Atenua¸c˜ao de Perturba¸c˜ao - Análise e controle de sistemas lineares sujeitos a saturação

5.3 Atenua¸c˜ao de Perturba¸c˜ao

Considere agora uma restri¸cão adicional ao problema 5.1. Deseja-se, além de garantir estabilidade interna e externa para o sistema sob satura¸cão, minimizar a rela¸cão perturba¸cão/sa´ıda (ganho L2) (Boyd et al. 1994):

kzk2 ≤ γkωk2

sendo que z(t) = Cx(t) ´e a sa´ıda do sistema.

Considera-se que a norma L2 do sinal de perturba¸c˜ao, dada por γω2, ´e conhecida. O

problema a ser tratado ´e dado a seguir.

Problema 5.2 Determinar uma lei de controle do tipo realimenta¸c˜ao de estados u(t) = Kx(t), com K ∈ <m×n _{e dois conjuntos S}

0 e S1 tais que

1. quando ω = 0, a estabilidade interna do sistema em malha fechada ´e assegurada para todo x(0) ∈ S0,

2. quando ω 6= 0, a estabilidade externa do sistema em malha fechada é assegurada, isto é, as trajetórias do sistema em malha fechada permanecem limitadas em S0

para todo x(0) ∈ S1 e para todo ω(t) satisfazendo (5.2),

3. o ganho L2 do sistema ´e menor do que γ.

Proposi¸c˜ao 5.2 Se existem as matrizes P1 = P10 > 0, P2 = P20 > 0, F1, F2, G1,

G2, H1, H2, J1, J2, K de dimens˜oes apropriadas, e as matrizes diagonais positivas

D∈ <m×m _{e Λ ∈ <}m×m_{, os escalares positivos γ e µ verificando}

(i)         F1A¯+ ¯A0F10 ? ? ? G1A¯− F10+ P1 −G1− G01 ? ? H1A¯+ B10F10− DΛK −H1+ B10G01 −2D + H1B1+ B01H10 ? J1A¯+ B02F10 −J1+ B02G01 B20H10+ J1B1 −I + J1B2+ B02J10         <0 (5.17)

5.3. Atenua¸c˜ao de Perturba¸c˜ao 77 (ii)         F2A¯+ ¯A0F20+ C0C ? ? ? G2A¯− F20+ P2 −G2− G02 ? ? H2A¯+ B10F20− DΛK −H2+ B10G02 −2D + H2B1+ B01H20 ? J2A¯+ B02F20 −J2+ B02G02 B20H20+ J2B1 −γ2I+ J2B2+ B20J20         <0 (5.18) (ii)   P1 ?

(1 − λ(i))K(i) µ ρ2(i)



≥ 0, i= 1, . . . , m (5.19)

(iii) 0 ≤ Λ < I (5.20)

com ¯A = (A + B1K), ent˜ao,

(a) o ganho K ´e tal que (A + B1K) ´e Hurwitz,

(b) as trajet´orias de malha fechada permanecem limitadas no conjunto S0 para toda

perturba¸c˜ao satisfazendo (5.2),

origem do sistema (5.3),

(d) o ganho L2 do sistema (5.3) ´e menor do que γ.

Prova: Esta proposi¸cão é semelhante a anterior com restri¸cão adicional (5.18) que garante o ganho L2 para o sistema.

Considere a fun¸c˜ao quadr´atica de Lyapunov V2(x) = x0P2x, com P2 = P20 > 0. Se

V2(x) + z0z − γ2ω0ω ≤ 0 (5.21)

´e verificada, ent˜ao:

x(T )0P2x(T ) − x(0)0P2x(0) ≤ −

Z T

(z(t)0_{z(t) − γ}2ω(t)0ω(t)) dt

Considerando que, x(0) = 0 e como V (x(T )) > 0, a satisfa¸c˜ao da condi¸c˜ao (5.21) implica que

kzk2

5.3. Atenua¸cão de Perturba¸cão 78 ou seja, o ganho L2 do sistema (5.3) é menor do que γ.

Considerando as matrizes definidas em (5.9) e aplicando o lema de Finsler à condi¸cão (5.21) obtém-se (ii) da proposi¸cão 5.2. O restante da prova segue os passos descritos para a proposi¸cão 5.1.

Note que, a proposi¸cão 5.2 pode ser usada para resolver problemas de análise. Neste caso, pode-se considerar diferentes multiplicadores para satisfazer os requisitos de estabilidade e desempenho do sistema. Um problema que pode ser formulado é o seguinte: dado um n´ıvel desejado de atenua¸cão de perturba¸cão, determinar o máximo valor de γω para o qual garante-se a estabilidade do sistema em malha fechada.

