Conjectura 5.1 Quando n ´e par, independente do valor de k, s´o conseguimos obter d = 2. Conjectura 5.2 Para ter-se d > 2, n precisa ser necessariamente um n´umero ´ımpar, mas essa condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente. Em alguns casos, mesmo n sendo ´ımpar, obt´em-se somente d = 2.
5.2
Associa¸c˜oes entre CSGU e c´odigos da codifica¸c˜ao
usual
Nesta se¸c˜ao, apresentaremos uma associa¸c˜ao existente entre os CSGU e os c´odigos da codifica¸c˜ao usual. Para cada parˆametro do c´odigo de subespa¸co, mostramos com qual c´odigo tradicional ele se identifica.
i) O c´odigo de subespa¸co C1 com parˆametros (n, k, d) = (2, 1, 2) pode ser identificado com
o c´odigo A = {00, 11} sobre Z2 pois A possui duas palavras-c´odigo com comprimento n = 2 e
distˆancia d = 2, a distˆancia que usamos em A ´e a distˆancia de Hamming. O rotulamento ´e feito da seguinte forma:
C = {T1, T2} = {{00, 10}, {00, 01}}
ent˜ao, podemos identificar T1 como a palavra-c´odigo 00 e identificar T2 como 11, ou seja,
T1 ≈ 00 e T2 ≈ 11.
ii) O c´odigo C2 com parˆametros (3, 1, 2), pode ser identificado com o c´odigo B definido em Z3
com matriz geradora igual a
G1 = 1 1 0
pois B possui trˆes palavras-c´odigo com comprimento n = 3 e distˆancia de Hamming d = 2. As palavras-c´odigo de C2 s˜ao:
C2 = {T1, T2, T3} = {{000, 100}, {000, 010}, {000, 001}}
Assim,
T1 ≈ 000, T2, ≈ 110 e T3 ≈ 220
iii) O c´odigo C3 com parˆametros (3, 2, 2), pode ser identificado com o c´odigo B definido em Z3
com matriz geradora igual a
G1 = 1 1 0
pois B possui trˆes palavras-c´odigo com comprimento n = 3 e distˆancia de Hamming d = 2. As palavras-c´odigo de C3 s˜ao:
C2 = {T1, T2, T3} = {{000, 100, 010, 110}, {000, 010, 001, 011}, {000, 001, 100, 101}}
T1 ≈ 000, T2, ≈ 110 e T3 ≈ 220
iv) O c´odigo C4 com parˆametros (4, 1, 2), pode ser identificado com o c´odigo D sobre Z4 com
matriz geradora
G2 = 1 1 0 0 ,
pois D possui quatro palavras-c´odigo com comprimento n = 4 e distˆancia de Hamming d = 2. O rotulamente ´e feito da mesma maneira como mostrado anteriormente.
v) O c´odigo C5 com parˆametros (4, 3, 2), pode ser identificado com o c´odigo D sobre Z4 com
matriz geradora
G2 = 1 1 0 0 ,
pois D possui quatro palavras-c´odigo com comprimento n = 4 e distˆancia de Hamming d = 2. O rotulamente ´e feito da mesma maneira como mostrado anteriormente.
vi) O c´odigo de subespa¸co C6 com parˆametros (5, 4, 2) pode ser identificado com o c´odigo
E sobre Z5, induzido pela matriz geradora
G3 = 1 1 0 0 0 ,
pois E possui cinco palavras-c´odigo com comprimento n = 5 e distˆancia d = 2. A distˆancia que usamos em E ´e a distˆancia de Hamming. O rotulamente ´e da mesma forma como feito anteriormente.
vii) O c´odigo de subespa¸co C7 com parˆametros (6, 5, 2) pode ser identificado com o c´odigo
F , sobre Z6, onde a matriz geradora de F ´e dada por
G4 = 1 1 0 0 0 0 ,
pois F possui seis palavras-c´odigo com comprimento n = 5 e distˆancia de Hamming d = 2. viii) O c´odigo C8 com parˆametros (7, 3, 4), pode ser identificado com o c´odigo simplex H que
possui os parˆametros (7, 3, 4), pois ele possui oito palavras-c´odigo com comprimento n = 7 e distˆancia d = 4, a distˆancia que estamos considerando ´e a distˆancia de Hamming. As palavras- c´odigo de H s˜ao obtidas atrav´es da seguinte matriz geradora:
G5 = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
Logo, as palavras-c´odigo s˜ao:
H = {0000000, 0001111, 0110011, 1010101, 0111100, 1011010, 1100110, 1101001} As palavras-c´odigo de C8 s˜ao:
5.2. Associa¸c˜oes entre CSGU e c´odigos da codifica¸c˜ao usual 39
T1 = {0000000} T2 = h1000000, 0100000, 0001000i
T3 = h0100000, 0010000, 0000100i T4 = h0010000, 0001000, 0000010i
T5 = h0001000, 0000100, 0000001i T6 = h0000100, 0000010, 1000000i
T7 = h0000010, 0000001, 0100000i T8 = h0000001, 1000000, 0010000i
Atrav´es da bije¸c˜ao, temos
T1 ≈ 0000000, T2 ≈ 0001111, T3 ≈ 0110011, T4 ≈ 1010101,
T5 ≈ 0111100, T6 ≈ 1011010, T7 ≈ 1100110, T8 ≈ 1101001.
