Códigos de subespaço geometricamente uniformes

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Gabriella Akemi Miyamoto

C´

odigos de Subespa¸

co Geometricamente Uniformes

Campinas 2015

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Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Departamento de comunicac¸ ˜oes - DECOM

C´

odigos de Subespa¸co Geometricamente Uniformes

Disserta¸cão apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computa¸cão da Universidade Estadual de Campinas, como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestra

em Engenharia Elétrica. Área de concentra¸cão: Telecomunica¸cões e Telemática.

por

Gabriella Akemi Miyamoto

Orientador: Prof. Dr. Reginaldo Palazzo J´unior FEEC/UNICAMP

Este exemplar corresponde à versão final da disserta¸cão defendida pela aluna, e orientada pelo Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Júnior

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Reginaldo Palazzo J´unior (FEEC/UNICAMP) (Presidente) Prof. Dr. Emerson Luiz do Monte Carmelo (DMA/UEM)

Prof. Dr. Cristiano Torezzan (FCA/UNICAMP)

Campinas - SP 2015

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Resumo

Codifica¸cão de rede (do inglês Network coding) é uma área de pesquisa muito ativa e tem como elementos motivadores a transmissão eficiente e confiável da informa¸cão em redes tradicionais de comunica¸cões. Além dessas caracter´ısticas, codifica¸cão de rede tem uma rela¸cão muito forte com códigos corretores de erros, porém sob uma nova interpreta¸cão, qual seja, “a palavra-código”em um código corretor de erros é substitu´ıda por um “subespa¸co”de um determinado espa¸co vetorial e o código cor-retor de erros é substitu´ıdo por uma união de subespa¸cos de tal forma que estes subespa¸cos formam o código de subespa¸co. Os códigos de subespa¸co são os códigos a serem utilizados em codifica¸cão de rede para alcan¸car os objetivos mencionados anteriormente. Dentre as classes de códigos corretores de erros, a classe dos códigos geometricamente uniformes é a mais importante tanto sob o ponto de vista de faci-lidade de gera¸cão e de decodifica¸cão quanto para atingir os objetivos mencionados. Neste trabalho, apresenta-se os conceitos de códigos geometricamente uniformes e de códigos de subespa¸co. Como contribui¸cão, iniciamos uma investiga¸cão sobre os Códigos de Subespa¸co Geometricamente Uniformes, ou seja, códigos de subespa¸co que são simultaneamente geometricamente uniformes. Para a constru¸cão destes códigos foram utilizados conceitos algébricos e geométricos. Além disso, exibimos algumas associa¸cões entre estes códigos e os códigos simplex.

Palavras-chave: códigos de subespa¸co, codifica¸cão de rede, códigos de subespa¸co geometricamente uniformes, códigos simplex.

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Abstract

Network coding is a very active research area and has as motivational elements the efficient and reliable transmission of information in traditional communication networks. Beside these properties, network coding has a very strong relation with error-correcting codes, however it has a new interpretation, ie, the “codeword”in a correcting code is viewed as a “subspace”of one space vector and the error-correcting code is replaced by a union of subspaces and the subspace codes are codes to be used in network coding to achieve the previously mentioned objectives. Among the classes of error-correcting codes, the class of geometrically uniform codes is the most important under the ease of generation and decoding point of view and also because it achieves the objectives mentioned before. The objective of this work is to present the concepts of geometrically uniform codes and subspace codes. As a contribution, we initiate a investigation about Geometrically Uniform Subspace Codes, ie, subspace codes that are both subspace codes and geometrically uniform codes. In order to construct these codes we used algebraic and geometric concepts. Besides, we show some relations between these codes and simplex codes.

Key-words: subspace codes, network coding, geometrically uniform subspace co-des, simplex codes.

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Revis˜ao de Conceitos 4

2.1 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais . . . 4

2.1.1 Espa¸cos Vetoriais . . . 4

2.1.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . 6

2.2 An´eis e Corpos . . . 7

2.3 Espa¸cos M´etricos . . . 8

3 C´odigos Corretores de Erros 10 3.1 C´odigos de bloco . . . 10

3.2 Representa¸c˜ao do c´odigo linear . . . 12

3.3 C´odigos de Hamming e C´odigos de Hamming Estendidos . . . 13

3.4 C´odigos Simplex . . . 14

3.5 C´odigos C´ıclicos . . . 14

3.6 Codifica¸c˜ao de Rede Linear . . . 16

4 C´odigos 17 4.1 C´odigos de Subespa¸co . . . 17

4.1.1 Conceitos b´asicos . . . 17

4.1.2 M´etricas . . . 19

4.2 Duas classes de c´odigos . . . 21

4.3 C´odigos Geometricamente Uniformes . . . 23

5 C´odigos de Subespa¸co Geometricamente Uniformes 27 5.1 Constru¸c˜ao . . . 27

5.2 Associa¸cões entre CSGU e códigos da codifica¸cão usual . . . 37

6 Conclus˜ao 43 6.1 Contribui¸c˜oes . . . 43

6.2 Propostas para Trabalhos Futuros . . . 44

(12)

(13)

Aos meus amados Tosimasa, Ma-rilza, Miyuke e Carlos, por todo o seu amor, compreens˜ao e apoio in-condicional.

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(15)

O verdadeiro sucesso em cada setor de trabalho não é o resultado do acaso, ou acidente ou des-tino. É a opera¸cão da providência de Deus, a re-compensa da fé e a prudência, da virtude e per-severan¸ca. Superiores qualidades mentais e ele-vado caráter moral não se adquirem por casuali-dade. Deus dá oportunidades; o êxito depende do uso que delas se fizer.

Ellen White

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(17)

Agradecimentos

Agrade¸co,

Primeiramente a Deus, por ser meu guia, me conduzir durante toda esta caminhada e nunca me deixar desamparada.

Ao professor Reginaldo Palazzo Jr, por toda a sua ajuda e paciˆencia durante todo este processo, por sempre incentivar-me a buscar e aprender mais e por todo o seu ensinamento tanto no sentido acadˆemico como pessoal.

Aos meus pais Marilza e Tosimasa que sempre me apoioaram e sempre me ajudaram para que eu tivesse condi¸cões para percorrer este caminho. A eles devo tudo o que sou. A minha irmã Miyuke por me entender mesmo sendo e tendo gosto tão diferentes e por me compreender mesmo nos momentos mais dif´ıceis.

Ao meu amado Carlos Augusto por ser meu companheiro durante toda esta caminhada, por toda sua paciˆencia, por suportar a distˆancia e por sempre estar me apoiando a seguir em frente e nunca desistir.

A banca por ter aceitado o convite e pelas valiosas sugestões. Ao professor Cristiano o meu muito obrigada pelas valiosas sugestões concedidas na qualifica¸cão e ao professor Emerson o meu agradecimento especial por me iniciar na vida cient´ıfica e me incentivar desde os tempos da gradua¸cão.

Aos meus queridos amigos do LTIA: Anderson, Cibele, Cintya, Fernando, Gustavo, Leandro, Lucas, Luiz, Mario e Nelson, por seu companheirismo e amizade.

Aos meus amigos Emely, Leonardo e Mateus que me acompanham j´a h´a algum tempo, por todos esses anos de amizade.

A CAPES pela bolsa concedida.

Enfim, a todos aqueles que de alguma forma contribu´ıram para o conclus˜ao deste trabalho.

(18)

(19)

Cap´ıtulo

1

Introdu¸c˜

ao

Com a evolu¸cão da tecnologia, surge a necessidade de mecanismos mais rápidos, confiáveis e eficientes na transmissão da informa¸cão. A cada momento novos sistemas e dispositivos eletrônicos são incorporados aos já existentes numa rede de comunica¸cão. A codifica¸cão de rede (do inglês Network Coding) surge como uma inova¸cão da codifica¸cão tradicional e tem como objetivo melhorar o desempenho e a eficiência da transmissão da informa¸cão.

O funcionamento de uma rede de comunica¸cão fazendo uso do conceito de codifica¸cão de rede pode ser ilustrado da seguinte maneira: imagine que exista uma ponte ligando duas cidades e que somente um ve´ıculo possa atravessá-la de cada vez. Se ocorrer de chegarem dois carros ao mesmo tempo, um deve passar e o outro deve esperar até que o outro carro passe completamente pela ponte. Note que ao acumular alguns carros na entrada da ponte, um tempo considerável será gasto até que todos esses carros possam passar pela ponte. Agora, ao invés de todos os carros ficarem esperando cada um passar, imagine que dispomos de um caminhão-cegonha. Como na ponte só pode passar um ve´ıculo de cada vez, podemos colocar vários carros no caminh˜ ao-cegonha e passar pela ponte. Claro que o número de carros a ser transportado pelo caminhão na travessia da ponte é limitado, mas já teremos um ganho considerável quando comparado com a situa¸cão em que somente um carro atravessa a ponte. Note que mesmo que os carros estejam sendo transportados pelo caminhão na travessia da ponte, ao chegar do outro lado da ponte cada carro seguirá o seu destino separadamente.

Esta ilustra¸cão nos mostra de forma simplificada como a codifica¸cão de rede atua no proces-samento e transmissão da informa¸cão. Até o presente momento, os nós intermediários tinham a ´

unica fun¸cão de “reformatar”os dados através do roteamento, mas com o advento da codifica¸cão de rede, permite-se agora que os nós também sirvam como codificadores, ou seja, eles podem realizar combina¸cões lineares dos pacotes de entrada e transimitir cada combina¸cão separada-mente.