No caso de s´ıntese, a proposi¸cão 5.2 apresenta diversas não-linearidades: produtos entre os multiplicadores e a matriz de realimenta¸cão K, e o produto DΛK. Porém, uma escolha adequada dos multiplicadores e uma troca de variáveis apropriada simplifica a maior parte destas não-linearidades. Assim, pode-se formular o corolário a seguir cujo o objetivo é resolver o problema 5.2.

Corol´ario 5.2 Se existem matrizes V1 = V10 > 0, V2 = V20 > 0, S, Y , Z, uma matriz

diagonal positiva Λ, e um escalar positivo σ verificando

        AS0 _{+ SA}0_{+ B} 1Y + Y0B10 ? ? ? V1+ AS0+ B1Y − S −S − S0 ? ? ZB0 1− ΛY ZB10 −2Z ? B0 2 B20 0 −I         < 0 (5.22)            AS0 _{+ SA}0_{+ B} 1Y + Y0B10 ? ? ? ? CS0 _−I p ? ? ? V2+ AS0+ B1Y − S 0 −S − S0 ? ? ZB0 1− ΛY 0 ZB10 −2Z ? B0 2 0 B20 0 −σI            < 0 (5.23)

5.3. Atenua¸c˜ao de Perturba¸c˜ao 79

 

V1 ?

(1 − λ(i))Y(i) µ ρ2(i)



≥ 0, i = 1, . . . , m (5.24)

0 ≤ Λ < I (5.25)

com µ = _γ21

ω+β e σ = γ

2_{, ent˜ao, a lei de controle K = Y (S}0₎−1 _{´e tal que:}

1. quando ω = 0, a estabilidade interna do sistema em malha fechada ´e assegurada para todo x(0) ∈ S0,

2. quando ω 6= 0, a estabilidade externa do sistema em malha fechada é assegurada, isto é, as trajetórias do sistema em malha fechada permanecem limitadas em S0

para todo x(0) ∈ S1 e para todo ω(t) satisfazendo (5.2),

3. o ganho L2 do sistema ´e menor do que γ.

Prova: Este corolário é um caso particular da Proposi¸cão 5.2. Inicialmente são es- colhidos os multiplicadores F1 = F2 = G1 = G2 = G, H1 = H2 = J1 = J2 = 0,

K = Y G0 _{e S = G}−1_{. Pr´e e p´os-multiplicando (5.18) pelas matrizes diag([S S I I])}

e diag([S0 S0 I I]), respectivamente, tem-se

        AS0_{+ SA}0_{+ B} 1Y + Y0B10 + SC0CS0 ? ? ? SP2S0+ AS0+ B1Y − S −S − S0 ? ? B0 1− DΛY B10 −2D ? B₂0 B₂0 0 _−σ         < 0

Aplicando o complemento de Schur ao bloco (1, 1) desta desigualdade e definindo-se V2 = SP2S0, tem-se

5.3. Atenua¸c˜ao de Perturba¸c˜ao 80            AS0_{+ SA}0_{+ B} 1Y + Y0B10 ? ? ? ? CS0 _−I _? _? _? V2+ AS0+ B1Y − S 0 −S − S0 ? ? B0 1− DΛY 0 B10 −2D ? B0 2 0 B20 0 −σ            < 0

Define-se Z = D−1_. _{Pr´e e p´os-multiplicando a desigualdade acima por}

diag([I I I Z I]), obtém-se a rela¸cão (5.23). A condi¸cão (5.22) é obtida de forma equivalente. A desigualdade (5.24) é obtida pré e pós-multiplicando-se (5.19) por diag([S I]) e diag([S0 _{I]), respectivamente.}

Além da estabilidade interna e externa garantidas pela satisfa¸cão do Corolário 5.2 deseja-se minimizar o ganho L2 do sistema (5.3). A resolu¸cão do problema 5.2, pode

ser obtida com o aux´ılio do seguinte problema de otimiza¸c˜ao:

min σ sujeito a

(5.23), (5.24), σ > 0, µ > 0 (5.26)

Com base neste problema de otimiza¸c˜ao, o algoritmo 5.1 pode ser reformulado da forma descrita a seguir.

Algoritmo 5.2

Passo 1: Fixar Λ e resolver (5.26) para as vari´aveis S, Y , Z e σ.

Passo 2: Fixar Y obtido no passo anterior e resolver (5.26) para as vari´aveis S, Z, σ e Λ.

Passo 3: Voltar ao passo 1 até que nenhuma modifica¸cão significativa ocorra no valor do critério.

