao, pois veja que dx0 dt0 = 2ax dx dt0 = 2ax dx dt dt dt0 ⇒ d2_x0 dt02 = 2a d dt0 xdx dt dt dt0 d2x0 dt02 = 2a dx dt0 dx dt dt dt0 + 2ax d dt0 dx dt dt dt0 + 2ax dx dt d dt0 dt dt0 = = 2a dx dt 2 dt dt0 2 + 2axd 2_x dt2 |{z} I dt dt0 2 + 2axdx dt d2t dtdt0 | {z } II dt dt0 , (5)

na última passagem para chegar à equa¸cão (5) utilizamos que d dt0 = dt dt0 d dt ,

e os termos marcados com I e II são zero, pois, note que I é zero devido à hipótese da acelera¸cão ser nula em K, e II é zero porque assumimos que a transforma¸cão é linear no tempo. Restará apenas um termo não nulo, independente da acelera¸cão em K,

d2x0 dt02 = 2a dx dt 2 dt dt0 2 .

Este termo “cria” uma acelera¸cão em K0 inexistente em K, devido somente ao fato de supormos uma transforma¸cão não linear entre K0 e K.

Fim do Bloco Adicional 1.

As transforma¸cões formuladas por Lorentz [6] e chamadas de Transforma¸cões de Lorentz (TL(s)) são lineares. Tomemos, apenas para fixar idéias, um exemplo de uma transforma¸cão linear homogênea é x0 = mx + ny, com m, n constantes. Já uma transforma¸cão não linear t´ıpica é, x0 = mx2 _{+ y. Pode-se demonstrar que baseados apenas nos conceitos e princ´ıpios}

fundamentais da TRE, as transforma¸c˜oes de coordenadas da TRE devem ser lineares (veja por exemplo em [2], p.70, ou [4], p.56)

As 4-coordenadas do espa¸co-tempo no referencial K, s˜ao

{xµ} ≡ {x0 = ct, x1= x, x2 = y, x3= z} (6)

e no referencial K0, s˜ao

{x0µ} ≡ {x00= ct0, x01= x0, x02= y0, x03= z0} (7) (a constante c algumas vezes será suprimida para facilitar as contas). As trans-forma¸cões lineares de coordenadas, mais gerais, que levam x ⇒ x0 podem ser definidas generi-camente através da expressão

x0α= aα+

3

X

β=0

(13)

onde aα e Λα_β são constantes4, independem das coordenadas. Estas transforma¸cões são mais gerais que as TL(s) e são chamadas de Transforma¸cões de Poincaré, ou Transforma¸cões Não-Homogêneas de Lorentz5_{. Pelo fato que nas TL(s), a}α_{≡ 0, elas s˜}_{ao tamb´}_{em chamadas}

de Transforma¸cões Homogêneas de Poincaré. Em suma, as TL(s) são apenas de dois tipos: • aquelas decorrentes da existência de uma velocidade relativa entre os referenciais, chamadas

de “boosts”,

• as rota¸c˜oes no espa¸co 3-dimensional.

Para deduzirmos como são estas transforma¸cões, devemos assumir as premissas da Teoria da Relatividade Especial, isto é, os dois postulados de Einstein. Assumiremos para facilitar que

• os dois referenciais K e K0 _{tenham seus eixos paralelos, ou seja, os eixos x, y e z s˜}_ao

paralelos aos eixos x0, y0 e z0, e que

• a velocidade relativa ~V somente tem componente na dire¸c˜ao x, ou ~V = (Vx≡ V, 0, 0).

Assim os eixos x e x0 coincidem e os eixos y e z permanecem paralelos aos eixos y0 e z0 res-pectivamente. Supondo-se que no instante inicial t = t0 = 0, os sistemas de coordenadas se superpõem e passarão a se deslocar de forma que as coordenadas y e z em K e y0 e z0 em K0 não sofrerão altera¸cões6, isto é, temos y0 = y, z0 = z; além disto, estamos considerando em (8) somente as TL(s) homogêneas, aα= 0. As coordenadas x0 e t0 somente, sofrerão transforma¸cões que estão detalhadas no Bloco Adicional a seguir.

1.7 Bloco Adicional 2.

Parte A: Transforma¸c˜oes

A linearidade das TL(s) (ou (8) com aα≡ 0) e a condi¸c˜ao de homogeneidade e isotropia do espa¸co-tempo, nos informam que (nestas contas iniciais tomaremos c = 1 para facilit´a-las, depois recolocaremos a constante c)7

x01 ≡ x0 = Λ1₁x + Λ1₀t , e (9)

x00 ≡ t0 = Λ0₁x + Λ0₀t . (10)

4_{Os a}α_{(s) s˜}_{ao os elementos respons´}_{aveis pelas transla¸}_c˜_{oes e os Λ}α

β(s) s˜ao os elementos respons´aveis pelas

rota¸cões usuais do espa¸co 3-dimensional e pelas TL(s) referentes apenas à existência de uma velocidade relativa entre os referenciais, são chamados de “boosts” de Lorentz (cuidado que existem também os “boosts” de Galileu).

5

Ver no livro do Weinberg de Teoria de Campos [8], p.57, e também no seu livro de Gravita¸cão [7] na p.28. Neste livro, ao escrever a fórmula (2.1.1), na p.26, ainda não fala nas transforma¸cões não-homogênas de Lorentz, e ao se referir à fórmula (2.1.1) diz “uma transforma¸cão de Lorentz”, entretanto, mais adiante ele define bem claro que nas homogênas temos aα≡ 0, isto é, sem transla¸cões.

6

Mais detalhes em [4], p.57.

7

Nestes c´alculos denominaremos x01≡ x0

e x00≡ t0

, bem como x1≡ x e x0_{≡ t, j´}

a que são as únicas coordenadas que se transformarão.

(14)

Chamaremos a origem de K de O e a origem de K0 de O0, então as coordenadas das duas origens são x1_(O) de K e x01_(O0₎ de K0, logo, utilizando a simplifica¸cão que fizemos podemos escrever

x1_(O) ≡ x_(O)= 0 , x01_(O0₎ ≡ x0

(O0)= 0 .

Lembrando que os referenciais coincidem no instante inicial, isto é, t = t0 = 0, então, no referencial K, após transcorrido um tempo t, a origem de K0, que por defini¸cão tem x0

(O0)= 0,

ter´a a sua coordenada x no referencial K, x_(O0₎= V t, assim por (9) temos

x0₍₀0₎ = Λ1₁x + Λ1₀t , mas x_(O0

)= V t ,

0 = Λ1₁(V t) + Λ1₀t ⇒ Λ1₀/Λ1₁ = −V, logo Λ1₀ = −Λ1₁V .

Simplificando a nota¸c˜ao com a defini¸c˜ao

Γ0 ≡ Λ1 1 ,

temos

x0 = Λ1₁(x − V t) ou finalmente, (11)

x0 = Γ0(x − V t) . (12)

Se o nosso ponto de vista mudar, isto é, se fizermos os cálculos acima trocando K ⇔ K0, precisamos apenas lembrar que se o observador em K vê o referencial K0 passar com velocidade ~

V , o referencial K0 vê o referencial K passar com velocidade −~V , logo, por uma questão de simetria do problema, para a transforma¸cão contrária, trocando

x0↔ x, t0 ↔ t ~V ↔ −~V , podemos escrever analogamente `a (12)

x = Γ(x0+ V t0) , (13)

onde Γ ´e um elemento correspondente ao Γ0, da matriz de Lorentz correspondente a esta trans-forma¸c˜ao .

