Contribuições ao problema de extração de tempo musical

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i

ANTONIO CARLOS LOPES FERNANDES JUNIOR

CONTRIBUI ¸C ˜OES AO PROBLEMA DE EXTRA ¸C ˜AO DE TEMPO MUSICAL

Campinas 2015

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iii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA EL ´ETRICA E DE COMPUTA ¸C ˜AO

ANTONIO CARLOS LOPES FERNANDES JUNIOR

Contribui¸

c˜

oes ao Problema de Extra¸

c˜

ao de Tempo Musical

Orientador: Prof. Dr. Furio Damiani Coorientador: Romis Ribeiro de Faissol Attux

Tese de Doutorado apresentada ao programa de P´ os-gradua¸cão da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Com-puta¸cão da Universidade Estadual de Campinas, como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Elétrica, na área de concentra¸cão Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica.

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE `A VERS ˜AO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO ANTONIO CAR-LOS LOPES FERNANDES JUNIOR E ORIENTADA PELO PROF. DR. FURIO DAMIANI.

Campinas 2015

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iv

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Fernandes Junior, Antonio Carlos Lopes,

F391c FerContribuições ao problema de extração de tempo musical / Antonio Carlos Lopes Fernandes Junior. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

FerOrientador: Furio Damiani.

FerCoorientador: Romis Ribeiro de Faissol Attux.

FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Fer1. Descritores. 2. Aprendizado de máquinas. 3. Wavelets (Matemática). 4. Processamento de sinais. I. Damiani, Furio,1943-. II. Attux, Romis Ribeiro de Faissol,1978-. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Contributions to the problem of musical tempo extraction Palavras-chave em inglês:

Descriptors Learning machines Wavelets (Mathematics) Signal processing

Área de concentração: Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

Furio Damiani [Orientador] Jugurta Rosa Montalvão Filho Marcelo Gomes de Queiroz Jônatas Manzolli

Tiago Fernandes Tavares

Data de defesa: 27-02-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

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Resumo

A deteçcão de tempo em um sinal musical é uma tarefa muito importante em diversas aplica¸cões. A presente tese apresenta os resultados da deteçcão de andamento usando uma nova abordagem baseada na extra¸cão de atributos de um conjunto de fun¸cões de deteçcão de periodicidade e aprendizado de máquina. Para isto a transformada wavelet foi utili-zada para separar o sinal musical em diferentes resolu¸cões e o dom´ınio complexo retificado foi aplicado para a constru¸cão de fun¸cões de deteçcão de onsets. Em seguida, as fun¸cões de deteçcão de periodicidade para cada n´ıvel wavelet foram geradas por opera¸cões de au-tocorrela¸cão. Descritores de áudio clássicos foram adaptados e extra´ıdos de cada fun¸cão de periodicidade e foram usados como entradas para a máquina de aprendizado que ma-peia os descritores para o tempo da música. As máquinas utilizadas foram o perceptron de múltiplas camadas e a máquina de aprendizado extremo, com propostas diferenciadas de configura¸cão. Um método para classifica¸cão e avalia¸cão dos descritores foi proposto. Também, neste trabalho, um novo descritor foi proposto. Um método de sele¸cão forward de atributos via Gram-Schmidt foi aplicado para a escolha do melhor subconjunto para o treinamento da máquina. Foi ainda aplicado um método de clustering via K-means para a partilha de observa¸cões entre os conjuntos de treinamento, teste e valida¸cão, e foi proposto um novo método de sele¸cão de observa¸cões via análise de componentes principais denomi-nado de sele¸cão esférica de observa¸cões.

Palavras-chave: Descritores, M´aquinas de Aprendizado, Wavelets, Processamento de Sinais

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Abstract

Tempo detection in a music signal is a very important task for many applications. This thesis presents results concerning this task using a new approach based on the extraction of features from a set of periodicity detection functions and on machine learning. The wavelet transform was utilized to separate the musical signal at different resolutions and the rectified complex domain was applied to the construction of onset detection functions. Then, periodicity detection functions for each resolution were generated by autocorrela-tion operaautocorrela-tions. Classic audio features were extracted from each periodicity funcautocorrela-tion and were used as inputs to a neural network that maps descriptors to music tempo. The used machines were the multilayer perceptron and an extreme learning machine, with different configuration proposals. A method for classification and evaluation of features has been proposed. Also, in this work, a new descriptor has been proposed. A method of forward selection via Gram-Schmidt was applied to choose the best subset for the machine training. A K-means clustering method was also applied for partitioning observations between the training sets and a new observation selection method via principal component analysis, called spherical selection of observations, was proposed.

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Sum´

ario

Resumo vii

Abstract ix

Agradecimentos xix

Lista de Figuras xxi

Lista de Tabelas xxv

Lista de Abreviaturas xxvii

Lista de S´ımbolos xxix

Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Objetivo . . . 2

1.3 Organiza¸c˜ao . . . 3

Cap´ıtulo 2 Bases Te´oricas 5 2.1 Ritmo e Percep¸c˜ao Auditiva . . . 5

2.1.1 Fronteiras Auditivas . . . 6

2.1.2 Sucess˜oes Regulares . . . 7

2.1.3 Onsets . . . 9

2.1.4 Representa¸c˜ao de Eventos Temporais em M´usica . . . 10

2.2 Recupera¸c˜ao de Informa¸c˜ao Musical . . . 10

2.2.1 Análise de Conteúdo de Áudio . . . 11

2.2.2 Descritores ou Atributos . . . 17

2.3 Bancos de Filtros, Multirresolu¸c˜ao e Wavelets . . . 20

2.3.1 Bancos de Filtros . . . 20

2.3.2 Multirresolu¸c˜ao . . . 21

2.3.3 Wavelets . . . 23

2.4 Aprendizado de M´aquina . . . 25

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xii

2.4.2 Rede Neural Artificial . . . 27

2.4.3 Sele¸c˜ao de Atributos e Vari´aveis . . . 33

2.4.4 An´alise de Componentes Principais e K-Means Clustering . . . 36

2.4.5 M´aquinas de Aprendizado Extremo . . . 38

Cap´ıtulo 3 Vis˜ao Expandida do Sistema Proposto, Banco de Dados e Erro 41 3.1 Vis˜ao Expandida do Sistema Proposto . . . 41

3.1.1 Diagrama de Blocos do Sistema . . . 42

3.1.2 Configura¸c˜oes das M´aquinas de Aprendizado . . . 42

3.2 Banco de Dados . . . 44

3.2.1 Banco de Dados Autoral . . . 44

3.2.2 Banco de Dados Zapata . . . 45

3.2.3 Distribui¸c˜ao Balanceada de Tempos . . . 45

3.3 An´alise de Erro . . . 46

3.4 Conclus˜oes . . . 47

Cap´ıtulo 4 Fun¸cão de Deteçcão de Onsets e Fun¸cão de Deteçcão de Periodicidades 49 4.1 Fun¸cão de Deteçcão de Onsets (ODF) . . . 49

4.1.1 Pr´e-Processamento . . . 50

4.1.2 Redu¸c˜ao ou Gera¸c˜ao da ODF . . . 53

4.2 Fun¸cão de Deteçcão de Periodicidade (PeDF ) . . . 57

4.2.1 Pr´e-Processamento . . . 58

4.2.2 Gera¸c˜ao da PeDF . . . 59

4.3 Extra¸c˜ao de Tempo Musical . . . 61

Cap´ıtulo 5 Atributos: Valida¸c˜ao e Sele¸c˜ao 65 5.1 Atributos Escolhidos . . . 65

5.2 Novo Atributo Proposto . . . 66

5.3 Pr´e-processamento . . . 67

5.4 Valida¸c˜ao dos Atributos . . . 67

5.4.1 Experimento 1 . . . 68 5.4.2 Experimento 2 . . . 69 5.4.3 Experimento 3 . . . 69 5.4.4 Experimento 4 . . . 70 5.4.5 Avalia¸c˜ao . . . 73 5.5 Sele¸c˜ao de Atributos . . . 73 5.5.1 Experimento 1 . . . 74 5.5.2 Experimento 2 . . . 74 5.5.3 Experimento 3 . . . 76

(13)

xiii

5.5.4 Experimento 4 . . . 76

5.6 Avalia¸c˜ao do Espa¸co de Atributos . . . 77

5.6.1 PCA . . . 78

5.6.2 K-Means . . . 81

5.6.3 Sele¸cão Esférica de Observa¸cões . . . 84

Cap´ıtulo 6 Aprendizado de Máquina: Implementa¸cão e Avalia¸cão 89 6.1 Rede Neural Artificial . . . 89

6.1.1 Uma ´unica m´aquina . . . 90

6.1.2 Uma m´aquina por n´ıvel de resolu¸c˜ao DWT . . . 92

6.1.3 Aplica¸c˜ao da Sele¸c˜ao Forward via GS . . . 98

6.1.4 Aplica¸c˜ao do K-means . . . 100

6.1.5 Aplica¸cão da Sele¸cão Esférica . . . 100

6.2 M´aquina de Aprendizado Extremo . . . 102

6.2.1 Uma ´unica m´aquina . . . 103

6.2.2 Uma m´aquina por n´ıvel de resolu¸c˜ao DWT . . . 105

6.3 Compara¸c˜ao com M´etodos Existentes . . . 107

Cap´ıtulo 7 Conclus˜oes e Perspectivas 111 7.1 Conclus˜oes . . . 111

7.2 Perspectivas . . . 115

(14)

(15)

xv

“ É preciso explicar por que o mundo de hoje, que é horr´ıvel, é apenas um momento do longo desenvolvimento histórico e que a esperan¸ca sempre foi uma das for¸cas dominantes das revolu¸cões e das insurrei¸cões. E eu ainda sinto a esperan¸ca como minha concep¸cão de futuro.”. Jean Paul Sartre

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(17)

xvii

Dedico esta tese `

(18)

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Agradecimentos

As riquezas de um processo de aprendizado humano se verificam, muito mais, nas entreli-nhas deste do que no fluxo central dos conceitos aparentes. Entre as lientreli-nhas desta tese de doutorado, várias pessoas deixaram, em mim, marcas indeléveis e, por isto, estarão comigo por toda a minha existência.

