As heurísticas de resolução de problemas

Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de problemas, faz-se necessário termos uma definição clara do significado do termo heurística.

Em Houaiss (2001, p. 1524) o termo heurístico é traduzido em vários contextos:

• Contexto científico: “a ciências que tem por objetivo a descoberta dos fatos”, e

• Contexto de problematização: “a arte de inventar, de fazer descobertas” ou “método de investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema”;

• Contexto pedagógico: “método educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o que se lhe quer ensinar”.

Percebemos, portanto, que ao tratarmos de heurísticas de resolução de problemas, estamos falando sobre “métodos, regras, estratégias, procedimentos e atitudes que podem conduzir a descobertas, inovações, investigações e resolução de problemas” (FERREIRA, 1986; STERNBERG, 2000). Podemos também observar que heurística refere-se tanto ao contexto científico quanto ao contexto educacional. Para nós, ambos os contextos são pertinentes, pois, ao mesmo tempo em que queremos apresentar a importância da metodologia de ensino através da resolução de problemas na evolução da Educação Matemática – descobertas de novos resultados, criação de novos problemas, etc, também queremos analisar a importância dos processos de compreensão dos problemas no processo ensino-aprendizagem da matemática na sala de aula da modalidade de Educação de Jovens e Adultos.

Abaixo, apresentamos alguns princípios heurísticos, alguns deles têm sido testados em diversas escolas (KRULIK e REYS, 1997; DANTE, 2002; ONUCHIC, 1999, 2004; POZO, 1998; ECHEVERRÍA, 1998; SCHOENFELD,1985; LEONARD, ET AL 2002). Não pretendemos que as heurísticas aqui apresentadas sejam as melhores ou que sejam as únicas, mas, simplesmente são as que, a nosso juízo, apresentam situações realizáveis no processo educativo na sala de aula.

A primeira delas apresenta-se, principalmente, pelo seu caráter histórico e deve-se a Polya, um dos primeiros matemáticos do século XX que se interessou pelo ensino de resolução de problemas. As outras heurísticas correspondem a professores-

pesquisadores mais recentes que, de alguma maneira, partem dos princípios que foram estabelecidos por Polya.

As idéias de Polya (1995) baseiam-se em estabelecer o processo de resolução de problemas em quatro etapas: “A compreensão do problema, o estabelecimento de um plano, a execução do plano; e o retrospecto ou verificação dos resultados obtidos”.

Nas diversas áreas do conhecimento ou atividade humana, não podemos avançar muito se não compreendermos aquilo que estamos com o propósito de realizar. É neste sentido que Polya estabelece a “compreensão do problema”. Como o ponto de partida para a resolução de um determinado problema. Junto com o requisito de compreender o problema está a de ter vontade de resolver o problema. Para resolver as duas situações é preciso que o professor (a) apresente uma situação adequada do problema que seja apropriada ao grupo de educandos no ambiente escolar. Outros aspectos correlatos que tem muita importância no processo de compreensão são a vontades de resolver o problema e as experiências que o estudante tem em situações anteriores.

Quanto ao processo de compreensão do problema, o professor (a) deve dar sentido, clareza ao problema, destacando seus pontos chaves, e logo solicitar aos educandos que o sistematize bem como forma de chegar ao objetivo proposto. Polya propõe que se façam questionamentos como “Qual é a incógnita?”, “Quais são os dados?”, “Quais são as condições?”, “É possível satisfazer as condições?”, sejam utilizados para que possa nortear o pensamento do aluno rumo à compreensão.

Outro aspecto importante que Polya propõe é que se busque construir figuras para esquematizar a situação proposta no problema que pode ser útil, sobretudo, introduzindo notação adequada. O importante é que o educando familiarize-se com o problema e trabalhe para uma melhor compreensão dele. A compreensão do problema é,

sem dúvida, uma etapa vital em todo o processo de resolução de problemas, pois, é inútil, quase que sempre, tentar responder a uma pergunta que ainda não se criou as condições mínimas para a sua compreensão.

