Nesta se¸c˜ao, faremos uma breve apresenta¸c˜ao sobre o modo de funcionamento de uma rede usando codifica¸c˜ao de rede linear. Para o leitor que queira aprofundar mais sobre o assunto, ver [15] e [14].
Suponha que temos uma rede de comunica¸c˜ao que possui somente um n´o fonte e v´arios n´os destinos e os demais n´os s˜ao os n´os intermedi´arios. Essa rede pode ser representada por um multigrafo. Cada aresta da rede transporta, livre de erros, um pacote de n s´ımbolos de um corpo finito Fq, onde q ´e a potˆencia de um primo. Um pacote transmitido do n´o x para o n´o
y atrav´es de uma aresta ´e um pacote de sa´ıda do n´o x e um pacote de entrada do n´o y. A mensagem a ser transmitida pelo n´o fonte ´e uma matriz X ∈ Fm×n
q , onde m ´e um inteiro positivo
e X1, X2, .., Xm ∈ F1×nq representam as linhas da matriz X que s˜ao os pacotes de entrada do n´o
fonte.
O funcionamento da rede pode ser descrito da seguinte forma: em cada oportunidade de transmiss˜ao, um n´o calcula um pacote de sa´ıda como uma combina¸c˜ao linear dos pacotes de entrada, lembrando que o corpo usado ´e o Fq. Note que um pacote Yi transmitido em uma
aresta i ´e uma combina¸c˜ao linear dos pacotes da fonte, ou seja, Yi = biX, onde bi ∈ F1×mq .
Considere, por exemplo, um n´o destino espec´ıfico e ent˜ao Z ∈ Ft×n
q ´e a matriz cujas linhas s˜ao
os t pacotes deste n´o. Segue que
Z = AX para alguma matriz A ∈ Ft×m
q , chamada matriz de transferˆencia da rede (do n´o fonte para
aquele n´o destino espec´ıfico). ´E claro que todos os n´os destinos podem obter X se todas as matrizes de transferˆencia possuem posto n, neste caso a rede ´e chamada fact´ıvel.
´
E importante mencionar que a igualdade Z = AX permanece independente da topologia de rede que se est´a usando, ou seja, a rede pode, por exemplo, conter ciclos. Outro fato ´e que a rede pode ser usada em v´arias rodadas, mas possivelmente as matrizes de transferˆencia ser˜ao diferentes e por fim, as transmiss˜oes de pacotes podem conter atrasos e a topologia geral pode ter varia¸c˜ao de tempo.
Cap´ıtulo
4
C´odigos
O objetivo deste cap´ıtulo ´e revisar dois conceitos de extrema importˆancia e fundamenta¸c˜ao para este trabalho, que s˜ao: c´odigos de subespa¸co e c´odigos geometricamente uniformes. Os c´odigos de subespa¸cos foram propostos por Koetter e Kschischang, [12], enquanto que os c´odigos geometricamente uniformes foram propostos por Forney, [9].
O cap´ıtulo est´a organizado da seguinte forma: na Se¸c˜ao 4.1 mostraremos o conceito de c´odigos de subespa¸co. Na se¸c˜ao 4.2 exibiremos algumas propriedades de duas classes de c´odigos de subespa¸co e na Se¸c˜ao 4.3, falaremos sobre os c´odigos geometricamente uniformes.
4.1
C´odigos de Subespa¸co
Nesta se¸c˜ao, introduziremos o conceito de c´odigos de subespa¸co. Diferentemente da codifica¸c˜ao cl´assica, os c´odigos de subespa¸cos possuem subespa¸cos vetoriais como palavras-c´odigo. Defi- niremos tamb´em m´etricas apropriadas para mensurar a capacidade de corre¸c˜ao e detec¸c˜ao de erros associada a esses c´odigos.
Ao longo deste cap´ıtulo, Fnq denota um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre Fq, onde Fq ´e
um corpo finito com cardinalidade q.
4.1.1
Conceitos b´asicos
Introduziremos agora, conceitos relacionados a c´odigos de subespa¸cos. Defini¸c˜ao 4.1 O conjunto de todos os subespa¸cos vetoriais de Fn
q ´e denotado por Pq(n). A
Grassmanniana de ordem k, Gq(n, k), ´e o conjunto de todos os subespa¸cos vetoriais de Fnq
de ordem k.