5.3. Atenua¸cão de Perturba¸cão 81 Devido à caracter´ıstica não-linear do sistema em malha fechada, é interessante considerar n´ıveis de atenua¸cão de perturba¸cão diferentes na região de linearidade e fora desta. Seja γ2 o ganho L2 para o sistema sem satura¸cão. Acrescentando uma

restri¸c˜ao do tipo         AS0_{+ SA}0_{+ B} 1Y + Y0B01 ? ? ? CS0 _−I p ? ? V3+ AS0+ B1Y − S −S − S0 ? ? B0 2 B02 0 −σ2I         < 0 (5.27)

ao problema de otimiza¸c˜ao (5.26), garante-se um ganho γ2 = √σ2 para o sistema

linear. Este ganho corresponde a minimiza¸c˜ao da norma H∞ do sistema linear em

malha fechada. Com a inclusão da restri¸cão (5.27), um critério de otimiza¸cão poss´ıvel é a minimiza¸cão conjunta dos ganhos σ = σ1 e σ2. Pode-se ainda minimizar apenas σ2

(ganho L2 para caso sem satura¸c˜ao) fixando σ1 como um percentual do ganho σ2.

5.3.1 Exemplo Num´erico

Considere o sistema definido na se¸c˜ao 5.2.1 com γω = 5 e β = 0.

A tabela 5.4 mostra os resultados obtidos pelo algoritmo iterativo 5.2 considerando dois caso distintos. No primeiro caso, V1 = V2, ou seja, a mesma fun¸c˜ao de Lyapunov

deve garantir tolerância e atenua¸cão de perturba¸cão. No segundo caso, V1 6= V2, ou

seja, consideram-se diferentes matrizes de Lyapunov: a matriz V1 garante atenua¸c˜ao

de perturba¸c˜ao e a matriz V2 garante o ganho L2 para o sistema.

Nota-se que, quando são consideradas fun¸cões de Lyapunov diferentes para satisfazer cada restri¸cão (caso V1 6= V2) consegue-se uma melhor atenua¸cão da perturba¸cão.

Além disso, a resposta dinâmica do sistema em malha fecha é ligeiramente mais rápida. Considere que são desejados diferentes n´ıveis de atenua¸cão de perturba¸cão para o sistema sem satura¸cão e com satura¸cão. Estes n´ıveis de atenua¸cão são representados por γ1 (com satura¸cão) e γ2 (sem satura¸cão). Acrescenta-se, então, a restri¸cão (5.27)

5.4. Coment´arios Finais 82 V1 = V2 V1 6= V2 γ 0.3341 0.3169 autovalores -3.2972 -3.5327 -6.9182 -9.9915 Λ 0.3576 0 0 0.0586 0.4142 0 0 0.628

Tabela 5.4: Resultado do algoritmo 5.2.

ao problema de otimiza¸cão 5.26. Neste caso, são consideradas 3 diferentes fun¸cões de Lyapunov para as especifica¸cões do problema: V1 garante atenua¸cão de perturba¸cão,

V2 garante ganho L2 < γ1 para o sistema sob satura¸c˜ao e V3 garante ganho L2 < γ2

para o sistema linear.

O critério de otimiza¸cão é modificado de modo a minimizar conjuntamente os ganhos γ1 e γ2. Assim, adota-se o critério min{σ1 + σ2} para o problema 5.26. Os ganhos

obtidos foram γ1 = 0.3281, γ2 = 0.3114 e Λ =   0.4362 0 0 0.5114  

5.4 Coment´arios Finais

Neste cap´ıtulo foram mostrados problemas de controle considerando que o sistema sob satura¸cão está sujeito a perturba¸cões. As condi¸cões de estabilidade foram obtidas pela aplica¸cão do Lema de Finsler. Os graus de liberdade acrescidos ao problema, através da introdu¸cão de multiplicadores, foram explorados na s´ıntese de controladores para garantir diferentes objetivos de controle. Os problemas de tolerância e atenua¸cão de perturba¸cão foram tratados considerando perturba¸cões limitadas em norma L2.

No problema de tolerância à perturba¸cão foi determinada uma lei de controle garantindo estabilidade interna e externa para o sistema sob satura¸cão. Além disso, foi

5.4. Comentários Finais 83 maximizado do dom´ınio de perturba¸cões toleráveis pelo sistema. No problema de atenua¸cão de perturba¸cões a lei de controle foi projetada de modo a minimizar o ganho e, além disso, garantir estabilidade interna e externa para o sistema em malha fechada.