Após encontrar as conexões entre os dados e a incógnita, Polya (1995) orienta que se deve então partir para a “elaboração de um plano”. O essencial no processo de resolução de problemas é conceber a idéia de um plano, um esboço do algoritmo a utilizar, ir enriquecendo esta idéia até tornar-se uma idéia consistente. Nesta etapa, o melhor que o professor pode fazer é conduzir os educandos a esta idéia consistente, mas sem imposição.

Para facilitar o trabalho, é necessário recorrer a outras vias de ação que poderão contribuir para o estabelecimento de um plano. Por exemplo, a recorrência a problemas auxiliares, de estruturas semelhantes ou particulares, a organização dos dados em tabelas e gráficos que ajudem a fazer um inventário dos teoremas e propriedades matemáticas que tem a ver com o problema. Nesse momento, o professor deve ficar atento para sugerir aos educandos a procura e a identificação de um problema que tenha as mesmas características. Após a identificação do problema, com as mesmas características, deve-se chamar a atenção dos alunos e fazer as seguintes perguntas: tomaram em conta todos os dados? Fizeram uso da totalidade da condição do problema? É nesse momento que deve dar ênfase a estas perguntas para que os educandos possam retornar ao problema original.

A terceira etapa constitui-se da efetiva resolução, ou seja, a “execução das estratégias”. Freqüentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos educandos tende a não realizar essa etapa e acabam não alcançando seus propósitos. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se perdendo no processo de execução. Assim, é importante que antes de recorrer ao

algoritmo já construído, o aluno esteja completamente convencido de cada uma das atividades de seu algoritmo. Ao percorrê-las, verifique continuamente se os processos empregados estão corretos. Cabe ao professor (a), nesse momento, insistir para que os educandos certifiquem cada passo, que possam ver com clareza que os procedimentos utilizados são corretos e, quando possível, demonstrar os procedimentos.

Polya (1995) recomenda que deva procurar executar as diversas formas possíveis de resolver um determinado problema, uma vez que, é a resolução em si a essência que deve ser alcançada nesse processo, e não apenas a resposta final.

Na última etapa, o educando deve examinar a solução obtida verificando os resultados e os argumentos utilizados. Duas perguntas são chaves nesta etapa: “Os resultados obtidos satisfazem a condição? Ao substituir os resultados no enunciado do problema, este conserva o sentido? Ou seja, é logicamente possível?”.

Assim, tendo em vista todas as etapas anteriores, Polya estabelece que a resolução obtida deva ser confrontada com os dados do problema e as estratégias empregadas para resolvê-lo, extraindo-se desse processo, um feedback muito importante para a assimilação dos conhecimentos em estudo. Finalmente, devem-se avaliar os resultados obtidos, tendo em vista a aplicação das estratégias e operações realizadas na resolução e, certamente, em outros problemas futuros.

Atualmente, na educação básica existe a tentativa e o esforço na aplicação das três primeiras etapas de Polya, mas pouco ou quase nada no que diz respeito à etapa de “retrospecto” ou a “verificação dos resultados”. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar, face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

De acordo com Schoenfeld (1985), a compreensão e o ensino da matemática devem ser abordados como um domínio de resolução de problemas. Segundo

Schoenfeld (1985 apud ALDANA, 1990, p. 76), para se ter êxito no processo de resolução de problemas, o educando deve ter um bom fundamento dos conhecimentos matemáticos, conhecimentos estes que o autor chama de “fontes”, que são próprias de cada aluno. Cabe aqui ressaltar que estas fontes, no contexto do educando da EJA, são os conhecimentos prévios dos alunos, o contexto real e as experiências de aprendizagem que possuem e a forma que as utilizam.

O autor concorda que todo estudante tenha uma adequada fonte, e o que este precisa é de desenvolver experiência suficiente para empregá-las no processo de resolução de problemas, ou seja, o educando precisa de regras heurísticas, ou seja, métodos simples e práticos que ajudam na resolução de problemas e que dão sugestões gerais ao aluno no processo de compreensão do problema e na obtenção de caminhos que conduzem a uma solução e que podem ser empregadas de forma geral aos problemas propostos, e assim, utilizarem as fontes que o “resolvedor” tem (SCHOENFELD, 1997). Faz-se necessário também, um processo de controle, controle este de procedimentos e de respostas às situações-problema. Para o obtenção desse controle é necessário que o educando faça os registros de todo o processo de construção das estratégias a serem empregadas na busca de uma determinada solução. Os registros, neste caso, vão propiciar uma melhor e maior visão do processo de resolução e contribuirá fundamentalmente para a verificação e validação de uma resposta à situação-problema em contexto real.