Chegamos portanto a duas equa¸cões para as transforma¸cões: a primeira (12) que fornece a coordenada x0 do referencial K0 a partir das coordenadas (x, t) do referencial K; e a segunda (13) que fornece a coordenada x do referencial K a partir das coordenadas (x0, t0) do referencial K0, que em conjunto são

(

x0 = Γ0(x − V t)

x = Γ (x0+ V t0) , (14)

(15)

Parte B: Γ = Γ0

Pela uniformidade do espa¸co-tempo, as quantidades Γ0 e Γ somente deverão depender da velocidade relativa entre os referenciais, ~V , e não dos pontos do espa¸co-tempo, pois se dependesse de cada ponto ter´ıamos uma não uniformidade do espa¸co-tempo.

Seja uma barra r´ıgida em repouso, localizada ao longo do eixo x, isto é, no referencial K. Chamamos de comprimento próprio, l0, ao comprimento da barra no referencial onde está em

repouso, no caso é o referencial K. Logo seus extremos em K estão o primeiro na origem O e o outro em x2, e como seu tamanho em K é l0, temos neste referencial K, x2 = l0.

Precisamos determinar as coordenadas da barra no referencial K0, o que será feito utilizando-se as equa¸cões (14). Suporemos que no in´ıcio da marca¸cão do tempo os dois referenciais coincidem geometricamente, isto é, em t = t0 = 0 os dois referencias estão superpostos. Desta maneira, no instante inicial a coordenada da origem de K0 é exatamente igual a coordenada da origem de K, ou seja pela primeira equa¸cão de (14), temos que dadas as coordenadas da barra no instante t = t0 = 0, no referencial K, teremos suas coordenadas no referencial K0, dadas por (14), que são

x1= x01 = 0, e x02 = Γ0x2,

mas como chamamos x2 = l0, temos que x02 = Γ0l0. Assim, a barra que tem comprimento em

K igual a l0, terá seu comprimento “não próprio”, o qual chamaremos no referencial K0 de l0,

igual a

l0 = x0₂− x0₁ = (l0Γ0) − 0 ⇒ l0= l0Γ0.

Imaginemos agora esta mesma barra está fixa no referencial K0, também ao longo do eixo x, e com um extremo na origem, logo, x0₁ = 0, e x0₂ = l0. Veja que se a barra é a mesma,

seu comprimento pr´oprio, l0, n˜ao mudou, somente que agora ele se refere ao referencial K0,

que onde ela está em repouso. Chamemos de l o seu comprimento visto por um observador no referencial “não próprio”, que agora é o referencial K, e também no instante t0= t = 0. De acordo com a segunda equa¸cão de (14), temos

x0₁= x1 = 0, e x2= Γ x02,

mas como agora x0₂= l0, temos que x2 = l0Γ, logo seu comprimento medido por um observador

em K, que vale l, ser´a

l = x2− x1 = (l0Γ) − 0 ⇒ l = l0Γ ,

portanto, se modificou por um fator Γ. Como os referenciais fisicamente são equivalentes, o comprimento próprio l0 ao ser visto pelo observador no outro referencial (“não próprio”) deve

ser igual,

(16)

A diferen¸ca entre K e K0 reside apenas no movimento relativo, pois um vê o outro com a velocidade no sentido oposto. Se o referencial K vê o referencial K0 com ~V , K0 vê o referencial K com −~V . Sendo assim, o fator Γ depende apenas da velocidade relativa entre os referenciais K e K0. Esta dependência deverá ser apenas em rela¸cão ao valor absoluto de ~V , pois o sentido é algo relativo entre os referenciais, já o módulo, é algo absoluto, para ambos os referenciais o módulo da velocidade do outro é o mesmo.

(17)

Parte C: Determina¸c˜ao do Parˆametro Γ

Agora vejamos como podemos determinar o valor de Γ, onde retomaremos a constante c.

Nos falta determinar ainda o valor do fator Γ. Para isto suponhamos uma outra situa¸cão, onde as origens dos dois referenciais coincidem exatamente em t = t0 = 0 e um sinal luminoso é emitido na origem comum. Considereremos ainda, um evento que é a chegada deste sinal, no instante t, para K, e em t0, para K0, no ponto x para K e em x0 para K0. Em K, este evento tem coordenada x = ct, e em K0 tem coordenada x0= ct0. Estas coordenadas estão relacionadas por (14), que ao serem substitu´ıdas teremos

ct0 = Γ (ct − V t) , ct = Γ (ct0+ V t0) ,

que podem ser escritas

ct0 = Γ t(c − V ) ct = Γ t0(c + V ) .

Multiplicando estas duas equa¸c˜oes, termo a termo, e cancelando tt0, teremos

c2 = Γ2(c − V )(c + V ) Γ2 = c 2 (c − V )(c + V ) ⇒ Γ = ± s 1 (c2_{− V}2_)/c2 ,

que considerando a raiz positiva, temos

Γ = 1

(18)

Parte D: Transforma¸c˜ao t ←→ t0 Conforme vimos em (14) ou seja

(

x0 = Γ (x − V t) x = Γ (x0+ V t0) ,

Podemos agora escrever como se transforma t. Para isto na segunda equa¸c˜ao podemos fazer

x = Γ x0+ Γ V t0 , Γ V t0 = x − Γ x0 logo t0 = x − Γ x 0 Γ V como x0= Γ (x − V t) escrevemos t0 = x − Γ 2_{(x − V t)} Γ V = x(1 − Γ2) ΓV + Γt (16) como 1 − Γ2 = − V 2 c2_{− V}2

podemos simplificar (16) finalmente para

t0 = Γ(t − V c2x) .

Finalmente como

Γ ≡ 1

p1 − V2_/c2 , (17)

temos agora as transforma¸c˜oes de Lorentz nas condi¸c˜oes que definimos entre K e K0,

(t, x) ↔ (t0, x0) ⇒              t0 = Γ(t − V_c2 x) x0 = Γ(x − V t) y0 = y z0 = z . (18)

(19)

Exerc´ıcio 3: Escreva a matriz Λβα das TL(s) para o caso que vimos no texto,

isto é, quando o movimento relativo entre os referenciais se dá ao longo do eixo x e os demais eixos são paralelos entre si. Em seguida fa¸ca, através desta matriz, a transforma¸cão xα⇒ x0α. Depois execute o mesmo processo para uma tranforma¸cão semelhante, porém agora o movimento se dá ao longo dos eixos y e y0. Compare este resultado com aquele que deve ser obtido fazendo-se inicialmente a segunda transforma¸cão (movimento ao longo dos eixos y e y0) e depois a primeira (movimento ao longo dos eixos x e x0).

Exerc´ıcio 4: No livro citado [5], estude o trabalho de Lorentz “Electromagnetic Phenomena in a System Moving With Any Velocity Less Than That of Light” (está na página 11), e veja onde aparece a chamada “contra¸cão de Lorentz”.

