onde bj s˜ao os coeficientes de predi¸c˜ao.
Zero Crossing Rate A taxa de cruzamento por zero νZCR indica o n´umero de mudan¸cas
de sinal em blocos de amostras consecutivos em um sinal:
νZCR= 1 2 · LF ne(i) X n=ns(i) |sign[x(n)] − sign[x(n − 1)]| (2.33)
onde a fun¸c˜ao sign ´e definida por
sign[x(n)] = 1, x(n) > 0 0, x(n) = 0 −1, x(n) < 0 (2.34)
2.3 Bancos de Filtros, Multirresolu¸c˜ao e Wavelets
2.3.1 Bancos de Filtros
Um banco de filtros ´e um conjunto de filtros associados. Em processamento de sinais, estes bancos promovem opera¸c˜oes de an´alise e/ou s´ıntese. Em geral o banco de an´alise possui dois filtros, passa-baixa (LPF ) e passa-alta (HPF ). Eles separam o sinal de entrada do banco em bandas de frequˆencia. Estes subsinais podem, por exemplo, ser comprimidos com uma maior eficiˆencia que o sinal original. A qualquer momento os sinais podem ser recombinados por um banco de s´ıntese.
N˜ao ´e necess´ario preservar todas as amostras dos sinais de sa´ıda dos filtros de an´alise, j´a que as sa´ıdas do LPF e do HPF possuem o mesmo n´umero de amostras que a entrada, ou
seja, no total, o dobro de amostras foram geradas. Normalmente, as sa´ıdas s˜ao subamos- tradas, isto ´e, somente as componentes pares das sa´ıdas s˜ao preservadas. Neste trabalho, estamos interessados na an´alise dos sinais, na recupera¸c˜ao de informa¸c˜ao. Por isto, o banco de s´ıntese n˜ao ´e explorado.
Sejam h0= h0(n) e h1= h1(n) as respostas ao impulso do LPF e HPF, respectivamente,
e (↓ 2) o processo de decima¸c˜ao (remo¸c˜ao de componentes ´ımpares), um banco de an´alise pode ser representado por:
h
0h
12
2
x(n)
y
0(n)
y
1(n)
Figura 2.5: Banco de filtros de an´alise
onde y0(n) e y1(n), que s˜ao as sa´ıdas dos ramos passa baixa e alta respectivamente, possuem
metade do n´umero de amostras originais. 2.3.2 Multirresolu¸c˜ao
O conceito da multirresolu¸c˜ao refere-se `a divis˜ao de um sinal em diferentes escalas de resolu¸c˜ao em contraste `a divis˜ao em diferentes frequˆencias. Podemos observar um sinal em v´arias resolu¸c˜oes (r) a partir de um espa¸co completo ∪Vr:
· · · ⊂ V−1 ⊂ V0⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr⊂ Vr+1⊂ · · · (2.35)
Graficamente podemos representar, por exemplo, para um caso simples e espec´ıfico, duas fun¸c˜oes associadas ao subespa¸cos V0 e V1:
0 1 t 0 1/2 t
V0 V1
Figura 2.6: Exemplo para fun¸c˜oes pertencentes aos subespa¸cos V0 e V1
´
E poss´ıvel associarmos ao subespa¸co V0um conjunto de fun¸c˜oes {φ(t−k)} e ao subespa¸co
V1 um conjunto {φ(2t − k)}, ou seja, uma vers˜ao escalonada em rela¸c˜ao `a outra, conforme
se pode observar na figura 2.6 anterior. Nota-se que, ainda pela referida figura,
φ(t) = φ(2t) + φ(2t − 1), (2.36)
φ(t) = 2X
k
f (k)φ(2t − k), (2.37)
onde f (k) s˜ao coeficientes de pondera¸c˜ao e a express˜ao ´e conhecida como equa¸c˜ao de refina- mento (ou eq. de dilata¸c˜ao). A fun¸c˜ao φ(t) ´e denominada fun¸c˜ao escala. Deve-se ressaltar que quando h´a aumento da escala r o intervalo de tempo de suporte ∆t diminui.