Cap´ıtulo 6

Conclus˜oes e Perspectivas

Limites tecnológicos ou de seguran¸ca sobre as variáveis de um sistema de controle, estão presentes na maioria das aplica¸cões práticas. A considera¸cão destas restri¸cões no projeto de controladores é de fundamental importância para garantir, quando da implementa¸cão prática do sistema de controle, um funcionamento adequado, apesar do comportamento não-linear inerente ao sistema de controle quando as variáveis atingem os limites existentes.

Este trabalho apresentou algumas contribui¸cões para análise e s´ıntese de leis de controle para sistemas lineares sob satura¸cão. Considerou-se um sistema linear, mo- delado no espa¸co de estados, e a possibilidade do sistema em malha fechada trabalhar em regime de satura¸cão das variáveis de controle. Dentre os objetivos do trabalho, destacam-se o estudo e a utiliza¸cão de duas modelagens para representar a satura¸cão (modelagens politópica e por não-linearidade de setor), a utiliza¸cão do lema de Finsler para propor novas condi¸cões de estabilidade para o sistema sob satura¸cão e a busca de solu¸cões menos conservadoras para os problemas de análise e s´ıntese através da resolu¸cão de LMIs. Os principais resultados obtidos durante o per´ıodo de doutorado foram publicados nos trabalhos listados no final deste cap´ıtulo.

No cap´ıtulo 2 foram apresentados conceitos b´asicos utilizados ao longo de todo o trabalho. Dentre eles, foi discutido o problema de estabilidade de sistemas n˜ao-lineares

Cap´ıtulo 6. Conclusões e Perspectivas 85 considerando a teoria de Lyapunov e o conceito de estabilidade absoluta. O estudo da estabilidade de sistemas lineares foi apresentado com base no segundo método de Lyapunov. As desigualdades matriciais lineares (LMIs) aparecem como ferramenta ma- temática para a resolu¸cão numérica dos algoritmos propostos. A partir da utiliza¸cão do lema de Finsler, são escritas condi¸cões alternativas de estabilidade para sistemas lineares em tempo cont´ınuo. Esta abordagem serve de base para os resultados apresentados nos cap´ıtulos posteriores.

No cap´ıtulo 3 foram descritos os problemas de análise e s´ıntese para sistemas lineares sob satura¸cão. Foram apresentadas as principais modelagens existentes para representar a satura¸cão. Foram detalhadamente descritas as modelagens politópica e por não-linearidade de setor e algoritmos numéricos para resolu¸cão dos problemas de análise e de s´ıntese foram propostos. Para ambas as representa¸cões foram definidas condi¸cões de estabilidade através da Teoria de Lyapunov e também utilizando as rela¸cões de equivalência do lema de Finsler. Resultados de análise, considerando a modelagem por setor e a aplica¸cão do lema de Finsler podem ser vistos em [5].

No cap´ıtulo 4 foram apresentados resultados espec´ıficos de s´ıntese de observadores de estado sob satura¸cão considerando as modelagens politópica e por não-linearidades de setor. Para a modelagem politópica, foi apresentado o projeto do controlador considerando uma abordagem quadrática clássica. Este resultado é uma extensão para o caso cont´ınuo de alguns resultados anteriores (ver [1] ou [3]). Para a modelagem através de não-linearidade de setor, o problema de s´ıntese de controlador baseado em observador foi apresentado segundo duas abordagens: clássica e via lema de Finsler. Utilizando a abordagem via Lema de Finsler obtém-se uma matriz de Lyapunov sem estrutura particular, o que potencialmente reduz o conservadorismo no projeto do observador de estados.

No cap´ıtulo 5 foram apresentados resultados relativos ao problema de controle considerando sistemas sujeitos à satura¸cão e à perturba¸cões limitadas em norma L2. Com

base na condi¸cões de estabilidade obtidas pela aplica¸cão do lema de Finsler, dois problemas multiobjetivos foram definidos: tolerância e atenua¸cão de perturba¸cão. No

Cap´ıtulo 6. Conclusões e Perspectivas 86 problema de tolerância à perturba¸cão foi determinada uma lei de controle garantindo estabilidade interna e externa para o sistema sob satura¸cão. Além disso, foi maximizado o dom´ınio de perturba¸cões toleráveis pelo sistema (ver [4] ou [6]). No problema de atenua¸cão de perturba¸cões a lei de controle foi projetada de modo a minimizar o ganho L2 e, além disso, garantir estabilidade interna e externa para o sistema em

malha fechada. O diferencial em rela¸cão aos trabalhos existentes na literatura é que considera-se uma maximiza¸cão para o tamanho da região de atra¸cão.