(20)

1.8 Dilata¸c˜ao do Tempo

As transforma¸cões para o caso dos referenciais K e K0 estarem dispostos de forma que o des-locamento relativo seja apenas na dire¸cão x,com os eixos todos paralelos, são as equa¸cões (19), ou (t, x) ↔ (t0, x0) ⇒              t0 = Γ(t − V_c2 x) x0 = Γ(x − V t) y0 = y z0 = z ,

A partir destas f´ormulas podemos calcular para dois eventos 1 e 2 pr´oximos as quantidades ∆t0= t0₂− t0₁

∆x0 = x0₂− x0₁ ∆y0 = y0₂− y0₁ ∆z0 = z₂0 − z0₁

Antes de tudo, j´a vemos que ∆y0 = y2− y1= ∆y, assim como ∆z0= y2− y1 = ∆y, pois y0 = y

e z0= z. J´a para t e x temos ∆t0= t0₂− t0₁= Γ((t2− t1) − V c2(x2− x1)) ≡ Γ(∆t − V c2∆x) ∆x0 = x0₂− x0₁= Γ((x2− x1) − V (t2− t1)) ≡ Γ(∆x − V ∆t) .

Por estas f´ormulas vemos que se dois eventos E1 e E2 em K s˜ao tais que ∆x = 0, ou seja,

ocorrem num mesmo lugar, teremos

∆t0= Γ(∆t − V

c2∆x) =⇒ ∆t 0

= Γ ∆t ∆x0 = Γ(∆x − V ∆t) =⇒ ∆x0 = −ΓV ∆t ; substituindo nesta ´ultima equa¸c˜ao ∆t0 = Γ∆t, temos

∆x0 = −V ∆t0 .

O que se chama a dilata¸c˜ao do tempo ´e o efeito existente em ∆t0 = Γ∆t, pois como Γ = q 1 1−V 2

c2

, e V ≤ c, logo 1 < Γ < +∞, assim ∆t0≥ ∆t. O referencial K mede ∆t e o referencial K0_{, que se}

move em rela¸cão a K mede ∆t0, maior que ∆t. Este efeito é verificado experimentalmente em diferentes situa¸cões.

Algumas conclus˜oes interessantes destes resultados s˜ao:

1. Dois eventos ocorrendo nem um mesmo ponto no referencial K, ou seja ∆x = 0, teremos ∆t0 = Γ∆t e

(21)

Veja que não serão localizados no mesmo ponto em K0, já que ∆x0depende de sua separa¸cão temporal em K ou de ∆t.

2. Dois eventos simultâneos, ou seja, que ocorrem ao mesmo tempo em K, isto é, com ∆t = 0 terão ∆t0 = −Γ_cV2∆x. Isto é, dependem da distância espacial em K, pois o intervalo

temporal entre eles em K0 depende de ∆x. Podemos dizer, utilizando o que desenvolvemos no estudo das superf´ıcies de simultaneidade (na primeira parte deste curso), que dependem da separa¸c˜ao espacial, ∆x, destes eventos em K.

(22)

1.9 O Intervalo ds2

Dados dois pontos P1 e P2, no espa¸co usual, Galileano, o qual suporemos bidimensional para

simplificar, as coordenadas destes pontos em um referencial Galileano K, com coordenadas {x, y}, s˜ao respectivamente,

P1 → (x1, y1) ,

P2 → (x2, y2) .

Chamando de ~r12 a distˆancia entre P1 e P2, e seu valor absoluto |~r12| ≡ r12, podemos escrever

r2₁₂= (x2− x1)2+ (y2− y1)2 . (19)

Suporemos um outro observador, em um referencial galileano K0, com coordenadas {x0, y0} e também como na f´ısica Galileana, o tempo t de K é exatamente igual ao tempo t0 de K0, faremos t = t0. Sabendo-se que a velocidade relativa ~V , entre K e K0 é na dire¸cão x, as transforma¸cões de Galileu8 são

x0₁ = x1+ V t1 , x02 = x2+ V t1

y₁0 = y1 , y20 = y2 .

Levando-se estas transforma¸cões no cálculo do módulo da distância entre P1 e P2, nos dois

referenciais, veremos que

r2₁₂= r02₁₂.

Exerc´ıcio 5: Fa¸ca estas contas e mostre esta igualdade.

Esta invariância não se mantém na TRE. Supondo-se dois eventos E1 e E2no espa¸co-tempo.

Pode-se demonstrar que supondo-se as TL(s), o novo invariante, ´e a grandeza s12, chamada de

intervalo, ou separa¸cão entre estes dois eventos. No espa¸co-tempo, com 3 dimensões espaciais e uma temporal, a separa¸cão9 entre os dois eventos é definida por

s2₁₂ ≡ c2(t2− t1)2+

− (x2− x1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2 . (20)

No caso de dois eventos E1 e E2 pr´oximos teremos

∆s2₁₂ = c2∆t2− ∆x2− ∆y2− ∆z2 . (21) No caso que estudamos de K e K0 terem exixos paralelos e a velocidade relativa ser apenas na dire¸c˜ao x, podemos provar facilmente a invariˆancia deste intervalo. Para tal devemos calcular

∆s02₁₂ = c2∆t02− ∆x02− ∆y02− ∆z02. (22)

8_{Ver o texto sobre as “Transforma¸}_c˜_{oes Especiais de Galileu” no contexto da Mecˆ}_{anica Quˆ}_antica. 9_{Ver em [2]p.15 uma pormenoriza¸}_c˜_{ao destas defini¸}_c˜_oes.

(23)

e mostrar que ´e igual a (21). Neste caso, ∆y = ∆y0 e ∆z = ∆z0, e conforme vimos anteriormente (

∆t0 = Γ(∆t − _cV2∆x)

∆x0 = Γ(∆x − V ∆t) . que sendo levado em (22), teremos

∆s02₁₂ = c2 Γ(∆t −V c2∆x) 2 − Γ(∆x − V ∆t) 2 − ∆y02− ∆z02= = c2 Γ2(∆t)2− 2Γ2V c2∆t∆x + Γ 2V2 c4 (∆x) 2 + − Γ2(∆x)2− 2Γ2V ∆x∆t + Γ2V2(∆t)2 − ∆y02− ∆z02= = Γ2c2(∆t)2− 2Γ2c2V c2∆t∆x + Γ 2_c2V2 c4 (∆x) 2 + − Γ2(∆x)2− 2Γ2_{V ∆x∆t + Γ}2_V2_(∆t)2 − ∆y02− ∆z02,

que pode ser simplificada para

∆s02₁₂ = (c2Γ2− Γ2V2)(∆t)2− (Γ2−V 2_Γ2 c2 )(∆x) 2 −∆y02− ∆z02= = Γ2(c2− V2)(∆t)2− Γ2(1 −V 2 c2 )(∆x) 2 −∆y02− ∆z02, (23)

e agora lembrando que para Γ temos

Γ2= 1 q 1 −V_c22 2 = _c2_−V1 2 c2 = c 2 c2_{− V}2 , logo Γ2(c2− V2) = c2 , (24)

ent˜ao (23 ) pode ser facilmente simplificada para

∆s02₁₂ = c2(∆t)2− (∆x)2− ∆y02− ∆z02,

e assim, finalmente obtemos

(24)