Agrade¸co à minha querida companheira Sarinha e à nossa amada filha Clarinha, simples-mente, por serem dois sóis que me aquecem e inundam os meus caminhos de cor e alegrias. Aos meus pais, Antônio, Sandra e Dadai, e ao meu querido irmão Daniel, pelos est´ımulos, confian¸ca e amor sempre presentes.

Ao meu irmão amigo Felipe, e ao meu amigo irmão Rogério por estarem ao meu lado nos momentos mais dif´ıceis desta caminhada.

`

A Nalva e a Jandira pelo apoio fundamental no cotidiano da vida.

Aos meus dois amigos Antˆonio Marcelo (Max) e Arismar por terem me apoiado de tantas maneiras distintas, importantes e sempre estimulantes.

Ao meu amigo Eduardo Allatta pelos momentos de apoio e amizade e pelos telefonemas divertidos versando sobre mecˆanica quˆantica etc.

Ao meu amigo Tito por seu apoio e sua amizade renovadora.

Ao meu amigo H´elcio Wagner pelos momentos de amizade me fazendo enxergar outras “pedras do mos´aico”.

`

A fam´ılia Nova pelo carinho e amizade.

Ao amigo Carl Holger por todo o apoio e pela amizade.

Ao meu tio Jos´e Augusto por ter me apoiado em momentos preciosos. Aos amigos Selma e Maur´ıcio, pela torcida, e pelo carinho sempre especial.

(20)

xx

Aos amigos Edson Macˆedo e Adriana pelo carinho e pela amizade.

Aos amigos da Cerca-Louren¸co pelos momentos de sons, risadas e amizade. Ao amigo Bruno Cavalcanti pelos est´ımulos, discuss˜oes e amizade.

Ao amigo Jurandir Santana que, sem saber, me abriu os caminhos da engenharia de ´audio, inclu´ındo o tema desta tese.

A todos os meus alunos por me permitirem crescer nas diversas dimens˜oes da vida. Aos alunos do Grupo de Estudos Sonoros pela companhia e amizade ao longo dos anos.

`

A Universidade Federal da Bahia pelo apoio prestado.

Ao professor Eduardo Simas (UFBA) pelas valiosas discussões e amizade. Ao DSIF, à FEEC e à UNICAMP pela acolhida acadêmica.

`

A Capes pelo apoio financeiro prestado.

Agrade¸co à Jaqueline Bisson (DSIF), Noêmia Benatti (CPG) e Edson Sanches (CPG) por todo o importante apoio e pela sempre calorosa recep¸cão.

Ao professor José Cândido Silveira Santos Filhos pelas excelentes aulas de Introdu¸cão às Comunica¸cões Digitais e pela cuidadosa amizade.

Ao professor Jˆonatas Manzolli pelas conversas sempre prof´ıcuas e por seu apoio.

Ao professor Romis Attux por seu apoio fundamental no processo e pela amizade cuidadosa. Finalmente, agrade¸co ao meu orientador e amigo, professor Furio Damiani, que me guiou durante toda a minha caminhada no mestrado e no doutorado, dando sempre apoio fulcral para o meu processo de desenvolvimento.

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Lista de Figuras

2.1 Sinal de ´audio de bateria . . . 6

2.2 Evolu¸c˜ao temporal geral do envelope de uma nota musical . . . 9

2.3 Sistema generalizado de Análise de Conteúdo de Áudio [1] . . . 12

2.4 Divis˜ao de sinal x(n) em blocos de LF amostras e salto LH . . . 15

2.5 Banco de filtros de an´alise . . . 21

2.6 Exemplo para fun¸c˜oes pertencentes aos subespa¸cos V0 e V1. . . 21

2.7 Exemplo de fun¸cão que representa a subtra¸cão entre as fun¸cões associadas aos subespa¸cos V1 e V0 da figura 2.6 . . . 22

2.8 Banco de filtros discreto equivalente `a transformada wavelet com dois n´ıveis de resolu¸c˜ao . . . 24

2.9 Escala e wavelet para coiflet de ordem 3 . . . 25

2.10 Filtros FIR para coiflet de ordem 3 . . . 25

2.11 Unidade de processamento e Rede Neural . . . 28

2.12 FFN, uma ´unica camada oculta . . . 30

3.1 Diagrama de blocos geral do sistema proposto . . . 42

3.2 MA, configura¸cão uma única máquina . . . 43

3.3 MA, configura¸cão uma única máquina . . . 43

3.4 MA, configura¸cão uma máquina por resolu¸cão no front-end . . . 43

3.5 MA, configura¸c˜ao compartilhamento de camada oculta (HL) no front-end . 44 3.6 Distribui¸c˜ao de andamentos do banco total . . . 46

4.1 Decomposi¸cão Wavelet em 7 n´ıveis, coiflet3: (a) Sinal, (b) Aproxima¸cão (A7), (c) Detalhe 1 (D1). Os outros detalhes foram omitidos para simplifica¸cão. 50 4.2 ODFE, ODFSD e ODFRCD para áudio de bateria (sintetizado, grava¸cão autoral) . . . 56

4.3 ODFE, ODFSD e ODFRCD para áudio de violão (real, grava¸cão autoral) . 57 4.4 ODFE, ODFSD e ODFRCD para áudio de gaita (real, grava¸cão autoral) . . 58

4.5 Gera¸cão da fun¸cão de deteçcão de onsets limitada (ODFL): (a) Sinal de ´ audio, (b) ODF, média móvel e onsets, (c) ODFL . . . 59

4.6 Fun¸cões P eDF multiresolucionais para música 6, do banco de dados autoral 61 4.7 Fun¸cões P eDF multiresolucionais para música 3, do banco de dados autoral 62

(22)

xxii

5.1 Evolu¸cão do MSE com o aumento da resolu¸cão DWT . . . 75 5.2 CDF do ranking da sonda randômica . . . 75 5.3 Histograma dos atributos selecionados no ranking . . . 75 5.4 CDF do ranking da sonda randômica para as resolu¸cões da DWT, modelo

de primeira ordem . . . 77 5.5 Histogramas dos atributos selecionados nos rankings para as resolu¸c˜oes da

DWT, modelo de primeira ordem . . . 78 5.6 CDF do ranking da sonda randˆomica para as resolu¸c˜oes da DWT, modelo

de segunda ordem . . . 80 5.7 PCA do banco 1 com número fixo de frames. . . 81 5.8 PCA do banco 1 com número de frames variável. . . 81 5.9 PCA do banco 2 com número fixo de frames. . . 82 5.10 PCA do banco 2 com número de frames variável. . . 82 5.11 PCA de todos os bancos reunidos com número de frames variável . . . 83 5.12 Silhueta do banco total para todos os n´ıveis DWT, K=2 . . . 83 5.13 Silhuetas do banco total para cada n´ıvel DWT, K=2 . . . 84 5.14 Silhueta do banco total para todos os n´ıveis DWT, K=4 . . . 85 5.15 Silhuetas do banco total para cada n´ıvel DWT, K=4 . . . 86 5.16 Banco de dados total utilizando sele¸cão esférica via PCA . . . 86 6.1 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R72 . . . 90 6.2 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R18 . . . 91 6.3 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R24 . . . 92 6.4 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R42 . . . 93 6.5 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R12, redes especialistas . . . . 95 6.6 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R3, redes especialistas . . . 96 6.7 Box plot para o erro dos três conjuntos, x ∈ R7, redes especialistas . . . 97 6.8 Box plot para o erro dos três conjuntos, redes especialistas . . . 99 6.9 Box plot para o erro dos três conjuntos, redes especialistas com aplica¸cão da

sele¸cão de observa¸cões balanceadas por clusters . . . 101 6.10 Box plot para o erro dos três conjuntos, redes especialistas com aplica¸cão da

sele¸cão esférica de observa¸cões . . . 102 6.11 Média do MSE para o erro dos três conjuntos, uma única máquina . . . 103 6.12 Box plot, para o erro dos três conjuntos, gerado pela varia¸cão do λ na faixa

proposta, ELM . . . 104 6.13 Valor do MSE dos trˆes conjuntos em fun¸c˜ao de p, p = {−25, −24, ..., 24, 25},

N = 8 . . . 104 6.14 Valor do MSE dos trˆes conjuntos em fun¸c˜ao de N . . . 106

(23)

xxiii

6.15 Valor do MSE dos trˆes conjuntos em fun¸c˜ao de p, p = {−25, −24, ..., 24, 25}, N = 13 . . . 107

(24)

(25)

Lista de Tabelas

4.1 Vetores de coeficientes wavelets . . . 51 4.2 Vetores de coeficientes wavelets . . . 51 4.3 Rela¸cão do número de frames entre as resolu¸cões wavelet . . . 53 4.4 Fun¸cões de deteçcão de onsets multiresolucionais . . . 58 4.5 Candidatos a tempo, To = 100 bpm, exemplo 1 . . . 60

