Desigualdades Matriciais - Análise e controle de sistemas lineares sujeitos a saturação

  −µA0_{A µA}0_{+ P} µA + P _−µI  < 0 iv) ∃P = P0 _{> 0, F ∈ <}n×n_{, G ∈ <}n×n _:   A0F0+ F A A0G0_{− F + P} GA − F0 _{+ P} _{−G − G}0  < 0

Prova: Este teorema é obtido a partir da aplica¸cão do lema 2.1 na condi¸cão de estabilidade (2.14) considerando (2.15) e (2.16).

Note que, a condi¸cão (ii) do Teorema (2.4) é exatamente a condi¸cão de estabilidade de Lyapunov. As condi¸cões (iii) e (iv) são “novas” condi¸cões de estabilidade. Nestas condi¸cões, aparecem os multiplicadores µ, F e G que representam graus de liberdade que podem ser explorados em diversos tipos de problemas de controle, dentre os quais: análise de estabilidade de sistemas incertos, estabilidade robusta, posicionamento de pólos, garantia de ganho L2, etc. (de Oliveira e Skelton 2001).

Pode-se utilizar o lema de Finsler para escrever condi¸cões de estabilidade, seme- lhantes as do teorema 2.4, considerando sistemas sob satura¸cão. Note que, a matriz de Lyapunov P aparece de forma isolada nas condi¸cões (iii) e (iv) do teorema de estabilidade. Este desacoplamento será explorado nos problemas apresentados em cap´ıtulos posteriores deste trabalho.

2.7 Desigualdades Matriciais

Nesta se¸cão, serão apresentadas as desigualdades matriciais lineares (Linear Matrix Inequalities, ou simplesmente, LMIs), que serão utilizadas para a resolu¸cão numérica dos problemas de controle. Maiores detalhes sobre LMIs podem ser encontrados em (Boyd et al. 1994), (Chilali e Gahinet 1996) e (Scherer et al. 1997).

2.7. Desigualdades Matriciais 18

2.7.1 Defini¸c˜ao

Uma LMI ´e uma desigualdade da forma:

F (x) = F0+ m X i=1 xiFi > 0 (2.17) na qual x ∈ <m _{e as matrizes F}

i = Fi0 ∈ <n×n. As matrizes Fi s˜ao dadas e o vetor x ´e

desconhecido. A desigualdade significa que a matriz simétrica F (x) deve ser definida positiva, isto é, que todos os seus autovalores (reais) devem ser positivos. Pode-se igualmente encontrar restri¸cões do tipo F (x) ≥ 0, que significa que a matriz F (x) é semi-definida positiva, isto quer dizer que alguns valores próprios de F (x) podem ser nulos. São exemplos de LMIs as rela¸cões (ii), (iii) e (iv) do teorema 2.4.

Desde que o cone de matrizes definidas positivas é convexo e a matriz F (x) é uma fun¸cão afim em x, a restri¸cão F (x) > 0 é uma restri¸cão convexa em x. Como será mostrado na seqüência, trata-se de uma propriedade fundamental das LMIs.

Pode-se associar `a LMI (2.17) o seguinte problema de otimiza¸c˜ao:

min c0_x

s. a. F (x) > 0

(2.18)

no qual c ∈ <m_{. O problema de otimiza¸cão (2.18) é uma generaliza¸cão do problema de}

programa¸cão linear clássico em um cone de matrizes definidas positivas. Desde que o critério c0x é linear e a restri¸cão F (x) > 0 é convexa, o problema (2.18) é um problema de otimiza¸cão convexo.

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2.7.2 Propriedades

2.7.2.1 Simultaneidade

Dentre as propriedades das LMIs figura a possibilidade de agrupar diversas LMIs F1(x) > 0, . . . , Fp(x) > 0 em uma ´unica LMI bloco-diagonal:

F (x) =      F1(x) . .. Fp(x)      > 0 2.7.2.2 Convexidade

O conjunto solu¸cão de uma LMI é convexo. Isto é, o segmento de reta que une quaisquer dois pontos do conjunto também pertence ao conjunto.

Para provar, considere que y e z sejam dois pontos que satisfa¸cam (2.17). E seja x = αy + (1 − α)z, com 0 ≤ α ≤ 1. Substituindo na defini¸c˜ao tem-se

F0+Pmi=1Fixi = F0+Pmi=1Fi(αyi+ (1 − α)zi)

= F0+Pm_i=1Fizi+ αPm_i=1Fi(yi− zi)

= (1 − α)(F0+Pmi=1Fizi) + α(F0+Pmi=1Fiyi) > 0

(2.19)

o que completa a prova, pois conclui-se que x também é solu¸cão da LMI. É importante observar que todos conjuntos afins são convexos.