Para dois eventos infinitesimalmente próximos, escreve-se que seu intervalo, ou seja, sua “distância” espa¸co-temporal é

ds2 ≡ c2dt2− dx2− dy2− dz2= (ds0)2 (25)

Note que no intervalo (25), o primeiro termo c2dt2, é exatamente a velocidade da luz vêzes o intervalo infinitesimal de tempo para um determinado observador que mede o tempo t. Podemos ver sob outro ponto de vista a igualdade ente os intervalos nos referenciais K e K0, para isto, sejam dois eventos infinitesimalmente próximos que representem a sa´ıda e a recep¸cão de um sinal luminoso. O intervalo infinitesimal entre estes dois eventos será igual a

ds2 = c2dt2− dx2− dy2− dz2 = 0 (26)

≡ c2dt2− dl2= 0 , (27)

e este valor nulo ´e o mesmo para outro qualquer sistema de coordenadas {x0µ}, e temos

ds0 2 = ds2 ,

pois ds ´e um invariante perante as TL(s) (ver [2] p.17).

Exerc´ıcio 6: Utilizando apenas 3 coordenadas, {t, x, y}, e a mesma velocidade relativa que utilizamos anteriormente, ou seja, na dire¸cão x, e as mesmas condi¸cões de movimento relativo. Mostre que ds2 para o referencial K, é igual a ds0 2 para o outro referencial de Lorentz K0.

Na nota¸c˜ao (6) e (7), podemos escrever

ds2 = (dx0)2− (dx1)2− (dx2)2− (dx3)2 (28) ≡ 3 X µ=0 3 X ν=0 ηµνdxµdxν = 3 X µ,ν=0 ηµνdxµdxν , (29) onde η = (ηµν) ≡        1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1        . (30)

Podemos ainda simplificar esta fórmulas utilizando a conven¸cão de Einstein, onde ´ındices repe-tidos, um em cima e outro embaixo, significam que estes ´ındices devem ser somados sobre todos os valores do espa¸co-tempo. Com esta conven¸cão, teremos

ds2 =

3

X

µ,ν=0

(25)

A matriz η = (ηµν), com seus 4 × 4 = 16 elementos, ´e chamada tensor m´etrico, tensor de

Minkowski, ou simplesmente métrica. No espa¸co-tempo de Minkowski, e em coordenadas car-tesianas, {x, y, z}, é um tensor diagonal, somente com os elementos não nulos η00 = +1, η11 =

η22= η33= −1. Já as quantidades dxµtêm aqui a interpreta¸cão de deslocamentos infinitesimais

e ser˜ao estudadas mais detalhadamente no decorrer do curso.

Podemos escrever a multiplica¸c˜ao matricial correspondente a (31) como

ds2 ⇒ (dxµ)L(ηµν)M (dxν)C (32)

onde os ´ındices L, M, C, significam respectivamente as matrizes do tipo L = linha, M = matriz usual (4 x 4) e C = coluna, com a multiplica¸c˜ao matricial sendo feita na ordem em que est˜ao escritas as matrizes, ou ds2≡ dx0 dx1 dx2 dx3        1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1               dx0 dx1 dx2 dx3        . (33)

(26)

Exerc´ıcio 7: Para uma part´ıcula, na ausência de campos eletromagnéticos, a conexão relativista entre o momentum ~p e sua velocidade ~v é

~ p = E

c2 ~v ,

onde E é sua energia total e c é a velocidade da luz. A mecânica Hamiltoniana nos informa que

~v = ∂E ∂~p . 1. A partir destas rela¸c˜oes deduza que

E2= c2p2+ constante.

2. Considerando que a menor energia ´e m0c2, para o caso de momentum nulo, sendo m0 a

“massa de repouso”, deduza que

E = m0c

2

p1 − v2_/c2 , ~p =

m0~v

(27)

2 Aplica¸

c˜

oes da Relatividade Especial

Veremos uma interessante questão que é bastante importante no contexto astronômico e cos-mológico.

2.1 Efeito Doppler

Veremos o efeito Doppler relativista e logo em seguida o chamado “efeito Doppler gravitacional”, ou “dilata¸c˜ao do tempo gravitacional”.

• Come¸caremos o estudo do “red shift” estudando o efeito Doppler. Chamando-se o tempo para a oscila¸cão completa (ou per´ıodo) de uma onda luminosa emitida por uma fonte F de ∆T , o comprimento de onda emitido é λ = c ∆T , onde c é o módulo da velocidade da luz. Se a fonte F se desloca10 em rela¸cão a origem O0, de um observador inercial K0, com velocidade ~u de módulo u, ao intervalo de tempo próprio da fonte ∆T , corresponderá, no referencial K0, um outro intervalo igual a Γ∆T , onde

Γ ≡ q 1 1 −u_c22

.

O per´ıodo ∆T é, por defini¸cão, o intervalo entre dois máximos sucessivos da onda na fonte F , que para K0 chamaremos de ∆ T0. Para calcularmos o per´ıodo ∆ T0 em K0, notamos que

1. devido ao deslocamento com velocidade ~u da fonte em rela¸cão a K0, o intervalo de tempo próprio ∆T é dilatado e passa a ser Γ∆T no referencial K0. Entretanto, temos que contabilizar também que, enquanto transcorre o intervalo de tempo Γ∆T em K0, a fonte F se deslocou para K0 uma distância igual a este intervalo vêzes sua velocidade de deslocamento u, ou seja (Γ∆T )u, distância esta que também terá que ser percorrida pela luz para poder atingir a origem O0 do observador em K0;

2. consequentemente, o tempo que levará K0 para receber dois máximos sucessivos, ou seja o per´ıodo da onda em K0, não é somente igual ao intervalo de tempo ∆T vêzes o fator de Lorentz Γ. Devemos também somar o intervalo de tempo que a luz leva para percorrer a distância (Γ∆T )u que a fonte se deslocou no referencial K0, isto é, esta distância dividida pela velocida da luz, ou (Γ∆T u)/c.

Assim, o per´ıodo da onda luminosa, ou o intervalo entre dois m´aximos da onda, ser´a para o observador K0, ∆T0 = Γ∆T + Γ∆T · u c = Γ∆T 1 +u c =⇒ ∆T 0 ∆T = Γ 1 +u c . 10

Faremos uma descri¸cão simples deste deslocamento (ver em [27] p. 55), o qual será descrito por uma única componente da velocidade. Outros casos podem ser estudados em detalhes na referência [4].

(28)

Como sabemos, para a fonte F , ∆T = λ/c, e para K0, λ0 = c ∆T0, ou ∆T0 = λ0/c, ent˜ao λ0 λ = ∆T0 ∆T = Γ 1 +u c = s 1 +u_c 1 −u_c = r c + u c − u ,

que são as fórmulas do efeito Doppler relativista. Estas fórmulas11fornecem tanto o comprimento de onda quanto o per´ıodo de uma fonte luminosa quando vistos por um observador inercial em rela¸cão ao qual esta fonte se move com velocidade u.