4.6 Candidatos a tempo, To = 71 bpm, exemplo 2 . . . 62

5.1 Resultados do mapeamento direto . . . 68 5.2 Resultados do mapeamento direto para varia¸c˜ao do limiar T h . . . 69 5.3 Resultados do ranking para modelo de primeira ordem, n´ıveis DWT versus

quantidade de atributos admiss´ıveis . . . 76 5.4 Resultados do ranking para modelo de segunda ordem, n´ıveis DWT versus

quantidade de atributos admiss´ıveis . . . 79 5.5 Resultados do clustering, n´ıveis DWT versus Silhueta média, K = 2 . . . . 83 5.6 Resultados do clustering, n´ıveis DWT versus Silhueta média, K = 4 . . . . 85 6.1 Resultados do treinamento para N = 10 . . . 93 6.2 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 94 6.3 Resultados para Back-end Regressor Linear . . . 94 6.4 Resultados para Back-end MLP para N = 8 . . . 94 6.5 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 95 6.6 Resultados para Back-end Regressor Linear . . . 95 6.7 Resultados para Back-end MLP para N = 10 . . . 96 6.8 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 97 6.9 Resultados para Back-end Regressor Linear . . . 97 6.10 Resultados para Back-end MLP para N = 8 . . . 98 6.11 Resultados do ranking para modelo de primeira ordem, n´ıveis DWT versus

atributos admiss´ıveis . . . 98 6.12 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 99 6.13 Resultados para Back-end MLP para N = 14, sele¸cão forward via GS . . . 99 6.14 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 100 6.15 Resultados para Back-end MLP para N = 10, K-means . . . 100

(26)

xxvi

6.16 Número de neurônios por resolu¸cão . . . 101 6.17 Resultados para Back-end MLP para N = 18, sele¸cão esférica . . . 102 6.18 Resultados da ELM para N = 8, média dos 10 treinamentos . . . 103 6.19 Número de neurônios por resolu¸cão, front-end ELM . . . 105 6.20 Resultados da ELM para N = 65, λ = 32 . . . 106 6.21 Resultados da ELM para N = 13, λ = 32, média dos 10 treinamentos . . . 107 6.22 Resultados comparativos do método proposto com a literatura . . . 108

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Lista de Abreviaturas

ANN Rede Neural Artificial (Artificial Neural Network )

cdf Fun¸cão de distribui¸cão Cumulativa (Cumulative Distribution Function) Coiflet3 Wavelet Mãe Coiflet de Ordem N=3

cs Soma Acumulada das Variˆancias

DFT Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform) DWT Transformada Wavelet Discreta (Discrete Wavelet Transform) EA Extrator de Atributos

ELM M´aquina de Aprendizado Extremo (Extreme Learning Machine) FFN Feed Forward Network

FIR Resposta ao Impulso Finita (Finite Impulse Response) GS Gram-Schmidt

HL Camada Oculta (Hidden Layer ) HPF Filtro Passa-Alta (High-Pass Filter )

IIR Resposta ao Impulso Infinita (Infinite Impulse Response) LM Levenberg-Marquardt

LPF Filtro Passa-Baixa (Low-Pass Filter ) MA M´aquina de Aprendizado

MLP Perceptron de Múltiplas Camadas (Multilayer Perceptron) MM Média Móvel

MSE Erro Quadr´atico M´edio (Mean Square Error )

ODF Fun¸cão de Deteçcão de Onsets (Onset Detection Function)

PCA Análise de Componentes Principais (Principal Component Analysis) PeDF Fun¸cão de deteçcão de Periodicidades (Periodicity Detection Function) pdf Fun¸cão Densidade de Probabilidade (Probability Density Function) PR Reconhecimento de Padrões (Pattern Recognition)

RL Regressor Linear

SAD Sistema de Aquisi¸c˜ao de Dados

SCG Gradiente Conjugado Escalonado (Scaled Conjugated Gradient ) SLIT Sistema Linear Invariante no Tempo

STFT Transformada de Fourier de Tempo Curto (Short-Time Fourier Transform) Tactus Batida ou Beat

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xxviii

(29)

Lista de S´ımbolos

a Escalar (min´uscula em it´alico)

Aj Vetor Aproxima¸c˜ao do N´ıvel j

a(j)_i Ativa¸cão do i-ésimo Neurônio da j-ésima Camada

ark Coeficiente Escala

brk Coeficiente Wavelet

B N´umero de Batidas (Beat )

D Deslocamento ou Lag para Correla¸c˜ao

Dj Vetor Detalhe do N´ıvel j

∆P Intervalo de Amostras em uma PeDF

∆t Intervalo de Tempo

∆Ω Resolu¸c˜ao em Frequˆencia da DFT

E[·] Operador do Valor Esperado

E[x2(n)] Potˆencia M´edia do Sinal x(n)

(30)

xxx

fSeq Frequˆencia de Amostragem Equivalente

f0 Frequˆencia Fundamental, 1/T

f (k) Frequência do k-ésimo bin de Frequência

fS Frequˆencia de Amostragem

fmax Frequˆencia M´axima de um Sinal

FX(x) Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Cumulativa

φ(t) Fun¸c˜ao Escala

γ Taxa de Performance

h(n) Resposta ao Impulso de Sistema Discreto

h(t) Resposta ao Impulso de Sistema Cont´ınuo

hθ(x) Hip´otese

J (θ) Fun¸c˜ao Custo

j √−1

(31)

xxxi

LP eDF Comprimento da P eDF

Lo Comprimento do Vetor de ´Audio

Lh Comprimento do Salto, em Amostras

Lf Comprimento do Filtro, em Amostras

LF Comprimento do Bloco ou Frame, em Amostras

λ Parˆametro de Regulariza¸c˜ao da ELM

ns(i) ´Indice de In´ıcio do i-´esimo Bloco ou Frame

ne(i) ´Indice de In´ıcio do i-´esimo Bloco ou Frame

O Ordem do Filtro da Predi¸c˜ao Linear

pX(x) Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade

qj Vetor Unit´ario da Dimens˜ao j

Rxy(D) Correla¸c˜ao Cruzada de x(n) e y(n)

Rxx(D) Autocorrela¸c˜ao de x(n)

R Correla¸c˜ao entre Sa´ıda e Alvo

(32)

xxxii

T Tempo ou Andamento Musical

t Tempo

TS Per´ıodo de Amostragem

T Per´ıodo

T h Limiar

Vr Subespa¸co Escala da Resolu¸c˜ao r

νηx Descritor ou Atributo: M´edia

νC Descritor ou Atributo: Centr´oide

ν_σ2

x Descritor ou Atributo: Variˆancia

νσx Descritor ou Atributo: Desvio Padr˜ao

νSSk Descritor ou Atributo: Spectral Skewness

νSR Descritor ou Atributo: Spectral Rolloff

νSC Descritor ou Atributo: Spectral Centroid

νSS Descritor ou Atributo: Spectral Spread

(33)

xxxiii

νSCF Descritor ou Atributo: Spectral Crest Factor

νSSk Descritor ou Atributo: Spectral Flatness

νP R Descritor ou Atributo: Predictivity Ratio

νZCR Descritor ou Atributo: Zero Crossing Rate

W r Subespa¸co Wavelet da Resolu¸c˜ao r

w(t) Wavelet M˜ae

x Vetor (min´uscula em negrito)

xT Vetor Transposto

X Matriz (mai´uscula em negrito)

x(t) Sinal em Tempo Cont´ınuo

x(n) Sinal em Tempo Discreto

xT(t) Sinal Peri´odico em Tempo Cont´ınuo

X(j∆Ω) Transformada Discreta de Fourier de x(n)

(34)

(35)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

...que a importância de uma coisa não se mede com fita métrica nem com balan¸cas nem barômetros etc. Que a importância de uma coisa há que ser medida pelo encantamento que a coisa produza em nós.

Manoel de Barros

1.1 Motiva¸c˜ao

A música é um dos mais importantes produtos da expressão humana [2]. A linguagem musical remonta aos primeiros momentos da história do ser humano. Hoje em dia, com o avan¸co tecnológico, há vários tipos de instrumentos musicais eletrônicos, como sintetiza-dores, teclados e samplers. Contudo, o uso de computadores no ambiente musical é cada vez mais frequente. Estas máquinas são utilizadas para grava¸cão, edi¸cão, processamento e até como sintetizadores de áudio, ou seja, como instrumentos musicais, ou mais especifica-mente, meta-instrumentos [3]. Para além do ambiente de estúdios de grava¸cão, mixagem e masteriza¸cão, os computadores, em suas versões móveis, também come¸caram a ocupar espa¸cos nos palcos, nas performances ao vivo. Alguns conjuntos musicais fazem os seus arranjos como com instrumentos de sopro, e disparam estes pré-gravados em trilhas de programas ao longo de suas execu¸cões musicais. Uma das práxis para que haja sincronia entre o que o computador executa e o som do conjunto é enviar um sinal de metrônomo (marcador de andamento) para um dos componentes do grupo, por exemplo, para o bate-rista, que cuida essencialmente do ritmo e da velocidade da execu¸cão (andamento). Desta forma, este músico não pode perder o sincronismo com o sinal de referência que é emitido pelo notebook. Isto gera um grande desconforto para os músicos e limita as possibilidades de utiliza¸cão do notebook como um instrumento independente, e que, ainda por cima, é capaz de tocar várias trilhas ao mesmo tempo, ou seja, vários instrumentos. O trabalho de pesquisa desta tese teve sua gênese a partir deste cenário de aplica¸cão dos computadores

(36)

1. Introdu¸c˜ao

móveis, e de outros dispositivos, para fins de acompanhamento musical automático. Par-tindo desta ideia inicial, seguiu-se uma pesquisa sobre extra¸cão de tempo musical e beat tracking [4–8], a¸cão que descortinou a extensa área de recupera¸cão de informa¸cão musical (MIR).