A rede borboleta, [1], exemplifica a importância e é uma forma de motiva¸cão para o emprego do conceito de codifica¸cão de rede. Considere que não se esteja fazendo uso de codifica¸cão de rede, e que o problema seja a transmissão de três pacotes do nó fonte s para os nós destinos t1

e t2. O envio dos pacotes ser´a como ilustrado nas figuras 1.1 e 1.2. Na figura 1.1, s˜ao enviados

os pacotes x1 e x2 e ambos devem chegar nos n´os destinos t1 e t2. O n´o destino t1 recebe o

pacote x1, e o nó destino t2 recebe x1 e x2, pois o nó 3 recebe os pacotes x1 e x2, e é este nó que

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irá transmitir um dos dois pacotes e armazenar o outro para transmiti-lo no instante seguinte, se o nó 3 transmitir x1 primeiro, o pacote x2 será armazenado e transmitido logo a seguir, ou

vice-versa. Assim, os pacotes x1 e x2 podem chegar tanto em t1 como em t2. Na figura 1.2, o

nó destino t1 recebe x2 e x3 e o nó t2 recebe x3 (o processo que ocorre no nó 3 desta figura é

o mesmo que ocorre no nó 3 da figura 1.1), então em dois instantes de tempo, são recebidos 3 pacotes, ou seja, 1,5 pacote por instante de tempo.

Figura 1.1: Rede borboleta

Agora, se usarmos codifica¸cão de rede, ocorrerá o processo ilustrado na figura 1.3. Os pacotes y1 e y2 do nó fonte s são enviados aos nós destinos t1 e t2. O nó 3 realiza a soma módulo 2 de y1

e y2 e então envia o resultado para o nó 4. Assim, os nós t1 e t2 recebem tanto y1 como y2, pois,

no caso do n´o t1, basta realizar a soma m´odulo 2 de y1 com y1 ⊕ y2 para obter y2, e o mesmo

vale para t2. Logo, recebemos dois pacotes em um instante de tempo, ou seja, o ganho quando

se usa codifica¸c˜ao de rede ´e de 0,5 pacote por instante de tempo no caso da rede borboleta.

Os códigos de subespa¸co são uma alternativa para a codifica¸cão de rede, como mostrado por Khaleghi, Silva e Kschischang [11]. Códigos de subespa¸co possuem subespa¸cos vetoriais como

(21)

3

palavras-código e estes subespa¸cos podem ou não ter a mesma dimensão. Existem duas métricas principais utilizadas nos códigos de subespa¸co, a saber: a métrica do subespa¸co, estudada em detalhes por Gabidulin e Bossert [5] e a métrica do posto, que pode ser vista em detalhes em [11]. Dentre os códigos de subespa¸co, o nosso objetivo é construir códigos geometricamente uniformes que foram introduzidos por Forney [9]. Estes códigos formam uma classe muito importante devido as suas propriedades de uniformidade, equivalentemente, não é necessário conhecer o código completamente para obter as suas caracter´ısticas. Para isso, basta dispor de uma palavra-código e do grupo que atua transitivamente para que as palavras-código sejam completamente especificadas. Outro fato importante é a existência de algoritmos eficientes de decodifica¸cão para esta classe de códigos.

Como códigos de subespa¸co e códigos geometricamente uniformes tem sido es-tudados, surge então a pergunta: quais os códigos que estão simultaneamente em ambas as classes?

Neste trabalho, iniciamos a pesquisa em dire¸cão a responder a pergunta acima. Para isso, propromos uma constru¸cão original de uma classe de códigos aos quais denominamos códigos de subespa¸co geometricamente uniformes, que pertencem a ambas as classes e mostramos que eles existem para diversos parâmetros n, k com diferentes distâncias de subespa¸co d. Alguns destes códigos também satisfazem a condi¸cão de serem códigos MRD (maximum-rank-distance), conceito este que aparece em [5].

Este trabalho de pesquisa está organizado da seguinte forma. No Cap´ıtulo 2, faremos uma revisão dos conceitos de espa¸cos e subespa¸cos vetoriais, anéis e corpos e espa¸cos métricos. No Cap´ıtulo 3, revisaremos códigos corretores de erros e sua representa¸cão linear, códigos de Ham-ming, códigos simplex e codifica¸cão de rede linear. No Cap´ıtulo 4, apresentaremos o conceito de códigos de subespa¸co e algumas de suas propriedades e falaremos também sobre códigos geometricamente uniformes. No Cap´ıtulo 5, mostraremos o processo de constru¸cão dos códigos de subespa¸co geometricamente uniformes bem como a rela¸cão destes códigos com os códigos clássicos. Finalmente, no Cap´ıtulo 6 apresentaremos as conclusões e os trabalhos futuros.

(22)

Cap´ıtulo

2

Revis˜

ao de Conceitos

Neste cap´ıtulo apresentaremos defini¸c˜oes e propriedades importantes para o desenvolvimento e entendimento do trabalho.

Este cap´ıtulo está organizado da seguinte forma. Na Se¸cão 2.1, revisaremos conceitos de espa¸cos e subespa¸cos vetoriais. Na Se¸cão 2.2, revisaremos algumas estruturas algébricas, tais como anéis e corpos e na Se¸cão 2.3, apresentamos o conceito de métrica.

2.1 Espa¸

cos e Subespa¸

cos Vetoriais

Nesta se¸cão apresentamos brevemente defini¸cões e propriedades de espa¸cos e subespa¸cos vetori-ais. Recomendamos os livros [4] e [3] para maiores detalhes sobre álgebra linear. Além de serem conceitos bastante conhecidos servirão também ao propósito da nota¸cão a ser utilizada ao longo deste trabalho. Espa¸cos vetoriais são elementos essenciais no estudo de códigos de subespa¸cos, pois estes são interpretados como palavras-código de um código de subespa¸co. Como con-sequência de um código corretor de erros ser um espa¸co métrico, o código de subespa¸co também deverá ser interpretado como um espa¸co métrico, da´ı a necessidade de se estudar métricas.

2.1.1 Espa¸

cos Vetoriais

Defini¸cão 2.1 Um conjunto não vazio V é um espa¸_{co vetorial sobre um corpo K se os seus} elementos, denominados vetores, satisfazem as seguintes opera¸cões:

I) A cada par u, v de vetores de V corresponde um vetor u + v ∈ V , chamado soma de u e v, de modo que:

i) u + v = v + u, para todo u, v ∈ V (comutatividade aditiva).

ii) (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w ∈ V (associatividade aditiva).

iii) existe em V um vetor, denominado de vetor nulo e denotado por 0, tal que 0 + v = v, para todo v ∈ V (identidade aditiva).

iv) a cada vetor v ∈ V exista um vetor em V , denotado por −v, tal que v + (−v) = 0 (inverso aditivo).

(23)

2.1. Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais 5

II) A cada par α ∈ K e v ∈ V , corresponde um vetor α · v ∈ V , denominado produto por escalar de α por v de modo que:

v) (αβ) · v = α.(β · v), para todo α, β ∈ K e para todo v ∈ V vi) 1 · v = v, para todo v ∈ V .

III) Assumiremos que as opera¸c˜oes apresentadas em (I) e (II) satisfazem as seguintes propri-edades adicionais:

vii) α · (u + v) = α · u + α · v, para todo α ∈ K e para todo u, v ∈ V. viii) (α + β) · v = α · v + β · v, para todo α, β ∈ K e para todo v ∈ V. Exemplo 2.1 O conjunto dos vetores do espa¸_{co R}n _{= {(x}

1, x2, ..., xn); xi ∈ R} com u =

(x1, x2, ..., xn), v = (y1, y2, ..., yn) e α ∈ R tal que u + v = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn+ yn) e

α.u = (α.x1, α.x2, ..., α.xn), ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo R.

Exemplo 2.2 O conjunto Mm×n das matrizes reais m × n com a soma e produto por escalar

usuais de matrizes, ´e um espa¸co vetorial.

Em ambientes discretos, o exemplo abaixo desempenha papel decisivo na constru¸cão de estruturas combinatórias e conceitos da teoria dos códigos.

Exemplo 2.3 O conjunto Zn

2 = {0, 1}n ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo Z2, onde

a + b = (a1+ b1, a2+ b2, ..., an+ bn) e α.a = (α.a1, α.a2, ..., α.an)

com a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bn) ∈ Zn2 e α ∈ Z2.

Defini¸c˜ao 2.2 Sejam V um espa¸co vetorial e v1, ..., vn ∈ V . Dizemos que o conjunto {v1, ..., vn}

´

e linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ..., vn s˜ao LI, se a equa¸c˜ao

a1v1+ ... + anvn = 0

implica que a1 = a2 = ... = an= 0. No caso em que exista algum ai 6= 0 dizemos que {v1, ..., vn}

´

e linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, ..., vn s˜ao LD.

Defini¸c˜ao 2.3 Seja V um espa¸_{co vetorial sobre o corpo K. Dizemos que um subconjunto B de} V ´e uma base de V se:

i) Se os elementos de B formarem um conjunto gerador de V ; ii) Se os elementos de B forem linearmente independentes.

Defini¸cão 2.4 Seja V um espa¸_{co vetorial sobre K. Se V admite uma base finita, então} cha-mamos dimensão de V ao número de elementos de tal base. Caso contrário dizemos que a dimensão de V é infinita.

