Análise e controle de sistemas lineares sujeitos a saturação

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

An´

alise e Controle de Sistemas Lineares

sujeitos a Satura¸c˜

ao

Tese de doutorado submetida `a Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do

grau de Doutora em Engenharia El´etrica.

Cristiane Paim

(2)

(3)

Três Anéis para os Reis-Elfos sob este céu,

Sete para os Senhores-An˜oes em seus rochosos corredores, Nove para Homens Mortais, fadados ao eterno sono,

Um para o Senhor do Escuro em seu escuro trono Na Terra de Mordor onde as Sombras se deitam.

Um Anel para a todos governar, Um Anel para encontrá-los, Um Anel para a todos trazer e na escuridão aprisioná-los Na Terra de Mordor onde as Sombras se deitam.

Texto extra´ıdo do livro ”O Senhor dos An´eis” J.R.R. Tolkien

(4)

Agradecimentos

Na impossibilidade de citar todas as pessoas que, em algum momento, colaboraram para o sucesso deste trabalho, registro aqui os meus sinceros agradecimentos `aqueles cuja minha mem´oria permite lembrar.

Aos meus orientadores Eugênio e João Manoel por todo incentivo, colabora¸cão, paciência e amizade demonstrados durante a realiza¸cão deste trabalho. Muito obrigado por terem me propiciado a realiza¸cão do estágio sandu´ıche no LAAS (Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes), per´ıodo de grande crescimento profissional e pessoal.

Ao LAAS e aos membros do Grupo MAC (Méthodes et Algorithme en Commande) pelas excelentes condi¸cões de trabalho e pela cordialidade recebida. Agrade¸co especial-mente a minha orientadora Sophie Tarbouriech pela amizade e valiosas contribui¸cões ao trabalho. À Isabelle Queinnec, minha colega de sala, pela boa vontade para entender meu francês.

Ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica (PPGEEL) e ao Departa-mento de Automa¸cão e Sistemas (DAS), pela forma¸cão acadêmica e suporte material. Meu agradecimento especial aos professores Edson Roberto De Pieri e Werner Kraus Jr. por toda sua amizade.

Aos demais membros da banca examinadora, meu reconhecimento pelas contri-bui¸c˜oes e sugest˜oes.

Aos meus pais, Adomiro e Edi, e a minha irmã Cristine, pelo apoio, amor e carinho demonstrados durante esta jornada. A minha afilhada Lili, por sua alegria contagiante que me faz esquecer qualquer problema. Aos meus avós e demais membros da minha fam´ılia agrade¸co a compreensão pelas minhas inúmeras ausências.

A minha segunda fam´ılia: Michelle, Luiz, Karina e Ivair, que compartilharam co-migo os momentos mais felizes e sempre souberam me estender a mão nos momentos mais dif´ıceis. Obrigado por tudo. Vocês são DEZ !!!

(5)

Aos amigos César, Tati, Rafael, Cássia, Lu, Jerusa, Karen, Lau, Augusto, Bel, André, Hallthmann e Léo, pela agradável convivência e sincera amizade.

`

A galera de Toulouse: Marcos, Roberta (vó), Magnos, Paulo, Laura, Julien, Edu-ardo (German), Karyn, Mateus, Em´ılia, Jô, Ana Lúcia, Marco Antônio, Isabel e Mirian, grandes amigos, que muito me ajudaram a superar as saudades do Brasil e tornaram mais agradável minha estada na Fran¸ca. Obrigado Zezé por me mostrar Paris !!!

Aos atuais e antigos colegas de “baia”, pelo companheirismo e amizade que tor-naram mais alegre nossa convivência. Um grande beijo ao amigo Carlos Brandão, companheiro de cinema, orgias gastronômicas e noitadas et´ılicas.

`

A “galerinha” da “happy-hour” no Cat’s Grill (vulgo Bar do Guidão): Priscila, Ju, Tércio, Émerson, Ricardo, Ritt, Alysson, Fábios (Favarim e Pinga), Fernando, Renato, Serginho (o tratante) e João Neto, grandes parceiros, que nunca me deixaram “queimar o filme” sozinha.

Ao CNPq pelo financiamento que me permitiu “sobreviver” no Brasil e na Fran¸ca nos ´ultimos quatro anos.

Agrade¸co ainda à Coca-Coca, Red Bull e Guaraná Power, companheiros de longas noites de trabalho ... sem eles as minhas madrugadas não seriam as mesmas.

Finalmente, meus sinceros agradecimentos aos donos de bares e cafés da UFSC e imedia¸cões, pelo expresso nosso de cada dia, indispensável para ligar os neurônios todas as manhãs e impedir os mesmos de fazerem “la siesta” depois do almo¸co.

(6)

Resumo de tese apresentada à UFSC como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Doutora em Engenharia Elétrica.

AN ´

ALISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES

SUJEITOS A SATURAC

¸ ˜

AO

Cristiane Paim

Mar¸co / 2003 Orientador: Eugˆenio Castelan

´

Area de Concentra¸c˜ao: Automa¸c˜ao e Sistemas

Palavras-chave: Satura¸c˜ao de controle, lema de Finsler, perturba¸c˜ao L2

N´umero de P´aginas: 101

Neste trabalho, estudam-se os problemas de análise e s´ıntese de controladores para sis-temas lineares sujeitos à satura¸cão de controle. Novas condi¸cões de estabilidade para o sistema em regime de satura¸cão são propostas. Estas condi¸cões são obtidas a partir da teoria de Lyapunov combinada com o uso do Lema de Finsler, o qual introduz graus de liberdade adicionais às condi¸cões de estabilidade, sob a forma de multiplicadores. Duas abordagens são utilizadas para representar a satura¸cão: uma modelagem politópica e uma modelagem do tipo não-linearidade de setor. Os resultados de análise e s´ıntese são desenvolvidos para ambas as representa¸cões. Os graus de liberdade obtidos a partir do Lema de Finsler são então utilizados para propor técnicas para a s´ıntese de sistemas de controle baseados em observadores de estado e para o tratamento dos problemas de tolerância e atenua¸cão de perturba¸cão via realimenta¸cão de estados. A s´ıntese de obser-vadores de estado sob satura¸cão é inicialmente tratada, considerando-se as modelagens politópica e por não-linearidade de setor, a partir de condi¸cões clássicas de estabili-dade quadrática. Os dom´ınios de estabiliestabili-dade obtidos para o sistema composto em malha fechada são, em ambos os casos, associados a fun¸cões de Lyapunov quadráticas com estrutura bloco-diagonal. Utiliza-se então o Lema de Finsler para deduzir novas condi¸cões, acrescidas de multiplicadores, que permitem obter dom´ınios de estabilidade menos conservadores, agora associados a fun¸cões de Lyapunov quadráticas sem estru-tura particular. Os problemas de tolerância e atenua¸cão de perturba¸cão são tratados utilizando diretamente o lema de Finsler e a modelagem por não-linearidade de setor. São consideradas perturba¸cões limitadas em norma L2. Relativamente ao problema de

tolerância à perturba¸cão, é proposta uma técnica para a s´ıntese de realimenta¸cão de estados através da resolu¸cão de um problema de otimiza¸cão com múltiplos objetivos de controle. Esta técnica visa garantir a estabilidade interna do sistema para um certo dom´ınio de condi¸cões iniciais e maximizar o dom´ınio de perturba¸cões toleráveis pelo sistema sob satura¸cão. Uma técnica similar permite tratar o problema de minimiza¸cão do ganho L2 do sistema em malha fechada. A abordagem apresentada permite reduzir

os graus de conservadorismo do problema uma vez que ´e poss´ıvel utilizar diferentes fun¸c˜oes de Lyapunov para cada requisito de controle.

(7)

Abstract of Thesis presented to UFSC as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor in Electrical Engineering.

ANALYSIS AND CONTROL OF LINEAR SYSTEMS

SUBJECT TO SATURATION

Cristiane Paim

March / 2003 Advisor: Eugˆenio Castelan

Area of Concentration: Automation and Systems

Keywords: Control saturation, Finsler’s lemma, L2-bounded disturbance

Number of Pages: 101

In this work, we study the analysis and the controller synthesis problems for linear systems subject to control saturations. New conditions of stability for the saturated system are proposed. These conditions are obtained from the Lyapunov theory com-bined with the Finsler’s lemma, which allows to introduce some additional degrees of freedom to the stability conditions. Two approaches are used to represent the satu-ration: a polytopic model and a model based on sector nonlinearities. The results of analysis and synthesis are developed for both representations. The degrees of freedom obtained from the use of Finsler’s lemma are exploited to propose techniques for the synthesis based on the state observers and to deal with the tolerance and attenuation disturbance problems by using a state feedback control. The state observer synthesis under saturation is first approached by considering polytopic and sector nonlinearity models, from classic quadratic stability conditions. The stability domains obtained for the augmented closed-loop system, in both cases, are associated with quadratic Lyapunov functions with a block-diagonal structure. Then, it is shown that the use of the Finsler’s Lemma allows to obtain potentially less conservatives quadratic sta-bility domains associated with Lyapunov functions without any particular structure. The problems of disturbance tolerance and disturbance attenuation are approached directly by using the Finsler’s lemma and the sector nonlinearity model. We consider L2-bounded disturbances. Regarding the disturbance tolerance problem, a technique is

proposed for state feedback synthesis through the solution of an optimization problem with multiple objectives of control. The purpose of this technique is to guarantee both the internal stability of the system for a certain domain of initial conditions and to maximize the domain of admissible disturbances for the saturated system. A similar technique is used to deal with the corresponding disturbance attenuation it with aims at minimizing the L2-gain of the closed-loop system. The presented approach allows

to reduce the degrees of conservatisme of the problem by exploiting the possibility of using different Lyapunov functions for each different control requirement.