ix) O c´odigo C9 com parˆametros (7, 4, 4), tamb´em pode ser identificado com o c´odigo simplex
H que ´e induzido pela matriz geradora
G5 = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 .
A associa¸c˜ao entre estes dois c´odigos ´e feita da mesma maneira como foi feito acima para o c´odigo C8.
As associa¸c˜oes para os casos em que k = 1 e k = n − 1 s˜ao an´alogos aos mostrados anteri- ormente.
x) O c´odigo C10 com parˆametros (11, 5, 6) pode ser identificado com o c´odigo I sobre Z11
que possui a matriz geradora
G6 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ,
pois o mesmo possui onze palavras-c´odigo com comprimento n = 11 e distˆancia d = 6, a distˆancia que usamos aqui ´e a de Hamming.
xi) O c´odigo C11 com parˆametros (11, 6, 6) pode ser identificado com o c´odigo I sobre Z11
que possui a matriz geradora
G6 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ,
pois o mesmo possui onze palavras-c´odigo com comprimento n = 11 e distˆancia de Hamming d = 6.
xii) O c´odigo C12 com parˆametros (13, 4, 6) pode ser identificado com o c´odigo J sobre Z13
que possui a matriz geradora
G7 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui treze palavras-c´odigo com comprimento n = 13 e distˆancia d = 6, a distˆancia que usamos em J ´e a distˆancia de Hamming.
xiii) O c´odigo C13 com parˆametros (13, 9, 6) pode ser identificado com o c´odigo J sobre Z13
que possui a matriz geradora
G7 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui treze palavras-c´odigo com comprimento n = 13 e distˆancia de Hamming d = 6.
xiv) O c´odigo C14com parˆametros (15, 7, 8) pode ser identificado com o c´odigo simplex (15, 4, 8),
pois ele possui dezesseis palavras-c´odigo com comprimento n = 15 e distˆancia d = 8, a distˆancia que estamos considerando ´e a distˆancia de Hamming. A matriz geradora do c´odigo simplex ´e
G8 = 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1
Atrav´es dela, conseguimos obter as 16 palavras-c´odigo que comp˜oe o c´odigo simplex. Cada palavra-c´odigo ´e identifcada com uma palavra-c´odigo de C14.
xv) O c´odigo C15 com parˆametros (15, 8, 8) pode ser identificado com o c´odigo simplex (15, 4, 8),
pois ele possui dezesseis palavras-c´odigo com comprimento n = 15 e distˆancia d = 8, a distˆancia que estamos considerando ´e a distˆancia de Hamming. A matriz geradora do c´odigo simplex ´e
G8 = 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1
Atrav´es dela, conseguimos obter as 16 palavras-c´odigo que comp˜oe o c´odigo simplex. Cada palavra-c´odigo ´e identifcada com uma palavra-c´odigo de C15.
xvi) O c´odigo C16 com parˆametros (19, 9, 10) pode ser identificado com o c´odigo K sobre Z19
que possui a matriz geradora
G9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui dezenove palavras-c´odigo com comprimento n = 19 e distˆancia d = 10, a distˆancia que usamos aqui ´e a distˆancia de Hamming.
xvii) O c´odigo C17 com parˆametros (19, 10, 10) pode ser identificado com o c´odigo K sobre
Z19 que possui a matriz geradora
G9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui dezenove palavras-c´odigo com comprimento n = 19 e distˆancia de Ham- ming d = 10.