(24)

Exemplo 2.4 A dimensão do espa¸co vetorial no Exemplo 2.3 é n. De fato, uma base para esse espa¸co é

β = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1)}. denominada base canˆonica.

Exemplo 2.5 Se considerarmos o espa¸_{co vetorial R}3 _{sobre R, podemos ver que β = {(1, 0, 0),} (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´e uma base para este espa¸co. Logo, a dimens˜_{ao de R}3 ´e 3.

Outro exemplo importante de espa¸co vetorial provém de polinômios, mais precisamente seja K[x] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em K, na variável x. Este espa¸co vetorial possui dimensão infinita com a soma de polinômios e a multiplica¸cão de um polinômio por um escalar definidas usualmente. Uma base para K[x] é

β = {1, x, x2, x3, ..., xn, ...}.

2.1.2 Subespa¸

cos Vetoriais

Defini¸cão 2.5 Dado um espa¸co vetorial V , um subconjunto não vazio W , é um subespa¸co vetorial de V se satisfaz ambas as condi¸cões:

i) para quaisquer u, v ∈ W , u + v ∈ W ;

ii) para quaisquer α ∈ K, e para qualquer u ∈ W , α.u ∈ W . Exemplo 2.6 Considere o espa¸_{co vetorial Z}4₂. O conjunto

K = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)}, ´

e um subespa¸_{co vetorial de Z}4₂.

Exemplo 2.7 Seja o espa¸co vetorial M2×2 de todas as matrizes 2 × 2 sobre o corpo Z2. O

conjunto W = 0 0 0 0 , 1 1 0 0 , 0 0 1 1 , 1 1 1 1 , ´ e um subespa¸co de M2×2.

Exemplo 2.8 O subconjunto W das matrizes triangulares superiores sobre o corpo R em Mm×n

´

e um subespa¸co. De fato, a soma de matrizes triangulares superiores ainda ´e uma matriz triangular superior, assim como ´e uma matriz triangular superior o produto de uma matriz triangular superior por um escalar.

Sejam U e W subespa¸cos vetoriais de um espa¸co vetorial fixo V. A soma dos subespa¸cos U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W },

´

e o menor espa¸co vetorial que contém U e W . A interse¸cão U ∩ W é o maior espa¸co vetorial que está contido em U e W .

Proposi¸cão 2.1 Sejam U e W subespa¸cos de dimensão finita de um espa¸co vetorial V. Então dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ).

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2.2. An´eis e Corpos 7

2.2 An´

eis e Corpos

Os conceitos de anéis e corpos finitos são importantes também para a teoria da informa¸cão, pois fundamentam as constru¸cões de diversas classes de códigos. Estas duas estruturas algébricas são essenciais na constru¸cão sistemática de códigos corretores de erros e são ferramentas funda-mentais no trabalho em considera¸cão.

Defini¸cão 2.6 Um anel é um conjunto A munido de duas opera¸cões:

+ : A × A → A e · : A × A → A

(a, b) 7→ a + b (a, b) 7→ a · b

que chamaremos, respectivamente, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, satisfazendo as seguintes propri-edades:

A1) Associatividade da adi¸c˜ao:

(a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c ∈ A.

A2) Existˆencia de elemento neutro para a adi¸c˜ao: existe um elemento chamado zero e denotado por 0, tal que

a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ A.

A3) Existência de elemento inverso para a adi¸cão: dado a ∈ A, existe um elemento chamado simétrico de a e denotado por −a tal que

a + (−a) = (−a) + a = 0. A4) Comutatividade da adi¸c˜ao:

a + b = b + a para todo a, b ∈ A.

M1) Associatividade da multiplica¸c˜ao:

(a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c ∈ A.

M2) Existˆencia de elmento neutro para a multiplica¸c˜ao: existe um elemento chamado uni-dade e denotado por 1 tal que

a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ A.

M3) Comutatividade da multiplica¸c˜ao:

a · b = b · a para todo a, b ∈ A.

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M4) Distributividade da multiplica¸cão com rela¸cão a adi¸cão: a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c ∈ A.

O elemento a + b será chamado soma de a e b, enquanto a · b, também denotado por ab, será chamado produto de a e b.

Alguns exemplos de anéis são: o conjunto dos n´_{umeros inteiros Z, o conjunto dos números} racionais Q e o conjunto dos números reais R.

Em ambientes discretos, os anéis mais utilizados são os anéis de inteiros m´_{odulo p Z}p, onde

Zp = {0, 1, 2, ..., p − 1}.

O próximo conceito é fundamental para a constru¸cão de códigos c´ıclicos, que serão definidos na Se¸cão 3.5.

Defini¸cão 2.7 Um subconjunto I não vazio de um anel A é um ideal de A se as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

i) para todo a, b ∈ I, a + b ∈ I. ii) para todo a ∈ I e ∀ c ∈ A, ca ∈ I.

Como exemplos triviais, os subconjuntos {0} e A s˜ao ideais de A.

Defini¸c˜ao 2.8 Um anel A ´e chamado dom´ınio de integridade se satisfaz a seguinte propri-edade, para todo a, b ∈ A

a 6= 0 e b 6= 0 ent˜ao a.b 6= 0.

Exemplo 2.9 O anel dos inteiros Z ´e um dom´ınio de integridade. J´a o anel finito Z6 =

{0, 1, 2, 3, 4, 5} n˜ao o ´_{e, pois 2.3 = 6 = 0 em Z}6.

Defini¸cão 2.9 Um elemento a de um anel A é dito invert´ıvel se existe um elemento b ∈ A tal que a.b = 1. Nesse caso, dizemos que b é o inverso de a. Um anel onde todo elemento não nulo é invert´ıvel é chamado de corpo.

O anel Z não é um corpo, pois para todo a ∈ Z tal que a 6= 1, não existe b tal que a.b = 1. O anel Zp onde p é um primo é um corpo, o qual denotaremos por Fp. O caso mais simples é

F2 = Z2 que desempenha papel fundamental nas nossas constru¸c˜oes.

2.3 Espa¸

cos M´

etricos

O “controle”de erros na transmissão de informa¸cões é decisivo para verificar se um código possui boas propriedades. A maneira de controlar o erro pode ser fundamentada matematicamente através do conceito de métrica.

(27)

2.3. Espa¸cos M´etricos 9

Defini¸cão 2.10 Uma métrica num conjunto M é uma fun¸c˜_{ao d : M × M −→ R, que associa} a cada par ordenado de elmentos x, y ∈ M um número real d(x, y), chamado distância de x a y, tal que para quaisquer x, y, z ∈ M , as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

i) d(x, x) = 0.

ii) Se x 6= y ent˜ao d(x, y) > 0. iii) d(x, y) = d(y, x).

iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Quando um espa¸co X está munido de uma métrica d, dizemos que ele é um espa¸co métrico e denotamos por (X, d).

Exemplo 2.10 A fun¸c˜_{ao d : R}n _{→ R definida por d(x, y) = ||x − y|| =} v u u t n X i=1 (xi− yi)2 ´e a m´_{etrica euclidiana em R}n.

Exemplo 2.11 Sejam u, v ∈ Kn _{com u = (u}

1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) e considere

d(u, v) = |{i : ui 6= vi, 1 ≤ i ≤ n}|.

onde K ´e um corpo qualquer.

A distância d é de fato uma métrica, chamada de métrica de Hamming, pois satisfaz as condi¸cões da Defini¸cão 2.10.

Exemplo 2.12 O espa¸_{co vetorial K}n₂ munido com a métrica d é um espa¸co métrico, denotado por (Kn

2, d).

A métrica de Hamming é uma das métricas mais utilizadas na teoria de códigos corretores de erros, que será definido logo a seguir.

(28)

Cap´ıtulo

3

C´

odigos Corretores de Erros

Neste cap´ıtulo faremos uma breve revisão de códigos corretores de erros com o objetivo de facilitar o entendimento de conceitos que serão utilizados no próximo cap´ıtulo.

O estudo de códigos corretores de erros teve in´ıcio em 1940 com o trabalho de Hamming, [6]. Neste trabalho, o objetivo foi de apresentar uma forma sistemática de gera¸cão e de decodifica¸cão de códigos capazes de detectar e corrigir poss´ıveis erros introduzidos pelas interferências e ou ru´ıdos no canal quando da transmissão da informa¸cão. Entre os códigos corretores de erros temos os códigos de blocos (as palavras-código têm o mesmo comprimento) e os códigos de treli¸ca (as palavras-código têm comprimentos variáveis). Neste trabalho consideraremos somente os códigos de bloco. Para uma melhor abordagem sobre o assunto, ver [13].

O cap´ıtulo está organizado da seguinte maneira: na Se¸cão 3.1 revisaremos o conceito de códigos de bloco. Na Se¸cão 3.2 mostraremos como é a representa¸cão de um código linear. Na Se¸cão 3.3 falaremos um pouco sobre os códigos de Hamming e os códigos de Hamming estendidos. Já na Se¸cão 3.4 mostraremos quais são os códigos denominados simplex. Na Se¸cão 3.5 mostraremos os códigos c´ıclicos e na Se¸cão 3.6 o conceito de codifica¸cão de rede linear será explicado.

3.1 C´

odigos de bloco

Os códigos de bloco são aqueles que possuem palavras-código com o mesmo comprimento. Eles podem ser divididos em duas classes: os códigos lineares e os não-lineares.