(8)

Résumé de thèse proposé à l’Université Fédérale de Santa Catarina comme partie des conditions nécessaires pour l’obtention du grade de Docteur en Génie Électrique.

ANALYSE ET COMMANDE DE SYSTEMES LINEAIRES

SOUMIS A DES SATURATIONS

Cristiane PAIM

Mars / 2003 Directeur de Th`ese: Eugˆenio Castelan

Spécialité: Automatique et Systèmes

Mots-cl´es: Saturation des Commandes, Lemme de Finsler, perturbation L2

Nombre de pages: 101

Dans ce travail, nous étudions les problèmes d’analyse et de synthèse des contrôleurs pour les systèmes linéaires sujet à des saturations de commande. De nouvelles con-ditions de stabilité pour le système en boucle fermée en régime de saturation sont proposées. Ces conditions sont obtenues à partir de la théorie de Lyapunov combinée avec le lemme de Finsler, ce qui apporte des degrés de liberté supplémentaires aux conditions de stabilité, sous la forme de multiplicateurs. Deux approches sont utilisées pour représenter la saturation. La première est basée sur un modèle polytopique et la seconde sur un modèle basé sur des non-linéarités de secteur. Les résultats d’analyse et de synthèse sont développés pour les deux représentations. Les degrés de liberté ob-tenus à partir du lemme de Finsler sont alors utilisés pour proposer des techniques de synthèse de systèmes de commande basées sur l’utilisation d’observateurs d’état et pour traiter des problèmes de tolérance et atténuation de perturbations par retour d’état. La synthèse des observateurs d’état sous saturation est d’abord traitée, en considérant les modèles polytopique et par non-linéarité de secteur, à partir de conditions de stabilité quadratiques classiques. Les domaines de stabilité obtenus pour le système en boucle fermé sont, dans les deux cas, associés à des fonctions de Lyapunov quadratiques avec une structure bloc-diagonal. Alors, nous utilisons le lemme de Finsler pour déduire de nouvelles conditions, formées de multiplicateurs, qui permettent d’obtenir des domai-nes de stabilité moins conservatifs associés à des fonctions de Lyapunov quadratiques sans structure particulière. Les problèmes de tolérance et atténuation de perturbation sont traités directement en utilisant le lemme de Finsler et le modèle par non-linéarité de secteur. Les perturbations sont considérées bornées en norme L2. Pour le problème

de tolérance aux perturbations, une technique est proposée pour la synthèse par retour d’état au travers de la solution d’un problème d’optimisation avec un critère multiob-jectif. Cette technique vise à garantir la stabilité interne du système pour un certain domaine de conditions initiales et à maximiser le domaine de perturbations tolérables par le système sous saturation. Une technique semblable permet de traiter le problème de minimisation du gain L2 pour le système en boucle fermée. L’approche présenté

per-met de réduire les degrés de conservatisme du problème vu qu’il est possible d’utiliser de différentes fonctions de Lyapunov pour chaque contraintes de commande.

(9)

Sum´

ario

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas v

Nota¸c˜ao vi

1 Introdu¸c˜ao Geral 1

2 No¸c˜oes Preliminares 7

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 7

2.2 Estabilidade no Sentido de Lyapunov . . . 7

2.2.1 Segundo M´etodo de Lyapunov . . . 9

2.3 Conjuntos Invariantes e de Estabilidade . . . 11

2.4 Problema de Lure . . . 12

2.5 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . 14

2.6 Estabilidade via Lema de Finsler . . . 15

2.7 Desigualdades Matriciais . . . 17 2.7.1 Defini¸cão . . . 18 2.7.2 Propriedades . . . 19 2.7.3 Complemento de Schur . . . 19 2.7.4 _{S-procedure . . . .} 20 2.7.5 Posicionamento de Pólos . . . 21 2.8 Comentários Finais . . . 22 i

(10)

3 Sistemas Lineares sob Satura¸c˜ao 23

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 23

3.2 Defini¸c˜ao do Problema . . . 24

3.3 Estabilidade e Estabiliza¸c˜ao de Sistemas sob Satura¸c˜ao . . . 27

3.3.1 Problemas Gen´ericos de An´alise e S´ıntese . . . 27

3.4 Modelagem por Regi˜oes de Satura¸c˜ao . . . 29

3.5 Modelagem Polit´opica . . . 31

3.5.1 Condi¸c˜oes de Estabilidade . . . 35

3.5.2 Algoritmos Num´ericos . . . 38

3.6 Modelagem por N˜ao-linearidade de Setor . . . 42

3.6.1 Defini¸c˜ao . . . 42

3.6.2 Condi¸c˜oes de Estabilidade . . . 44

3.6.3 Algoritmos Num´ericos . . . 47

3.7 Desempenho Dinˆamico com Leis de Controle Saturantes . . . 49

3.8 Exemplo Num´erico . . . 50

3.9 Coment´arios Finais . . . 52

4 S´ıntese de Observadores de Estado sob Satura¸c˜ao 54 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 54

4.2 Apresenta¸c˜ao do Problema . . . 55

4.3 Modelagem Polit´opica . . . 56

4.4 Modelagem por N˜ao-linearidade de Setor . . . 60

4.4.1 Abordagem Cl´assica . . . 60

4.4.2 Abordagem usando o Lema de Finsler . . . 61

5 Tolerância e Atenua¸cão de Perturba¸cão sob Satura¸cão 64 5.1 Introdu¸cão . . . 64

5.2 Tolerância à Perturba¸cão . . . 65

5.2.1 Exemplo Num´erico . . . 73

(11)

5.3.1 Exemplo Num´erico . . . 81

6 Conclusões e Perspectivas 84 A Elipsóides e Poliedros 88 A.1 Elipsóides . . . 88

A.1.1 Defini¸c˜ao . . . 88

A.1.2 Volume de um elips´oide . . . 90

A.2 Poliedros . . . 91

A.3 Rela¸c˜oes de Inclus˜ao . . . 92

A.3.1 Inclus˜ao de um elips´oide em um poliedro . . . 92

A.3.2 Inclus˜ao de um elips´oide em outro . . . 93

A.3.3 Inclus˜ao de um poliedro em outro . . . 94

(12)

Lista de Figuras

2.1 Forma padr˜ao do tipo Lure. . . 13

3.1 Fun¸c˜ao satura¸c˜ao. . . 25

3.2 Regi˜ao de linearidade S(K, ρ). . . 26

3.3 Regi˜oes de satura¸c˜ao. . . 30

3.4 Politopo de matrizes. . . 34

3.5 Regi˜ao de linearidade do modelo polit´opico. . . 35

3.6 Fun¸c˜ao satura¸c˜ao - zona morta. . . 43

5.1 Estabilidade externa. . . 66

(13)

Lista de Tabelas

3.1 Desempenho do algoritmo: abordagem polit´opica. . . 52 5.1 Desempenho do algoritmo 5.1 para diversos valores de γω. . . 74

5.2 Desempenho do algoritmo 5.1 para diferentes critérios de otimiza¸cão. . 75 5.3 Posicionamento de pólos para diferentes V2. . . 75

5.4 Resultado do algoritmo 5.2. . . 82

(14)

Nota¸c˜

ao

⊂ (⊆) : contido (contido ou igual).

∈ : pertence.

6∈ : n˜ao pertence.

∃ : existe.

∀ : qualquer.

<n _{: espa¸co <}n_.

<n×m _{: espa¸co de matrizes reais de dimens˜ao n × m.}

C : conjunto de n´umeros complexos. Re(z) : parte real de um n´umero complexo.

Im(z) : parte imaginária de um número complexo. xi : i-ésimo elemento do vetor x.

|x| : vetor composto de valores absolutos dos elementos do vetor x. x y : desigualdade elemento a elemento.

diag(x) : matriz diagonal gen´erica a partir do vetor x. eig(A) : autovalores da matriz A.

Ai : i-´esima linha da matriz A.

A0 _{: transposto de A.}

Ker A : n´ucleo de A.

A > (≥)0 : matriz (semi) definida positiva.

A > (≥)B : matriz A − B (semi) definida positiva. ||A|| : norma euclidiana de A.

In : matriz identidade de ordem n.

1n : vetor de dimens˜oes n com todos os elementos iguais a 1.

0n×m : matriz de dimens˜ao n × m com todos os elementos iguais a 0.

0n : vetor de dimens˜ao n com todos os elementos iguais a 0.

Co{·} : envelope convexo.

? : representa um bloco sim´etrico nas LMIS.

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao Geral

A teoria de controle tem, nas últimas décadas, voltado-se para a abordagem de problemas existentes no ambiente industrial. Tendo em vista a complexidade e a busca de ´ındices de desempenho, rendimento e produtividade cada vez mais exigentes, o con-trole monovariável já não é capaz de resolver estes problemas em sua plenitude. Aliado a isto, aplica¸cões envolvendo equipamentos de alta tecnologia e confiabilidade exigem estratégias de controle que levem em conta todas as particularidades dos sistemas. O objetivo é garantir alta precisão nas respostas, bem como imunidade a falhas e compor-tamentos não previstos. Técnicas e algoritmos de controle vêm sendo estudados a fim de conceber controladores que garantam a estabilidade do sistema em malha fechada e n´ıveis aceitáveis de desempenho, robustez e descentraliza¸cão.