1.2 Objetivo

Este trabalho teve como objetivo geral a implementa¸cão de um algoritmo de reconheci-mento de padrão do andamento musical, baseado na transformada Wavelet e em máquinas de aprendizado. Dentro desta proposta, três objetivos espec´ıficos foram perseguidos. O primeiro foi o estudo, adapta¸cão, implementa¸cão e avalia¸cão de atributos extra´ıdos de fun-¸

cões de periodicidade constru´ıdas para cada resolu¸cão wavelet. O segundo foi a realiza¸cão de estratégias de sele¸cão de atributos e a cria¸cão de uma metodologia de sele¸cão de obser-va¸cões a partir de um banco de dados musical. O terceiro foi a aplica¸cão de perceptrons de múltiplas camadas e máquinas de aprendizado extremo, em diferentes configura¸cões, para mapear os atributos extra´ıdos das fun¸cões de periodicidade de cada resolu¸cão para o valor do tempo musical.

Dentre os principais estudos e contribui¸c˜oes que foram realizados, neste trabalho, destacam-se:

• Coleta de um banco de dados musical com 507 m´usicas em formato wave;

• Determina¸c˜ao manual, via programa comercial de tempo tapping, do andamento mu-sical de cada pe¸ca do banco de dados;

• Algoritmo para organiza¸cão do banco de dados que realiza a leitura, indexa¸cão, sele-¸cão de trecho espec´ıfico dos arquivos wave e downmixing a partir de um diretório; • Algoritmo que realiza a transformada wavelet de todo o banco;

• Algoritmo que gera uma fun¸cão de deteçcão de onsets (ODF ), usando o método do dom´ınio complexo retificado, e uma fun¸cão de deteçcão de periodicidades (PeDF ), usando autocorrela¸cão, para cada resolu¸cão da transformada wavelet do banco; • Algoritmo que realiza pré-processamento das PeDF e posteriormente calcula

des-critores dessas fun¸cões pré-processadas para cada resolu¸cão e gera uma matriz para treinamento das máquinas de aprendizado;

• Proposi¸cão e implementa¸cão de um novo método de sele¸cão de atributos baseado na capacidade de mapeamento direto de atributos de primeira ordem e baseado na capacidade de atributos de segunda ordem de selecionar fun¸cões de periodicidade mais apropriadas ao problema proposto;

(37)

1. Introdu¸c˜ao

• Proposi¸cão e implementa¸cão de um novo método de sele¸cão de observa¸cões baseado em análise de componentes principais do espa¸co de atributos, denominado sele¸cão esférica de observa¸cões;

• Proposi¸cão e implementa¸cão de pré-sele¸cão de observa¸cões baseada em clustering via K-Means, para distribuir de forma equilibrada as observa¸cões para os subconjuntos de treinamento;

• Treinamento, avalia¸cão e proposi¸cão de configura¸cões distintas com dois tipos de má-quina de aprendizado: perceptrons de múltiplas camadas e máquina de aprendizado extremo.

1.3 Organiza¸c˜ao

Esta tese é composta por sete cap´ıtulos. O cap´ıtulo 2 trata das principais teorias e ferramentas matemáticas utilizadas ao longo desta pesquisa e aplicadas nos cap´ıtulos subsequentes deste texto. O cap´ıtulo 3 ilustra as configura¸cões do sistema proposto, em diagramas de blocos, promovendo uma visão geral a respeito do fluxo de sinal. Ainda nesse cap´ıtulo, são apresentados os bancos de dados musicais utilizados, o método de aquisi-¸cão destes sinais de áudio e um método de distribui¸cão balanceada dos tempos musicais para os subconjuntos de treinamento. O cap´ıtulo se encerra com a metodologia utilizada para a análise dos erros nos processos de treinamento das máquinas de aprendizado. No cap´ıtulo 4, discute-se o processamento de sinal implementado para a gera¸cão das fun¸cões de deteçcão de onsets e para as fun¸cões de periodicidade multiresolucionais. Também são realizadas algumas avalia¸cões dos resultados destas implementa¸cões. O cap´ıtulo 5 versa sobre os atributos extra´ıdos das fun¸cões de periodicidade. A adapta¸cão de um conjunto de descritores é avaliada e outro novo descritor é proposto. Esse cap´ıtulo também trata das implementa¸cões de métodos de sele¸cão de atributos existentes e de novas propostas de sele¸cão de atributos e observa¸cões. O cap´ıtulo 6 explana os resultados dos experimentos re-alizados com os perceptrons de múltiplas camadas e as máquinas de aprendizado extremo, em diferentes configura¸cões, para diferentes subconjuntos de atributos à luz dos métodos desenvolvidos no cap´ıtulo 5. Por fim, no cap´ıtulo 7, discutem-se as conclusões a respeito da proposta implementada, especula-se sobre modelos poss´ıveis para a percep¸cão r´ıtmica humana e indicam-se perspectivas para o prosseguimento da pesquisa.

(38)

(39)

Cap´ıtulo 2

Bases Te´

oricas

A leitura do mundo precede a leitura da palavra.

Paulo Freire

Neste cap´ıtulo, são discutidas as principais teorias utilizadas para os estudos e im-plementa¸cões deste trabalho. Desta forma, algum entendimento a respeito da percep¸cão humana relacionada ao ritmo musical e sua estrutura é necessário. Entende-se, também, que o sistema proposto para extra¸cão de andamento musical, neste trabalho, deve pos-suir, em alguma medida, capacidades análogas ao sistema aural e neural, conjunto ouvido e cérebro, para perceber o andamento musical. O análogo da discrimina¸cão em frequˆ en-cia realizada pelo ouvido humano neste sistema é obtida por intermédio da transformada Wavelet, aqui discutida. Uma série de processamentos são utilizados para a extra¸cão de atributos a partir do conjunto de cada banda de frequência, logo, estratégias de recupera-¸cão de informa¸cão musical e extra¸cão de atributos são estudadas. A decisão a respeito do melhor candidato a andamento fica a cargo de uma máquina de aprendizado. Com isto, encerramos o cap´ıtulo com uma exposi¸cão sobre Redes Neurais Artificiais e Máquinas de Apredizado Extremo.

2.1 Ritmo e Percep¸c˜ao Auditiva

A palavra ritmo pode ser utilizada para representar atributos de uma série de fenˆ ome-nos naturais e atividades desenvolvidas pelo ser humano. Seja no movimento de astros no espa¸co, de corpos humanos executando movimentos cotidianos ou de dan¸ca, ou até em cer-tos padrões de constru¸cões arquitetônicas, o ritmo desvela a no¸cão de movimento inclu´ındo os conceitos de recorrência, periodicidade e agrupamento. A música é uma das ativida-des r´ıtmicas exercitadas pelo ser humano. A palavra ritmo, em música, é utilizada para significar uma série de estruturas temporais hierárquicas. O downbeat (primeira batida do compasso), a batida (beat ou tactus) e o tatum (átomo temporal) exibem uma estru-tura, com resolu¸cões distintas, capaz de fornecer muitas informa¸cões a respeito da evolu¸cão

(40)

temporal de uma obra músical. A figura 2.1 exibe um sinal de bateria sintético contendo bumbo, caixa e cymbal onde estão identificados os intervalos de tempo referentes à batida, ao tatum e ao compasso.

1

2

3

4

5 x 10

5

−0.5

0

0.5

Amostras Amplitude Compasso Tatum Tactus Downbeat

Figura 2.1: Sinal de ´audio de bateria

Contudo, a percep¸cão, pelo ouvinte, dessas entidades estruturais pode ou não estar relacionada com a existência de eventos sonoros no instante de tempo de cada entidade. Aqui, o evento sonoro significa o fenômeno f´ısico, enquanto o psicoacústico, interpreta¸cão do sistema auditivo diante de um est´ımulo sonoro, é denominado evento auditivo [9]. A batida, por exemplo, pode fazer parte da sensa¸cão auditiva do ouvinte, mas sequer estar presente no sinal de áudio. Deste modo, a percep¸cão do ritmo, a partir das mudan¸cas e recorrências do som, está intrisecamente ligada aos eventos auditivos, ou seja, ao ouvinte. 2.1.1 Fronteiras Auditivas

Uma fronteira auditiva (auditory boundary) ocorre em um instante de tempo t quando um est´ımulo sonoro em um intervalo [t − , t] é diferente perceptualmente do est´ımulo sonoro no intervalo [t, t + ]. Froteiras auditivas podem ocorrer em diversas escalas de tempo. Eventos sonoros consecutivos podem gerar sensa¸cão ou não de fronteiras auditivas a depender do intervalo entre estes eventos [9].

Vários aspectos sonoros podem demarcar uma fronteira. A mudan¸ca de amplitude, como o percutir de um tambor, ou uma varia¸cão abrupta de frequência, como a mudan¸ca de notas em um instrumento, são exemplos do que percebemos como fronteiras auditivas. Estas percep¸cões de mudan¸cas são chamadas de eventos auditivos. É importante salientar que, como se trata de experiência perceptual, compreender quais dos aspectos dominam o

(41)

evento em um determinado instante depende da aten¸c˜ao do ouvinte, de seu treinamento e de uma s´erie de fatores f´ısicos.