Defini¸cão 3.1 Um código corretor de erros é um subconjunto pr´_{oprio qualquer de K}n_{, para}

algum n´_{umero natural n e um corpo qualquer K.}

O conjunto C = {20, 01} ´e um exemplo de c´_{odigo corretor de erros sobre o corpo F}2 3.

Defini¸cão 3.2 Seja C um código. A distância m´ınima de C é o número d = min{d(u, v) : u, v ∈ C e u 6= v}.

Considerando a distância de Hamming, então a distância m´ınima do código C acima é 1.

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3.1. C´odigos de bloco 11

Defini¸c˜_{ao 3.3 Dado x ∈ F}n

q, define-se o peso de x como sendo o n´umero inteiro

ω(x) = |{i : xi 6= 0}|,

ou seja, ω(x) = d(x, 0), onde d representa a m´_{etrica de Hamming e F}q ´e um corpo finito com q

elementos.

Calculando o peso de C temos que ω(20) = 1 e ω(01) = 1.

Faremos agora uma breve abordagem sobre c´odigos lineares, incluiremos alguns exemplos e apresentaremos algumas propriedades. Para um estudo mais aprofundado sobre o assunto, ver [10] e [7].

Defini¸c˜ao 3.4 Um c´_{odigo C ⊂ K}n _´_{e chamado de c´}_{odigo linear se for um subespa¸}_{co vetorial}

de Kn.

Exemplo 3.1 O c´odigo C = {00, 11} ´e um c´_{odigo linear sobre Z}2

2, mas n˜ao ´e sobre R.

Exemplo 3.2 Seja o código C = {000, 1001, 0110, 1111}. As distâncias de Hamming entre as palavras-código são:

d(0000, 1001) = 2, d(0000, 0110) = 2, d(0000, 1111) = 4 d(1001, 0110) = 4, d(1001, 1111) = 2, d(0110, 1111) = 2 Portanto, a distância m´ınima do código C é 2.

Defini¸cão 3.5 O peso de um código linear C é o inteiro ω(C) = min{ω(x) : x ∈ C\{0}}.

Quando tratamos de códigos lineares, temos a propriedade adicional de que a distância m´ınima do código pode ser calculada através do peso do código.

Proposi¸cão 3.1 Se C é linear, então

d(C) = ω(C\{0}).

Sejam Fq um corpo finito com q elementos e C um c´odigo linear em Fnq. Chamaremos de

parˆametros do c´odigo linear C a terna de inteiros (n, k, d)q, onde

• n é o comprimento da palavra-código; • k é a dimens˜_{ao de C sobre F}q;

• d representa a distância m´ınima de C. O número de elementos de C é igual a qk_.

(30)

3.2 Representa¸

c˜

ao do c´

odigo linear

Nesta se¸cão mostraremos uma das vantagens do código linear, que é a sua representa¸cão na forma matricial.

A estrutura algébrica de um código linear facilita enormemente a sua representa¸cão, como passamos a descrever. Como C é um código linear, então C ´_{e um subespa¸co vetorial de F}n

q e assim

podemos representar C na forma matricial, onde a base que gera o subespa¸co é representada pelas linhas da matriz G, a qual chamamos de matriz geradora do código. Qualquer palavra-código do código C é uma combina¸cão linear das linhas da matriz G.

Um exemplo de matriz geradora ´e como mostrado a seguir:

G =   1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1   (3.1)

A matriz geradora não é única, pois qualquer outra matriz geradora cujas linhas são line-armente independentes (outra base para o subespa¸co) pode ser transformada em uma outra matriz geradora através das opera¸cões elementares do tipo:

• Permuta¸c˜ao de duas linhas.

• Multiplica¸cão de uma linha por um escalar não nulo. • Adi¸cão de um múltiplo escalar de uma linha a outra.

Defini¸cão 3.6 Dizemos que uma matriz geradora G de um código C está na forma padrão se

G = (Idk|A)

onde Idk é a matriz identidade k × k e A é uma matriz de dimensão k × (n − k).

A matriz geradora G da equa¸cão (3.1) está na forma padrão.

Nem sempre é poss´ıvel encontrar uma matriz geradora de um código C na forma padrão, o que se pode fazer é encontrar uma matriz geradora na forma padrão de um código C0 equivalente ao código C. As opera¸cões que podem ser efetuadas para se encontrar a matriz na forma padrão são:

• Permuta¸c˜ao de duas colunas.

• Multiplica¸c˜ao de uma coluna por um escalar n˜ao nulo.

Dado um código linear C o complemento ortogonal C⊥é definido como sendo o conjunto de todos os vetores ortogonais a C. O complemento ortogonal também pode ser visto como um código linear e é chamado código dual. A dimensão do código dual é n − k e, portanto, qualquer base possui n − k vetores linearmente independentes. A matriz H do código dual é

(31)

3.3. C´odigos de Hamming e C´odigos de Hamming Estendidos 13

chamada matriz verifica¸cão de paridade e como todo vetor v ∈ C é ortogonal a C⊥, então v.Ht _{= 0. Como essa condi¸c˜}_{ao ´}_{e v´}_{alida para todo vetor v ∈ C, ent˜}_{ao G.H}t_{= 0.}

A matriz verifica¸cão de paridade associada com a matriz G da equa¸cão (3.1) é dada por

H = 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

3.3 C´

odigos de Hamming e C´

odigos de Hamming

Esten-didos

Os c´odigos de Hamming e Hamming estendido formam uma importante classe dentro dos c´odigos corretores de erros lineares.

O código de Hamming apresenta uma matriz verifica¸cão de paridade onde todas as colunas são distintas e não nulas. Se a matriz verifica¸cão de paridade tiver m linhas, então cada coluna ´

e representada por m d´ıgitos bin´arios. Pelo fato das colunas serem distintas, temos 2m _{− 1}

poss´ıveis colunas não nulas. Desse modo, se a matriz H de um código binário com distância m´ınima d∗, pelo menos 3, tem m linhas, então esta matriz pode ter 2m_{− 1 colunas e n˜}_{ao mais.}

Logo, temos um c´odigo (2m− 1, 2m_{− 1 − m).}

Exemplo 3.3 Considere m = 3. Logo, o c´_{odigo de Hamming (7, 4, 3) sobre F}2 possui matriz

verifica¸c˜ao de paridade dada por:

H =   0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1   e matriz geradora G =     1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1    

O código de Hamming estendido é um código de Hamming cuja matriz verifica¸cão de pari-dade possui uma coluna a mais, que é a coluna de paridade, ou seja, será adicionada uma nova coluna na matriz verifica¸cão de paridade e esta coluna será formada da seguinte maneira: se a quantidade de 1’s na i-ésima linha da matriz for par, então coloca-se 0 na i-ésima entrada da coluna de paridade, caso contrário, coloca-se 1.

Exemplo 3.4 Considere o código de Hamming do Exemplo 3.3. Assim, a matriz verifica¸cão de paridade do código de Hamming estendido é dada por:

H =   0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0  

(32)

3.4 C´

odigos Simplex

Os códigos simplex serão fundamentais no nosso trabalho pois eles podem ser associados com alguns dos códigos que constru´ımos. Devido a isso, o entendimento deles se faz muito necessário e importante.

O código binário simplex é o dual de um código de Hamming. Os parâmetros dessa classe de códigos são (2r_{− 1, r, 2}r−1_{), sendo a matriz geradora G igual a matriz verifica¸c˜}_{ao de paridade}

do código de Hamming. Este código é chamado código simplex, e cada par de palavras-código possui a mesma distância. Podemos considerar as palavras-código do código simplex como sendo os vértices situados na diagonal de cada face de um cubo unitário de dimensão n. Assim, essa configura¸cão forma um simplex regular.

Exemplo 3.5 Considere o código de Hamming (7, 4) do Exemplo 3.3. Assim, a matriz geradora do código simplex (7, 3, 4) é dada por:

G =   0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1  

3.5 C´

odigos C´ıclicos

Uma ampla classe dentre os códigos corretores de erros são os códigos c´ıclicos e pode-se dizer que eles são, de fato, a classe mais importante.

Nesta se¸c˜ao, q sempre denota uma potˆencia de primo.

Um c´_{odigo linear C sobre F}qde comprimento n ´e c´ıclico se, sempre que v = (v0, v1, ..., vn−2, vn−1) ∈

C, ent˜ao o novo vetor v(1) _{= (v}

n−1, v0, v1, ..., vn−2) ∈ C, isto ´e, um deslocamento c´ıclico de uma

palavra-código em C resulta em uma outra palavra-código pertencente a C. Exemplo 3.6 Seja C o c´_{odigo (3, 1) sobre F}2, com as seguintes palavras-códigos

C = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} Este código é um código linear c´ıclico.

Uma outra maneira de descrevermos os códigos c´ıclicos é através da forma polinomial, ou seja, cada palavra-código v = (v0, v1, ..., vn−2, vn−1) ∈ C corresponde a um único polinômio

c´_{odigo de grau n − 1 com coeficientes em F}q, especificado por:

v(x) = v0 + v1x + v2x2+ ... + vn−1xn−1.

A palavra v(1) sendo um deslocamento c´ıclico da palavra v corresponde ao polinˆomio v(1)(x) = vn−1+ v0x + v1x2+ ... + vn−2xn−1,

(33)

3.5. C´odigos C´ıclicos 15

que é o polinômio Rxn₋₁(xv(x)), ou seja, o resto da divisão de xv(x) por xn− 1.