Restri¸cões de ordem tecnológica e de seguran¸ca estão sempre presentes em sistemas f´ısicos reais. Estas restri¸cões se traduzem na possibilidade de aplica¸cão de sinais de controle limitados entre valores máximos e m´ınimos e também em limita¸cões sobre as variáveis de estado do sistema. O problema da satura¸cão encontra-se em praticamente em todos os sistemas de controle. A ocorrência imprevista da satura¸cão pode levar o sistema à instabilidade ou ao aparecimento de respostas indesejáveis inerentes ao comportamento não-linear do sistema em malha fechada, tais como: múltiplos pontos de equil´ıbrio e ciclos limite. A partir dos fatos apresentados acima nasce a motiva¸cão e o interesse pelo estudo de sistemas de controle sujeitos a satura¸cão, em particular

(16)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao Geral 2 satura¸c˜ao de controle.

O problema de estabiliza¸cão global de um sistema linear submetido a restri¸cões nos controles recebeu aten¸cão de vários pesquisadores nos últimos anos. Pode-se ci-tar os trabalhos de Sontag e Sussmann (1990) e Yang et al. (1992) considerando o caso de sistemas cont´ınuos e o trabalho de Yang (1993) considerando sistemas dis-cretos. Estes trabalhos mostram que um sistema linear sob satura¸cão é globalmente estabilizável se e somente se o par (A, B) é estabilizável e os autovalores da matriz A não são estritamente instáveis. Esse resultado é justificável de maneira intuitiva: se o sistema em malha aberta é instável e o controle limitado em amplitude, não se disporá de energia de controle suficiente para que se possa trazer de volta à origem um estado longe o bastante da mesma. No caso em que o sistema é assintoticamente ou criticamente estável1_{, Burgat e Tarbouriech (1992), Burgat e Tarbouriech (1996) e}

Tarbouriech (1991) mostram que é sempre poss´ıvel encontrar uma lei de controle do tipo realimenta¸cão de estados que estabilize globalmente o sistema saturado. Por outro lado, as leis de controle globalmente estabilizantes não são capazes de melhorar signi-ficativamente o comportamento dinâmico do sistema em malha fechada nem oferecer um n´ıvel de robustez satisfatório.

Uma abordagem alternativa à estabiliza¸cão global do sistema saturado é a estabi-liza¸cão semiglobal. Considerando sistemas lineares com controles saturantes, o conceito de estabilidade semiglobal foi introduzido na literatura quase que simultaneamente por Lin e Saberi (1993) e Alvarez-Ramirez et al. (1994). A partir destes trabalhos mostra-se que um sistema linear submetido a restri¸cões de controle do tipo satura¸cão é semiglo-balmente estabilizável se, para um conjunto limitado qualquer X0, contendo a origem

e tão grande quanto se queira, existe uma lei de controle do tipo realimenta¸cão linear de estados, tal que sistema em malha fechada é localmente assintoticamente estável. O dom´ınio de condi¸cões iniciais X0 está contido na região de atra¸cão da origem do sistema

em malha fechada. A partir desta defini¸c˜ao, pode-se dizer que a estabilidade semiglobal

1 _{Um sistema ´e criticamente est´}_{avel se e somente se todos os seus autovalores tˆem parte real n˜}

ao-positiva e cada autovalor com parte real nula, e de multiplicidade mj, est´a associado a mjautovetores

(17)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao Geral 3 situa-se entre os conceitos de estabilidade global e local. Como X0 pode ser t˜ao grande

quanto se queira, pode-se supor X0 → <n aproximando-se assim de uma estabiliza¸c˜ao

global. Por outro lado, como a estabilidade ´e garantida somente para estados iniciais pertencentes a X0, a estabiliza¸c˜ao semiglobal pode ser vista como uma estabilidade

local. Assim, uma condi¸cão necessária e suficiente para a estabiliza¸cão semiglobal (Lin e Saberi 1993, Alvarez-Ramirez et al. 1994) é que o par (A,B) seja estabilizável e que o sistema não possua autovalores instáveis.

Quando o sistema em malha aberta é estritamente instável, não é poss´ıvel conside-rar nem a estabilidade global nem a estabilidade semiglobal em presen¸ca de restri¸cões nas variáveis de controle. Mesmo no caso em que o sistema em malha aberta seja estável, outras especifica¸cões como desempenho, desacoplamento entre modos ou re-jei¸cão de perturba¸cões, podem não ser atendidas pela utiliza¸cão de leis de controle que estabilizem o sistema em malha fechada global ou semiglobalmente.

Do ponto de vista da análise, quando a lei de controle é calculada sem levar em conta, a priori, a presen¸ca da satura¸cão, é interessante determinar a região de atra¸cão da origem do sistema sob satura¸cão. Infelizmente a determina¸cão anal´ıtica deste tipo de região é dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel. Neste caso, é interessante obter aproxima¸cões da região de atra¸cão a partir da determina¸cão de regiões no espa¸co de estados onde é garantida a estabilidade assintótica do sistema em malha fechada. Considerando o problema de s´ıntese, é de interesse a determina¸cão de uma lei de controle saturante que assegure a estabilidade assintótica no interior de uma dada região que contenha os estados iniciais considerados admiss´ıveis. Neste contexto, o uso da teoria de Lyapunov e o conceito de conjuntos positivamente invariantes e contrativos apresenta-se como uma importante ferramenta de análise e projeto. Duas abordagens são encontradas na literatura para tratar a estabiliza¸cão local: abordagem linear e abordagem não-linear. Na abordagem linear o objetivo é evitar a satura¸cão e garantir o comportamento linear do sistema (veja por exemplo, Gutman e Hagander (1985), Castelan et al. (1996), Gomes da Silva Jr. et al. (1995), Hu e Lin (2000b)). Na abordagem não-linear a satura¸cão é considerada e o comportamento não-linear do sistema deve ser levado em conta (ver Kim e Bien (1994), Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech (1997), Tarbouriech e

(18)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao Geral 4 Garcia (1997), Hindi e Boyd (1998), Pittet et al. (1998), Johansson e Rantzer (1998), Nguyen e Jabbari (2000), Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech (2001)).

Com base no acima exposto, a motiva¸cão principal deste trabalho é buscar condi¸cões de estabilidade local menos conservadoras para o estudo de problemas de análise e de s´ıntese de sistemas sob satura¸cão. Além disso, dentro deste contexto, grande parte dos resultados encontrados na literatura, considerando estabilidade local, são deter-minados para o caso de realimenta¸cão de estados. É interessante a busca de solu¸cões considerando realimenta¸cões dinâmicas, em particular via observadores de estado.

Outro problema de interesse é o estudo de sistemas sujeitos a perturba¸cões na presen¸ca da satura¸cão. Se o sistema sob satura¸cão é submetido à perturba¸cões muito fortes pode não ser poss´ıvel garantir a permanência dos estados dentro da região de atra¸cão e, conseqüentemente, o sistema pode vir a apresentar trajetórias divergentes. Por este motivo é importante conhecer quais os n´ıveis de perturba¸cão que o sistema sob satura¸cão pode suportar mantendo sua estabilidade assintótica, isto é, garantindo que os estados não sairão da região de atra¸cão.

Neste trabalho são considerados sistemas lineares sujeitos a satura¸cão de controle e a perturba¸cões limitadas em norma L2. O problema abordado consiste em garantir

estabilidade interna e externa para o sistema em malha fechada.

O estudo da estabilidade interna consiste em garantir a convergência assintótica do sistema em malha fechada para um dado conjunto de estados iniciais admiss´ıveis na ausência de perturba¸cão. Considerando leis de controle do tipo realimenta¸cão de estados, este problema tem sido alvo de vários trabalhos (ver, por exemplo, Hu e Lin (2001a), Hindi e Boyd (1998), Burgat e Tarbouriech (1996)).

O estudo da estabilidade externa consiste em garantir que as trajetórias do sistema em malha fechada permanecem limitadas apesar da a¸cão da perturba¸cão. Em Hindi e Boyd (1998), a rejei¸cão de perturba¸cão é analisada para uma classe de perturba¸cões com energia finita. Em Hu e Lin (2000a), este problema é estudado para o caso de perturba¸cões persistentes. Em Nguyen e Jabbari (1999), é tratado o problema de atenua¸cão de perturba¸cão para sistemas lineares com perturba¸cões e entradas limitadas.

(19)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸cão Geral 5 Em Hu e Lin (2001b) e Saberi et al. (1996) as perturba¸cões são consideradas aditivas às entradas e, portanto, entram no sistema antes do atuador. Nesses trabalhos, as perturba¸cões são limitadas em norma L∞. Naturalmente, existe um compromisso entre

a tolerância à perturba¸cão e o tamanho da região de atra¸cão do sistema em malha fechada. Na maioria dos trabalhos anteriores este aspecto não é discutido. Neste trabalho de doutorado o problema de atenua¸cão de pertuba¸cão é abordado levando em conta a região de atra¸cão e buscando maximizar o seu tamanho.