5.2. Associa¸c˜oes entre CSGU e c´odigos da codifica¸c˜ao usual 41
xviii) O c´odigo C18 com parˆametros (21, 5, 8) pode ser identificado com o c´odigo L sobre Z21
que possui a matriz geradora
G10 = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui vinte e uma palavras-c´odigo com comprimento n = 21 e distˆancia d = 8, a distˆancia que usamos em L ´e a distˆancia de Hamming.
xix) O c´odigo C19 com parˆametros (21, 16, 8) pode ser identificado com o c´odigo L sobre Z21
que possui a matriz geradora
G10 = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui vinte e uma palavras-c´odigo com comprimento n = 21 e distˆancia de Ham- ming d = 8.
xx) O c´odigo C20 com parˆametros (23, 11, 12) pode ser identificado com o c´odigo M sobre
Z23 que possui a matriz geradora
G11= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui vinte e trˆes palavras-c´odigo com comprimento n = 23 e distˆancia d = 12, a distˆancia que usamos em M ´e a distˆancia de Hamming.
xxi) O c´odigo C21 com parˆametros (23, 12, 12) pode ser identificado com o c´odigo M sobre
Z23 que possui a matriz geradora
G11= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pois o mesmo possui vinte e trˆes palavras-c´odigo com comprimento n = 23 e distˆancia de Ham- ming d = 12.
Apresentamos na Tabela 5.2 os CSGU e os c´odigos cl´assicos utilizados como r´otulos dos subespa¸cos.
n k d C´odigo Cl´assico ou Matriz Geradora 2 1 2 A = {00, 11} 3 1 2 G1 = 1 1 0 3 2 2 G1 = 1 1 0 4 1 2 G2 = 1 1 0 0 4 3 2 G2 = 1 1 0 0 5 4 2 G3 = 1 1 0 0 0 6 5 2 G4 = 1 1 0 0 0 0 7 3 4 G5 = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 7 4 4 G5 = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 11 5 6 G6 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , 11 6 6 G6 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , 13 4 6 G7 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 13 9 6 G7 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 15 7 8 G8 = 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 15 8 8 G8 = 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 19 9 10 G8 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 10 10 G8 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 5 8 G10= 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 16 8 G10= 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 11 12 G11= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 12 12 G11= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cap´ıtulo
6
Conclus˜ao
Este trabalho teve como objetivo apresentar a constru¸c˜ao de uma classe de c´odigo de subespa¸co geometricamente uniforme e a rela¸c˜ao entre estes c´odigos e os c´odigos corretores de erros da codifica¸c˜ao cl´assica. A motiva¸c˜ao pr´atica para o estudo destes c´odigos ´e ter a possibilidade de us´a-los na codifica¸c˜ao de rede.
Primeiramente foram definidas algumas propriedades que foram fundamentais para o enten- dimento do trabalho, tais como: espa¸cos e subespa¸cos vetoriais, c´odigos lineares e corretores de erros e codifica¸c˜ao de rede. Depois de entendido estes conceitos, o pr´oximo passo foi mostrar um pouco sobre o que significa c´odigos de subespa¸co e em seguida, foram apresentadas as cons- tru¸c˜oes dos CSGU, sua existˆencia para diversos parˆametros e as demonstra¸c˜oes que comprovam que estes c´odigos de subespa¸co de fato s˜ao geometricamente uniformes. Logo ap´os, temos as identifica¸c˜oes destes c´odigos com os c´odigos da codifica¸c˜ao cl´assica.
6.1
Contribui¸c˜oes
As contribui¸c˜oes deste trabalho se encontram no Cap´ıtulo 5. Dentre elas, as principais foram:
• a constru¸c˜ao de c´odigos de subespa¸co geometricamente uniformes. No trabalho, fizemos a constru¸c˜ao at´e o parˆametro n = 30, mas sabemos que estes c´odigos existem para outros parˆametros;
• as identifica¸c˜oes feitas com estes c´odigos e os c´odigos j´a conhecidos da codifica¸c˜ao cl´assica. Com isso, conseguimos estabelecer uma rela¸c˜ao entre duas estruturas distintas, pois mos- tramos que os c´odigos de subespa¸co geometricamente uniformes podem ser identificados com c´odigos da codifica¸c˜ao usual. Portanto, estabelecemos uma rela¸c˜ao entre a codifica¸c˜ao de rede e a codifica¸c˜ao cl´assica.
Tamb´em mostramos que os CSGU s˜ao de f´acil obten¸c˜ao, pois uma vez tendo a primeira palavra-c´odigo, o restante s˜ao apenas deslocamentos c´ıclicos dos vetores da primeira.
Apesar de simples, este c´odigo se mostrou bastante interessante por suas propriedades, lembrando que ele sempre possui distˆancia constante para quaisquer duas palavras-c´odigo que escolhermos.