Aqui ´e bom relembrar que

i. não devemos confundir a dilata¸cão (ou contra¸cão) do tempo,

dt0 = ∆t(1 − ~v2)−1/2,

com o efeito Doppler. Neste efeito, conforme vimos, temos que levar em considera¸cão não somente as rela¸cões entre o intervalo dt e dt0, mas também, que a fonte, ou seja, o relógio, se deslocou em dire¸cão ao observador |~v|dt0;

ii. no espectro eletromagnético, o comprimento de onda cresce da faixa dos raios-γ (10−11cm) para as ondas de rádio (10cm), consequentemente, na sua parte vis´ıvel, o com-primento de onda também cresce da cor violeta (455nm) para a cor vermelha (750nm). Logo, o que se chama “afastamento para o vermelho” (ou “red shift”) significa um aumento do comprimento de onda, e um “afastamento para o azul” (ou “blue shift”) significa uma diminui¸cão do comprimento de onda. Para simplificar, chamaremos o fenômeno generi-camente de “red shift”, não importando para qual região do espectro o comprimento de onda variou.

11_{Aqui supomos o caso mais simples onde n˜}_{ao h´}_{a componentes transversais da velocidade. No efeito Doppler}

transverso, a fonte se move em dire¸cão ortogonal ao trajeto do raio luminoso. Na referência [4] podemos estudar este caso em detalhes, ou em outros livros de Relatividade. Neste caso teremos que fazer mais umas contas, porém o desenvolvimento é análogo. Há ainda outros casos mais complexos, por exemplo o chamado efeito Doppler anômalo (ver também em [4]).

(29)

2.2 Deslocamento Para o Vermelho ou “Red Shift” Gravitacional

A fórmula do “red shift” gravitacional pode ser deduzida de diferentes maneiras. Pode-se ser através da aplica¸cão do Princ´ıpio de Equivalência, ou pela metodologia da cinemática relativista. Optaremos por uma outra maneira bem simples (ver em [25] p. 138.) utilizando somente princ´ıpios de conserva¸cão de energia relativista.

Para uma part´ıcula livre com massa de repouso m0 e momentum ~p, sua energia ´e

+c q

|~p|2_{+ m}2 0c2 ,

logo, no caso do f´oton onde m0 = 0, teremos

E = |~p|c = hν .

Como a massa de uma part´ıcula é igual a sua energia dividida por c2 (pois a fórmula geral é E = mc2), para o fóton onde E = hν, temos a sua quantidade que desempenha um papel equivalente à massa e é 0 m0 ⇔ E c2 = hν c2 = |~p|c c2 = |~p| c .

Sendo assim, em um potencial ϕ, a energia do fóton associada puramente a este potencial gravitacional é o seu equivalente de massa vêzes o potencial gravitacional, ou

(0m0) ϕ = |~p| c ϕ

o que significa, finalmente, que a energia de um f´oton neste potencial ser´a dada pela soma

|~p|c +|~p|

c ϕ = |~p|c (1 + ϕ c2) .

Para o potencial gravitacional Newtoniano de uma massa M ,

ϕ = −GM r ,

a energia de um f´oton hν, com momentum ~p, ficar´a reduzida para

|~p|c (1 −GM c2_r ) ,

que ´e o “red shift” gravitacional do f´oton. Nos sistemas de unidades com c = 1 (como encon-tramos em [28] ou em [29]) temos

|~p| (1 − GM r ) ,

e no caso de uma part´ıcula com massa m teremos (energia E = mc2, fazendo-se c = 1 temos E = m)

m (1 − GM r ) .

(30)

3 C´

alculo Tensorial

3.1 Escalares e Vetores

Neste cap´ıtulo alguns tópicos serão incorporados aos exerc´ıcios, pois é importante que os alunos adquiram prática em trabalhar com o cálculo tensorial.

Como usualmente fazem alguns autores12, denominaremos aqui objetos geométricos, as entidades matemáticas que se transformam de uma maneira matematicamente definida ao fa-zermos uma transforma¸cão arbitrária de coordenadas.

As quantidades f´ısicas são determinadas por um conjunto de valores numéricos, por exemplo, a velocidade de uma part´ıcula que é determinada por suas componentes num dado sistema de coordenadas. O estudo de como estas componentes variam com a mudan¸ca do sistema de coordenadas leva ao conceito de tensor. Com este conceito, expressaremos as leis f´ısicas através de equa¸cões tensoriais, as quais têm a mesma forma em qualquer sistema de coordenadas. Uma abordagem bastante intuitiva deste assunto come¸ca pelos conceitos de escalar e vetor (contrariante)13.

• Escalares. Um escalar ´e uma quantidade f´ısica determinada por um valor simples, independente do sistema de coordenadas utilizado. Como exemplos destas quantidades, no caso da f´ısica Newtoniana, temos a massa ou a carga de uma parti´ıcula, na Relatividade especial, temos a massa de repouso e a carga de uma part´ıcula.

• Vetor Contravariante Um exemplo simples de um vetor, no espa¸co Euclideano, ´e o deslocamento de um ponto A para um ponto P, ou seja o deslocamento AP. Se utilizarmos coordenadas cartesianas xi_A para o ponto A e xi_P para o ponto P, as componentes do vetor AP s˜ao xi_P − xi

A, este caso é um caso especial, pois o espa¸co é o Euclideano e as coordenadas são

cartesianas. Ao utilizarmos coordenadas não-cartesianas, podemos definir apenas deslocamentos infinitesimais, que levam do ponto A, com coordenadas genéricas xµ, a um ponto vizinho B, com coordenadas xµ+ dxµ. As componentes deste vetor são as diferen¸cas entre as coordenadas de A e de B, ou seja dxµ. esta defini¸cão já está numa forma genérica que serve para qualquer tipo de coordenadas e para qualquer espa¸co, inclusive que tenha um número de dimensões maior que 4.

Partindo-se do vetor infinitesimal AB com componentes dxµ, podemos construir um vetor finito vµ, definido no ponto A, da seguinte forma. Considere uma curva suave passando pelos pontos A e B. Esta curva sendo determinada por n fun¸c˜oes de um parˆametro escalar real λ,

xµ= fµ(λ).

12_{Ver um trabalho do Malcolm MacCallum de relatividade. Creio (depois confirmo) que ´}_{e este: G. F. R. Ellis,}

M.A.H. MacCallum, A class of homogeneous cosmological models, Comm. Math. Phys. V 12, P 108-141 (1969).

(31)

Se os pontos A e B correspondem aos valores λ e λ + dλ do parˆametro, ent˜ao o vetor tangente `

a curva14 em A tem componentes

vµ= dx

µ

dλ (1)

O deslocamento infinitesimal dxµ, ou equivalentemente15o vetor vµser´a utilizado como exemplo de um vetor contravariante.