Em geral, nas abordagens clássicas, utiliza-se uma única fun¸cão de Lyapunov para atender todas as restri¸cões (estabilidade sob satura¸cão, desempenho, rejei¸cão à per-turba¸cão, robustez, etc.) do problema tornando a solu¸cão muito conservadora. A utiliza¸cão de diferentes fun¸cões de Lyapunov para os diferentes critérios parece ser uma forma de reduzir esta conservadorismo. Entretanto, a necessidade de uma lei de controle ´

unica (isto é, a mesma lei de controle deve atender todas as especifica¸cões do problema) pode dificultar ou inviabilizar a utiliza¸cão deste tipo de abordagem. A utiliza¸cão de uma abordagem baseada no lema de Finsler combinada com a teoria de estabilidade de Lyapunov, aparece como uma alternativa para o tratamento menos conservador dos problemas de controle multiobjetivos.

Tanto para o problema de s´ıntese de observador de estados como para os problemas de atenua¸cão e tolerância à perturba¸cão, o uso do lema de Finsler leva a condi¸cões algébricas de estabilidade onde a matriz de Lyapunov aparece de forma isolada. Esta estrutura permite associar diferentes fun¸cões de Lyapunov a cada especifica¸cão (ou requisito) do problema proposto.

Este documento est´a organizado da forma descrita a seguir.

No cap´ıtulo 2 são apresentadas algumas no¸cões preliminares relacionadas aos proble-mas que serão tratados ao longo do trabalho. São discutidos conceitos de estabilidade para sistemas lineares e não-lineares considerando a teoria de Lyapunov. O lema de Finsler é apresentado e utilizado para escrever condi¸cões alternativas de estabilidade para sistemas lineares. Alguns resultados utilizando desigualdades matriciais lineares, são apresentados no final do cap´ıtulo.

(20)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸cão Geral 6 No cap´ıtulo 3 é feita uma descri¸cão da problemática dos sistemas lineares sob sa-tura¸cão. São definidos os problemas de análise e s´ıntese que se deseja resolver. Algumas modelagens utilizadas para representar a satura¸cão são descritas neste cap´ıtulo. A se-guir, são propostos algoritmos numéricos para resolu¸cão dos problemas de análise e de s´ıntese baseados em condi¸cões de estabilidade obtidas através da Teoria de Lyapunov. No cap´ıtulo 4 são apresentados resultados de s´ıntese de observadores de estado sob satura¸cão. São consideradas as modelagens politópica e por não-linearidades de setor. Os resultados apresentados baseiam-se nas abordages quadrática clássica e na metodologia baseada no Lema de Finsler.

No cap´ıtulo 5 são descritos dois problemas de controle considerando o sistema su-jeito a perturba¸cões limitadas em norma L2: tolerância e rejei¸cão de perturba¸cão. Nos

dois casos, a técnica desenvolvida é baseada na utiliza¸cão do lema de Finsler e em uma representa¸cão da satura¸cão por não-linearidades de setor. Com base nas condi¸cões de estabilidade obtidas pela aplica¸cão do lema de Finsler, são definidos dois problemas distintos . O primeiro, chamado problema de tolerância à perturba¸cão, consiste em maximizar o limite admiss´ıvel de perturba¸cão e o tamanho da região onde a estabili-dade interna é garantida. O segundo, chamado problema de atenua¸cão de perturba¸cão, consiste em minimizar o ganho L2 do sistema, dado que o limite de perturba¸cão é

conhecido.

O cap´ıtulo final traz as conclus˜oes dos estudos realizados bem como perspectivas de trabalhos futuros.

(21)

Cap´ıtulo 2

No¸c˜

oes Preliminares

2.1 Introdu¸c˜

ao

O objetivo deste cap´ıtulo é fornecer no¸cões teóricas e conceitos de base que serão utilizados ao longo deste trabalho. Inicialmente será discutido o problema de esta-bilidade de sistemas não-lineares considerando a teoria de Lyapunov e o conceito de estabilidade absoluta. A no¸cão de invariância positiva e de dom´ınios de estabilidade é apresentada na seqüência. A seguir, é apresentado um estudo sobre a estabilidade de sistemas lineares com base no segundo método de Lyapunov. A partir do lema de Fins-ler, são escritas diferentes condi¸cões de estabilidade para sistemas lineares em tempo cont´ınuo. Para finalizar, serão apresentados alguns resultados utilizando desigualdades matriciais, que permitirão a resolu¸cão numérica dos algoritmos apresentados.

2.2 Estabilidade no Sentido de Lyapunov

Considere o sistema autˆonomo descrito pela seguinte equa¸c˜ao:

(22)

2.2. Estabilidade no Sentido de Lyapunov 8 na qual f : U → <n _{´e uma fun¸c˜ao localmente Lipschitz no dom´ınio U ⊆ <}n_{. Suponha}

que xe ∈ U ´e um ponto de equil´ıbrio do sistema (2.1), isto ´e,

f (xe) = 0

Por simplicidade e sem perda de generalidade, será considerado que o ponto de equil´ıbrio é a origem de <n_{, isto é, x}

e = 0. Note que, no caso de sistemas autˆonomos

é sempre poss´ıvel transladar o ponto de equil´ıbrio para a origem através de uma troca de variáveis. Será, então, estudada a estabilidade do sistema:

˙x(t) = f (x(t)), f (0) = 0 (2.2)

em uma vizinhan¸ca W ⊆ U da origem x = 0 (Khalil 1992).

Defini¸c˜ao 2.1 O ponto de equil´ıbrio xe= 0 do sistema (2.2) ´e:

- est´avel, se para todo escalar > 0, existe um escalar positivo δ = δ() tal que

kx(0)k < δ =⇒ kx(t)k ≤ , ∀t ≥ 0 (2.3)

- assintoticamente estável, se é estável e δ pode ser escolhido tal que

kx(0)k < δ =⇒ lim_t→∞x(t) = 0 (2.4)

- instável, se não é estável.

A no¸cão de estabilidade assintótica de Lyapunov está ligada à de região de atra¸cão da origem (Khalil 1992), definida como o maior dom´ınio no espa¸co de estados onde a convergência assintótica para a origem é garantida:

D = {x(0) ∈ <n; lim

(23)

2.2. Estabilidade no Sentido de Lyapunov 9 Defini¸c˜ao 2.2 O ponto de equil´ıbrio xe= 0 ´e:

- localmente assintoticamente estável, se a região de atra¸cão está estritamente inclusa em <n_{: D ⊂ <}n_.

- globalmente assintoticamente estável, se a região de atra¸cão é todo o espa¸co de estados: D = <n.

Para o estudo da estabilidade dos sistemas usando diretamente a defini¸cão de ponto de equil´ıbrio é necessário o conhecimento da expressão anal´ıtica das trajetórias do sis-tema. Entretanto, esta tarefa pode ser muito dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel. A fim de contornar esta dificuldade pode-se utilizar o segundo método de Lyapunov, que per-mite concluir sobre a estabilidade do sistema sem calcular suas trajetórias através da propriedade de contratividade das fun¸cões de Lyapunov.

2.2.1 Segundo M´

etodo de Lyapunov

Uma fun¸c˜ao de Lyapunov candidata pode ser definida da maneira seguinte (Vidyasagar 1993):

Defini¸c˜_{ao 2.3 A fun¸cão V : W ⊆ <}n_{→ <}+ _{é uma fun¸cão de Lyapunov candidata, se}

satisfaz as duas condi¸c˜oes a seguir:

(i) V (x) é cont´ınua e suas derivadas parciais existem e são igualmente cont´ınuas; (ii) V (x) é definida positiva para todo x 6= 0 e V (0) = 0.

Pelo segundo método de Lyapunov, a estabilidade dos sistemas não-lineares pode ser caracterizada pela existência de uma fun¸cão de Lyapunov contrativa ao longo das trajetórias estáveis do sistema.

(24)

2.2. Estabilidade no Sentido de Lyapunov 10 Teorema 2.1 (Estabilidade Local) Em uma vizinhan¸ca W ⊂ <n_{, o equil´ıbrio x}

e = 0

´e:

- localmente est´_{avel, se existe uma fun¸c˜ao de Lyapunov candidata, V : W → <}+ tal que ˙_{V (x) ≤ 0, para todo x ∈ W .}

- localmente assintoticamente est´avel, se existe uma fun¸c˜ao de Lyapunov can-didata, V : W → <+ _{tal que ˙}_{V (x) < 0, para todo x ∈ W .}

Se W é todo o espa¸co de estados <n_{, então, pode-se escrever condi¸cões suficientes}

de estabilidade global.

Teorema 2.2 (Estabilidade Global) O ponto de equil´ıbrio x = 0 é globalmente assin-toticamente estável se existe uma fun¸cão de Lyapunov candidata, V : <n _{→ <}+ _tal

que:

(i) ˙_{V (x) < 0, ∀x ∈ <}n_{− {0};}

(ii) lim

kxk→∞V (x) = ∞.

Uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para os teoremas anteriores pode ser dada a partir do conceito de superf´ıcies de Lyapunov.

Defini¸c˜ao 2.4 Seja V (x) uma fun¸c˜ao de Lyapunov. A superf´ıcie no espa¸co de estados dada por:

S = {x ∈ <n; V (x) = c} (2.5)

´e chamada superf´ıcie de Lyapunov ou superf´ıcie de n´ıvel.

A condi¸c˜ao ˙V (x) < 0 implica que, se x(t) pertence a fronteira de V (x) = c, x(t + τ ), com τ infinitesimal, pertence ao interior do conjunto definido por

(25)

2.3. Conjuntos Invariantes e de Estabilidade 11 Ou seja, a trajetória do sistema (2.1) evolui em dire¸cão a uma superf´ıcie de Lya-punov interior. Assim, a medida que o tempo prossegue, a superf´ıcie sobre a qual encontra-se x(t) contrai-se em dire¸cão à origem, mostrando que o estado do sistema se aproxima assintoticamente da origem.