Nesta tese foram considerados somente o caso cont´ınuo no tempo e fun¸cões de Lyapunov quadráticas. Apesar disto, alguns resultados iniciais de análise e de s´ıntese de controladores em tempo discreto (não detalhados neste documento) foram obtidos com base na teoria de estabilidade absoluta utilizando a modelagem da satura¸cão através de não-linearidades de setor e fun¸cões de Lyapunov do tipo Lure (ver [2]).

Perspectivas de trabalhos futuros

Com base nas formula¸c˜oes apresentadas e nos resultados obtidos deseja-se apro- fundar os estudos realizados e formular novos problemas que possam ser resolvidos utilizando a metodologia proposta na tese. Dentre eles podem ser citados:

• Abordar outras especifica¸c˜oes para o problema de controle, por exemplo, pela considera¸c˜ao de incertezas na modelagem do sistema.

• Estudo do problema de satura¸c˜ao em velocidade.

• Utiliza¸cão de outras fun¸cões de Lyapunov (do tipo Lure, quadrática por partes ou fun¸cões de Lyapunov dependente de parâmetros) na defini¸cão dos dom´ınios de estabilidade.

• Extensão para o caso discreto dos resultados obtidos considerando sistemas sob satura¸cão e sujeitos a perturba¸cões. Estender os resultados para outras classes de perturba¸cões.

Cap´ıtulo 6. Conclus˜oes e Perspectivas 87

Publica¸c˜oes

[1] J. M. Gomes da Silva Jr.; Cristiane Paim; Eugênio B. Castelan and Gabriel Souto (2000) LMI-based framework for synthesis of linear systems with saturating controls, XIII Congresso Brasileiro de Automática, Florianópolis, Brazil, pp. 1054-1059.

[2] Jo˜ao M. Gomes da Silva Jr.; Cristiane Paim and Eugˆenio B. Castelan (2001) Stability and Stabilization of Linear Discrete-Time subject to Control Saturation, Proceedings of the 1st IFAC Symposium on System Structure and Control, Pra- gue, Czech Republic, pp. 525-530.

[3] João M. Gomes da Silva Jr.; Cristiane Paim and Eugênio B. Castelan (2001) LMI-based framework for synthesis of saturating controls laws, Revista Controle & Automa¸cão, vol. 12, no. 3, pp. 171-177.

[4] Paim, Cristiane (2002) Nouvelles conditions pour la stabilisation de syst`emes avec saturation. 3e Congr`es des Doctorants, pp. 191-195, IUT - Blag- nac, France.

[5] Cristiane Paim; Sophie Tarbouriech; João M. Gomes da Silva Jr. and Eugênio B. Castelan (2002) New conditions for analyzing stability regions for linear systems with saturating actuators, XIV Congresso Brasileiro de Automática, Natal-RN, Brasil, pp. 2433-2437.

[6] C. Paim; S. Tarbouriech; J. M. Gomes da Silva Jr. and E. B. Castelan (2002) Control design for linear systems with saturating actuators and L2-bounded

disturbances, Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas - USA, pp. 4148-4153.

Apˆendice A

Elips´oides e Poliedros

A.1 Elips´oides

A.1.1 Defini¸c˜ao

Um elipsóide E pode ser definido de diversas maneiras. Serão mostradas aqui 3 formula¸cões clássicas:

E = {x : x0_{P x + 2x}0_{q + ρ ≤ 0}}

= {x : (x − xc)0P (x − xc) ≤ 1}

= {Qy + xc : y0y ≤ 1}

sendo que xc é o centro do elipsóide. A primeira formula¸cão se baseia na fun¸cão

quadrática   x 1   0   P q q0 _ρ     x 1  = x0P x + 2x0q + ρ que supõe-se definida positiva, isto é

A.1. Elips´oides 89

P = P0 > 0, q0P−1_{q − ρ > 0}

A segunda formula¸cão se baseia na fun¸cão quadrática

(x − xc)0P (x − xc) − 1 = x0P x − 2x0P xc+ x0cP xc − 1

da qual deduz-se

q = −P xc, ρ = x0cP xc − 1

O vetor xc é chamado “centro”do elipsóide. Enfim, a terceira formula¸cão baseia-se

na deforma¸cão da esfera unitária por uma matriz Q que é a inversa do fator de Cholesky de uma matriz positiva definida P , ou seja

Q = P−1/2

Portanto, é fácil de passar de uma forma a outra destas formula¸cões. Neste trabalho consideram-se elipsóides centrados na origem. Utiliza-se então uma formula¸cão quadrática

E = {x : x0P x ≤ 1 r}

na qual r ´e um escalar positivo. Utilizando a nota¸c˜ao acima, tem-se

xc = q = 0, ρ = −

1 r

A.1. Elips´oides 90

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