2.1.2 Sucess˜oes Regulares

Uma sucessão regular [9] é uma sequência de fronteiras auditivas ou eventos que ocorrem em intervalos de tempo aproximadamente iguais, ou seja, quasi -periódicos.

2.1.2.1 Percep¸c˜ao de Taxa

O tempo T é a taxa na qual pulsa¸cões são percebidas. Esta taxa é denominada de tactus ou simplesmente taxa de batidas de pés (foot tapping rate), e possui unidade de batidas por minuto (bpm). Para segmentos musicais com dura¸cão em segundos ∆ts com

tempo constante ele pode ser calculado como:

T = B · 60 ∆ts

(2.1) onde B é o número de batidas (beats) contidas no segmento. O tempo ou andamento de uma pe¸ca musical é usualmente escolhido por quem executa a performance, mesmo que o compositor indique um andamento preferencial.

Para sucessões regulares, a exemplo de clicks efetuados por metrônomo com intervalo T de recorrência, vários regimes perceptuais podem ser estabelecidos [9]:

1. Se T ≤ 50 ms, um tom ´e ouvido;

2. Se 50 ms ≤ T ≤ 100 ms, eventos parecem cont´ıguos; 3. Se 100 ms ≤ T ≤ 3 s, um ritmo ´e percebido;

4. Se T ≥ 3 s, há no¸cão de separa¸cão entre os eventos passados e os presentes.

Para sucessões irregulares, não há percep¸cão de andamento ou tom com o aumento ou a diminui¸cão da taxa. O que ocorre é a sensa¸cão de varia¸cão da densidade de eventos. Assim, sucessões irregulares e regulares provocam tipos diferentes de percep¸cão.

O ouvido humano possui uma capacidade de agrupamento de sons diversos em objetos auditivos simples. Um exemplo interessante disto são as notas musicais que, apesar de, do ponto de vista da nota¸cão musical, representarem uma única frequência, do ponto de vista anal´ıtico, são uma fusão de uma fundamental e seus parciais. Efeitos similares ocorrem em escalas de tempo diferentes. Eventos auditivos periódicos r´ıtmicos podem ser fundidos em uma única entidade r´ıtmica, a depender de seus padrões de repeti¸cão individuais e fase relativa. Outros atributos do som podem contribuir para o processo de agrupamento

(42)

perceptual, como por exemplo a evolu¸c˜ao temporal da intensidade (envelope ou envolt´oria) e o timbre [9].

2.1.2.2 Indica¸c˜oes Perceptuais para o Agrupamento de Ritmos

A forma como uma sequˆencia de pulsos se organiza perceptualmente pode ser influen-ciada por mudan¸cas em diversos aspectos. Dentre os principais pode-se destacar:

1. Intensidade - um aumento no volume de um pulso tende a definir o in´ıcio de um grupo;

2. Dura¸c˜ao do pulso - um alongamento de um pulso tende a definir o in´ıcio de um grupo; 3. Dura¸c˜ao entre pulsos - um alongamento do intervalo entre dois sons tende a definir

o final de um grupo;

4. Timbre - mudan¸cas na qualidade da tonalidade podem significar posi¸c˜oes chave na sequˆencia;

5. Tonalidade - mudan¸cas abruptas no tom tendem a ser ouvidas como ponto de in´ıcio ou fim de um grupo;

6. Densidade - o n´umero de eventos por segundo pode indicar uma fronteira. ´

E importante salientar que a percep¸cão de um ritmo independe da forma como são preenchidos os intervalos de tempo entre as fronteiras auditivas. Por exemplo: se durante o intervalo de tempo entre as fronteiras há silêncio ou um tom musical ainda assim as percep¸cões r´ıtmicas serão idênticas. Isto indica a importância das fronteiras auditivas para o estabelecimento de uma percep¸cão r´ıtmica [9].

Baseado nas observa¸cões anteriores, infere-se que o ritmo é um fenômeno psicoacústico que emerge da percep¸cão de uma sucessão regular em uma escala temporal onde as batidas são percebidas. Similarmente, um tom pode ser definido como um som que evoca a sensa¸cão de altura (pitch). Observe que os conceitos são similares, já que a altura é a percep¸cão de uma sucessão regular em uma escala temporal reduzida e o ritmo a percep¸cão do mesmo em uma escala maior.

Para executar análises referentes ao ritmo em sinais musicais, é necessário, então, a extra¸cão de equivalentes das fronteiras auditivas a partir de um sinal de áudio. A escala temporal em questão varia de 100 ms a 3 s. Deve-se observar que, conforme exposto ante-riormente, a percep¸cão do ritmo não é percep¸cão de tons musicais em baixas frequências. O limite inferior da audi¸cão humana em rela¸cão à frequência é 20 Hz, e o fenômeno r´ıtmico está situado em uma faixa de 0.33 Hz a 10 Hz. Como a demarca¸cão de fronteiras auditivas ocorre a partir dos eventos auditivos, e os sinais de áudio não necessariamente exibem

(43)

estas fronteiras, surge a necessidade de processamento do sinal e um modelo que simule interpreta¸c˜ao perceptual para que os eventos sejam localizados.

2.1.3 Onsets

Os aspectos temporais de um sinal musical tais como o tempo e o ritmo são propriedades musicais importantes. Um aspecto fundamental destes aspectos é o onset, que pode ser definido como o in´ıcio de um evento sonoro. Sabe-se que o modelo geral da evolu¸cão temporal de um som passa por fases como o ataque (A), o decaimento (D), a sustenta¸cão (S) e o relaxamento (R) (ADSR) como na figura 2.2. O in´ıcio de um evento sonoro é usualmente considerado como sendo mais importante do que a por¸cão final pois, aparentemente, os ouvintes percebem novas ocorrências de eventos musicais em termos de intervalos entre onsets (inter-onset-interval - IOI ) [1], já que a ocorrência destes pode estabelecer uma fronteira auditiva. O termo onset é usado com frequência como sinônimo do instante de tempo do onset, porém é mais preciso definir que o seu tempo de ocorrência é sua propriedade mais importante, apesar da existência de outras, como a sua energia.

A D

S

R

t

Envelope onset

Figura 2.2: Evolu¸c˜ao temporal geral do envelope de uma nota musical

Na realidade, o in´ıcio de um som musical não é um ponto exato no tempo, mas sim um evento espraiado. O tempo de ataque ou de subida é o intervalo, em segundos, entre a primeira oscila¸cão de um instrumento musical e uma amplitude máxima. Os instrumentos musicais exibem tempos de ataque, aproximadamente, de 5 ms (alguns instrumentos de percussão) até 200 ms (instrumentos de sopro) [1]. O uso dos termos onset, ataque e transiente na literatura é, às vezes, inconsistente. Aqui, utilizaremos as seguintes defini¸cões [1]:

1. O ataque do evento sonoro é o intervalo de tempo no qual sua envoltória atinge a amplitude máxima;

2. O transiente do evento sonoro ´e o intervalo de tempo no qual decorrem as fases de ataque e decaimento;

3. Tempo de onset da nota (NOT ): instante de tempo em que o instrumento ´e excitado para produzir o som;

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4. Tempo de onset ac´ustico (AOT ): instante de tempo em que o som pode ser medido; 5. Tempo de onset perceptual (POT ): instante de tempo em que o evento ´e percebido

pelo ouvinte.

Assumindo que os músicos adaptam sua execu¸cão musical à sua percep¸cão sonora, utilizaremos o POT como sinônimo de onset. A figura 2.2 ilustra uma poss´ıvel localiza¸cão temporal para o POT.

2.1.3.1 M´etrica e Timing

A métrica é a alterna¸cão regular de elementos musicais fortes e fracos geralmente agru-pados em compassos. O timing se refere a eventos temporais na performance musical que exibem desvios temporais sistemáticos da estrutura r´ıtmica subjacente.

2.1.4 Representa¸c˜ao de Eventos Temporais em M´usica

O compasso é o equivalente, na partitura, da métrica perceptual. A primeira batida de um compasso geralmente possui o maior peso perceptual e é denominada de downbeat. A fórmula de compasso provê informa¸cões a respeito do mesmo, o número de pulsos agrupados (numerador) e o valor da nota que constitui um beat (denominador). O valor da nota define o seu comprimento relativo com respeito ao tempo. A nota¸cão convencional requer que a soma de todos os valores das notas e das pausas por compasso (exceto em casos especiais) resulte no valor do numerador da fórmula de compasso. Assim, o tempo de onset de cada nota é especificado pela fórmula de compasso e sua posi¸cão na partitura.

O tempo de offset da nota é determinado pelo tempo de onset e por seu valor da nota na partitura. Contudo, em uma performance real ele dificilmente está definido, pois a diminui¸cão ou aumento do tempo de offset está relacionado à articula¸cão que se pretende dar à pe¸ca musical.

2.2 Recupera¸c˜ao de Informa¸c˜ao Musical

A Recupera¸cão de Informa¸cão Musical (MIR) é um campo de pesquisa amplo que se refere à análise de informa¸cões musicais sejam elas f´ısicas ou simbólicas [1]. Dentre estas informa¸cões podemos destacar a análise de formatos simbólicos como partituras musicais, arquivos com protocolo MIDI, letras musicais, avalia¸cões de usuários, instru¸cões de per-formance das partituras, informa¸cões bibliográficas relacionadas a edi¸cão, t´ıtulo da can¸cão etc. Para além do conteúdo simbólico, podemos destacar a extra¸cão de informa¸cões dos sinais de áudio como grava¸cões musicais em meios digitais.