Temos agora uma interessante quest˜ao para ser estudada: como mudam as componen-tes do vetor vµ ao mudarmos de coordenadas {xα} para coordenadas {xα0_{} ? Para}

resolvermos esta quest˜ao lembremos que as novas coordenadas xα0 _{nos s˜}_{ao fornecidas atrav´}_{es de}

uma transforma¸c˜ao xα → xα0 _{a qual ´}_{e determinada por um conjunto de n equa¸}_c˜_{oes da forma}

xα0 = fα(xβ) α, β = 1, 2, ..., n . (2)

Podemos ent˜ao escrever16

dxα0 =X λ ∂xα0 ∂xλ dx λ ₌ ∂xα 0 ∂xλ dx λ _. ₍₃₎

17 _{Esta equa¸}_c˜_{ao, (3), nos fornece as componentes do vetor contravariante dx}α0

no sistema de coordenadas {xα0}, o qual tem componentes dxα _{no sistema de coordenadas {x}α0_{}. Como}

exemplo temos a transforma¸cão de um vetor d~r de componentes puramente espaciais cartesianas (dx, dy, dz) em um vetor d~r0 em coordenadas esféricas com componentes (dr, dθ, dφ), isto é, {x, y, z} → {r, θ, φ} , e teremos dr = ∂r ∂xdx + ∂r ∂ydy + ∂r ∂zdz , dθ = ∂θ ∂xdx + ∂θ ∂ydy + ∂θ ∂zdz , (4) dφ = ∂φ ∂xdx + ∂φ ∂ydy + ∂φ ∂zdz . 14

Esta curva não precisa de ser uma geodésica, é uma curva qualquer neste espa¸co curso (ou mesmo espa¸ co-tempo), pois a propor¸cão em que os pontos A e B se tornam cada vez mais próximos a curva se aproxima de uma “reta”. Lembremos que mesmo no espa¸co-tempo curvo temos vários tipos de curvas, por exemplo, a trajetória de um raio luminoso, a trajetória de um corpo em queda livre (que será uma “geodésica“), a trajetória de uma nave espacial, etc.

15_{Quando dizemos “o vetor v}µ_{”, estamos nos referindo ao conjunto das n componentes v}1_{, v}2_{, · · ·, v}n _{de um}

certo vetor v, por´em ´e comum este abuso de linguagem, onde utilizamos vµtanto para nos referirmos a uma certa componente, onde o µ tem um valor espec´ıfico, quanto ao conjunto das componentes, onde µ pode ter qualquer um dos seus valores.

16_{Na conven¸}_c˜_{ao da soma de Einstein, utilizaremos que um ´ındice superior no denominador equivale a um ´ındice}

embaixo. A f´ormula que veremos adiante em (14) sugere esta nota¸c˜ao.

17_{Notemos ainda que para se chegar a esta f´}_{ormula, que ´}_{e do tipo dz =} ∂f ∂xdx +

∂f

∂ydy, para z = f (x, y), podemos

(32)

Com estas fórmulas podemos escrever a lei de transforma¸cão para o um vetor contravariante vµ, por exemplo o vetor fornecido por (1). Observe que o parâmetro λ é um escalar, logo tem o mesmo valor em qualquer sistema de coordenadas que utilizemos, assim o diferencial dλ tem o mesmo valor no sistema x0 αe no sistema xα, portanto a lei de transforma¸cão para vµé a mesma que obtivemos para dxα, ou

vα0 = ∂x

α0

∂xλv

λ _. ₍₅₎

Podemos agora fornecer uma defini¸c˜ao geral de um vetor contravariante Aµ_:

´

e uma quantidade com n componentes que dependem do sistema de coordenadas utilizado de tal forma que as componentes Aµ, no sistema xµ, est˜ao relacionadas com as componentes Aµ0, no sistema xµ0, por

Aµ0 = ∂x

µ0

∂xλ A

λ _. ₍₆₎

18_{E importante notar ainda sobre estas equa¸}_´ _c˜_{oes de transforma¸c˜}_{ao de coordenadas, (2) ou}

(3), que para termos sistemas de coordenadas, tanto xµ, quanto xµ0, em um determinado ponto A, que sejam aceitáveis, devemos ser capazes de resolver as equa¸cões (3) para cada dxλ. Isto somente será pos´ıvel se e somente se tivermos

det ∂x

α0

∂xλ 6= 0 . (7)

Quando esta condi¸cão é satisfeita no ponto A, dizemos que a transforma¸cão de coordenadas é regular em A.

18

Devemos aqui notar algo que apesar de não havermos estudado alguns requisitos para uma melhor compreensão do fato a seguir, deixaremos a indica¸cão para este problema: o 4-vetor momentum pµ, que escrevemos com ´ındice

embaixo e não em cima, porque o momentum é um vetor covariante e não contravariante. Há razões concretas para a utiliza¸cão de objeto covariante (que “vivem” no espa¸co-cotangente, e não no espa¸co tangente) para definir o momentum, veja, por exmplo o que fala o R. Geroch em “Geometrical Quantum Mechanics”: “In short, the tangent bundle seems ideal. Why, then, does one choose the cotangent bundle, the phase space, for the description of our system? The answer is not very satisfactory: because one has, on the cotangent bundle, the symplectic field. This field?this additional structure?seems to be necessary to write the equations which describe mechanics. We shall see that the symplectic field appears in almost every equation. There is nothing on the tangent bundle analogous to the symplectic field. The price one pays for the use of this field is a more tenuous connection between the mathematics and the actual physics. Suppose, for example, that we have an actual physical system, and that we have assigned to it some configuration space C. The system is set into action, and we are permitted to watch the system. We thus obtain a curve in configuration space. What is the momentum of this system at some instant of time? There is no definite way to tell (and, in fact, as we shall see later, there is some ambiguity in this assignment). In a sentence, the momentum of a system is a pure kinematical quantity. On the other hand, the cotangent bundle (phase space) has the same dimension as the tangent bundle. We replace a concrete thing, velocity, by a more abstract thing, momentum, in order to acquire the symplectic field for use in equations. What is unsatisfying is that it is not clear why Nature prefers additional structure over a direct physical interpretation.

(33)

• Vetor Covariante Veremos agora um outro tipo de transforma¸cão diferente da que vimos acima. Para isto consideremos a transforma¸cão de uma fun¸cão escalar, que para simplificar suporemos que é fun¸cão de apenas três coordenadas espaciais xi _{→ {r, θ, φ}, em uma fun¸c˜}_ao

escalar das coordenadas x0i → {x, y, z}. Para isto, seja a fun¸cão escalar f (xi) ou f = f (r, θ, φ), que poderá ser transformada em uma nova fun¸cão escalar f0(xi0), f0 = f0(x, y, z), mas como é uma fun¸cão escalar, f (xi) = f0(xi0). Não avaliaremos nem a fun¸cão f (r, θ, φ), nem a fun¸cão f0(x, y, z), mas sim seus gradientes. Veremos como o gradiente ∂f /∂xi≡ {∂f /∂r, ∂f /∂θ, ∂f /∂φ} se transforma em ∂f /∂xi0 ≡ {∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂f /∂z}. Da diferencia¸cão parcial temos

∂f ∂x = ∂f ∂r ∂r ∂x + ∂f ∂θ ∂θ ∂x+ ∂f ∂φ ∂φ ∂x ∂f ∂y = ∂f ∂r ∂r ∂y + ∂f ∂θ ∂θ ∂y + ∂f ∂φ ∂φ ∂y (8) ∂f ∂z = ∂f ∂r ∂r ∂z + ∂f ∂θ ∂θ ∂z + ∂f ∂φ ∂φ ∂z . ´