Outro fato interessante é que o conjunto de todas as palavras pertencentes a um código c´ıclico C forma um subconjunto do anel Rn = Fq[x]/(xn− 1), que é o conjunto de todos os

polinˆomios cujo grau ´e menor que n.

A seguir, relacionamos alguns resultados importantes sobre códigos c´ıclicos, cujas demons-tra¸cões podem ser encontradas em [10]. O próximo resultado caracteriza códigos c´ıclicos. Teorema 3.1 Um subespa¸co C de Rn = Fq[x]/(xn− 1) é um código c´ıclico se, e somente se,

C ´e um ideal de Rn.

Exemplo 3.7 Considere o anel Z4 e o quociente R2 = Z4[x]/hx2− 1i. Pelo Teorema 3.1, temos

que o ideal C = {0, 2, 2x, 2 + 2x, 1 + 3x, 3 + x, 1 + x} de R2 ´e um c´odigo c´ıclico.

Teorema 3.2 Seja C um ideal em Rn = Fq[x]/(xn − 1) e g(x) um polinˆomio mˆonico com o

menor grau em C. Assim, C = hg(x)i, e portanto, o c´odigo C consiste de todos os m´ultiplos de g(x).

Teorema 3.3 Seja C um ideal em Rn. Se o coeficiente dominante do polinˆomio de menor grau

em C, g(x), é um elemento invers´ıvel, então g(x) divide (xn− 1). Note que se este polinômio for mônico, então g(x) divide (xn_{− 1).}

Podemos representar os códigos c´ıclicos através de matrizes geradoras, assim como fizemos para códigos lineares. O próximo teorema fornece uma maneira de construir as matrizes gera-doras para códigos c´ıclicos.

Teorema 3.4 Seja C um c´_{odigo c´ıclico sobre F}q gerado pelo polinˆomio de grau n − k g(x).

Então os polinômios código

g(x), xg(x), x2g(x), · · · , xk−1g(x), s˜ao linearmente independentes e geram C.

Assim, pelo Teorema 3.4, se C for um código c´ıclico gerado por g(x) de grau n − k, então C tem dimensão k e uma matriz geradora para C é dada por:

G =        g0 g1 g2 ... 1 0 0 ... 0 0 g0 g1 ... gn−k−1 1 0 ... 0 0 0 g0 ... gn−k−2 gn−k−1 1 ... 0 .. . ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... g0 g1 g2 ... 1        .

(34)

3.6 Codifica¸

c˜

ao de Rede Linear

Nesta se¸cão, faremos uma breve apresenta¸cão sobre o modo de funcionamento de uma rede usando codifica¸cão de rede linear. Para o leitor que queira aprofundar mais sobre o assunto, ver [15] e [14].

Suponha que temos uma rede de comunica¸cão que possui somente um nó fonte e vários nós destinos e os demais nós são os nós intermediários. Essa rede pode ser representada por um multigrafo. Cada aresta da rede transporta, livre de erros, um pacote de n s´ımbolos de um corpo finito Fq, onde q é a potência de um primo. Um pacote transmitido do nó x para o nó

y através de uma aresta é um pacote de sa´ıda do nó x e um pacote de entrada do nó y. A mensagem a ser transmitida pelo nó fonte ´_{e uma matriz X ∈ F}m×n

q , onde m ´e um inteiro positivo

e X1, X2, .., Xm ∈ F1×nq representam as linhas da matriz X que s˜ao os pacotes de entrada do n´o

fonte.

O funcionamento da rede pode ser descrito da seguinte forma: em cada oportunidade de transmissão, um nó calcula um pacote de sa´ıda como uma combina¸cão linear dos pacotes de entrada, lembrando que o corpo usado ´_{e o F}q. Note que um pacote Yi transmitido em uma

aresta i ´e uma combina¸c˜ao linear dos pacotes da fonte, ou seja, Yi = biX, onde bi ∈ F1×mq .

Considere, por exemplo, um n´o destino espec´ıfico e ent˜_{ao Z ∈ F}t×n

q ´e a matriz cujas linhas s˜ao

os t pacotes deste n´o. Segue que

Z = AX para alguma matriz A ∈ Ft×m

q , chamada matriz de transferˆencia da rede (do n´o fonte para

aquele nó destino espec´ıfico). É claro que todos os nós destinos podem obter X se todas as matrizes de transferência possuem posto n, neste caso a rede é chamada fact´ıvel.

´

E importante mencionar que a igualdade Z = AX permanece independente da topologia de rede que se está usando, ou seja, a rede pode, por exemplo, conter ciclos. Outro fato é que a rede pode ser usada em várias rodadas, mas possivelmente as matrizes de transferência serão diferentes e por fim, as transmissões de pacotes podem conter atrasos e a topologia geral pode ter varia¸cão de tempo.

(35)

Cap´ıtulo

4

C´

odigos

O objetivo deste cap´ıtulo é revisar dois conceitos de extrema importância e fundamenta¸cão para este trabalho, que são: códigos de subespa¸co e códigos geometricamente uniformes. Os códigos de subespa¸cos foram propostos por Koetter e Kschischang, [12], enquanto que os códigos geometricamente uniformes foram propostos por Forney, [9].

O cap´ıtulo está organizado da seguinte forma: na Se¸cão 4.1 mostraremos o conceito de códigos de subespa¸co. Na se¸cão 4.2 exibiremos algumas propriedades de duas classes de códigos de subespa¸co e na Se¸cão 4.3, falaremos sobre os códigos geometricamente uniformes.

4.1 C´

odigos de Subespa¸

co

Nesta se¸cão, introduziremos o conceito de códigos de subespa¸co. Diferentemente da codifica¸cão clássica, os códigos de subespa¸cos possuem subespa¸cos vetoriais como palavras-código. Defi-niremos também métricas apropriadas para mensurar a capacidade de corre¸cão e deteçcão de erros associada a esses códigos.

Ao longo deste cap´ıtulo, Fnq denota um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre Fq, onde Fq ´e

um corpo finito com cardinalidade q.

4.1.1 Conceitos b´

asicos

Introduziremos agora, conceitos relacionados a c´odigos de subespa¸cos. Defini¸c˜ao 4.1 O conjunto de todos os subespa¸_{cos vetoriais de F}n

q ´e denotado por Pq(n). A

Grassmanniana de ordem k, Gq(n, k), ´e o conjunto de todos os subespa¸cos vetoriais de Fnq

de ordem k.

Note que Gq(n, 0) = 0, Gq(n, 1) denota o conjunto de todas as retas que passsam pela origem

e assim sucessivamente at´e Gq(n, n) = Fnq.

(36)

Da defini¸c˜ao segue que Pq(n) = n [ k=0 Gq(n, k).

A cardinalidade da Grassmanniana Gq(n, k) pode ser obtida atrav´es do coeficiente binomial

Gaussiano, [2], e ´e dada por

|Gq(n, k)| = n k q = k−1 Y i=0 (qn_{− q}i₎ (qk_{− q}i₎

Consequentemente, a cardinalidade de Pq(n) ´e dada por

|Pq(n)| = n X k=0 n k q .

Definiremos a seguir o conceito de códigos de subespa¸co. Esses códigos foram introduzi-dos primeiramente por Koetter e Kschischang, [12], mas desde então novos elementos foram sendo incorporados devido à necessidade de atender a caracter´ıticas de prote¸cão, confiabilidade, seguran¸ca e de autentica¸cão da informa¸cão em aplica¸cões utilizando códigos de subespa¸cos. Atu-almente, tais códigos são utilizados em várias aplica¸cões, tais como: codifica¸cão de rede linear não-coerente e autentica¸cão linear. Em [11], Khaleghi, Silva e Kschischang apresentam uma revisão das diversas constru¸cões de códigos de subespa¸cos existentes na literatura bem como de limitantes inferiores e superiores para estes códigos, induzidos pela métrica de inje¸cão.

Defini¸cão 4.2 Um código de subespa¸co é um conjunto não vazio de Pq(n). No caso em

que o c´odigo de subespa¸co est´a contido em uma Grassmanniana de ordem k, Gq(n, k), ou seja,

todas as suas palavras códigos possuem a mesma dimensão, ele será chamado de código de dimensão constante.

Exemplo 4.1 Considere os seguintes subespa¸_{cos de F}4 2

T1 = {0000, 1000}, T2 = {0000, 1000, 0100, 1100}, T3 = {0000, 0010}, T4 = {0000, 1111}

O que se nota ´e que os subespa¸cos S1, S3 e S4 pertencem a G2(4, 1), mas S2 pertence a G2(4, 2).

Logo, este código não apresenta a propriedade de pertencer a uma Grassmaniana de dimensão constante. Assim, C1 = {T1, T2, T3, T4} é um código de subespa¸co de P2(4).

Exemplo 4.2 Seja C2 = {R1, R2, R3} um c´odigo de subespa¸co sobre F33. As palavras-c´odigos

de C2 s˜ao:

R1 = {000, 100, 010, 110, 200, 020, 220, 120, 210},

R2 = {000, 100, 001, 101, 200, 002, 202, 102, 201},

R3 = {000, 010, 001, 011, 020, 002, 022, 012, 021}.