A área de pesquisa de MIR ganhou uma relevância muito grande nos últimos anos com a populariza¸cão dos formatos de áudio digital. A comunidade cient´ıfica internacional tem

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investido intensamente não somente na pesquisa mas também na difusão dos trabalhos realizados. Um dos fatos que ratifica esta assertiva é a existência da Sociedade Interna-cional para Recupera¸cão de Informa¸cão Musical (ISMIR) [10] que anualmente promove o congresso homônimo.

2.2.1 Análise de Conteúdo de Áudio

Inserida na grande área de pesquisa denominada MIR encontra-se a Análise de Con-teúdo de Áudio (ACA), que refere-se, especificamente, à extra¸cão de informa¸cões dos sinais de áudio. A informa¸cão a ser extra´ıda é denominada metadado, pois se refere a dados a respeito de dados e pode incluir qualquer informa¸cão que permita uma descri¸cão ou expla-na¸cão dos dados do sinal de áudio bruto. Os metadados representam, entre outras coisas, o conteúdo musical de uma grava¸cão como por exemplo andamento, tonalidade e aspectos da performance.

Isto posto, percebe-se que a área da ACA é um campo multidisciplinar, pois lida com conhecimentos da área de processamento digital de sinais, musicologia, teoria musical, psicologia musical, psicoacústica, reconhecimento de padrões e aprendizado de máquina.

Os sistemas ACA podem ser aplicados para a realiza¸c˜ao de v´arias tarefas, dentre as quais podemos destacar:

• Organiza¸cão, busca e recupera¸cão automática de conteúdo de áudio em grandes ban-cos de dados

• Novas interfaces para busca e recupera¸cão de áudio como sistemas query-by-humming • Novas formas de visualiza¸cão de sinais de áudio, intera¸cão do usuário e processamento

musical em programas de edi¸c˜ao e/ou grava¸c˜ao

• Controle dependente de conteúdo de processamento de áudio e algoritmos de codifi-ca¸cão

• Gera¸c˜ao autom´atica de playlist

Em geral, as aplica¸cões pressupõem que o áudio esteja dispon´ıvel em versão digitalizada. Desta forma, algumas classes podem ser identificadas para descri¸cão de baixo n´ıvel de uma grava¸cão musical:

• Caracter´ısticas estat´ısticas do sinal originárias dos dados do áudio, tais como distri-bui¸cão de amplitude etc

• Caracter´ısticas de timbre

• Caracter´ısticas relacionadas `a intensidade tais como envolt´oria e volume • Caracter´ısticas tonais como altura

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• Carcter´ısticas temporais tais como atributos r´ıtmicos

As diversas informa¸cões agrupadas nestas classes podem ser usadas e combinadas para obten¸cão de conhecimento a respeito de uma música gerando informa¸cões sobre sua es-trutura musical, estilo, caracter´ısticas de performance e rela¸cões subjetivas com o ouvinte como est´ımulos emocionais. Aqui cabe uma observa¸cão: parâmetros a serem extra´ıdos de um arquivo de áudio são objetivos, isto é, descrevem propriedades da música independente do contexto perceptual do ouvinte. Logo, efeitos perceptuais e psicológicos dependem da experiência individual do ouvinte e de qual aparato de dispositivos ele utiliza para ouvir a música.

2.2.1.1 Sistema ACA Generalizado

Para realizar as tarefas exemplificadas a maior parte dos sistemas ACA possuem dois blocos fundamentais descritos na figura 2.3.

Figura 2.3: Sistema generalizado de Análise de Conteúdo de Áudio [1]

O bloco de extra¸cão de atributos executa pré-processamentos no sinal de áudio com dois objetivos principais: redu¸cão de dimensionalidade e representa¸cão significativa. A redu¸cão de dimensão busca reduzir a quantidade de dados do sinal de áudio em formato original. Para isto um atributo, ou um conjunto deles, é utilizado para representar blocos de amos-tras do sinal original, ou até mesmo o sinal completo, evitando informa¸cões desnecessárias. O segundo objetivo se refere ao fato de que, para a extra¸cão da informa¸cão implicitamente contida no áudio original, é necessária a concentra¸cão em aspectos relevantes e a transfor-ma¸cão do áudio em uma representa¸cão que seja facilmente interpretada por humanos ou máquinas.

Um atributo não precisa ter um significado diretamente perceptual ou musical ou mesmo ser interpretável por seres humanos. Ele pode ser projetado para condensar informa¸cão para o segundo bloco da figura 2.3 com o objetivo de gerar um resultado desejado. Em geral, os atributos são classificados como atributos de baixo n´ıvel e atributos de alto n´ıvel. Os de baixo n´ıvel se referem àqueles que não são diretamente interpretados por seres hu-manos enquanto os de alto n´ıvel se referem diretamente a termos usados por huhu-manos para

(47)

definir certas caracter´ısticas musicais como tempo, brilho etc. Estes atributos de alto n´ıvel s˜ao extra´ıdos, geralmente, pelo segundo est´agio do sistema ACA generalizado da figura 2.3.

2.2.1.2 Fundamentos de Processamento de Sinais de ´Audio

Sinais de áudio A palavra áudio deriva do verbo latino audire, que significa ouvir. Tec-nicamente, de maneira geral, um sinal de áudio se refere às varia¸cões de pressão ao longo do tempo com frequências entre 20 Hz e 20 kHz convertidas em sinais elétricos. Este sinal, de tempo cont´ınuo, pode ser representado por x(t).

Sinais Periódicos Um sinal periódico xT(t) é definido matematicamente como:

xT(t) = xT(t + T ) (2.2)

onde T é o per´ıodo de sua frequência fundamental definida por f0 = 1/T . As frequências

das outras componentes tonais, as harmˆonicas, possuem valores m´ultiplos inteiros de f0.

Sinais Aleatórios A forma de onda de um sinal aleatório, estocástico ou randômico não pode ser determinada exatamente a priori de sua ocorrência. Este tipo de sinal não pos-sui frequência fundamental e cada materializa¸cão deste é denominada de observa¸cão ou realiza¸cão. Um exemplo t´ıpico de sinal aleatório é o ru´ıdo branco, que possui espectro de frequência plano. Uma propriedade, geralmente desejável, relacionada a sinais aleatórios ´

e a estacionaridade. Um sinal estocástico estacionário até segunda ordem exibe média e autocorrela¸cão não variantes com o tempo.

Amostragem, Quantiza¸cão e Codifica¸cão Um sinal de áudio x(t) de tempo cont´ınuo impõe limita¸cões no que se refere a armazenamento e processamentos. Desta forma, o advento do áudio digital ampliou as possibilidades de registro, processamento, armazenamento e audi¸cão da música. Para o processo de digitaliza¸cão, três etapas são fundamentais [11]:

• Amostragem (discretiza¸c˜ao do tempo) - processo de tomada de amostras a intervalos regulares de tempo Ts, denominado per´ıodo de amostragem. Para que as amostras

sejam representativas do sinal original, este per´ıodo deve ser caculado a partir do Teorema de Nyquist fs ≥ 2 · fmax [11] que indica que a taxa de amostragem fs deve

ser pelo menos duas vezes o valor da maior frequˆencia (fmax) existente em um sinal.

Finalmente, Ts= 1/fs permite o c´alculo do per´ıodo.

• Quantiza¸cão (discretiza¸cão de amplitudes) - as amplitudes das amostras originais pre-cisam ser discretizadas para serem representadas por um alfabeto finito de s´ımbolos. Com isto, estas amplitudes são aproximadas para um dos valores de um conjunto

(48)

finito de amplitudes dispon´ıvel. Esta etapa, em contraste com a amostragem, gera um erro de aproxima¸c˜ao denominado erro de quantiza¸c˜ao [11].

• Codifica¸c˜ao - etapa que consiste em atribuir palavras-c´odigo para cada amostra quan-tizada

Descri¸cão Estat´ıstica de Sinais Em contraste com os sinais puramente tonais, sinais randˆ o-micos não podem ser descritos no dom´ınio do tempo por fun¸cões anal´ıticas por não serem determin´ısticos. A teoria estat´ıstica pode descrever algumas propriedades destes sinais. Dentre as fun¸cões mais utilizadas figuram a fun¸cão densidade de probabilidade (pdf ) e a fun¸cão de distribui¸cão cumulativa (cdf ).

A pdf de um sinal X(t) normalmente ´e representada por pX(x) e possui as seguintes

propriedades:

pX(x) ≥ 0 (2.3)

Z ∞

−∞

pX(τ )dτ = 1 (2.4)

J´a a cdf, representada por FX(x), ´e definida como:

FX(x) =

Z x

−∞

pX(τ )dτ (2.5)

Convolu¸cão Todo sistema linear invariante no tempo (SLIT ) pode ser completamente representado por sua resposta ao impulso h(t) (tempo cont´ınuo) ou h(n) (tempo discreto). A sa´ıda y(n) de tal sistema, considerando um sistema de tempo discreto, em resposta a uma excita¸cão x(n) é gerada pela opera¸cão de convolu¸cão:

y(n) = x(n) ∗ h(n) =

+∞

X

k=−∞

h(k) · x(n − k) (2.6)

onde Lh ´e o comprimento da restosta ao impulso. Todo SLIT pode ser interpretado como

um filtro promovendo processamentos em um sinal de entrada gerando uma resposta. Fil-tros podem possuir respostas ao impulso finitas (filFil-tros FIR) ou infinita (filFil-tros IIR). Um dos exemplares mais utilizados como filtro passa-baixas é o filtro FIR de média móvel MA representado pela equa¸cão a seguir:

y(n) =

Lf−1

X

k=0

(49)

onde b(k) e Lf s˜ao, respectivamente, os coeficientes e o comprimento do filtro. Estes

coeficientes para um MA t´ıpico possuem duas propriedades principais:

b(0) = b(k), para 0 ≤ k ≤ Lf − 1 (2.8)

e a soma de todos os coeficientes ´e normalizada para 1:

Lf−1

X

k=0

b(k) = 1 (2.9)

o que resulta em todos os coeficientes b(k) indˆenticos e normalizados para b(k) = 1/Lf.