2.3 Conjuntos Invariantes e de Estabilidade

Como mencionado anteriormente, a estabilidade do sistema (2.2) está ligada à no¸cão de vizinhan¸ca da origem. Uma condi¸cão necessária de estabilidade é que suas trajetórias estejam confinadas nesta vizinhan¸ca.

Defini¸c˜_{ao 2.5 Um conjunto R ⊂ <}n_{, contendo a origem x = 0, ´e positivamente}

invariante, em rela¸c˜ao ao sistema (2.1) se para toda condi¸c˜ao inicial x0 ∈ R, suas

trajet´orias correspondentes permanecem confinadas em R.

Defini¸c˜_{ao 2.6 Um conjunto R ⊂ <}n _{´e contrativo em rela¸c˜ao ao sistema (2.1) se toda}

trajet´oria do sistema (2.1), inicializada em R, evolui sempre em dire¸c˜ao ao interior deste conjunto.

Note que, um conjunto contrativo é sempre invariante mas o inverso não é verda-deiro.

Combinando as condi¸cões de estabilidade no sentido de Lyapunov e de invariância positiva podem-se definir os conceitos de dom´ınios de invariância positiva e de estabi-lidade. φ(t, x0) representa a trajetória do sistema (2.2) partindo de x0.

Defini¸c˜_{ao 2.7 Um conjunto compacto R ⊂ <}n_{, contendo a origem x = 0, ´e}

- um conjunto de invariˆancia positiva e de estabilidade, para o sistema (2.1) se para toda condi¸c˜ao inicial x0 ∈ R tem-se φ(t, x0) ∈ R, ∀t ≥ 0.

(26)

2.4. Problema de Lure 12 - um conjunto de invariância positiva e de estabilidade assintótica, para o sistema (2.1) se para toda condi¸cão inicial x0 ∈ R tem-se φ(t, x0) ∈ R, ∀t ≥ 0

e, al´em disso, lim

t→∞φ(t, x0) = 0.

A determina¸cão desses conjuntos de invariância positiva e estabilidade pode ser feita com aux´ılio do segundo método de Lyapunov.

Considere uma fun¸c˜ao de Lyapunov candidata V (x) para o sistema (2.1). Ent˜ao, o dom´ınio compacto definido por

S(V, µ) = {x ∈ <n; V (x) ≤ µ, µ > 0} (2.6) é um dom´ınio de invariância positiva e de estabilidade se ˙_{V (x) ≤ 0 para ∀x ∈ S(V, µ).} A estabilidade assintótica é garantida se ˙_{V (x) < 0 para ∀x ∈ S(V, µ) − {0}. Neste} caso, S(V, µ) é um conjunto contrativo.

2.4 Problema de Lure

Seja o seguinte sistema linear:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) (2.7)

no qual A e B s˜ao matrizes conhecidas e constantes, x ∈ <n_{, u, y ∈ <}m_{. Suponha que}

o par (A, B) é controlável e o par (C, A) é observável. Seja u(t) = −Ψ(t, y), definida por:

Ψ :    (<+_{× <}m_{) → <}m (t, y) 7→ Ψ(t, y) (2.8)

no qual Ψ é uma fun¸cão não-linear, localmente Lipschitz em y, sem memória e descen-tralizada. Diz-se que Ψ é uma não-linearidade de setor se verifica a condi¸cão dada a

(27)

2.4. Problema de Lure 13 seguir.

Defini¸c˜ao 2.8 Sejam duas matrizes diagonais Kmin e Kmax, tais que K = Kmax −

Kmin seja definida positiva. Ent˜ao, ∀y ∈ S ⊂ <m, Ψ(t, y) pertence ao setor

(Kmin, Kmax) se verifica

[Ψ(t, y) − Kminy]0[Ψ(t, y) − Kmaxy] ≤ 0, ∀t ≥ 0 (2.9)

Se S está estritamente inclusa em <m_{, diz-se que a condi¸cão de setor (2.9) é verificada}

localmente, e se S = <m_{, esta ´e verificada globalmente.}

Aplicando a não-linearidade ao sistema (2.7), obtém-se o seguinte sistema não-linear em malha fechada:

˙x(t) = Ax(t) − BΨ(t, y)

y(t) = Cx(t) (2.10)

O sistema não-linear obtido a partir da conexão de um sistema linear com uma não-linearidade de setor (conforme mostrado na figura 2.1) é conhecido na literatura como sistema do tipo Lure e o estudo da estabilidade do mesmo como problema de Lure ou problema de estabilidade absoluta.

- y(t) r= 0 + Ψ ˙x = Ax + Bu y= Kx

Figura 2.1: Forma padr˜ao do tipo Lure.

A partir da condi¸c˜ao de setor (2.9) pode-se escrever a defini¸c˜ao de estabilidade absoluta (Khalil 1992).

(28)

2.5. Estabilidade de Sistemas Lineares 14 Defini¸cão 2.9 O sistema (2.10), onde a não-linearidade Ψ pertence ao setor (Kmin, Kmax), é dito

- localmente absolutamente estável: se o sistema (2.10) é localmente assin-toticamente estável para toda não-linearidade verificando localmente a condi¸cão de setor (2.9);

- globalmente absolutamente estável: se o sistema (2.10) é globalmente assintoticamente estável para toda não-linearidade verificando globalmente a condi¸cão de setor (2.9);

´

E poss´ıvel descrever a satura¸c˜ao como uma n˜ao-linearidade de setor (Kmin, Kmax)

com 0 ≤ Kmin ≤ Im e Kmax ≥ Im (Pittet 1997). Conseq¨uentemente, a estabilidade

do sistema linear com controles saturantes pode ser vista como um caso particular da estabilidade absoluta (Khalil 1992).

2.5 Estabilidade de Sistemas Lineares

Considere um sistema linear cont´ınuo no tempo

˙x(t) = Ax(t) (2.11)

Este sistema corresponde a uma classe particular dos sistemas (2.1) e, portanto, pode-se utilizar fun¸c˜oes de Lyapunov para estudar sua estabilidade.

Em geral, a determina¸cão de uma boa fun¸cão de Lyapunov não é sempre evidente e as condi¸cões dos teoremas de Lyapunov são apenas suficientes. Entretanto, no caso de sistemas lineares estáveis, é sempre poss´ıvel determinar uma fun¸cão de Lyapunov quadrática. O teorema a seguir fornece uma condi¸cão necessária e suficiente para a existência de uma fun¸cão de Lyapunov quadrática para todo sistema linear assintoti-camente estável.

(29)

2.6. Estabilidade via Lema de Finsler 15 Teorema 2.3 O ponto de equil´ıbrio xe= 0 do sistema (2.11) ´e assintoticamente est´avel

se e somente se existe uma matriz simétrica positiva definida P , única solu¸cão da inequa¸cão de Lyapunov:

A0P + P A < 0 (2.12)

A partir deste teorema a fun¸c˜ao quadr´atica definida como:

V (x) = x0P x (2.13)

satisfaz as condi¸cões do Teorema 2.1. Este tipo de fun¸cão está associada a dom´ınios de Lyapunov. Se V (x) = x0_{P x é uma fun¸cão de Lyapunov para o sistema (2.11), então, o}

elips´oide (ver apˆendice A):

E = {x ∈ <n; x0_{P x ≤ c, c > 0}} ´e um dom´ınio contrativo para este sistema.

2.6 Estabilidade via Lema de Finsler

O Lema de Finsler pode ser utilizado para escrever novas condi¸cões de estabili-dade para sistemas lineares. Este lema será aplicado a um sistema linear autônomo considerando os casos cont´ınuo e discreto no tempo.

Lema 2.1 (Lema de Finsler) Seja um vetor ξ ∈ <n_{, as matrizes Q ∈ <}n×n _e

B ∈ <m×n_{, tal que posto(B) < n. As seguintes rela¸c˜oes s˜ao equivalentes:}

i) ξ0_{Qξ < 0, ∀ξ tal que Bξ = 0, x 6= 0.} ii) B⊥ 0_QB⊥ _{< 0.}

iii) ∃µ ∈ < : Q − µB0B < 0, µ > 0. iv) ∃R ∈ <n×m_{: Q + RB + B}0_R0 _{< 0.}

(30)

2.6. Estabilidade via Lema de Finsler 16 Este lema foi descrito originalmente por Finsler (1937) e vem sendo largamente utilizado na teoria de controle. Inicialmente este lema foi bastante utilizado com o objetivo de eliminar variáveis (Boyd et al. 1994). Mais recentemente, ele aparece como uma forma de escrever novas condi¸cões de estabilidade permitindo mais graus de liber-dade ao problema de controle através do uso de multiplicadores, representados no lema 2.1 através do escalar µ e da matriz R (de Oliveira 2002).

Considere o sistema (2.11). Este sistema ´e assintoticamente est´avel segundo Lya-punov se V (x(t)) = x(t)0_{P x(t) > 0, ∀x(t) 6= 0 e ˙V (x(t)) < 0. Assim, se}

˙

V (x(t)) = ˙x0(t)P x(t) + x0(t)P ˙x(t) < 0 (2.14) então, o sistema (2.11) é assintoticamente estável.

A condi¸cão de estabilidade de Lyapunov (2.14) é equivalente à condi¸cão (i) do Lema de Finsler considerando ξ =   x(t) ˙x(t)  , Q =   0 P P 0  , B = h A −I i , _B⊥ =   I A   (2.15)

Definindo a matriz de multiplicadores R como

R =   F G   (2.16)

pode-se enunciar o teorema a seguir.