Na última etapa, o educando deve procurar desenvolver um “sistema de confiança”, tendo em vista a aplicação dos processos heurísticos e de controle utilizados na resolução de problemas como mecanismos confiáveis à obtenção de resultados (SCHOENFELD, 1985).

As “fontes” são fundamentos, conhecimentos matemáticos, informais e de outras áreas que o aluno apropria-se que podem contribuir para a resolução de um determinado problema. Estas fontes caracterizam-se por indução, intuição, algoritmos, conhecimentos informais, rotinas não algorítmicas e estratégias peculiares de trabalho relativas ao domínio do problema que possa conduzir eficientemente esses recursos para solução do problema (SCHOENFELD, 1997).

Os “controles” são decisões de âmbito geral que devem ser tomadas sobre quando e quais recursos usar no processo de seleção das fontes e das estratégias heurísticas.

Segundo Schoenfeld (1985), um sistema de confiança é, particularmente, uma visão matemática do mundo que determina como uma pessoa aborda um problema que possa conduzi-los a efetuar tarefas mentais que não necessite pensar nelas a cada momento de sua execução (ALDANA, 1990). Em nossa visão, o sistema de confiança é desenvolvido a partir de dois elementos fundamentais no processo de aprendizagem: O ser que aprende, neste caso, o aluno; e o objeto que é aprendido. Entendemos que um dos elementos fundamentais necessários para que ocorra a aprendizagem é o querer aprender do educando. Ao querer aprender o aluno se aproxima do objeto de forma consciente e intencional, e este objeto se revela como uma nova ‘informação’, que por sua vez está sujeita a um processo cognitivo do ser que aprende, resultando assim em uma modificação das capacidades do educando.

Para Schoenfeld (1997, p. 29), “as estratégias de resolução de problemas são complexas e sutis como podemos observar nas etapas anteriores (fontes, estratégias heurísticas, controle e sistema de confiança)”. O autor salienta que uma “boa disciplina” no processo de resolução de problemas o “educando terá êxito” se, após as atividades realizadas em classe, em curto prazo, obter os benefícios do progresso de resolução que

não estão necessariamente relacionados com os problemas estudados na disciplina, mas na diversificação dos problemas em relação àqueles estudados, a desmistificação da matemática, uma sala de aula mais dinâmica e animada (SCHOENFELD, 1997).

Segundo Kantowski (1997), a busca da competência em resolução de problemas é demorada, a aprendizagem é processual e exige um período de tempo maior a ser adquirida. A autora concorda com Polya que o processo de resolução de problemas é uma característica do ser humano, e não só de alguns humanos. Nessa perspectiva, a autora apresenta três suposições para o sistema de ensino de resolução de problemas, segue abaixo:

1. Resolver problemas é de alguma maneira uma tarefa de todos; todos os alunos de matemática, independentemente de sua capacidade, merecem participar dos prazeres da resolução de problemas.

2. A maioria dos alunos simplesmente não chega a se capacitar para a resolução de problemas. Para consegui-lo seria preciso uma combinação de ensino cuidadosamente planejado com experiência na resolução de uma gama ampla de problemas.

3. Finalmente, a resolução de problemas não pode ser aprendida em um curso relâmpago. Para a maioria dos alunos, a habilidade para resolver problemas se desenvolve lentamente, em um período de tempo longo.

Para o êxito no processo de resolução de problemas em matemática, a autora apresenta dois componentes essenciais:

a. ter conhecimento dos modelos matemáticos relacionados; b. saber o que fazer com o que é conhecido.

A autora corrobora com Polya na medida em que o desenvolvimento das habilidades básicas em resolver problemas passa necessariamente, por uma ampla variedade de problemas, além das habilidades matemáticas e em cálculos.