E interessante agora comparar estas fórmulas com (4), notando-se onde está a diferen¸ca entre as duas. Podemos generalizar para um número n de coordenadas e escrever

∂f ∂xα = ∂f ∂xβ0 ∂xβ0 ∂xα = ∂xβ0 ∂xα ∂f ∂xβ0. (9)

Como a fun¸cão f (xα) é arbitrária, podemos suprim´ı-la e escrever ∂ ∂xα = ∂xβ0 ∂xα ∂ ∂xβ0 , (10)

onde se trocarmos xa0 ⇔ xa_{, escreveremos}

∂ ∂xα0 = ∂xβ ∂xα0 ∂ ∂xβ . (11)

de forma mais sint´etica podemos chamar ∂

∂xα0 ≡ ∂_xα0 = ∂α0 , e (12)

∂

∂xα ≡ ∂xα = ∂α . (13)

Baseados nestas quantidades que se transformam como o gradiente de uma fun¸c˜ao escalar, podemos definir um vetor covariante Aµ,

como uma uma quantidade com n componentes que dependem do sistema de coordenadas utilizado de tal forma que as componentes Aµ, no sistema xµ, est˜ao relacionadas com as

componentes Aµ0, no sistema xµ 0 , por19 Aµ0 = ∂x λ ∂xµ0 Aλ . (14)

19_{Note que esta f´}_{ormula sugere que o ´ındice µ do denominador equivale ao ´ındice inferior de A} µ0.

(34)

Uma importante rela¸cão referente às transforma¸cões entre sistemas de coordenadas pode ser obtida a partir do fato que tanto as coordenadas {xα0}, quanto as coordenadas {xα_{} s˜}_{ao por}

defini¸c˜ao coordenadas independentes, portanto ∂xµ ∂xν = δ µ ν , (15) ∂xα0 ∂xβ0 = δα 0 β0 , (16)

logo podemos escrever

∂xµ0 ∂xα ∂xα ∂xλ0 = ∂xµ0 ∂xλ0 = δ µ0 λ0 (17) ∂xµ ∂xα0 ∂xα0 ∂xλ = ∂xµ ∂xλ = δ µ λ . (18)

Consequentemente notamos que AµBµ no sistema {xα

0 } ser´a Aµ0Bµ0 = X µ0 Aµ0Bµ0 = = X µ0  (X α ∂xµ0 ∂xα A α_{) (}X β ∂xβ ∂xµ0 Bβ)  = = X µ0   X α β ∂xµ0 ∂xα ∂xβ ∂xµ0 AαBβ  = = X α β   X µ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xµ0 ∂xα A α_B β  = X α β ∂xβ ∂xα A α_B β = = X α β h δβ_αAαBβ i =X β AβBβ ≡ AβBβ , logo Aµ0Bµ0 = AβB_β . (19)

o que significa que somas do tipo (19) s˜ao escalares, tendo o mesmo valor em qualquer sistema de coordenadas, por isto Aα_B

α ´e chamado de produto escalar dos vetores Aα e Bα.

3.2 Ser´a que xµ _´_{e Tensor ?}

Ao fazermos uma transforma¸c˜ao de coordenadas xµ_{⇔ x}µ0_{, foram definidas fun¸c˜}_{oes invers´ıveis}

que levam xµ⇒ xµ0 _{e vice-versa. As regras da transforma¸}_c˜_{ao que permitem estas mudan¸cas de}

coordenadas s˜ao as fun¸c˜oes

xµ0(xα) e xβ(xµ0) . (20)

Esta regra de transforma¸cão é geral e qualquer conjunto de fun¸cões invers´ıveis do descritas por (20) contitui um conjunto de coordenadas poss´ıvel. Mas está bem evidente que esta regra é bem

(35)

diferente da regra que transforma vetores contravariantes, ou seja (6), isto ´e,

Bµ0 = ∂x

µ0

∂xλ B λ _;

esta regra depende das derivadas das coordenadas xµ0 ou xα, sendo assim, são regras diferentes, então, perante transforma¸cões gerais de coordenadas, xµnão se transforma contravariantemente. Isto já sab´ıamos, pois os objetos decorrentes das fun¸cões xµque se transformam de maneira con-travariante são os “deslocamentos” dxµ.

Sabemos que as transforma¸c˜oes de Lorentz de coordenadas {xα} para {xα0

} são xα0 = Λα_µ0xµ, onde a matrix Λα_µ0 não depende das variáveis xα0 ou xµ, logo na deriva¸cão das coordenadas obteremos ∂xα0 ∂xµ = ∂(Λα_ρ0xρ) ∂xµ = Λ α0 ρ ∂xρ ∂xµ = Λ α0 ρ δµρ= Λα 0 µ . (21)

Que é um resultado que generaliza deriva¸cão de fun¸cões do tipo x0 = ax, onde a =const, onde ∂x0/∂x = a. Assim, temos um caso particular de uma transforma¸cão linear de coordenadas do tipo

xµ0 = Cµ_β0xβ , (22)

onde os Cµ_β0(s) são os coeficientes lineares destas transforma¸cões, como a matriz de coeficien-tes constancoeficien-tes das Transforma¸cões de Lorentz, Λα_µ0. Na lei de transforma¸cão (22), temos o resultado análogo ao da matriz da Transforma¸cão de Lorentz, isto é

Cµ_β0 = Λµ_β0 = ∂x

µ0

∂xβ ,

e (22) pode ser escrita como

xµ0 = ∂x µ0 ∂xβ x β _{= C}µ0 βx β _{= Λ}µ0 βx β _.

Chegamos finalmente à conclusão que xλ é um vetor contravariante com respeito somente a qualquer tipo de transforma¸cão linear de coordenadas, e particularmente com respeito `

as Transforma¸c˜oes de Lorentz (ver em [23] p.224). Sendo assim os objetos geom´etricos xµ _n˜_ao

podem ser utilizados como objetos contravariantes para serem utilizados em transforma¸c˜oes gerais de coordenadas, como as transforma¸c˜oes da Teoria da Relatividade Geral.

3.3 Tensores

A partir do que vimos até agora a defini¸cão de tensores de ordem superiores pode ser feita com facilidade. Um tensor contravariante de ordem 2 é uma quantidade Tµν com n2 componentes, onde os ´ındices µ, ν podem assumir independentemente os valores 1, 2, ..., n. estes ´ındices se

(36)

transformam de tal forma que dados por exemplo dois vetores arbitr´arios Aα e Bα, a soma

TµνAµBν ´e um escalar, ou seja

TµνAµBν = Tµ

0_ν0

Aµ0B_ν0

para qualquer transforma¸c˜ao xα ⇒ xα0

. Podemos ent˜ao definir semelhantemente um tensor covariante de ordem dois, Tµν, pela condi¸c˜ao que TµνAµBν seja um escalar, ou

TµνAµBν = Tµ0_ν0Aµ 0

Bν0

para qualquer transforma¸c˜ao xα ⇒ xα0 _{e vetores arbitr´}_{arios A}µ0 _{e B}ν0_{. Pode-se ainda definir}

um tensor misto de ordem dois Tµν pela exigˆencia

Tµ_νAµBν = Tµ

0

ν0A_µ0Bν 0

novamente para qualquer transforma¸c˜ao xα⇒ xα0

e vetores arbitr´arios Aµ0 e Bν 0

.