(37)

4.1. C´odigos de Subespa¸co 19

4.1.2 M´

etricas

Um código corretor ou detector de erros nada mais é do que um espa¸co métrico discreto. Logo, ao conjunto consistindo de palavras-código é necessário associarmos uma métrica ou distância.

´

E através da distância que se tem uma medida da capacidade de deteçcão e corre¸cão de erros do código. Essa capacidade de corre¸cão e deteçcão de erros é uma das formas utilizadas para a classifica¸cão e otimalidade dos códigos.

A seguir, definiremos trˆes distˆancias.

Defini¸cão 4.3 Dados dois subespa¸_{cos vetoriais U e V de F}n_q, a distância de subespa¸co entre U e V é definida como:

dS(U, V ) = dim(U ) + dim(V ) − 2dim(U ∩ V ).

A seguir, mostaremos que a distância de subespa¸co é de fato uma métrica. Proposi¸cão 4.1 A distância de subespa¸co dS(., .) é uma métrica em Pq(n).

Demonstra¸c˜ao: Sejam U, V, W ∈ Pq(n).

i) para cada U ∈ Pn

q, d(U, U ) =0, pois

d(U, U ) = dim(U ) + dim(U ) − 2dim(U ∩ U ) = 2dim(U ) − 2dim(U ) = 0 ii) para todo U , V ∈ Pn

q, d(U, V ) > 0 se U 6= V . Como U e V n˜ao s˜ao subespa¸cos nulos

simultaneamente, logo dim(U ) > 0 ou dim(V ) > 0. Se U ou V for nulo, ent˜ao dim(U ∩ V ) = 0, e portanto d(U, V ) > 0.

Se U e V forem ambos subespa¸cos não nulos, então dim(U ) > 0, dim(V ) > 0 e dim(U ∩V ) ≥ 0, e como d(U ∩ V ) é no máximo igual a dim(U ) ou dim(V ), logo d(U, V ) > 0.

iii) dados U, V ∈ Pn

q, d(U, V ) = d(V, U ).

d(U, V ) = dim(U ) + dim(V ) − 2dim(U ∩ V ) = dim(V ) + dim(U ) − 2dim(V ∩ U ) = d(V, U ).

iv) vale a desigualdade triangular, d(U, W ) ≤ d(U, V ) + d(V, W ). De fato 1

2(d(U, W ) − d(U, V ) − d(V, W )) = dim(U ∩ V ) + dim(W ∩ V ) − dim(V ) − dim(U ∩ W ) = dim(U ∩ V + W ∩ V ) − dim(V ) + dim(U ∩ W ∩ V ) − dim(U ∩ W )

≤ 0

pois, dim(U ∩ V + W ∩ V ) − dim(V ) ≤ 0 devido `a propriedade que U ∩ V + W ∩ V ⊆ V e dim(U ∩ W ∩ V ) − dim(U ∩ W ) ≤ 0 pelo fato de que U ∩ W ∩ V ⊆ U ∩ W .

(38)

Exemplo 4.3 Seja C3 um c´odigo de subespa¸co em P2(3) dado por C3 = {T1, T2, T3} com

T1 = {000, 100, 010, 110}, T2 = {000, 100}, e T3 = {000, 001}

Como podemos ver, C3 n˜ao possui dimens˜ao constante, pois dim(T1) = 2 e dim(T2) =

dim(T3) = 1. Vamos calcular a distˆancia de subespa¸co entre as palavras-c´odigo

dS(T1, T2) = 2 + 1 − 2.1 = 1, dS(T1, T3) = 2 + 1 − 2.0 = 3, e dS(T2, T3) = 1 + 1 − 2.0 = 2

Portanto, C3 n˜ao possui distˆancia constante.

Exemplo 4.4 Seja C4 um c´odigo de subespa¸co em P2(4) dado por C4 = {R1, R2, R3, R4}, onde

R1 = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)}, R2 = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)},

R3 = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}, R4 = {(0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0)}.

Este código é um código de subespa¸co de dimensão constante, pois todas as palavras-código (subespa¸cos) pertencem a G2(4, 2), mas a distância de subespa¸co não é constante, pois dS(R1, R2) =

4, mas dS(R1, R3) = 2.

Podemos definir também a distância de inje¸cão.

Defini¸cão 4.4 Dados U e V subespa¸_{cos de F}n_q, a distância de inje¸cão entre U e V é dada por

dI(U, V ) = max{dim(U ), dim(V )} − dim(U ∩ V )

Exemplo 4.5 Se considerarmos o c´odigo C3 do Exemplo 4.3 e calcularmos a distˆancia de

inje¸c˜ao, temos que

dI(T1, T2) = 2 − 1 = 1, dI(T1, T3) = 2 − 0 = 2 e dI(T2, T3) = 1 − 0 = 1.

O código C4 não possui distância de inje¸cão constante.

A distância de subespa¸co e a distância de inje¸cão estão relacionadas da seguinte forma. Quando U e V têm a mesma dimensão, a seguinte rela¸cão numérica vale

Proposi¸c˜ao 4.2 Sejam U e V subespa¸cos de um espa¸_{co vetorial F}n

q. Vale as rela¸c˜oes entre

dS(., .) e dI(., .):

i) se dim(U ) = dim(V ), ent˜ao

dS(U, V ) = 2dI(U, V );

ii) se dim(U ) 6= dim(V ), ent˜ao dI(U, V ) =

1

2dS(U, V ) + 1

(39)

4.2. Duas classes de c´odigos 21

Demonstra¸c˜ao:

i) Suponha que dim(U ) = dim(V ), ent˜ao

dS(U, V ) = 2dim(U ) − 2dim(U ∩ V ) = 2(dim(U ) − dim(U ∩ V )) = 2dI(U, V ).

ii) Se dim(U ) 6= dim(V ), considere U +V como sendo o conjunto U +V = {u+v : u ∈ U, v ∈ V }. Uma propriedade bastante conhecida ´e dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V ) vista na Proposi¸c˜ao 2.1. Assim,

dI(U, V ) = dim(U + V ) − min{dim(U ), dim(V )}

dS(U, V ) = 2dim(U + V ) − dim(U ) − dim(V ) = dim(U + V ) − dim(U ∩ V )

Uma simples compara¸c˜ao entre as igualdades acima mostram que dI(U, V ) =

1

2dS(U, V ) + 1

2|dim(V ) − dim(U )| Recordemos agora outra maneira de definir m´etrica em Mm×n(Fq).

Defini¸c˜_{ao 4.5 Sejam A e B matrizes de ordem m×n sobre o corpo F}q. Definimos a distˆancia

do posto entre A e B como sendo:

dR(A, B) = rank(B − A).

Esta distância também satisfaz as condi¸cões da Defini¸cão 2.10. Defini¸cão 4.6 Um c´_{odigo C ⊂ F}m×n

q com a métrica do posto é um código de matrizes (ou seja,

um conjunto não vazio de matrizes). A distância m´ınima dR(C) denota a m´ınima distância do

posto entre quaisquer duas palavras-c´odigo distintas de C, ou seja, dR(C) = min{dR(A, B) :

A, B ∈ C}. Exemplo 4.6 Seja C = 0 1 1 1 , 1 1 1 0 um c´odigo de matrizes em M2×2(F2). Um

c´alculo simples mostra que dR= 2.

A métrica de maior interesse no nosso estudo é a métrica de subespa¸co. Por simplicidade, dS será denotada por d.

4.2 Duas classes de c´

odigos

A seguir, apresentaremos códigos conhecidos com distância de subespa¸co igual a 2 e n. As propriedades a serem abordadas podem ser encontradas em [5], bem como as demonstra¸cões dos resultados que estão contidos nesta se¸cão.

Seja Gq(n, k) a Grassmanniana de ordem k, ou seja, o conjunto dos subespa¸cos de dimens˜ao

(40)

Teorema 4.1 Defina os c´odigos C1 e C2 em Pq(n):

i) Seja C1 o conjunto de todos os subespa¸cos de dimens˜ao par de todas as Grassmannianas

Gq(n, 2k), onde k = 0, ..., bn₂c, ou seja C1 = bn 2c [ k=0 Gq(n, 2k)

Então, C1 é um código com distância de subespa¸co igual a 2 e cardinalidade

|C1| = bn 2c X k=0 n 2k

ii) Seja C2 o conjunto de todos os subespa¸cos de dimens˜ao ´ımpar de todas as Grassmannianas

Gq(n, 2k + 1), onde k = 0, ..., bn−1₂ c, ou seja C2 = bn−1₂ c [ k=0 Gq(n, 2k + 1).

Então, C2 é um código com distância igual a 2 e cardinalidade

|C2| = bn−1 2 c X k=0 n 2k + 1 .

O lema a seguir compara as cardinalidades entre os c´odigos C1 e C2 definidos no Teorema

4.1.

Lema 4.1 Se n ´e ´ımpar, ent˜ao

|C1| = |C2|.

E se n ´e par, temos

|C1| > |C2| para n ≡ 0 (mod 4)

e

|C1| < |C2| para n ≡ 2 (mod 4).

Consideramos a seguir os c´odigos com distˆancia de subespa¸co igual a n.

Lema 4.2 Sejam U e V subespa¸cos de um espa¸co vetorial de dimensão n. Então a distância é máxima, isto é, d(U, V ) = n, se e somente se,

1. Os subespa¸cos U e V se intersectam em um subespa¸co de dimens˜ao 0; 2. dim(U ) + dim(V ) = n.

(41)

4.3. C´odigos Geometricamente Uniformes 23

O que o lema acima nos diz é que a distância é máxima quando o espa¸co vetorial é soma direta de U e V .