Note que Gq(n, 0) = 0, Gq(n, 1) denota o conjunto de todas as retas que passsam pela origem
e assim sucessivamente at´e Gq(n, n) = Fnq.
Da defini¸c˜ao segue que Pq(n) = n [ k=0 Gq(n, k).
A cardinalidade da Grassmanniana Gq(n, k) pode ser obtida atrav´es do coeficiente binomial
Gaussiano, [2], e ´e dada por
|Gq(n, k)| = n k q = k−1 Y i=0 (qn− qi) (qk− qi)
Consequentemente, a cardinalidade de Pq(n) ´e dada por
|Pq(n)| = n X k=0 n k q .
Definiremos a seguir o conceito de c´odigos de subespa¸co. Esses c´odigos foram introduzi- dos primeiramente por Koetter e Kschischang, [12], mas desde ent˜ao novos elementos foram sendo incorporados devido `a necessidade de atender a caracter´ıticas de prote¸c˜ao, confiabilidade, seguran¸ca e de autentica¸c˜ao da informa¸c˜ao em aplica¸c˜oes utilizando c´odigos de subespa¸cos. Atu- almente, tais c´odigos s˜ao utilizados em v´arias aplica¸c˜oes, tais como: codifica¸c˜ao de rede linear n˜ao-coerente e autentica¸c˜ao linear. Em [11], Khaleghi, Silva e Kschischang apresentam uma revis˜ao das diversas constru¸c˜oes de c´odigos de subespa¸cos existentes na literatura bem como de limitantes inferiores e superiores para estes c´odigos, induzidos pela m´etrica de inje¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 4.2 Um c´odigo de subespa¸co ´e um conjunto n˜ao vazio de Pq(n). No caso em
que o c´odigo de subespa¸co est´a contido em uma Grassmanniana de ordem k, Gq(n, k), ou seja,
todas as suas palavras c´odigos possuem a mesma dimens˜ao, ele ser´a chamado de c´odigo de dimens˜ao constante.
Exemplo 4.1 Considere os seguintes subespa¸cos de F4 2
T1 = {0000, 1000}, T2 = {0000, 1000, 0100, 1100}, T3 = {0000, 0010}, T4 = {0000, 1111}
O que se nota ´e que os subespa¸cos S1, S3 e S4 pertencem a G2(4, 1), mas S2 pertence a G2(4, 2).
Logo, este c´odigo n˜ao apresenta a propriedade de pertencer a uma Grassmaniana de dimens˜ao constante. Assim, C1 = {T1, T2, T3, T4} ´e um c´odigo de subespa¸co de P2(4).
Exemplo 4.2 Seja C2 = {R1, R2, R3} um c´odigo de subespa¸co sobre F33. As palavras-c´odigos
de C2 s˜ao:
R1 = {000, 100, 010, 110, 200, 020, 220, 120, 210},
R2 = {000, 100, 001, 101, 200, 002, 202, 102, 201},
R3 = {000, 010, 001, 011, 020, 002, 022, 012, 021}.
4.1. C´odigos de Subespa¸co 19
4.1.2
M´etricas
Um c´odigo corretor ou detector de erros nada mais ´e do que um espa¸co m´etrico discreto. Logo, ao conjunto consistindo de palavras-c´odigo ´e necess´ario associarmos uma m´etrica ou distˆancia.
´
E atrav´es da distˆancia que se tem uma medida da capacidade de detec¸c˜ao e corre¸c˜ao de erros do c´odigo. Essa capacidade de corre¸c˜ao e detec¸c˜ao de erros ´e uma das formas utilizadas para a classifica¸c˜ao e otimalidade dos c´odigos.
A seguir, definiremos trˆes distˆancias.
Defini¸c˜ao 4.3 Dados dois subespa¸cos vetoriais U e V de Fnq, a distˆancia de subespa¸co entre U e V ´e definida como:
dS(U, V ) = dim(U ) + dim(V ) − 2dim(U ∩ V ).
A seguir, mostaremos que a distˆancia de subespa¸co ´e de fato uma m´etrica. Proposi¸c˜ao 4.1 A distˆancia de subespa¸co dS(., .) ´e uma m´etrica em Pq(n).