Teorema 2.4 As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes

i) O sistema (2.11) ´e assintoticamente est´avel. ii) ∃P = P0 _{> 0 :} _A0_{P + P A < 0}

(31)

2.7. Desigualdades Matriciais 17 iii) ∃P = P0 _{> 0, µ > 0 :}   −µA0_{A µA}0_{+ P} µA + P _−µI  < 0 iv) ∃P = P0 _{> 0, F ∈ <}n×n_{, G ∈ <}n×n _:   A0F0+ F A A0G0_{− F + P} GA − F0 _{+ P} _{−G − G}0  < 0

Prova: Este teorema é obtido a partir da aplica¸cão do lema 2.1 na condi¸cão de esta-bilidade (2.14) considerando (2.15) e (2.16).

Note que, a condi¸cão (ii) do Teorema (2.4) é exatamente a condi¸cão de estabilidade de Lyapunov. As condi¸cões (iii) e (iv) são “novas” condi¸cões de estabilidade. Nestas condi¸cões, aparecem os multiplicadores µ, F e G que representam graus de liberdade que podem ser explorados em diversos tipos de problemas de controle, dentre os quais: análise de estabilidade de sistemas incertos, estabilidade robusta, posicionamento de pólos, garantia de ganho L2, etc. (de Oliveira e Skelton 2001).

Pode-se utilizar o lema de Finsler para escrever condi¸cões de estabilidade, seme-lhantes as do teorema 2.4, considerando sistemas sob satura¸cão. Note que, a matriz de Lyapunov P aparece de forma isolada nas condi¸cões (iii) e (iv) do teorema de estabi-lidade. Este desacoplamento será explorado nos problemas apresentados em cap´ıtulos posteriores deste trabalho.

2.7 Desigualdades Matriciais

Nesta se¸cão, serão apresentadas as desigualdades matriciais lineares (Linear Matrix Inequalities, ou simplesmente, LMIs), que serão utilizadas para a resolu¸cão numérica dos problemas de controle. Maiores detalhes sobre LMIs podem ser encontrados em (Boyd et al. 1994), (Chilali e Gahinet 1996) e (Scherer et al. 1997).

(32)

2.7. Desigualdades Matriciais 18

2.7.1 Defini¸c˜

ao

Uma LMI ´e uma desigualdade da forma:

F (x) = F0+ m X i=1 xiFi > 0 (2.17) na qual x ∈ <m _{e as matrizes F}

i = Fi0 ∈ <n×n. As matrizes Fi s˜ao dadas e o vetor x ´e

desconhecido. A desigualdade significa que a matriz simétrica F (x) deve ser definida positiva, isto é, que todos os seus autovalores (reais) devem ser positivos. Pode-se igualmente encontrar restri¸cões do tipo F (x) ≥ 0, que significa que a matriz F (x) é semi-definida positiva, isto quer dizer que alguns valores próprios de F (x) podem ser nulos. São exemplos de LMIs as rela¸cões (ii), (iii) e (iv) do teorema 2.4.

Desde que o cone de matrizes definidas positivas é convexo e a matriz F (x) é uma fun¸cão afim em x, a restri¸cão F (x) > 0 é uma restri¸cão convexa em x. Como será mostrado na seqüência, trata-se de uma propriedade fundamental das LMIs.

Pode-se associar `a LMI (2.17) o seguinte problema de otimiza¸c˜ao:

min c0_x

s. a. F (x) > 0

(2.18)

no qual c ∈ <m_{. O problema de otimiza¸cão (2.18) é uma generaliza¸cão do problema de}

programa¸cão linear clássico em um cone de matrizes definidas positivas. Desde que o critério c0x é linear e a restri¸cão F (x) > 0 é convexa, o problema (2.18) é um problema de otimiza¸cão convexo.

(33)

2.7.2 Propriedades

2.7.2.1 Simultaneidade

Dentre as propriedades das LMIs figura a possibilidade de agrupar diversas LMIs F1(x) > 0, . . . , Fp(x) > 0 em uma ´unica LMI bloco-diagonal:

F (x) =      F1(x) . .. Fp(x)      > 0 2.7.2.2 Convexidade

O conjunto solu¸cão de uma LMI é convexo. Isto é, o segmento de reta que une quaisquer dois pontos do conjunto também pertence ao conjunto.

Para provar, considere que y e z sejam dois pontos que satisfa¸cam (2.17). E seja x = αy + (1 − α)z, com 0 ≤ α ≤ 1. Substituindo na defini¸c˜ao tem-se

F0+Pmi=1Fixi = F0+Pmi=1Fi(αyi+ (1 − α)zi)

= F0+Pm_i=1Fizi+ αPm_i=1Fi(yi− zi)

= (1 − α)(F0+Pmi=1Fizi) + α(F0+Pmi=1Fiyi) > 0

(2.19)

o que completa a prova, pois conclui-se que x também é solu¸cão da LMI. É importante observar que todos conjuntos afins são convexos.

2.7.3 Complemento de Schur

Algumas desigualdades n˜ao-lineares podem ser transformadas em LMIs com a ajuda do Complemento de Schur, o qual permite escrever:

(34)

2.7. Desigualdades Matriciais 20   Q(x) S0_(x) S(x) R(x)  > 0 se e somente se R(x) > 0 Q(x) − S0(x)R−1(x)S(x) > 0 ou, de forma equivalente, se e somente se

Q(x) > 0

R(x) − S0_(x)Q−1_{(x)S(x) > 0}

Nas desigualdades acima, as matrizes Q = Q0, R = R0 e S s˜ao afins em x.

2.7.4 _S-procedure

Lema 2.2 Sejam as fun¸cões quadráticas da variável ξ ∈ <m _{definidas por}

Gi(ξ) = ξ0Piξ + 2R0iξ + µi, ∀i = 1, . . . , p

com Pi matrizes simétricas. Então, tem-se a seguinte condi¸cão suficiente: se existe

τi ≥ 0, para todo i = 1, . . . , p tal que

  P0 R0 R0 0 µ0  − p X i=1 τi   Pi Ri R0 i µi  ≤ 0 ent˜ao Gi(ξ) ≤ 0, ∀i = 1, . . . , p ⇒ G0(ξ) ≤ 0

(35)

2.7.5 Posicionamento de P´

olos

Ser˜ao apresentadas aqui diferentes LMIs que permitem garantir o posicionamento dos autovalores da matriz A ∈ <n×n _{em regi˜oes particulares do plano complexo.}

Con-sidere a regi˜ao gen´erica (Chilali e Gahinet 1996):

D= {z ∈ C; f4 D(z) < 0} (2.20)

com

fD(z) 4

= H + zQ + ¯zQ0 = [Hi,j + Qi,jz + Qi,jz]¯ 1≤i,j≤l

na qual H e Q são matrizes simétricas de dimensão l × l e z é um número complexo com conjugado ¯z. A LMI que garante o posicionamento dos autovalores de A na região D é dada por

Hi,jW + Qi,jAW + QijW A0 < 0 1 ≤ i, j ≤ l (2.21)

Considere trˆes diferentes regi˜oes:

1. semi-plano `a esquerda de δ < 0;

2. interior de um disco de centro 0 e raio r,

3. o setor de um ˆangulo ±θ em torno do eixo real.

As condi¸cões LMIs equivalentes para o posicionamento de pólos em cada uma destas regiões são dadas pelas proposi¸cões a seguir.

Proposi¸cão 2.1 Os autovalores de A estão no semi-plano à esquerda de δ < 0, se e somente se existe uma matriz W = W0 _{> 0 solu¸cão de}

(36)

2.8. Comentários Finais 22 Proposi¸cão 2.2 Os autovalores de A estão dentro de um disco de centro 0 e raio r se e somente se existe uma matriz W = W0 > 0 solu¸cão de

  −rW AW W A0 _−rW  < 0 (2.23)

Proposi¸cão 2.3 Os autovalores de A estão dentro do setor de ângulo θ se e somente se existe uma matriz W = W0 _{> 0 solu¸cão de}

  sin(θ)(AW + W A0₎ _{cos(θ)(AW − W A}0₎ cos(θ)(−AW + W A0) sin(θ)(AW + W A0)  < 0 (2.24)

2.8 Coment´

arios Finais

Neste cap´ıtulo foram discutidos alguns conceitos de base dentro da teoria de con-trole e que serão utilizados ao longo deste trabalho. O problema de estabilidade foi apresentado com base na teoria de Lyapunov. Utilizando o lema de Finsler, foram formuladas diferentes condi¸cões de estabilidade. As ferramentas apresentadas serão utilizadas na obten¸cão de uma formula¸cão LMI para problemas de análise e s´ıntese de sistemas de controle. A principal vantagem da formula¸cão LMI é permitir uma solu¸cão numérica eficiente para os problemas apresentados.

(37)

Cap´ıtulo 3

Sistemas Lineares sob Satura¸c˜

ao

3.1 Introdu¸c˜

ao

Este cap´ıtulo se destina à descri¸cão do problema de controle de sistemas lineares sob satura¸cão e à apresenta¸cão de alguns resultados preliminares que servirão de base para o desenvolvimento do trabalho.

