NUMEROS INTEIROS Surgimento dos números inteiros
Ao longo da história podemos observar o avanço da matemática, a necessidade de contar e relacionar quantidades fez com que o homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações. Diversos sistemas de numeração foram criados em todo mundo no decorrer dos tempos, sendo os mais antigos originários do Egito, Suméria e Babilônia. Podemos também citar outros sistemas de numeração bastante conhecidos, como o chinês, os maias, o grego, o romano, o indiano e arábico.
O homem criava situações interessantes na contagem de seus objetos, animais, etc., ao levar seu rebanho para a pastagem ele relacionava uma pedra a cada animal, no momento em que ele recolhia os animais fazia a relação inversa, no caso de sobrar alguma pedra poderia verificar a falta de algum animal.
Mas o homem buscava algo mais concreto, que representasse de uma forma mais simples tais situações. O surgimento dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4...) revolucionou o método de contagem, pois relacionava símbolos (números) a determinadas quantidades.
Com o início do renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e -. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Sem ele vendesse 5 kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal -; se ele comprasse 7 kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.
Utilizando essa nova simbologia, os matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situações envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto de numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos
(naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma: Z = {...,-3,-2,-1,0,1, 2, 3,...}.
Algumas curiosidades
0 ºC é a temperatura do gelo quando está derretendo (virando água) 100 ºC é a temperatura da água quando está fervendo (evaporando)
Há temperaturas abaixo de 0 ºC (como num congelador) e acima de 100 ºC (como num forno). Os dias são mais agradáveis quando a temperatura está em torno de 25º C, isto é, nem muito quentes, nem muito frios.
No Pólo Sul a temperatura média é -49,3 ºC chegando a -80 ºC. No Pólo Norte a temperatura varia entre 0 ºC e -32 ºC.
Em Cambará do Sul-RS, a temperatura chega a -1,4 ºC e -0,2 ºC, em Bom Jesus-RS.
Qual importância dos números inteiros?
Os números inteiros são muito importantes devido a sua grande presença em algumas funções que realizamos em nosso dia-a-dia.
Números inteiros: são todos os números resultantes da subtração de dois números naturais.
Números inteiros negativos: os números que indicam medidas abaixo de zero, -1, -2, -3, -4, -5, -6, etc., são denominados números negativos.
Números inteiros positivos: os números que indicam medidas acima de zero 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., são denominados números positivos.
O zero também é um número inteiro e não é nem positivo nem negativo. 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
1.1 SOMA DE NÚMEROS INTEIROS
1.2 Soma de números positivos: somamos e conservamos o sinal. + 2 + 2 = + 4
1.3 Soma de números inteiros negativos: para adicionar números negativos, adicionamos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal negativo.
(-2) + (-2) = - 4
1.4 Soma de números inteiros com sinais diferentes: para adicionar um número positivo a um número negativo, subtraímos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.
(-4) + (+2) = - 2
1.5 Soma de dois números opostos: a soma de dois números oposto ou simétricos é igual a zero.
(-5) + (+5) = 0
2. SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A diferença entre dois números, dados numa certa ordem, é o número que adicionado ao segundo, dá como resultado o primeiro. Assim:
16 – 20 = - 4, porque (-4) + 20 = 16 12 - 18 =- 6, porque (-6) +18 = 12
3. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
3.1 Multiplicação de números inteiros positivos: para multiplicar dois números inteiros positivos é o mesmo que multiplicar dois naturais.
(+5) x (+2) = 10
3.2 Multiplicação de números inteiros com sinais diferentes: para multiplicar um número positivo por outro negativo, em qualquer ordem, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto o sinal negativo.
3.3 Multiplicação de números inteiros com sinais negativos: para multiplicar dois números negativos, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto o sinal positivo.
(-5) x (-2) = +10
Propriedades da multiplicação:
a) Propriedade comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. 34 x 105 = 105 x 34 = 3570
b) Propriedade associativa: na multiplicação de três fatores, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos.
[10 x (-50)] x (-20) = (-500) x (-20) = 10000 10 x [(-50) x (-20)] = 10 x (-1000) = 10000
c) Propriedade do elemento neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. O produto de número por +1 é sempre o próprio número.
4x1 = 4
4. DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Numa divisão (exata), o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, dá o dividendo.
4.1.1 Divisão de números inteiros com sinais iguais: para dividir números inteiros de mesmo sinal, dividimos os valores absolutos e damos ao quociente o sinal positivo.
(+10) ÷ (+2) = +5
4.1.2 Divisão de números com sinais diferentes: para dividir números inteiros de sinais contrários, dividimos os valores absolutos e damos ao quociente o sinal negativo.
PROBLEMAS EM NOSSO COTIDIANO
Saldo: uma diferença que pode ser positiva, negativa ou nula
Os números negativos forma criados para que sempre possamos calcular a diferença entre dois números, mesmo quando precisamos subtrair o maior do menor. Exemplo: em campeonatos de futebol, por exemplo, o saldo de gols de uma equipe é a diferença entre o números de gols marcados (gols pró) e o de gols sofridos (gols contra). No caso de empate na classificação, o saldo é usado para desempatar: ganha a equipe que tem saldo maior. No torneio cujos resultados estão abaixo, cada equipe ganhou um jogo e perdeu um. Qual tem maior saldo? E o menor?