A seguir, apresentamos alguns resultados que estabelecem a cardinalidade de códigos com distância máxima.

Teorema 4.2 Se n é ´ımpar, então a cardinalidade de qualquer código C com distância de subespa¸co n é |C| = 2. Tal código consiste de dois subespa¸cos, C = {U, V }, onde U e V se intersectam em um subespa¸co de dimensão 0 e

dim(U ) + dim(V ) = n.

Lema 4.3 Seja um código C com distância máxima par n com cardinalidade |C| ≥ 3, então todos os elementos se intersectam dois a dois em um subespa¸co de dimensão 0 e possuem a mesma dimensão n/2 = m.

Lema 4.4 A cardinalidade de um c´_{odigo C em F}n_q com distˆancia m´axima par n = 2m satisfaz a desigualdade

|C| ≤ qm_{+ 1.}

Teorema 4.3 Existe um código C com distância máxima par n = 2m e com cardinalidade máxima poss´ıvel

|C| = qm_{+ 1.}

4.3 C´

odigos Geometricamente Uniformes

Os códigos geometricamente uniformes foram propostos por Forney em [9]. Esta classe de códigos permitiu inserir os códigos de Slepian, os códigos reticulados e os códigos clássicos dentro de uma mesma abordagem, qual seja, a da a¸cão transitiva de um grupo no processo de gera¸cão de tais códigos.

Defini¸cão 4.7 Uma isometria f de um espa¸co métrico (M, d) é uma transforma¸cão f : M → M que preserva distâncias, ou seja, para quaisquer a, b ∈ M

d(f (a), f (b)) = d(a, b)

Um exemplo de isometria ´e a fun¸c˜_{ao f : R}2 _{→ R}2 _{tal que f (x) = x + a, conhecida como}

fun¸c˜ao transla¸c˜ao.

(42)

Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3

Figura 4.4 Figura 4.5

A figura 4.2 é uma transla¸cão no eixo x da figura 4.1, a figura 4.3 é uma transla¸cão no eixo y da figura 4.1 e as figuras 4.4 e 4.5 são combina¸cões das duas primeiras transla¸cões, ou seja, elas são transla¸cões nos eixos x e y da figura 4.1.

Outro exemplo de isometria é a fun¸cão reflex˜_{ao. Seja g : R}2 _{→ R}2 tal que g(x) = −x, dizemos que g é a fun¸cão reflexão.

Figura 4.6

A fun¸c˜_{ao h : R}2 _{→ R}2 onde h(x) = x2 n˜ao ´e uma isometria.

(43)

4.3. C´odigos Geometricamente Uniformes 25

Defini¸cão 4.8 Uma figura geométrica S é qualquer conjunto de pontos do espa¸co euclidiano Rn. A imagem de uma figura S sob uma isometria f é denotada por f (S). Duas figuras S1

e S2 s˜ao geometricamente congruentes se existe uma isometria f tal que f (S1) = S2. Se

S1 e S2 s˜ao geometricamente congruente ent˜ao dizemos que S1 e S2 possuem a mesma forma.

Defini¸cão 4.9 Uma isometria f que deixa S invariante, isto é, f (S) = S, é uma simetria de S. As simetrias de S formam um grupo sob a composi¸cão de fun¸cões, o grupo de simetrias Γ(S) de S.

Uma permuta¸cão de um conjunto A é uma fun¸cão bijetiva h que leva A em A, ou seja, h : A → A. O grupo de simetrias (ou permuta¸cões) do conjunto A é o conjunto de permuta¸cões de A que, com a composi¸cão, formam um grupo, o qual denotamos por SA.

Por exemplo, o grupo de permuta¸c˜oes S3 ´e da forma:

S3 = 1 2 3 1 2 3 , 1 2 3 2 1 3 , 1 2 3 3 2 1 , 1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 2 3 1 , 1 2 3 1 3 2

Defini¸c˜ao 4.10 Um conjunto de sinais S ´e geometricamente uniforme se, dados dois pon-tos quaisquer s e s0 em S, existe uma isometria us,s0 que transforma s em s0 deixando S

inva-riante:

us,s0(s) = s0 u_s,s0(S) = S

Em geral, o grupo de simetria Γ(S) de um conjunto de sinais geometricamente uniforme S ´

e maior do que o necess´ario para gerar S. Por exemplo, existem oito simetrias do quadrado (o conjunto de sinais S = {(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1)} de quatro pontos). Essas simetrias s˜ao os elementos do grupo diedral D4, que pode ser representado pelo grupo de matrizes ortogonais

2 × 2: 1 0 0 1 , 0 −1 1 0 , −1 0 0 −1 , 0 1 −1 0 , 1 0 0 −1 , 0 1 1 0 , −1 0 0 1 , 0 −1 −1 0

O grupo de rota¸cão R4 é o conjunto das rota¸cões por múltiplos inteiros de 90 graus e

cor-responde às primeiras quatro matrizes. O grupo R4 é isomorfo ao grupo Z4 e é suficiente para

gerar todos os vértices do quadrado S. O grupo de reflexões V2, tendo como referências os eixos coordenados e as diagonais, consiste das outras quatro matrizes. Note que o grupo V2 é isomorfo a (Z2)2 e gera todos os vértices de S iniciando de qualquer um dos vértices.

S é geometricamente uniforme se a a¸cão do grupo de simetrias Γ(S) de S é transitiva. Se S for finito, dizemos que S é uma constela¸cão uniforme. Se S for infinito, dizemos que S é um arranjo regular.

Defini¸cão 4.11 Seja S um código geometricamente uniforme. Um grupo gerador m´ınimo U (S) de S é um subgrupo do grupo de simetrias de S que satisfaz, para todo s0 ∈ S

S = {µ(s0), µ ∈ U (S)}

(44)

Exemplo 4.7 A constela¸cão de sinais M-PSK é um conjunto de M pontos distribu´ıdos uni-formemente no c´ırculo unitário, ou seja, é o conjunto sen 2πj_M , cos 2πj_M , 0 ≤ j ≤ M − 1 , ´

e um c´odigo geometricamente uniforme. Seu grupo de simetrias ´_{e D}M. A figura 4.8 ilustra a

constela¸c˜ao 8-PSK.

Figura 4.8

Intuitivamente, um conjunto de sinais é geometricamente uniforme se todos os seus sinais estão espalhados uniformemente na casca da esfera n-dimensional. Recomendamos a referência [9] para aprofundamentos nessa temática.

Teorema 4.4 O produto cartesiano de conjuntos de sinais geometricamente uniformes ´e um conjunto de sinais geometricamente uniforme.

Defini¸c˜ao 4.12 A regi˜_{ao de Voronoi R}v associada a qualquer ponto s ∈ S ´e o conjunto de

todos os pontos x em Rn _{cuja distˆ}_{ancia a s ´}_{e menor ou igual a distˆ}_{ancia a qualquer outro ponto}

s0 ∈ S:

Rv(s) = {x ∈ Rn; ||x − s|| ≤ ||x − s0||, ∀ s0 ∈ C, s 6= s0}.

O perfil de distância global DP(s) associado ao ponto s ∈ S é o conjunto de distâncias de todos os pontos em S:

DP (s) = {||s − s0||, s0 ∈ S}.

Teorema 4.5 (Uniformidade Geométrica) Se S é um conjunto de sinais geometricamente uni-forme, então:

a) Todas as regi˜_{oes de Voronoi tem a mesma forma, ou seja, R}v(s0) = us,s0[R_v(s)], onde u_s,s0

´

e qualquer isometria que leva s para s0;

b) O perfil de distˆancia global DP(s) ´e o mesmo para todo s ∈ S.

O fato de que a forma de cada região de Voronoi de S é a mesma evidencia uma propriedade de simetria muito forte, porque a forma de cada região de Voronoi determina quase todas as propriedades de S que são importantes para a teoria de comunica¸cão.

As demonstra¸c˜oes dos Teoremas 4.4 e 4.5 podem ser encontradas em [9], Se¸c˜ao F e G, respectivamente.

(45)

Cap´ıtulo

5

C´

odigos de Subespa¸co Geometricamente

Uniformes

Este cap´ıtulo tem como objetivo propor a constru¸cão dos códigos de subespa¸co geometricamente uniformes (CSGU). Esses códigos são gerados por grupos que atuam transitivamente nos su-bespa¸cos (vistos como palavras-código) gerando o código CSGU. Este cap´ıtulo está organizado da seguinte forma. Na Se¸cão 5.1, mostramos a constru¸cão dos códigos CSGU e provamos que eles satisfazem a propriedade de uniformidade geométrica e na Se¸cão 5.2, exibimos as rela¸cões entre os códigos CSGU e alguns dos códigos clássicos.

5.1 Constru¸

c˜

ao

Os códigos geometricamente uniformes foram estudados primeiramente em [9], sendo a sua abordagem referente aos códigos clássicos da teoria da codifica¸cão. Nesta se¸cão apresentaremos a constru¸cão de uma classe de códigos de subespa¸co e mostraremos que os códigos desta classe são geometricamente uniformes. A constru¸cão é simples, e a partir de uma palavra-código as demais podem ser encontradas facilmente. Esta é a beleza da constru¸cão dessa classe de códigos. De uma maneira bastante natural este código pode ser constru´ıdo através do seguinte procedimento: dada uma palavra-código através da aplica¸cão dos elementos do grupo associado todas as palavras-código são identificadas pela a¸cão transitiva do referido grupo.