Alternativamente, os coeficientes podem ser ponderados por uma janela.

Processamento Baseado em Blocos Geralmente, os algoritmos de processamentos de si-nais executam opera¸cões por blocos de amostras (frames). Isto significa que um sinal é dividido em blocos consecutivos de comprimento LF amostras. Em geral, há um grau

de superposi¸c˜ao de LO amostras entre os blocos que resulta em um salto de amostras

LH = (1 − Or)LF, sendo Or= LO/LF, entre dois blocos consecutivos como na figura 2.5.

Figura 2.4: Divis˜ao de sinal x(n) em blocos de LF amostras e salto LH

(50)

ns(i) = ns(i − 1) + LH (2.10)

ne(i) = ns(i) + LF − 1 (2.11)

onde ns e ne s˜ao respectivamente os ´ındices inicial e final de um bloco.

Dentre as vantagens do processamento baseado em blocos estão o seu uso por algoritmos clássicos como da Transformada Discreta de Fourier, por dispositivos de áudio, a redu¸cão da aloca¸cão de memória e a eficiência computacional quando comparada ao processamento amostra por amostra.

Transformada de Fourier A transformada discreta de Fourier (DFT ) de um sinal x(n) ´e definida por: X(k) = F {x(n)} = LF−1 X n=0 x(n)e−j( 2π LF)kn _(2.12)

onde k ´e o ´ındice do bin de frequˆencia.

Geralmente, a DFT ´e aplicada utilizando-se janelas wLF(n) de comprimento LF

amos-tras para evitar distor¸c˜oes espectrais e ´e denominada como Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT ).

Fun¸cões de Correla¸cão e Autocorrela¸cão As fun¸cões de correla¸cão podem ser utilizadas para o cálculo do grau de similaridades entre dois sinais para valores de atraso D. Dado dois sinais x(n) e y(n) a fun¸cão de correla¸cão cruzada (CCF ) é dada por

Rxy(D) = +∞ X n=−∞ x(n)y(n + D). (2.13) ´

E de especial interesse, também, a fun¸cão de autocorrela¸cão (ACF ):

Rxx(D) = +∞

X

n=−∞

x(n)x(n + D). (2.14)

Predi¸cão Linear O objetivo da predi¸cão linear é o uso de valores passados de amostras de um sinal para estimar valores futuros. Geralmente, o valor estimado ˆx(n) é dado por

ˆ x(n) = O X j=1 bj · x(n − j). (2.15)

(51)

A ordem O do filtro pode variar entre poucos coeficientes ou milhares. Para estimar os coeficientes bj a partir do sinal de ´audio geralmente utiliza-se a abordagem de minimiza¸c˜ao

da potência média do erro de predi¸cão eP(n):

min E[e2_P(n)] = min E[(x(n) − ˆx(n))2] (2.16) = min E    x(n) − O X j=1 bj · x(n − j)   2  (2.17)

onde E[·] ´e o operador esperan¸ca. 2.2.2 Descritores ou Atributos

Os termos atributos ou descritores, na área de ACA, se referem a medidas que geram um valor por bloco de amostras para um sinal de áudio [1]. Por isto, são também denomina-dos atributos instantâneos ou atributos de termo-curto. Um atributo não necessariamente possui um significado direto musical, perceptual ou musicológico e, por isto, pode ser clas-sificado como um atributo de baixo n´ıvel. Um descritor desta classe pode servir como base para o cálculo de outros descritores de n´ıvel mais alto que possuam significado direto a respeito do sinal musical (como andamento, tonalidade, propriedades melódicas e etc).

Existe um grande n´umero de descritores, e de categorias destes, propostos na literatura [1, 9]. Utilizaremos neste trabalho uma categoriza¸c˜ao geral da seguinte forma [1]:

• descritores de propriedades estat´ısticas: usualmente utilizados em an´alise estat´ıstica de sinais;

• descritores de formato espectral: descrevem o formato do espectro da STFT ; • descritores de propriedades do sinal: descrevem propriedades t´ecnicas do sinal n˜ao

abarcadas nas categorias anteriores;

• descritores de propriedades de intensidade: descrevem comportamentos relacionados `

a amplitude ou intensidade.

Dentre o universo de descritores existentes apresentaremos aqueles aqui utilizados. 2.2.2.1 Descritores de Propriedades Estat´ısticas

As medidas estat´ısticas cl´assicas podem ser aplicadas tanto ao sinal no dom´ınio do tempo quanto no dom´ınio da frequˆencia.

(52)

Média Aritmética νηx(i) = 1 LF ne(i) X n=ns(i) x(n) (2.18) Centróide νC(i) = Pne(i) n=ns(i)(n − ns(i)) · x(n) Pne(i) n=ns(i)x(n) (2.19)

Variância e Desvio Padrão A estimativa polarizada para a variância é

ν_σx2 (i) = 1 LF ne(i) X n=ns(i) (x(n) − νηx(i))2 (2.20) e a n˜ao polarizada ´e ν_σ2 x,b(i) = 1 LF − 1 ne(i) X n=ns(i) (x(n) − νηx(i))2 (2.21)

Desta forma calcula-se o desvio padr˜ao:

νσx,b(i) =

q ν_σ2

x,b(i) (2.22)

Skewness O skewness ´e uma medida de assimetria da pdf dado por:

νSk(i) = 1 σ3 x· LF ne(i) X n=ns(i) (x(n) − νηx(i))3. (2.23)

Esta medida pode, alternativamente, ser realizada a partir da distribui¸c˜ao do espectro de magnitude sendo denominada de spectral skewness:

νSSk(i) = 2PLf/2−1 k=0 |X(k, i)| − νη|X| 3 ν_σ3 |X| · LF . (2.24)

2.2.2.2 Descritores de Formato Espectral

Spectral Rolloff O Spectral Rolloff νSR(i) ´e uma medida da largura de banda do bloco

analisado i. É definido como o bin de frequência abaixo do qual o acúmulo das magnitudes da STFT atingiu uma porcentagem κ da soma de todas as magnitudes:

(53)

νSR(i) = n|Pn

k=0|X(k,i)|=κ·

P(LF /2)−1

k=0 |X(k,i)|

(2.25) onde κ assume valores t´ıpicos de 0, 85 (85%) ou 0, 95 (95%).

Spectral Centroid O spectral centroid representa o centro de gravidade (COG) da energia espectral: νSC(i) = P(LF/2)−1 k=0 k · |X(k, i)| 2 P(LF/2)−1 k=0 |X(k, i)|2 . (2.26)

Spectral Spread O spectral spread descreve a concentra¸cão de energia em torno do COG e pode ser interpretado como o desvio padrão do espectro de potência na vizinhan¸ca do centróide: νSS(i) = v u u t P(LF/2)−1 k=0 (k − νSC(i))2· |X(k, i)|2 P(LF/2)−1 k=0 |X(k, i)|2 . (2.27)

Spectral Decrease O spectral decrease estima a declividade do decrescimento do envelope espectral ao longo da frequˆencia:

νSD(i) = P(LF/2)−1 k=1 1 k · (|X(k, i)| − |X(0, i)|) P(LF/2)−1 k=1 |X(k, i)| . (2.28)

2.2.2.3 Descritores de Propriedades do Sinal

Spectral Crest Factor O spectral crest factor é uma medida do grau de periodicidade que toma por base senóides. Com isto permite comparar o quão tonal ou ruidoso é um deter-minado bloco de amostras de um sinal:

νSCF(i) =

maxk|X(k, i)|

PLF/2−1

k=0 |X(k, i)|

(2.29) com 0 ≤ k ≤ LF/2 − 1, para o cálculo de máximo da STFT em fun¸cão de k, maxk|X(k, i)|.

Spectral Flatness O spectral flatness é definido como a razão da média geométrica e média aritmética do espectro de magnitude:

νSF = LF /2qQ(Lf/2)−1 k=0 |X(k, i)| 2/LF ·P(LFk=0/2)−1|X(k, i)| = exp2/LF ·P(LF_k=0/2)−1ln(|X(k, i)|) 2/LF ·P(LFk=0/2)−1|X(k, i)| (2.30)

(54)

onde a fórmula à direita usa a média aritmética do logar´ıtmo do espectro de magnitude no numerador.

Predictivity Ratio O predictivity ratio é uma medida de quão bem um sinal de áudio pode ser predito por uma predi¸cão linear de ordem O. Cada amostra n é predita usando os valores das amostras precedentes:

ˆ x(n) = O X j=1 bj· x(n − j) (2.31)

Quanto menos ruidoso um sinal, menor o erro eP entre o sinal original e a predi¸c˜ao.

Assim, defini-se, a partir da potˆencia do erro, uma medida de periodicidade tonal:

νP R(i) = v u u u t Pne(i) n=ns(i)(x(n) − ˆx(n))2 Pne(i) n=ns(i)x2(n) (2.32)

onde bj s˜ao os coeficientes de predi¸c˜ao.