Podemos agora utilizar informa¸c˜oes que resultam da subtra¸c˜ao entre duas escalas re- presentada pela fun¸c˜ao w(t) pertencente a um subespa¸co W0:
0
1
t
W
0Figura 2.7: Exemplo de fun¸c˜ao que representa a subtra¸c˜ao entre as fun¸c˜oes associadas aos subespa¸cos V1 e V0 da figura 2.6
´
E poss´ıvel observar que a fun¸c˜ao w(t), exemplo associado ao subespa¸co W0 na figura
2.7, conjuntamente com V0 pode gerar V1, avaliando a figura 2.6, da seguinte forma:
2φ(2t) − φ(t) = w(t), (2.38)
ou seja,
V1 = V0+ W0. (2.39)
Analogamente, se aumentarmos a resolu¸c˜ao, ´e poss´ıvel escrever V2 = V1+ W1 e, subs-
tituindo nesta express˜ao a equa¸c˜ao (2.39), observar que:
V2 = V0+ W0+ W1, (2.40)
onde podemos concluir que V0 refere-se a uma estrutura aproximada do sinal enquanto W0
e W1 s˜ao detalhes. Generalizando os resultados acima, tem-se:
VR+1= V0+ R
X
r=0
Wr. (2.41)
O subespa¸co Wr´e de natureza oscilat´oria pois expressa diferen¸cas, e na teoria de trans-
formadas os sinais pertencentes a este subespa¸co s˜ao denominados wavelets. Logo, ´e poss´ıvel obter, substitu´ındo a equa¸c˜ao (2.36) na equa¸c˜ao (2.38),
w(t) = φ(2t) − φ(2t − 1), (2.42) e generalizar para a seguinte express˜ao:
w(t) = 2X
k
g(k)φ(2t − k), (2.43)
que ´e denominada equa¸c˜ao wavelet [12]. 2.3.3 Wavelets
Para sinais de ´audio, as escalas musicais s˜ao essencialmente oitavas. A transformada wavelet opera fun¸c˜oes f (t) no tempo cont´ınuo e vetores x(n) no tempo discreto. Por isto, para entender os seus fundamentos ´e essencial utilizar as duas abordagens anteriores: a teoria da multirresolu¸c˜ao (em tempo cont´ınuo) e a teoria de bancos de filtros (em tempo discreto) [12]. Esta transformada baseia-se no produto interno de um sinal x(t) por uma base de fun¸c˜oes oscilantes wrk(t) localizadas em um determinado intervalo de tempo que
s˜ao escalonadas e deslocadas ao longo do eixo temporal:
ark = < x(t), φrk(t) > (2.44)
brk = < x(t), wrk(t) > (2.45)
onde r representa a escala, k representa o deslocamento, φrk(t) = φ(2rt − k), wrk =
w(2rt − k) s˜ao as vers˜oes escalonadas e deslocadas da fun¸c˜ao escala e de uma wavelet m˜ae w(t). Estas s˜ao equa¸c˜oes de an´alise que geram os coeficientes ark e brk. A principal
diferen¸ca entre a base de fun¸c˜oes da Transformada Wavelet e da Transformada de Fourier est´a no fato de que as wavelets s˜ao, na maioria das aplica¸c˜oes, de suporte compacto, isto ´e, restritas a um intervalo de tempo finito, enquanto a base de Fourier oscila infinitamente. Isto permite que a a transformada wavelet tenha boa capacidade de localizar eventos no tempo. Uma outra diferen¸ca vem do processo de representa¸c˜ao de um sinal em diversas escalas. Atrav´es do escalonamento das wavelets, o mesmo sinal pode ser visto com mais ou menos detalhes.
