3. RNA’s com Entradas sem Pré-Processamento
4.1 As Representações de Fourier
A transformada de Fourier em sua forma discreta, comumente aplicada através do algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform (FFT)) mostra algumas limitações ao trabalhar com sinais bioelétricos, que são, em essência, estocásticos não-estacionários. Contudo, ela é uma poderosa ferramenta para definir as componentes de freqüência dos sinais. As explicações teóricas em torno das representações de Fourier são temas de relatos em diversas publicações, sendo largamente estudada por vários autores, tais como: Akay [69], Cohen [70], Haykin [71], Kraniauskas [72], Oppenheim [73], Poularikas [74], Tompkins [75], Ingle [76], Krauss [77], Siqueira [78], Gomes [79].
Estas publicações detalham minuciosamente todos seus processamentos matemáticos. Anexo C deste trabalho mostra resumidamente suas principais formulações.
4.1.1 Representação da Transformada de Fourier na forma discreta
Para operações com funções relativamente simples, a transformada de Fourier representou uma formidável operação por muitos anos. Antes do desenvolvimento dos computadores digitais, muitos métodos analíticos e experimentais foram investigados para se determinar o espectro aproximado das funções originadas em sistemas físicos. Com a computação digital, a Transformada Contínua de Fourier sofrem modificações, de modo a definir um par de transformadas adequadas aos sistemas discretos. A Série de Fourier de Tempo Discreto é a forma de Fourier utilizada em computadores digitais, e tanto a sua representação no domínio do tempo, x[n], como a sua representação no domínio da freqüência, X[k], são caracterizadas por um conjunto finito de N números. A Transformada de Fourier Discreta no Tempo é obtida a partir da Série de Fourier de Tempo Discreto, descrevendo um sinal não-periódico como limite de um sinal periódico, cujo período, N,
aproxima-se do infinito. Este processo foi bem detalhado por alguns autores como Haykin [71] e Oppenheim [73], estando, também, descrito no Anexo C deste trabalho.
A representação da Transformada de Fourier para sinais discretos no tempo satisfaz as propriedades desta transformada, tornando-a uma ferramenta poderosa para analisar os problemas que envolvem as combinações de tempo discreto e contínuo. As propriedades como a simetria, linearidade, deslocamento em freqüência e do deslocamento no tempo. Esta representação é bem detalhada no teorema da amostragem, que possibilitam à Transformada de Fourier ser usada como uma ferramenta de análise, para as quatro classes de sinais mostradas na Figura 4.1. Este teorema é alvo de estudos em muitos textos de processamento digital de sinais e está bem detalhado por Haykin [71], que relata a amostragem dos sinais contínuos no tempo e a subamostragem, que é a amostragem dos sinais discretos no tempo.
4.1.2 Representação utilizando a transformada rápida de Fourier
Um grande número de multiplicações e adições é necessário para o cálculo da forma discreta de Fourier. Cada termo consiste da multiplicação de um termo exponencial, o qual é sempre complexo, por outro termo, que pode ser real ou complexo. Cada um destes
termos é adicionado ao outro, sendo necessárias (N)2 multiplicações complexas e mais ou
menos o mesmo número de adições complexas, no cálculo do espectro para um valor particular de k. Portanto, é necessário uma forma de reduzir este volume de cálculos. Pode- se notar que existe uma quantidade considerável de redundância nas equações do cálculo da Transformada Discreta de Fourier.
O algoritmo de Cooley-Tukey, publicado em 1965 (An Algorithm for Machine Calculation of Complex Fourier Series, Mathematics of Computation) estabeleceu um caminho para executar esta transformação com um número de operações da ordem de N
log2N, o qual propiciou uma enorme economia no tempo de computação para grandes
conjuntos de amostras de sinais. Este algoritmo é conhecido como Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform (FFT)). No Anexo C deste trabalho são encontrados relatos e formulações presentes no desenvolvimento da FFT.
Contudo, o cálculo da Transformada de Fourier é feito em todo o intervalo para o qual o sinal é definido. Assim, os conjuntos diferenciados de componentes de freqüência se
confundirem em um único espectro de freqüência sem qualquer relação com o tempo em que ocorrem.
Em alguns estudos que abordam a Transformada de Fourier são relatadas críticas quanto à sua eficiência, quando é aplicada em determinados casos, e estas críticas geralmente baseiam-se em três fatores:
1- A Transformada de Fourier define as componentes de freqüência do sinal, mas não define como estas componentes estão distribuídas no tempo. Um transiente no sinal não possui a localização no tempo em que ocorreu.
2- Para sinais com diferentes eventos, porém de freqüências componentes iguais, a Transformada de Fourier representa em um único espectro as várias componentes desta freqüência.
3- A Transformada de Fourier é mais apropriada como ferramenta de processamento de sinais estacionários enquanto na maioria dos casos reais os sinais são origina lmente não-estacionários, como por exemplo os sinais bioelétricos.
4.1.3 Representação no domínio da freqüência utilizando a
densidade espectral de potência
A representação da Transformada de Fourier realmente possui limitações para o tratamento de sinais bioelétricos. Neste caso sua aplicação, para obter as componentes de freqüência destes tipos de sinais, deve ser baseada no uso de uma janela de dados aliada à densidade espectral de potência (Power Spectral Density Function (PSD)), cujas definições e relatos encontram-se no Anexo C deste trabalho. Cohen [70, 81] é um dos autores que descreve longamente este tema citando exemplos da aplicação de PSD em EEG para a análise de detalhes espectrais aplicada à classificação automática de estágios do sono, dependência anestésica, bem como a classificação de uma variedade de desordens neurológicas.
A energia ou potência do sinal são preservadas na representação de Fourier. A potência é definida como a integral ou o somatório do módulo do sinal elevado ao quadrado, ao longo de um período normalizado pela duração do período. O espectro de potência ou energia de um sinal é definido como o quadrado do espectro de magnitude. Eles indicam como a potência ou a energia do sinal são distribuídas em função da
freqüência. A forma discreta do espectro de energia, |X(jw)|2 é representada pela relação de Parseval definida na Equação (4.1) [70].
∑
−∑
= − = = = 1 0 1 0 2 2 ) ( ) ( 1 N n N k k X n x N E (4.1) onde: N é o número de amostras;x(n) é a amplitude do sinal no domínio do tempo; X(k) é a amplitude do sinal no domínio da freqüência.