Inicialmente são descritos dois problemas genéricos de controle: análise de estabi-lidade do sistema em malha fechada com satura¸cão de controle e a s´ıntese de leis de controle que levam em conta a possibilidade de satura¸cão. A seguir serão descritas al-gumas modelagens para representar a satura¸cão: modelagem por regiões de satura¸cão, modelagem politópica e modelagem por não-linearidade de setor. As duas últimas, serão utilizadas ao longo de todo o trabalho. Para ambas as representa¸cões serão de-finidas condi¸cões de estabilidade através da Teoria clássica1 _{de Lyapunov e também}

utilizando as rela¸cões de equivalência do lema de Finsler. Serão também apresentados algoritmos numéricos para resolu¸cão dos problemas de análise e de s´ıntese previamente definidos.

1_{O termo “cl´assico”ser´}_{a utilizado para indicar a substitui¸c˜}_{ao da dinˆamica do sistema na derivada}

(38)

3.2. Defini¸c˜ao do Problema 24

3.2 Defini¸c˜

ao do Problema

Considere um sistema linear definido por:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) (3.1)

na qual x(t) ∈ <n _{e u(t) ∈ <}m _{s˜ao respectivamente os vetores de estado e controle. As}

matrizes A e B são matrizes constantes reais de dimensões apropriadas. Considere que o controle é uma fun¸cão linear do estado, isto é:

u(t) = Kx(t) (3.2)

com K ∈ <m×n_.

Se nenhuma restri¸c˜ao ´e aplicada aos estados ou aos controles do sistema (3.1), em malha fechada tem-se:

˙x(t) = (A + BK)x(t) (3.3)

Neste caso, a estabilidade do sistema em malha fechada é definida pelos autovalores de (A+BK). Se o sistema (3.1) é estabilizável, a matriz de realimenta¸cão de estados K pode ser escolhida tal que os autovalores de (A + BK) estejam no semi-plano esquerdo do plano complexo, para o caso cont´ınuo, ou dentro do c´ırculo unitário para o caso discreto. Assim, a estabilidade do sistema (3.3) é garantida em um sentido global.

Suponha agora que o vetor de controle u(t) está sujeito a uma restri¸cão de ampli-tude, ou seja, cada componente do vetor de controle está compreendida entre um valor máximo e um valor m´ınimo. Assim, u(t) deve pertencer a um conjunto poliedral Ω definido no espa¸co de estados por2_:

Ω _{= {u ∈ <}4 m _{; −ρ u ρ}} (3.4)

(39)

3.2. Defini¸c˜ao do Problema 25 com ρi ≥ 0 para ∀i = 1, . . . , m.

A lei de controle efetivamente aplicada ao sistema (3.1) ´e, portanto

u(t) = sat(Kx(t)) (3.5)

na qual cada componente de u(t) ´e definida, ∀ i = 1, . . . , m, por :

ui = (sat(Kx(t)))i =          −ρi se Kix(t) < −ρi Kix(t) se − ρi ≤ Kix(t) ≤ ρi ρi se Kix(t) > ρi (3.6)

A fun¸cão satura¸cão genérica, u(t) = sat(Kx(t)) pode ser vista na figura 3.1.

ρi −ρi ρi −ρi ui(t) Kix(t)

Figura 3.1: Fun¸c˜ao satura¸c˜ao.

O sistema em malha fechada, obtido pela aplica¸cão da realimenta¸cão de estados saturante, é dado pelo seguinte modelo não-linear:

˙x(t) = Ax(t) + Bsat(Kx(t)) (3.7)

A regi˜ao de linearidade do sistema ´e definida como :

(40)

3.2. Defini¸cão do Problema 26 Dentro deste dom´ınio (ver figura 3.2) as entradas de controle não saturam e assim, a evolu¸cão do sistema em malha fechada é descrita pelo modelo linear definido em (3.3). Fora de S(K, ρ), as entradas de controle saturam e a estabilidade do sistema precisa ser analisada considerando a equa¸cão (3.7). Note que, mesmo que o sistema seja inicializado dentro de S(K, ρ) isto não quer dizer que o comportamento do sistema seja linear. Kx= ρ Kx_{= −ρ} x1 x2 S(K, ρ)

Figura 3.2: Regi˜ao de linearidade S(K, ρ).

Observa¸cão 3.1 Apesar das defini¸cões acima terem sido apresentadas considerando-se uma realimenta¸cão de estados as mesmas são também válidas para o caso de reali-menta¸cão estática ou dinâmica de sa´ıdas. Neste caso, a matriz K é obtida reescrevendo o sistema em malha fechada de forma conveniente.

(41)

3.3. Estabilidade e Estabiliza¸c˜ao de Sistemas sob Satura¸c˜ao 27

3.3 Estabilidade e Estabiliza¸c˜

ao de Sistemas sob

Satura¸c˜

ao

3.3.1 Problemas Gen´

ericos de An´

alise e S´ıntese

Considerando o sistema sob satura¸c˜ao, definido por (3.7), podem ser formulados dois tipos de problemas: problema de an´alise e problema de s´ıntese.

Dada uma lei de controle, possivelmente determinada sem considerar as restri¸cões de amplitude, o projetista deve analisar a estabilidade do sistema em malha fechada com satura¸cão (3.7), ou seja, deve determinar regiões de estabilidade assintótica para o sistema (3.7) e verificar se esta região engloba a região no espa¸co de estados em que o sistema possa vir a ser inicializado ou levado pela a¸cão de perturba¸cões. Nestas regiões de estabilidade assintótica, o sistema irá operar de uma maneira segura na presen¸ca da satura¸cão. O problema de análise pode ser formulado da maneira seguinte:

Problema 3.1 (Problema de Análise) Dada uma matriz K tal que (A + BK) é assintoticamente estável, determinar regiões no espa¸co de estados nas quais a con-vergência assintótica das trajetórias do sistema saturado (3.7) para a origem é garan-tida.

O problema dual que pode ser formulado é o da s´ıntese de leis de controle considerando a possibilidade de ocorrência de satura¸cão. Neste caso, pode-se considerar como um dado do problema a região do espa¸co de estados onde o sistema em malha fechada deve apresentar um comportamento assintoticamente estável, isto é, onde a aplica¸cão da lei de controle saturante deve ser capaz de garantir a convergência assintótica para a origem de todas as trajetórias que emanem desta região. Esta região é então considerada como uma região de estados iniciais admiss´ıveis dentro da qual o sistema pode operar de uma forma segura. O problema de s´ıntese pode ser enunciado da seguinte maneira:

(42)

3.3. Estabilidade e Estabiliza¸cão de Sistemas sob Satura¸cão 28 Problema 3.2 (Problema de S´ıntese) Dado um dom´ınio de estados iniciais admiss´ıveis X0, determinar uma matriz K tal que toda trajetória do sistema (3.7)

come¸cando em X0 convirja assintoticamente para a origem.

No caso em que o conjunto X0 ´e considerado como todo o espa¸co de estados <n,

a estabilidade será garantida globalmente. Para isto é preciso que K respeite certas condi¸cões particulares (para mais detalhes ver (Burgat et al. 1993) e Burgat et al. (1994)). Do ponto de vista de análise, dada uma matriz K estabilizante qualquer, em geral o sistema em malha fechada não será globalmente assintoticamente estável. Da mesma forma, no caso de s´ıntese, pode-se mostrar que a determina¸cão de um ganho K que estabilize globalmente assintoticamente o sistema (3.7), só é poss´ıvel se o sis-tema em malha aberta é estável no sentido de Lyapunov (Burgat et al. 1994, Burgat e Tarbouriech 1996). É poss´ıvel se mostrar também que no caso em que a matriz A apresenta algum autovalor estritamente instável, não existe lei de controle de nenhum tipo que estabilize o sistema globalmente. Além disso, deve-se ressaltar que a me-lhoria de desempenho e o n´ıvel de robustez obtidos com leis de controle globalmente estabilizantes não são em geral satisfatórios. Por estes motivos, neste trabalho esta-remos particularmente interessados no problema de análise e s´ıntese considerando-se estabilidade assintótica local.

Para fins de estudo dos problemas de análise e s´ıntese, o efeito da satura¸cão no sistema pode ser modelado de diversas maneiras. A seguir serão detalhadas as seguin-tes modelagens: por regiões de satura¸cão, por não-linearidade de setor e politópica. Outras representa¸cões, que não serão abordadas neste trabalho, menos utilizadas para o tratamento da satura¸cão são: por incerteza paramétrica limitada em norma (Gomes da Silva Jr. et al. 1997, Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech 2000) e satura¸cão homogênea (Castelan 1992).

(43)

3.4. Modelagem por Regi˜oes de Satura¸c˜ao 29

3.4 Modelagem por Regi˜

oes de Satura¸c˜

ao

Considere o sistema em malha fechada definido por (3.7). Define-se um vetor ζ ∈ <m _{em que cada componente ζ}

i, i = 1, . . . , m, pode assumir os valores 0, −1 ou 1

dependendo se a componente de controle ´e n˜ao-saturada, saturada no limite inferior ou saturada no limite superior (Rocha 1994, Gomes da Silva Jr. 1997). Em outras palavras,

• Se u(t)i = ρi então, ζi = 1, isto é, x(t) é tal que Kix(t) > ρi.

• Se u(t)i = Kix(t) então, ζi = 0, isto é, x(t) é tal que −ρi ≤ Kix(t) ≤ ρi.

• Se u(t)i = −ρi então, ζi = −1, isto é, x(t) é tal que Kix < −ρi.