2.7.3 Complemento de Schur

Algumas desigualdades n˜ao-lineares podem ser transformadas em LMIs com a ajuda do Complemento de Schur, o qual permite escrever:

2.7. Desigualdades Matriciais 20   Q(x) S0_(x) S(x) R(x)  > 0 se e somente se R(x) > 0 Q(x) − S0(x)R−1(x)S(x) > 0 ou, de forma equivalente, se e somente se

Q(x) > 0

R(x) − S0_(x)Q−1_{(x)S(x) > 0}

Nas desigualdades acima, as matrizes Q = Q0, R = R0 e S s˜ao afins em x.

2.7.4 _S-procedure

Lema 2.2 Sejam as fun¸cões quadráticas da variável ξ ∈ <m _{definidas por}

Gi(ξ) = ξ0Piξ + 2R0iξ + µi, ∀i = 1, . . . , p

com Pi matrizes simétricas. Então, tem-se a seguinte condi¸cão suficiente: se existe

τi ≥ 0, para todo i = 1, . . . , p tal que

  P0 R0 R0 0 µ0  − p X i=1 τi   Pi Ri R0 i µi  ≤ 0 ent˜ao Gi(ξ) ≤ 0, ∀i = 1, . . . , p ⇒ G0(ξ) ≤ 0

2.7. Desigualdades Matriciais 21

2.7.5 Posicionamento de P´olos

Ser˜ao apresentadas aqui diferentes LMIs que permitem garantir o posicionamento dos autovalores da matriz A ∈ <n×n _{em regi˜oes particulares do plano complexo. Con-}

sidere a regi˜ao gen´erica (Chilali e Gahinet 1996):

D= {z ∈ C; f4 D(z) < 0} (2.20)

com

fD(z) 4

= H + zQ + ¯zQ0 = [Hi,j + Qi,jz + Qi,jz]¯ 1≤i,j≤l

na qual H e Q são matrizes simétricas de dimensão l × l e z é um número complexo com conjugado ¯z. A LMI que garante o posicionamento dos autovalores de A na região D é dada por

Hi,jW + Qi,jAW + QijW A0 < 0 1 ≤ i, j ≤ l (2.21)

Considere trˆes diferentes regi˜oes:

1. semi-plano `a esquerda de δ < 0;

2. interior de um disco de centro 0 e raio r,

3. o setor de um ˆangulo ±θ em torno do eixo real.

As condi¸cões LMIs equivalentes para o posicionamento de pólos em cada uma destas regiões são dadas pelas proposi¸cões a seguir.

Proposi¸cão 2.1 Os autovalores de A estão no semi-plano à esquerda de δ < 0, se e somente se existe uma matriz W = W0 _{> 0 solu¸cão de}

2.8. Comentários Finais 22 Proposi¸cão 2.2 Os autovalores de A estão dentro de um disco de centro 0 e raio r se e somente se existe uma matriz W = W0 > 0 solu¸cão de

  −rW AW W A0 _−rW  < 0 (2.23)

Proposi¸cão 2.3 Os autovalores de A estão dentro do setor de ângulo θ se e somente se existe uma matriz W = W0 _{> 0 solu¸cão de}

  sin(θ)(AW + W A0₎ _{cos(θ)(AW − W A}0₎ cos(θ)(−AW + W A0) sin(θ)(AW + W A0)  < 0 (2.24)

2.8 Coment´arios Finais

Neste cap´ıtulo foram discutidos alguns conceitos de base dentro da teoria de controle e que serão utilizados ao longo deste trabalho. O problema de estabilidade foi apresentado com base na teoria de Lyapunov. Utilizando o lema de Finsler, foram formuladas diferentes condi¸cões de estabilidade. As ferramentas apresentadas serão utilizadas na obten¸cão de uma formula¸cão LMI para problemas de análise e s´ıntese de sistemas de controle. A principal vantagem da formula¸cão LMI é permitir uma solu¸cão numérica eficiente para os problemas apresentados.

Cap´ıtulo 3

Sistemas Lineares sob Satura¸c˜ao

3.1 Introdu¸c˜ao

Este cap´ıtulo se destina à descri¸cão do problema de controle de sistemas lineares sob satura¸cão e à apresenta¸cão de alguns resultados preliminares que servirão de base para o desenvolvimento do trabalho.

Inicialmente são descritos dois problemas genéricos de controle: análise de estabilidade do sistema em malha fechada com satura¸cão de controle e a s´ıntese de leis de controle que levam em conta a possibilidade de satura¸cão. A seguir serão descritas algumas modelagens para representar a satura¸cão: modelagem por regiões de satura¸cão, modelagem politópica e modelagem por não-linearidade de setor. As duas últimas, serão utilizadas ao longo de todo o trabalho. Para ambas as representa¸cões serão definidas condi¸cões de estabilidade através da Teoria clássica1 _{de Lyapunov e também}

utilizando as rela¸cões de equivalência do lema de Finsler. Serão também apresentados algoritmos numéricos para resolu¸cão dos problemas de análise e de s´ıntese previamente definidos.

1_{O termo “cl´assico”ser´}_{a utilizado para indicar a substitui¸c˜}_{ao da dinˆamica do sistema na derivada}

No documento Análise e controle de sistemas lineares sujeitos a saturação (páginas 31-38)