As regras de transforma¸cão para os tensores de ordem dois podem ser obtidas combinando-se as regras de transforma¸cão que vimos para os vetores contravariantes e covariantes, isto é, (6) e (14), e obteremos Tµ0ν0 = ∂x µ0 ∂xα ∂xν0 ∂xβ T αβ _, ₍₂₃₎ Tµ0_ν0 = ∂x α ∂xµ0 ∂xβ ∂xν0 Tαβ , (24) Tµ0ν0 = ∂x µ0 ∂xα ∂xβ ∂xν0 Tα_β . (25)

Definiremos um tensor misto

Mαβ ≡ δβα .

Sua lei de transforma¸c˜ao, por (25), ser´a

Mµ0ν0 = ∂x µ0 ∂xα ∂xβ ∂xν0 M α β = ∂xµ0 ∂xα ∂xβ ∂xν0 δ α β = (26) = ∂x µ0 ∂xα ∂xα ∂xν0 = ∂xµ0 ∂xν0 = δ µ0 ν0 (27)

o que significa que a delta de Kronecker δ_βα ´e um tensor misto que tem componentes que independem do sistema de coordenadas utilizado.

Da forma mais geral, dizemos que um tensor Tλ1λ2....

µ1µ2... ´e de ordem (p, q), onde p ≥ 0 ´e

o número de ´ındices superiores, e q ≥ 0 é o número de ´ındices inferiores. Vemos assim que um vetor contravariante é um tensor de ordem (1, 0) e um vetor covariante é um tensor de ordem (0, 1).

Exerc´ıcio 2.1 Prove que Tλλ ´e um escalar. Este escalar se chama tra¸co do tensor Tαβ.

(37)

Exerc´ıcio 2.2 Tensores de mesma ordem (p, q) podem ser adicionados, e sua soma ser´a um tensor da mesma ordem. Prove para o caso abaixo,

Aλ0 + Bλ0 = ∂x

λ0

∂xα (A

α_{+ B}α_{) .}

Baseados neste exerc´ıcio vemos que Aα+ Bα é um vetor contravariante. Devemos lembrar que estas opera¸cões somente podem ser feitas no caso de que as componentes do tensor são dadas no mesmo ponto do espa¸co, ou do espa¸co-tempo.

Exerc´ıcio 2.3 Utilizando-se a lei de transforma¸c˜ao (6) prove que um produto do tipo Aλ_Bγ

se transforma como Aλ0Bγ0 = ∂x λ0 ∂xα ∂xγ0 ∂xβA α_Bβ _.

Chamamos de contra¸cão à opera¸cão através da qual transformamos um tensor de ordem (p, q) em outro tensor de ordem inferior. Por exemplo, podemos transformar um tensor Tλµν,

cuja ordem é (2, 1) em um tensor de ordem (1, 0), isto é, decrescendo sua ordem de 1 unidade, pois (p = 2 − 1 = 1, q = 1 − 1 = 0). Em geral, um tensor (p, q) passa a ser, após a contra¸cão, (p − 1, q − 1). Esta opera¸cão pode ser feita no caso de Tλµν, colocando-se µ = ν, e teremos

Tλµµ, que pela conven¸cão de soma é PµTλµµ= Tλµµ, isto é, uma soma sobre o ´ındice µ.

Exerc´ıcio 2.4 Utilizando-se as leis de transforma¸c˜ao que vimos acima, ou seja

Tλ0µ0ν0 = ∂x λ0 ∂xα ∂xµ0 ∂xβ ∂xγ ∂xν0Tαβγ . Mostre que Tλ0µ0µ0 = ∂x λ0 ∂xα T αβ β .

Agora, veja a lei de transformaçcão de Tαββ, e diga que tipo de objeto é este, ou seja, ele se

transforma segundo que lei ?

Exerc´ıcio 2.5 Para o caso em que n = 4, um certo tensor Fµν, em um determinado sistema

de coordenadas {xα_{}, tem a propriedade de simetria F}

µν = −Fµν. Pergunta-se qual ´e o n´umero

máximo de componentes independentes não nulas que este tensor pode ter ? Exerc´ıcio 2.6 Utilizando-se da fórmula (23), mostre que se um tensor

Tµν =        T11 T12 ... T1n T21 T22 ... T2n ... ... ... ... Tn1 Tn2 ... Tnn        , (28)

´e sim´etrico nos seus ´ındices µν, ou seja Tµν _{= T}νµ _{no sistema de coordenadas {x}α_{}, ent˜}_{ao, ele}

(38)

3.4 Simetrias

Se um tensor é tal que Tµν = Tνµ ele é dito ser simétrico, caso Tµν = −Tνµ é dito ser anti-simétrico.

´

E importante notar que podemos ter tensores totalmente contravariantes ou totalmente covariantes, simétricos, anti-simétricos ou sem qualquer propriedade de simetria, porém, um tensor misto, por exemplo, Tµν pode ser simétrico em um sistema de coordenadas e não ser

em outro. Verifique que nestes casos, não se obtém uma lei de transforma¸cão que preserve a propriedade de simetria.

Um tensor contravariante ou covariante de ordem 2, genérico, pode ser escrito como a soma de um tensor simétrico e de um tensor anti-simétrico. Por exemplo, para um tensor de ordem 2 contravariante, temos

Tµν = Sµν + Aµν , onde (29)

Sµν = Sνµ =⇒ parte sim´etrica ,

Aµν = −Aµν =⇒ parte antisim´etrica .

Observe que podemos escrever

Tνµ= Sνµ+ Aνµ⇒ Tνµ= Sµν− Aµν , (30)

que somando membro a membro (29) com (30) obteremos Sµν =

1

2(Tµν+ Tνµ) ; subtraindo-se membro a membro (29) e (30)

Aµν=

1

2(Tµν− Tνµ) .

Sendo assim, sempre poderemos escrever um tensor covariante do tipo Tµν, atrav´es de duas

partes, uma simétrica (Sµν), e outra anti-simétrica (Aµν). Usa-se chamar a parte simétrica de

T_(µν) e a parte anti-sim´etrica de T_[µν]. Utiliza-se a nota¸c˜ao:

T(µν)=

1

2(Tµν+ Tνµ) = Sµν , T[µν]= 1

2(Tµν− Tνµ) = Aµν . (31) Um tensor sim´etrico, do tipo T(µν), tem um total de n2 componentes, destas, somente sua

diagonal principal tem n elementos. Logo, retirando-se os elementos da diagonal teremos n2− n elementos, entretanto, destes elementos (fora da diagonal) apenas a metade deles é independente, já que a outra metade pode ser obtida a partir dos restantes. Assim, este tensor terá estas componentes independentes (n2− n)/2, mais as componentes da diagonal principal, que são n. Seu número total de componentes é portanto

n +n

2_{− n}

2 =

n(n + 1)