Cada vetor ζ assim constru´ıdo representa uma combina¸cão poss´ıvel entre entradas saturadas e não-saturadas. É poss´ıvel construir-se 3m _{vetores ζ. Para cada um destes}

vetores, que denota-se por ζj ∈ <m, j = 1, . . . , 3m, o vetor de estados pertence a uma

região bem definida em <n_{, que será chamada de região de satura¸cão. Cada região de}

satura¸cão é, portanto, determinada pela interseçcão de semi-planos do tipo Kix ≤ di

ou −Kix ≤ di, di podendo assumir os valores −ρi e ρi.

Por exemplo, para um sistema com 2 estados (n = 2) e 2 entradas (m = 2), tem-se 3m _{= 9 regi˜oes de satura¸c˜ao, como pode ser visto na figura 3.3.}

De uma maneira geral, cada ζj, ´e associado a uma regi˜ao poliedral do tipo

S(Rj, dj) = {x ∈ <n ; Rjx dj} (3.9)

na qual dj ∈ <lj ´e um vetor composto a partir das componentes −ρ e ρ, e Rj ∈ <lj×n ´e

uma matriz formada a partir das linhas de K e −K. Note que, a região que corresponde à ζj(i) = 0 é a região de linearidade do sistema em malha fechada (3.8).

Exemplo 3.1 Considere um sistema com duas entradas e que x(t) é tal que a primeira entrada de controle está saturada em ρ e a segunda entrada não está saturada. Isto

(44)

3.4. Modelagem por Regi˜oes de Satura¸c˜ao 30 K1x= −ρ1 K1x= ρ1 K2x= ρ2 K2x= −ρ2 R6 x2 x1 R9 R8 R7 _R₅ R4 R3 R2 R1

Figura 3.3: Regi˜oes de satura¸c˜ao. corresponde a um vetor ζ = [1 0]T _e x(t) ∈ S(R, d)=4          x ∈ <n ;      −K1 K2 −K2      x      −ρ1 ρ2 ρ2               (3.10)

S(R, d) é, portanto, a região de satura¸cão associada ao vetor ζ = [1 0]T.

Se o estado do sistema pertence à região associada a ζ, ˙x(t) é dado por

˙x(t) = Ax(t) + B   ρ1 K2x(t)   ou de forma equivalente ˙x(t) = Ax(t) + B   0 0 0 1  Kx(k) + B   ρ1 0  

(45)

3.5. Modelagem Polit´opica 31 ˙x(t) = Ax(t) + Bdiag     1 1  −   1 0    Kx(k) + B   ρ1 0   ♦

Assim, em cada região de satura¸cão, a evolu¸cão das trajetórias do sistema (3.7) pode ser determinada a partir da seguinte equa¸cão

˙x(t) = (A + Bdiag(1m− |ζj|)K)x(t) + Bu(ζj) (3.11) na qual u(ζj)i =          −ρi se ζji = −1 0 se ζji = 0 ρi se ζji = 1 (3.12)

Para todo x(t) ∈ S(Rj, dj), a dinâmica do sistema é dada de uma forma genérica

por um sistema linear com uma perturba¸c˜ao aditiva (Rocha 1994, Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech 1999a) ou um sistema afim (Johansson 1999):

˙x(t) = ¯Ajx(t) + pj (3.13) com ¯Aj 4 = A + Bdiag(1m− |ζj|)K e pj 4 = Bu(ζj).

3.5 Modelagem Polit´

opica

Este tipo de representa¸c˜ao foi inicialmente introduzida em Molchanov e Pyatnitskii (1989) e foi aplicada em casos espec´ıficos do sistema (3.7). No caso de an´alise podemos citar, entre outros, os trabalhos de Kla¨ı et al. (1992), Tarbouriech e Gomes da Silva Jr. (1997), Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech (1999b) e Henrion e Tarbouriech (1999)

(46)

3.5. Modelagem Polit´opica 32 e referˆencias inclusas. Para o caso de s´ıntese ver os trabalhos de Gomes da Silva Jr. et al. (1997), Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech (2001) e Nguyen e Jabbari (2000).

Pode-se redefinir cada componente do vetor de controle (3.6) como:

u(t)i = sat(Kix(t)) = α(x(t))iKix(t) (3.14) sendo α(x(t))i =          −ρi Kix(t) se Kix(t) < −ρi 1 _{se − ρ}i ≤ Kix(t) ≤ ρi ρi Kix(t) se Kix(t) > ρi (3.15) com 0 < α(x(t))i ≤ 1, i = 1, . . . , m.

O coeficiente α(x(t))i pode ser visto como um indicador do grau de satura¸c˜ao da

i-ésima entrada de controle. Note que α(x(t))i é uma fun¸cão de x(t). Para simplificar

a nota¸c˜ao ser´a utilizado α(t)i 4

= α(x(t))i.

Define-se, a partir do vetor α(t) ∈ <m_{, a matriz D(α(t)) ∈ <}m×m _como

D(α(t)) =               α(t)1 0 . . . 0 . . . 0 0 α(t)2 . . . 0 . . . . ... ... . .. ... ... ... 0 0 . . . α(t)i . . . 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 α(t)m               = diag(α(t)) (3.16)

Assim, o sistema (3.7) pode ser reescrito como

(47)

3.5. Modelagem Polit´opica 33 ou ainda

˙x(t) = A(α(t))x(t) = Atx(t) (3.18)

A matriz At é uma fun¸cão de α(t) e, conseqüentemente, depende do valor de x(t).

Considere um conjunto X0 no espa¸co de estados. Se X0 ´e compacto ou n˜ao-limitado

somente ao longo das trajet´orias associadas ao Ker K, pode-se definir um limite inferior para o termo de satura¸c˜ao α(t)i

αi ≤ α(x(t))i ≤ 1 , ∀x(t) ∈ X0 (3.19)

Considere agora todas as combina¸cões vetoriais de ordem m nas quais a i-ésima com-ponente de cada vetor pode assumir os valores 1 ou α_i, em um total de 2m _{combina¸cões}

poss´ıveis. A cada uma destas combina¸c˜oes ´e associado um vetor γj, j = 1, . . . , 2m, e

s˜ao definidas as seguintes matrizes

Dj(α) = D(γj) 4

= diag(γj) (3.20)

Aj = A + BD(γj)K (3.21)

A partir da defini¸c˜ao da matriz Aj pode-se concluir que para ∀x(t) ∈ X0

At∈ Co{Aj ; j = 1, . . . , 2m} (3.22)

ou seja, At pertence a um politopo de matrizes do qual os v´ertices s˜ao as matrizes Aj.

Exemplo 3.2 Para um sistema com 2 entradas (m = 2), temos:

γ1 = [1 1]T ⇒ A1 = A + BD(γ1)K = A + BK

γ2 = [1 α2]T ⇒ A2 = A + BD(γ2)K

γ3 = [α1 1]T ⇒ A3 = A + BD(γ3)K

(48)

3.5. Modelagem Politópica 34 Assim, a matriz At pertence ao politopo cujos vértices são as matrizes A1, A2, A3

e A4, representado na figura 3.4. A1 A2 At A3 A4

Figura 3.4: Politopo de matrizes.

♦

O sistema (3.7) pode, ent˜ao, ser representado localmente pelo modelo polit´opico

˙x(t) = 2m X j=1 λj(x(t))Ajx(t) (3.23) com P2m

j=1λj(x(t)) = 1, λj(x(t)) ≥ 0. Assim, At pode ser determinada como uma

combina¸c˜ao linear convexa de matrizes Aj.

´

E importante observar que todas as trajetória do sistema sob satura¸cão podem ser obtidas pelo modelo (3.23). Porém, nem todas as trajetórias geradas por esta repre-senta¸cão são trajetórias do sistema sob satura¸cão. A região em que (3.23) representa o sistema saturado, é chamada de validade da modelagem e é definida como

S(K, ρα) = {x ∈ <n ; −ρα Kx ρα} (3.24) com ρα 4= ρi

αi

.

Assim, o sistema (3.23) representa o sistema (3.7) se x(t) ∈ S(K, ρα_{). Observe que}

o dom´ınio S(K, ρα_{) cont´em necessariamente o conjunto X}

0. Entretanto, se for

consi-derado que x(0) ∈ X0, n˜ao se pode garantir que todas as trajet´orias que partem desta

(49)

3.5. Modelagem Polit´opica 35 Kx= ρα Kx_{= −ρ}α S(K, ρ) x1 x2 X0

Figura 3.5: Regi˜ao de linearidade do modelo polit´opico.

a fim de concluir sobre a estabilidade local do sistema sob satura¸c˜ao (3.7), precisa-se garantir que todas as trajet´orias que partem de X0 permanecem em S(K, ρα). Uma

maneira para que isto seja obtido ´e considerar X0 como um dom´ınio positivamente

invariante para o sistema (3.23). Conseq¨_{uentemente, X}0 ser´a tamb´em um dom´ınio

po-sitivamente invariante para o sistema sob satura¸c˜ao (3.7) e assim, em X0, o modelo

polit´opico pode ser utilizado para representar o comportamento do sistema (3.7).

3.5.1 Condi¸c˜

oes de Estabilidade

A partir do segundo método de Lyapunov, descrito no cap´ıtulo anterior, pode-se escrever condi¸cões de estabilidade para o sistema sob satura¸cão. Considerando uma fun¸cão de Lyapunov quadrática V (x) = x0_{P x, o conjunto elipsoidal E} _{= {x ∈}4 <n_{; x}0_{P x ≤ 1} é um dom´ınio de estabilidade assintótica para o sistema (3.7) se}