Observar o desenvolvimento das habilidades dos educandos é um elemento importante a ser considerado no planejamento de ensino por meio de resolução de problemas. Tão importante quanto esses outros aspectos anteriormente citados, são outros dois componentes essenciais. O papel do professor (a) e a organização do ensino. De acordo com Kantowski (1997), esses dois componentes estão integrados na prática pedagógica. O professor (a) deve ter atitudes motivadoras e facilitadoras frente a cada tipo de problema e a cada grupo de alunos à medida que suas habilidades para resolver problemas vão alcançando níveis mais complexos de resolução de problemas não rotineiros.

Para facilitar a caracterização do papel do professor Kantowski (1997, p. 275) divide os alunos em quatro níveis de habilidade:

• No primeiro nível, o educando tem pouca ou nenhuma compreensão de como resolver um problema.

• No segundo nível, os educandos entendem o significado de resolver problemas, criação de uma estratégia e da estruturação matemática do problema. Neste nível eles estão em condições de acompanhar a solução de outras pessoas e conseguem seguir determinadas estratégias para problemas semelhantes àqueles vistos anteriormente.

• No terceiro nível, os educandos propõem estratégias diferentes às que têm sido utilizadas antes. Entendem e gostam dos diferentes tipos de problemas. Sabe das diversas formas de soluções e que “nenhuma

resposta” passa ser uma resposta perfeitamente boa. O professor (a), nesse nível, torna-se um fornecedor de problemas.

• No quarto nível, os educandos obtêm sucesso na maioria das vezes em que calcula a solução de um determinado problema. Estão motivados, demonstram interesse em encontrar alternativas para o mesmo problema. Sugere uma ampla gama de problemas e estão assiduamente buscando problemas novos para desafiar a si mesmos e a outros. O professor, nesse nível, exerce o papel de facilitador.

Para Mayer (1983 apud ECHEVERRÍA, 1998, p. 51), “os quatro passos definidos por Polya podem ser resumidos em dois grandes processos (‘tradução e solução do problema’) que são exercidos concomitantemente quando buscamos solucionar um problema”.

De acordo com Mayer (1983), os problemas matemáticos têm sido vistos, essencialmente, como exercício, e a introdução de um conjunto de regras previamente estabelecidas de maneira cuidadosamente organizada para chegarmos a uma solução.

Segundo Echeverría (1998), não basta aprender esse conjunto de regras para elaborar e solucionar um determinado problema com êxito. Conforme diz Mayer (1983 apud ECHEVERRÍA, 1998, p. 51),

o processo de resolução de problema exige, primeiro, que o educando compreenda o problema e o traduza para expressões e símbolos matemáticos. Além dessa etapa, deve-se programar um conjunto de estratégias que estabeleçam as diferentes subetapas que possibilitem o alcance da solução final, e as técnicas que permitam atingir cada uma dessas subetapas. Por último, o educando deve analisar e interpretar os possíveis resultados alcançados e traduzi-los como uma resposta pertinente.

Nessas duas grandes etapas, observam uma correspondência com as três diretrizes procedimentais estabelecidas na Proposta Curricular da Educação de Jovens e

Adultos – segundo segmento – 5ª a 8ª série do Ensino Fundamental, 2002 do currículo de matemática. A utilização de diferentes linguagens, a utilização de algoritmos e a utilização de habilidades, (p. 26).

Para Mayer (1983 apud ECHEVERRÍA, 1998), A “tradução” de um determinado problema incide no emprego de uma linguagem matemática que possibilite interpretar o contexto atual, enquanto a segunda etapa faz referência à utilização estratégica de fatos, técnicas, outros conhecimentos e habilidades dentro de um contexto matemático. No entanto, existem diferentes caminhos no processo de resolução de problemas que podem ser colocados em ação, mas, sua eficiência e eficácia dependerão dos conhecimentos formais e informais apropriados pelo educando, e da forma como poderão ser acionados.

Percebemos que o conhecimento de heurísticas de resolução de problemas é uma importante habilidade que exige a presença de certos conhecimentos matemáticos tão necessários quanto esta que precisa de outros conhecimentos de áreas diversas que facilitem a estruturação da tarefa. Segundo Echeverría (1998), a presença desses conhecimentos e a forma como são expostos no enunciado do problema têm implicações em todas as etapas que mencionamos antes, podem facilitar ou dificultar a sua resolução.