Zero Crossing Rate A taxa de cruzamento por zero νZCR indica o n´umero de mudan¸cas

de sinal em blocos de amostras consecutivos em um sinal:

νZCR= 1 2 · LF ne(i) X n=ns(i) |sign[x(n)] − sign[x(n − 1)]| (2.33)

onde a fun¸c˜ao sign ´e definida por

sign[x(n)] =      1, x(n) > 0 0, x(n) = 0 −1, x(n) < 0 (2.34)

2.3 Bancos de Filtros, Multirresolu¸c˜ao e Wavelets

2.3.1 Bancos de Filtros

Um banco de filtros é um conjunto de filtros associados. Em processamento de sinais, estes bancos promovem opera¸cões de análise e/ou s´ıntese. Em geral o banco de análise possui dois filtros, passa-baixa (LPF ) e passa-alta (HPF ). Eles separam o sinal de entrada do banco em bandas de frequência. Estes subsinais podem, por exemplo, ser comprimidos com uma maior eficiência que o sinal original. A qualquer momento os sinais podem ser recombinados por um banco de s´ıntese.

Não é necessário preservar todas as amostras dos sinais de sa´ıda dos filtros de análise, já que as sa´ıdas do LPF e do HPF possuem o mesmo número de amostras que a entrada, ou

(55)

seja, no total, o dobro de amostras foram geradas. Normalmente, as sa´ıdas são subamos-tradas, isto é, somente as componentes pares das sa´ıdas são preservadas. Neste trabalho, estamos interessados na análise dos sinais, na recupera¸cão de informa¸cão. Por isto, o banco de s´ıntese não é explorado.

Sejam h0= h0(n) e h1= h1(n) as respostas ao impulso do LPF e HPF, respectivamente,

e (↓ 2) o processo de decima¸cão (remo¸cão de componentes ´ımpares), um banco de análise pode ser representado por:

h

₀

h

1

2

2 x(n)

y

0

(n)

y

1

(n)

Figura 2.5: Banco de filtros de an´alise

onde y0(n) e y1(n), que s˜ao as sa´ıdas dos ramos passa baixa e alta respectivamente, possuem

metade do n´umero de amostras originais. 2.3.2 Multirresolu¸c˜ao

O conceito da multirresolu¸cão refere-se à divisão de um sinal em diferentes escalas de resolu¸cão em contraste à divisão em diferentes frequências. Podemos observar um sinal em várias resolu¸cões (r) a partir de um espa¸co completo ∪Vr:

· · · ⊂ V−1 ⊂ V0⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr⊂ Vr+1⊂ · · · (2.35)

Graficamente podemos representar, por exemplo, para um caso simples e espec´ıfico, duas fun¸c˜oes associadas ao subespa¸cos V0 e V1:

0 1 t 0 1/2 t

V0 V1

Figura 2.6: Exemplo para fun¸c˜oes pertencentes aos subespa¸cos V0 e V1

´

E poss´ıvel associarmos ao subespa¸co V0um conjunto de fun¸c˜oes {φ(t−k)} e ao subespa¸co

V1 um conjunto {φ(2t − k)}, ou seja, uma versão escalonada em rela¸cão à outra, conforme

se pode observar na figura 2.6 anterior. Nota-se que, ainda pela referida figura,

φ(t) = φ(2t) + φ(2t − 1), (2.36)

(56)

φ(t) = 2X

k

f (k)φ(2t − k), (2.37)

onde f (k) são coeficientes de pondera¸cão e a expressão é conhecida como equa¸cão de refina-mento (ou eq. de dilata¸cão). A fun¸cão φ(t) é denominada fun¸cão escala. Deve-se ressaltar que quando há aumento da escala r o intervalo de tempo de suporte ∆t diminui.

Podemos agora utilizar informa¸cões que resultam da subtra¸cão entre duas escalas re-presentada pela fun¸cão w(t) pertencente a um subespa¸co W0:

0

1 t

W

0

Figura 2.7: Exemplo de fun¸cão que representa a subtra¸cão entre as fun¸cões associadas aos subespa¸cos V1 e V0 da figura 2.6

´

E poss´ıvel observar que a fun¸c˜ao w(t), exemplo associado ao subespa¸co W0 na figura

2.7, conjuntamente com V0 pode gerar V1, avaliando a figura 2.6, da seguinte forma:

2φ(2t) − φ(t) = w(t), (2.38)

ou seja,

V1 = V0+ W0. (2.39)

Analogamente, se aumentarmos a resolu¸c˜ao, ´e poss´ıvel escrever V2 = V1+ W1 e,

subs-tituindo nesta express˜ao a equa¸c˜ao (2.39), observar que:

V2 = V0+ W0+ W1, (2.40)

onde podemos concluir que V0 refere-se a uma estrutura aproximada do sinal enquanto W0

e W1 s˜ao detalhes. Generalizando os resultados acima, tem-se:

VR+1= V0+ R

X

r=0

Wr. (2.41)

O subespa¸co Wr´e de natureza oscilat´oria pois expressa diferen¸cas, e na teoria de

trans-formadas os sinais pertencentes a este subespa¸co são denominados wavelets. Logo, é poss´ıvel obter, substitu´ındo a equa¸cão (2.36) na equa¸cão (2.38),

(57)

w(t) = φ(2t) − φ(2t − 1), (2.42) e generalizar para a seguinte express˜ao:

w(t) = 2X

k

g(k)φ(2t − k), (2.43)

que ´e denominada equa¸c˜ao wavelet [12]. 2.3.3 Wavelets

Para sinais de áudio, as escalas musicais são essencialmente oitavas. A transformada wavelet opera fun¸cões f (t) no tempo cont´ınuo e vetores x(n) no tempo discreto. Por isto, para entender os seus fundamentos é essencial utilizar as duas abordagens anteriores: a teoria da multirresolu¸cão (em tempo cont´ınuo) e a teoria de bancos de filtros (em tempo discreto) [12]. Esta transformada baseia-se no produto interno de um sinal x(t) por uma base de fun¸cões oscilantes wrk(t) localizadas em um determinado intervalo de tempo que

s˜ao escalonadas e deslocadas ao longo do eixo temporal:

ark = < x(t), φrk(t) > (2.44)

brk = < x(t), wrk(t) > (2.45)

onde r representa a escala, k representa o deslocamento, φrk(t) = φ(2rt − k), wrk =

w(2rt − k) são as versões escalonadas e deslocadas da fun¸cão escala e de uma wavelet mãe w(t). Estas são equa¸cões de análise que geram os coeficientes ark e brk. A principal

diferen¸ca entre a base de fun¸cões da Transformada Wavelet e da Transformada de Fourier está no fato de que as wavelets são, na maioria das aplica¸cões, de suporte compacto, isto é, restritas a um intervalo de tempo finito, enquanto a base de Fourier oscila infinitamente. Isto permite que a a transformada wavelet tenha boa capacidade de localizar eventos no tempo. Uma outra diferen¸ca vem do processo de representa¸cão de um sinal em diversas escalas. Através do escalonamento das wavelets, o mesmo sinal pode ser visto com mais ou menos detalhes.

A partir da base de fun¸c˜oes de tempo cont´ınuo wrk(t), ´e poss´ıvel produzir:

x(t) =X

r,k

(58)

onde x(t) encontra-se expandido na base wavelet. Esta base de fun¸cões é toda constru´ıda a partir de uma wavelet mãe. Esta, por sua vez, é um pequeno pulso que, em geral, se inicia no tempo t = 0 e finda no instante t = L.

Esta abordagem de projetar um sinal de interesse em uma determinada base de fun¸cões em nada difere das transformadas de Fourier ou Laplace, por exemplo. Contudo, utilizando-se os resultados da análise de multirresolu¸cão das equa¸cões (2.37) e (2.43), percebe-se que uma wavelet mãe pode ser escrita em fun¸cão de φ(t) (escala) desde que se conhe¸cam os coeficientes g(k). Por sua vez, definir a fun¸cão escala significa conhecer os coeficientes f (k), sendo f (k) e g(k) coeficientes de filtros LPF e HPF, respectivamente. Desta forma, observando novamente a equa¸cão (2.41), que indica que uma determinada escala pode ser expandida por outra escala adicionada de wavelets, é poss´ıvel comprovar que, em tempo discreto, realizar esta expansão é inserir o sinal em um banco de filtros com a topologia indicada na figura 2.8, onde b0 e b1 são os vetores que representam os coeficientes wavelet

ou detalhes e o vetor a0 coeficientes escala ou aproxima¸c˜ao.

2 2 x(n) b1 b0 a0 V1 V0 V2 h₀ h₁ h₀ h₁ 2 2

Figura 2.8: Banco de filtros discreto equivalente `a transformada wavelet com dois n´ıveis de resolu¸c˜ao

Finalmente, percebe-se que, para análise de sinais discretos, não há necessidade de de-finir as fun¸cões φ(t) e w(t), e tão somente de definir os coeficientes dos filtros adequados. Vários tipos de filtros são poss´ıveis, mas, dentre estes, os mais interessantes são aqueles relacionados à wavelets ortogonais e biortogonais que possuem suporte compacto (limitadas no tempo), ou seja, estão associadas a um filtro FIR. Existem várias fam´ılias que atendem a estes critérios, como as Daubechies, Coiflets, Morlet e Haar (esta representada na figura 2.7) [13]. Contudo a Haar é a única ortogonal que possui fase linear, uma propriedade de filtros FIR simétricos [11]. Apesar disto as coiflets são quase simétricas, e por isto, foram escolhidas como base para a análise do áudio neste trabalho. Esta escolha foi corrobo-rada pelo desempenho apresentado por esta classe de wavelets em estudos de preserva¸cão da energia para compressão de áudio [14] e pelo fato de que futuras implementa¸cões em