Nos exemplos a serem considerados, os códigos são de dimensão constante, ou equivalente-mente, pertencem a uma única Grassmanniana. Tais códigos possuem a seguinte propriedade: se um vetor vi de n coordenadas com entradas em F2 pertence a uma palavra-código do código

de subespa¸co, que é um subespa¸co, então um deslocamento c´ıclico do vetor vi conduzirá a uma

outra palavra-c´odigo.

Exemplo 5.1 Considere o espa¸_{co vetorial F}4₂ _{sobre o corpo F}2 e as seguintes palavras-c´odigos

T1 = {0000, 1000, 0010, 0001, 1010, 1001, 0011, 1011}

T2 = {0000, 0100, 0001, 1000, 0101, 1100, 1001, 1101}

T3 = {0000, 0010, 1000, 0100, 1010, 0110, 1100, 1110}

(46)

T4 = {0000, 0001, 0100, 0010, 0101, 0011, 0110, 0111}

Se escolhermos um vetor vi, i = 1, · · · , 8, em T1, teremos deslocamentos c´ıclicos de vi em

T2, T3 e T4. Considere, por exemplo, v8 = 1011 ∈ T1. Um deslocamento c´ıclico de v8 = 1011

em T1 conduz ao vetor v8 = 1101 em T2, a v8 = 1110 em T3 e a v8 = 0111 em T4.

Todos os subespa¸cos possuem dimensão igual a três e interse¸cão dois a dois igual a dois. Note que o código possui distância constante igual a dois.

A seguir, apresentamos o algoritmo para a constru¸c˜ao dos c´odigos de subespa¸co que deno-minaremos de geometricamente uniformes (CSGU).

Algoritmo para a constru¸c˜ao dos CSGU

Passo 1 Determina¸cão de uma palavra-código (um subespa¸co vetorial) cujos vetores possuem com-primento n de maneira que as distâncias entre as palavras-código sejam constantes e as maiores poss´ıveis. Quando n, k e d assumem valores pequenos, a determina¸cão dessa palavra-código satisfazendo as condi¸cões especificadas anteriormente fica facilitada, porém para valores grandes torna-se um problema combinatório de grande complexidade. Nesta dire¸cão, o algoritmo apresentado no Apêndice determina a primeira palavra-código. Passo 2 Determina¸cão da segunda palavra-código: cada vetor da segunda palavra-código será um

deslocamento c´ıclico à direita dos vetores da primeira palavra-código obtida no Passo 1. Passo 3 Determina¸cão das demais palavras-código através do procedimento apresentado no Passo

2 até que se complete os n deslocamentos c´ıclicos dos vetores da primeira palavra-código. Vamos fazer um exemplo usando o algoritmo acima. Suponha que queremos construir um código com parâmetros (6, 1, 2).

No Passo 1, devemos determinar a primeira palavra-c´odigo que possui dimens˜ao 1, logo T1 = {000000, 100000}.

O Passo 2 consiste em construir a segunda palavra-código através da primeira. O desloca-mento c´ıclico à direita de 000000 é 000000 e de 100000 é 010000, logo T2 = {000000, 010000}.

O Passo 3 determina as demais palavras-código, como o deslocamento c´ıclico à direita de 010000 é 001000, logo T3 = {000000, 001000} e assim por diante. As demais palavras-código

s˜ao T4 = {000000, 000100}, T5 = {000000, 000010} e T6 = {000000, 000001}. Note que o c´odigo

possui seis palavras-código, pois o deslocamento c´ıclico à direita do vetor 000001 é 100000, que está na primeira palavra-código.

O c´odigo possui d = 2, o que pode ser verificado facilmente, pois d(Ti, Tj) = 1 + 1 − 2.0 = 2,

para todo i, j ∈ {1, ..., 6}, i 6= j.

A seguir, apresentamos os códigos CSGU decorrentes da aplica¸cão do algoritmo em consi-dera¸cão.

C1) Considere o espa¸co vetorial F22 sobre o corpo F2. O c´odigo C1 com parˆametros (n, k, d) =

(2, 1, 2) possui as seguintes palavras-c´odigo:

(47)

5.1. Constru¸c˜ao 29

A distância entre as palavras-código é 2, pois

d(T1, T2) = dim(T1) + dim(T2) − 2dim(T1∪ T2) = 1 + 1 − 0 = 2.

Como cada palavra-código é um subespa¸co vetorial, podemos representar cada uma delas através de uma matriz geradora onde as linhas da matriz são os geradores do subespa¸co. Do caso considerado neste item a matriz geradora de T1 é dada por

M1 = 1 0

e a matriz geradora de T2 ´e dada por

M2 = 0 1 .

Todos os c´odigos a serem considerados a seguir podem ser representados por matrizes geradoras da mesma forma que foi considerado no caso acima.

C2) Considere o espa¸co vetorial F32 sobre o corpo F2. O c´odigo C2 com parˆametros (3, 1, 2)

possui as seguintes palavras-c´odigo:

T1 = {000, 100} T2 = {000, 010} T3 = {000, 001}

d(T1, T2) = 1 + 1 − 2.0 = 2, d(T1, T3) = 1 + 1 − 2.0 = 2 e d(T2, T3) = 1 + 1 − 2.0 = 2

T1 = {000, 100, 010, 110} T2 = {000, 010, 001, 011} T3 = {000, 001, 100, 101}

d(T1, T2) = 2 + 2 − 2.1 = 2, d(T1, T3) = 2 + 2 − 2.1 = 2 e d(T2, T3) = 2 + 2 − 2.1 = 2.

As matrizes geradoras de T1, T2 e T3 s˜ao, respectivamente,

P1 = 1 0 0 0 1 0 , P2 = 0 1 0 0 0 1 , P3 = 0 0 1 1 0 0 . Note que, dado P1 conseguimos encontrar P2 e P3 usando o grupo

Q =      1 0 0 0 1 0 0 0 1  ,   0 1 0 0 0 1 1 0 0  ,   0 0 1 1 0 0 0 1 0      Pois, 1 0 0 0 1 0 ·   1 0 0 0 1 0 0 0 1  = 1 0 0 0 1 0 ,

(48)

1 0 0 0 1 0 ·   0 1 0 0 0 1 1 0 0  = 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 1 0 ·   0 0 1 1 0 0 0 1 0  = 0 0 1 1 0 0 .

ou seja, se tivermos a primeira palavra-código e soubermos que grupo atua transitivamente no código, então obtemos as palavras-código restantes.

T1 = {0000, 1000} T2 = {0000, 0100} T3 = {0000, 0010} T4 = {0000, 0001}

A distância entre as palavras-código é igual a 2.

T1 = {0000, 1000, 0100, 0010, 1100, 1010, 0110, 1110}

T2 = {0000, 0100, 0010, 0001, 0110, 0101, 0011, 0111}

T3 = {0000, 0010, 0001, 1000, 0011, 1010, 1001, 1011}

T4 = {0000, 0001, 1000, 0100, 1001, 0101, 1100, 1101}

A distância entre as palavras-código é d = 2. As matrizes geradoras de T1, T2, T3 e T4

s˜ao, respectivamente, R1 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  , R2 =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  , R3 =   0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0  , R4 =   0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0  .

E o grupo que atua transitavamente no c´odigo ´e

T =            1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     ,     0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0     ,     0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     ,     0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0            pois,   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ·     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ,

(49)

5.1. Constru¸c˜ao 31   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ·     0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0     =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  ,   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ·     0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     =   0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0  ,   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ·     0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0     =   0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0  .

A constru¸cão dos códigos para os casos em que k = 1 é análoga as realizadas anterior-mente, por isso omitiremos a constru¸cão para os demais casos.

Os elementos canônicos {e1, e2, ..., en} são vetores tais que ei = {00...010...0} é o vetor que

possui 1 na i-´esima coordenada e 0 nas demais.

Devido ao crescimento do parâmetro n, as palavras-código ficam cada vez maiores, tor-nando um tanto dif´ıcil a sua representa¸cão como estava sendo feito nos exemplos ante-riores. Por simplicidade, representaremos os subespa¸cos pelos seus geradores (elementos canônicos), ou seja, todos os outros elementos do subespa¸co podem ser gerados através de combina¸cões lineares dos elementos canônicos. Os vetores canônicos são escolhidos de tal forma que a distância entre os subespa¸cos seja a maior poss´ıvel respeitando a condi¸cão da distância ser constante para quaisquer dois elementos do código. Como exemplo desta nova representa¸cão, consideremos o código C5 acima. Temos que T1 =

{0000, 1000, 0100, 0010, 1100, 1010, 0110, 1110}, nesta nova representa¸c˜ao T1 = he1, e2, e3i.

T1 = he1, e2, e3, e4i T2 = he2, e3, e4, e5i T3 = he3, e4, e5, e1i

T4 = he4, e5, e1, e2i T5 = he5, e1, e2, e3i

Quaisquer duas palavras-código possui distância igual à 2.

T1 = he1, e2, e3, e4, e5i T2 = he2, e3, e4, e5, e6i T3 = he3, e4, e5, e6, e1i

T4 = he4, e5, e6, e1, e2i T5 = he5, e6, e1, e2, e3i T6 = he6, e1, e2, e3, e4i