Dessa forma, na “tradução do problema” faz-se necessário a presença de conhecimentos lingüísticos, semânticos e esquemáticos que possam facilitar a compreensão da tarefa, ver com clareza que se o procedimento empregado é o correto e que ajudem na elaboração de um plano global para resolvê-lo.

Segundo Sternberg (2000, p. 306), o objetivo do processo de resolução de problemas é “superar os obstáculos que obstruam o caminho para uma solução”. O educando deve buscar a capacidade de resolver problemas usando:

• conhecimentos how to; habilidades;

• conhecimento factual; conhecimento formal; • insights criativos.

Para tanto, faz-se necessário percorrer as etapas ou ciclos da resolução de problemas:

1. Identificação do problema – aqui, o educando deve procurar identificar situações problemáticas que possam interferir na compreensão do problema;

2. Definição e representação do problema – após a identificação da existência de um problema, o educando deve defini-lo e representá-lo, fazer um esboço do algoritmo a utilizar para melhor entendimento do processo de resolução.

3. Formulação da estratégia – é planejar uma estratégia para resolver o problema. A estratégia pode envolver a “análise” – decomposição da totalidade de um problema completo em elementos mensuráveis. Pode também, envolver o “processo complementar da síntese” – reunião dos vários elementos para organizá-los em algo útil.

Conforme dizem FUNK e HEARTY (1981 apud STERNBERG, 2000, p. 306), “a etapa de definição do problema é crucial, porque, se você define e representa de modo impreciso o problema, você é muito menos capaz de resolvê-lo”.

Sternberg (2000) propõe outro par de estratégias complementares que contribuem para o sucesso da resolução de um problema. O Pensamento Divergente – é a tentativa de gerar um agrupamento diferente das possíveis

soluções alternativas para um problema. O Pensamento Convergente – reduzir as múltiplas possibilidades até conseguir numa única e melhor resposta, ou aquela que o educando acredita ser a solução mais provável que experimentará primeiro.

No cotidiano de sala de aula, o educando poderá lançar mão tanto da “análise” quanto da “síntese”; do pensamento divergente, tanto quanto do pensamento convergente. Não existe uma solução única e ideal para tratar de um problema.

A estratégia ótima depende tanto do problema, como das preferências pessoais dos solucionadores de problemas em relação aos métodos de resolução de problemas.

4. Organização da informação – formulada a estratégia o educando está pronto para organizar a informação disponível de modo que o capacite a executar a estratégia. È importante que durante todo o ciclo de resolução de problema, o educando organize e reorganize as informações. O aluno deve organizar estrategicamente as informações com o propósito de melhor executar a sua estratégia.

5. Alocação de recursos – os recursos são geralmente escassos, limitados. Precisamos saber quando alocar quais recursos. O expert em solucionar problemas tende a dedicar mais tempo dos seus recursos mentais ao planejamento global (visão geral). Os iniciantes tendem há alocar mais tempo ao planejamento local (dirigido aos detalhes). O educando quando dedica mais tempo ao planejamento geral, ganha mais tempo e energia, evita a frustração ulterior.

6. Monitorização – um prudente dispêndio de tempo inclui a monitorização do processo de resolução de problemas. Os eficientes solucionadores de problemas conferem tudo no decorrer do caminho para se assegurarem de que estão se aproximando do seu objetivo. Se não o estiverem, eles reavaliam o que estão fazendo, concluindo, talvez, que fizeram um falso início.

7. Avaliação – o educando precisa avaliar o processo de resolução após finalizá-lo. Uma parte da avaliação pode ocorrer imediatamente, o restante pode ocorrer posteriormente.

É por meio do processo de avaliação que ocorrem importantes progressos: • Podem ser redefinidos;

• Novas estratégias podem vir à luz;

• Novos recursos podem tornar-se disponíveis;

• Os existentes podem ser usados de maneira mais eficiente.

O ciclo está completo quando conduz a novos insights e recomeça de outra forma. Sternberg (2000, p. 309) salienta que “a flexibilidade é essencial no desenvolvimento das várias etapas do ciclo de resolução de problemas. A solução de problemas bem-sucedida implica, ocasionalmente, tolerar alguma ambigüidade quanto a como prosseguir melhor”.

Segundo Pozo e Angón (1998), os alunos enfrentam problemas de diferentes