Demonstra¸c˜ao: Sejam U, V, W ∈ Pq(n).
i) para cada U ∈ Pn
q, d(U, U ) =0, pois
d(U, U ) = dim(U ) + dim(U ) − 2dim(U ∩ U ) = 2dim(U ) − 2dim(U ) = 0 ii) para todo U , V ∈ Pn
q, d(U, V ) > 0 se U 6= V . Como U e V n˜ao s˜ao subespa¸cos nulos
simultaneamente, logo dim(U ) > 0 ou dim(V ) > 0. Se U ou V for nulo, ent˜ao dim(U ∩ V ) = 0, e portanto d(U, V ) > 0.
Se U e V forem ambos subespa¸cos n˜ao nulos, ent˜ao dim(U ) > 0, dim(V ) > 0 e dim(U ∩V ) ≥ 0, e como d(U ∩ V ) ´e no m´aximo igual a dim(U ) ou dim(V ), logo d(U, V ) > 0.
iii) dados U, V ∈ Pn
q, d(U, V ) = d(V, U ).
d(U, V ) = dim(U ) + dim(V ) − 2dim(U ∩ V ) = dim(V ) + dim(U ) − 2dim(V ∩ U ) = d(V, U ).
iv) vale a desigualdade triangular, d(U, W ) ≤ d(U, V ) + d(V, W ). De fato 1
2(d(U, W ) − d(U, V ) − d(V, W )) = dim(U ∩ V ) + dim(W ∩ V ) − dim(V ) − dim(U ∩ W ) = dim(U ∩ V + W ∩ V ) − dim(V ) + dim(U ∩ W ∩ V ) − dim(U ∩ W )
≤ 0
pois, dim(U ∩ V + W ∩ V ) − dim(V ) ≤ 0 devido `a propriedade que U ∩ V + W ∩ V ⊆ V e dim(U ∩ W ∩ V ) − dim(U ∩ W ) ≤ 0 pelo fato de que U ∩ W ∩ V ⊆ U ∩ W .
Exemplo 4.3 Seja C3 um c´odigo de subespa¸co em P2(3) dado por C3 = {T1, T2, T3} com
T1 = {000, 100, 010, 110}, T2 = {000, 100}, e T3 = {000, 001}
Como podemos ver, C3 n˜ao possui dimens˜ao constante, pois dim(T1) = 2 e dim(T2) =
dim(T3) = 1. Vamos calcular a distˆancia de subespa¸co entre as palavras-c´odigo
dS(T1, T2) = 2 + 1 − 2.1 = 1, dS(T1, T3) = 2 + 1 − 2.0 = 3, e dS(T2, T3) = 1 + 1 − 2.0 = 2
Portanto, C3 n˜ao possui distˆancia constante.
Exemplo 4.4 Seja C4 um c´odigo de subespa¸co em P2(4) dado por C4 = {R1, R2, R3, R4}, onde
R1 = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)}, R2 = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)},
R3 = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}, R4 = {(0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0)}.
Este c´odigo ´e um c´odigo de subespa¸co de dimens˜ao constante, pois todas as palavras-c´odigo (subespa¸cos) pertencem a G2(4, 2), mas a distˆancia de subespa¸co n˜ao ´e constante, pois dS(R1, R2) =
4, mas dS(R1, R3) = 2.
Podemos definir tamb´em a distˆancia de inje¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 4.4 Dados U e V subespa¸cos de Fnq, a distˆancia de inje¸c˜ao entre U e V ´e dada por
dI(U, V ) = max{dim(U ), dim(V )} − dim(U ∩ V )
Exemplo 4.5 Se considerarmos o c´odigo C3 do Exemplo 4.3 e calcularmos a distˆancia de
inje¸c˜ao, temos que
dI(T1, T2) = 2 − 1 = 1, dI(T1, T3) = 2 − 0 = 2 e dI(T2, T3) = 1 − 0 = 1.
O c´odigo C4 n˜ao possui distˆancia de inje¸c˜ao constante.
A distˆancia de subespa¸co e a distˆancia de inje¸c˜ao est˜ao relacionadas da seguinte forma. Quando U e V tˆem a mesma dimens˜ao, a seguinte rela¸c˜ao num´erica vale
Proposi¸c˜ao 4.2 Sejam U e V subespa¸cos de um espa¸co vetorial Fn
q. Vale as rela¸c˜oes entre
dS(., .) e dI(., .):
i) se dim(U ) = dim(V ), ent˜ao
dS(U, V ) = 2dI(U, V );
ii) se dim(U ) 6= dim(V ), ent˜ao dI(U, V ) =
1
2dS(U, V ) + 1