A partir da base de fun¸c˜oes de tempo cont´ınuo wrk(t), ´e poss´ıvel produzir:
x(t) =X
r,k
onde x(t) encontra-se expandido na base wavelet. Esta base de fun¸c˜oes ´e toda constru´ıda a partir de uma wavelet m˜ae. Esta, por sua vez, ´e um pequeno pulso que, em geral, se inicia no tempo t = 0 e finda no instante t = L.
Esta abordagem de projetar um sinal de interesse em uma determinada base de fun¸c˜oes em nada difere das transformadas de Fourier ou Laplace, por exemplo. Contudo, utilizando- se os resultados da an´alise de multirresolu¸c˜ao das equa¸c˜oes (2.37) e (2.43), percebe-se que uma wavelet m˜ae pode ser escrita em fun¸c˜ao de φ(t) (escala) desde que se conhe¸cam os coeficientes g(k). Por sua vez, definir a fun¸c˜ao escala significa conhecer os coeficientes f (k), sendo f (k) e g(k) coeficientes de filtros LPF e HPF, respectivamente. Desta forma, observando novamente a equa¸c˜ao (2.41), que indica que uma determinada escala pode ser expandida por outra escala adicionada de wavelets, ´e poss´ıvel comprovar que, em tempo discreto, realizar esta expans˜ao ´e inserir o sinal em um banco de filtros com a topologia indicada na figura 2.8, onde b0 e b1 s˜ao os vetores que representam os coeficientes wavelet
ou detalhes e o vetor a0 coeficientes escala ou aproxima¸c˜ao.
2 2 x(n) b1 b0 a0 V1 V0 V2 h0 h1 h0 h1 2 2
Figura 2.8: Banco de filtros discreto equivalente `a transformada wavelet com dois n´ıveis de resolu¸c˜ao
Finalmente, percebe-se que, para an´alise de sinais discretos, n˜ao h´a necessidade de de- finir as fun¸c˜oes φ(t) e w(t), e t˜ao somente de definir os coeficientes dos filtros adequados. V´arios tipos de filtros s˜ao poss´ıveis, mas, dentre estes, os mais interessantes s˜ao aqueles relacionados `a wavelets ortogonais e biortogonais que possuem suporte compacto (limitadas no tempo), ou seja, est˜ao associadas a um filtro FIR. Existem v´arias fam´ılias que atendem a estes crit´erios, como as Daubechies, Coiflets, Morlet e Haar (esta representada na figura 2.7) [13]. Contudo a Haar ´e a ´unica ortogonal que possui fase linear, uma propriedade de filtros FIR sim´etricos [11]. Apesar disto as coiflets s˜ao quase sim´etricas, e por isto, foram escolhidas como base para a an´alise do ´audio neste trabalho. Esta escolha foi corrobo- rada pelo desempenho apresentado por esta classe de wavelets em estudos de preserva¸c˜ao da energia para compress˜ao de ´audio [14] e pelo fato de que futuras implementa¸c˜oes em
tempo real de um sistema de extra¸c˜ao de tempo musical baseado nestas wavelets podem ser facilitadas devido `as compensa¸c˜oes mais simples de fase ao longo dos ramos do banco de filtros.
As coiflets s˜ao representadas por coif letN onde N ´e a sua ordem. Possuem fun¸c˜ao wavelet com 2N e fun¸c˜ao escala com 2N − 1 momentos iguais a 0 [12]. Estas duas fun¸c˜oes tem suporte com comprimento 6N − 1 e filtros com comprimentos 6N . Neste trabalho utilizamos a coif 3 com escala e wavelet representadas na figura 2.9 cujos filtros de an´alise est˜ao representados na figura 2.10.
0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Amostras Amplitude
(a) Fun¸c˜ao Escala
0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Amostras Amplitude (b) Wavelet
Figura 2.9: Escala e wavelet para coiflet de ordem 3
0 5 10 15 20 0 0.5 1 Amostras Amplitude
(a) LPF de an´alise
0 5 10 15 20 −1 −0.5 0 0.5 Amostras Amplitude (b) HPF de an´alise
Figura 2.10: Filtros FIR para coiflet de ordem 3