Corinthians 5x2 Bahia Bahia 3x2 Flamengo Flamengo 4x3 Corinthians
O maior saldo é do Corinthians. O menor é o do Bahia, que teve menos gols a favor do que contra. Para calcular o saldo do Bahia, 5-7, podemos pensar assim:
De 5 queremos tirar 7.
Como 7= 5+2, vamos tirar 5 e depois mais 2.
De 5, tirando 5, ficamos com 0. Tirando mais 2, ficamos com 2 a menos que 0. Então, 5 – 7 = - 2
Saldo bancário
Gols pró (GP) Gols contra (GC) Saldo (GP-GC)
Bahia 2 + 3 = 5 5 + 2 = 7 5-7 = -2
Corinthians 5 + 3 = 8 2 + 4 = 6 8 - 6 = 2
Nas contas bancárias, o saldo indica quanto a pessoa tem no banco. Quando se faz um depósito, o saldo aumenta. Quando se faz uma retirada, o saldo diminui. Existem contas especiais, para as quais o banco permite a retirada de quantias superiores ao saldo que a pessoa tem. Nesse caso, o banco está emprestando dinheiro para a pessoa, que fica com saldo negativo (a pessoa fica devendo para o banco e paga juros pelo empréstimo). Veja os exemplos:
Tenho R$ 60,00 e faço um depósito de R$ 30,00. Qual o meu saldo? R$ 60,00 + R$30,00 = R$ 90,00
Tenho R$ 90,00 e faço uma retirada de R$ 50,00. Qual o meu saldo? R$ 90,00 - R$ 50,00= R$ 40,00
Tenho R$ 40,00 e faço uma retirada de R$ 110,00. Qual o meu saldo? R$ 40,00 – R$ 110,00 = x
110= 40 +70
De 40, tirando 40, ficamos com 0; tirando mais 70, ficamos com 70 a menos que 0. Nesse caso, fico com saldo negativo de 70 reais (-R$ 70,00).
Observe na ilustração do extrato abaixo que a letra C significa crédito, ou seja, é um depósito, e a letra D significa débito, ou seja, retirada de dinheiro.
A linha cronológica e os números inteiros
Na linha do tempo, os anos antes do nascimento de Cristo (anos a.C., antes de Cristo) são indicados por números negativos. Não existe o número zero. O ano do
nascimento de Cristo é o ano 1. A partir do nascimento de cristo, os anos são indicados por números positivos (ou anos d.C., depois de Cristo).
Observe a figura abaixo:
Dessa forma, podemos observar que utilizamos a matemática para entendermos a nossa história, como também outras áreas do conhecimento.
Problemas propostos:
1) Observe a tabela e encontre o saldo de gols de cada seleção. Copie a tabela em seu caderno e complete-a.
Gols pró Gols contra Saldo de gols
Argentina 13 6 Brasil 14 5 Colômbia 9 9 Equador 10 14 Paraguai 7 12 Uruguai 4 11
2) O alpinista está escalando a montanha. Quantos graus a temperatura aumenta ou diminui:
a) Nos 100 primeiros metros? b) Entre 100 m e 500 m? c) Entre 500 m e 1000 m? d) Entre 1000 m e 1500 m? e) Entre 1500 m e 2000 m?
3) Observe, abaixo, o extrato de uma conta bancária em forma de tabela.
Data Crédito Débito Saldo
31/3 200,00 A 120,00
01/4 X 150,00 S1
03/4 Y 60,00 S2
05/4 50,00 B S3
10/4 100,00 C S4
a) Copie a tabela no caderno e complete a coluna do saldo.
b) No dia 31/3 foi feito um depósito de R$ 200,00 e o saldo totalizou R$ 120,00. Qual era o saldo anterior?
4) O prédio de correio fica no número 0. A partir dele, a leste (à direita da figura), as casas são numeradas por 1L, 2L, 3L, etc.; e a oeste (à esquerda), por 1O, 2O, 3O, etc.
Carlos é um carteiro, precisa entregar cartas nos números 2L, 3O, 5L e 8L. Considerando os dois lados da rua responda: quem vai receber carta?
5) Neste prédio (figura abaixo) não há elevador. Para subir de um andar ao outro, são 16 degraus.
O rapaz precisa entregar a pizza no andar da expressão de menor resultado. Quantos degraus ele vai subir?
Figura:
6) O mergulhador está explorando o fundo do mar (conforme a figura abaixo). A temperatura, na superfície do mar, é de 15 ºC.
Observação: profundidade ou altura abaixo da superfície do mar também é altitude. Porém, para indicar esse tipo de altitude, usamos números negativos.
a) Use os números negativos e positivos para completar a tabela abaixo:
Altitude Temperatura
1º etapa A1 T1
2º etapa A2 T2
3º etapa A3 T3
b) A que altitude se encontra o tubarão?
7) Considere que na superfície do mar a altitude é zero. Use números negativos para indicar altitudes abaixo da superfície do mar e números positivos para indicar altitudes acima da superfície do mar conforme a figura abaixo.
a) Em que altitude está o pássaro? b) Em que altitude está o peixe?