Bobina de Rogowski

A bobina de Rogowski (Figura 15) consiste em um núcleo toroidal, não magnético, colocado ao redor de um condutor. Desta forma, quando é gerado um campo magnético por uma corrente alternada que percorre o condutor é induzido uma tensão nos terminais da bobina.

Figura 15 - Desenho básico do funcionamento da bobina de Rogowski.

Fonte: (HIGASHI, 2006)

O valor da tensão terminal da bobina (Vo(t)) é proporcional à derivada da corrente que

circula pelo condutor, como é representado na equação (18). Esta equação é valida para uma bobina ideal, representada pela Figura 16.

(18)

Onde: M – Indutância mutua.

Figura 16 - Diagrama esquemático da bobina de Rogowski ideal.

M

Vo(t)

Para utilizar a bobina de Rogowski para medição é imprescindível deixar o sinal de tensão (Vo(t)) proporcional a corrente i(t), para fazer isso é necessário realizar a integração da

tensão (Vo(t)). As formas de realizar esta integração são:

 Circuito integrador passivo: é formado por capacitores e resistores, como é mostrado na Figura 17. Esse tipo de integração é utilizado para frequências elevadas ou para pulsos de curta duração (DELBEN, 2008).

Figura 17 - Integrador passivo.

R

C

Vi(t)

Vo(t)

 Circuito integrador ativo: é formado por capacitores, resistores e por amplificadores operacionais, como é mostrado na Figura 18. Este integrador é usado tanto para baixas ou altas frequências.

Figura 18 - Integrador ativo.

+

-

C

R

Vi(t)

Vo(t)

O circuito da bobina de Rogowski real apresenta outras grandezas que influenciam em sua modelagem matemática para determinação de sua função de transferência, como mostrado na Figura 19. As grandezas a serem consideradas são: a resistência interna (Rs), a indutância própria (Ls), a capacitância parasita (Cs) devido a proximidade das espiras e a carga de alta

impedância (Zc). Onde Vo(t) é a tensão terminal e Eo(t) é a tensão refletida no secundário da

indutância mutua.

Figura 19 - Circuito equivalente da bobina de Rogowski.

M

Eo(t)

i(t)

Rs

Ls

Cs

is(t)

Zc Vo(t)

Através da lei de Kirchoff obtêm-se as equações (19) e (20) para o circuito equivalente da Figura 19. (19) (20)

Substituindo as equações (19) e (20) na equação (18) encontra-se à equação (21).

( ) ( ) (21)

Considerando as condições iniciais nulas e aplicando a Transformada de Laplace na equação (21), encontra-se a equação (22).

( ) ( ) (22) Onde: s – variável complexa no domínio da frequência.

A partir da equação (22) definisse a função de transferência G(s) da bobina de Rogowski que é representada pela equação (23).

( ) ( )

(23)

Existem dois tipos de bobinas de Rogowski, as flexíveis e as rígidas (Figura 20). A bobina flexível pode ser fechada ao redor do condutor que se deseja medir por meio da união de seus extremos, este tipo de construção permite a medição de condutores largos e de difícil acesso sem ter que desconectar o condutor. Já a bobina rígida é indicada para medições de grande precisão e para ser instalada de forma permanente. A indutância mutua da bobina rígida é maior que a flexível e assim sua tensão de saída também é mais elevada (HIGASHI, 2006).

Figura 20 - (a) bobina flexível fabricada pela LEM©, (b) Bobina rígida instalada em linha de transmissão.

Fonte: (a) www.lem.com; (b) Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris.

A bobina de Rogowski possui algumas vantagens em relação ao TC convencional. A mais importante é que ela não possui núcleo ferromagnético e assim não haverá perdas no ferro (correntes de Foucault e histerese). Ainda devido à ausência de um núcleo ferromagnético a bobina não irá saturar, proporcionando uma resposta linear para todos os pontos de medição do sensor. Contudo, a não utilização de um núcleo magnético faz com que não haja uma concentração do fluxo magnético em um determinado caminho, deixando a bobina mais vulnerável às interferências eletromagnéticas, tal problema é solucionado com a utilização de uma blindagem eletromagnética. Em relação à segurança, diferentemente do TC, que precisa que seu secundário esteja sempre conectado a uma baixa impedância, a fim de

evitar o surgimento sobretensões, na bobina de Rogowski o enrolamento secundário pode estar em aberto ou conectado a uma alta impedância (ALMEIDA, et al., 2007).

A bobina de Rogowski também possui uma boa resposta em altas frequências, possibilitando a medição de transitórios de corrente, capacidade de medição de grandes magnitudes de corrente, um baixo consumo, isolamento galvânico e uma baixa variação da tensão de saída com temperatura (HIGASHI, 2006).

Devido a essas qualidades o sensor de corrente que será utilizado no medidor é a bobina de Rogowski flexível da fabricante Prosys, modelo ACF 3000, onde as características elétricas são mostradas na Tabela 2.

Tabela 2 - Características bobina de Rogowski ACF 3000.

Precisão ±1% (45 – 65Hz)

Deslocamento de fase < ±1º (45 – 65Hz) Faixa de frequência (-1dB) 10Hz a 20kHz

Tensão máxima 1000VAC (eficaz)

Linearidade ±0,2%

O circuito que será utilizado como integrador para a aquisição de corrente é mostrado na Figura 21.

Figura 21 - Integrador utilizado para aquisição de corrente.

+

-

C

R1

Vi(t)

Vo(t)

Rf

Na equação (24) representa o ganho (Avf) do integrador utilizado no circuito de

condicionamento da bobina de Rogowski.

⁄

√

Constata-se que o ganho irá estabilizar em um valor igual a Rf/R1 quando a frequência

é nula. Este circuito apresenta um comportamento dual, ou seja, em altas frequências o mesmo trabalha como integrador e em baixas frequências como inversor. Desta forma, deve- se definir uma frequência limite (fL) abaixo da qual temos um amplificador inversor de ganho

- Rf/R1 e acima da qual temos um integrador (JÚNIOR, 2007). Essa frequência é dada pela

equação (25).

(25)

Para uma frequência fi do sinal aplicado a entrada, temos:

Tabela 3 - Relação frequência limite (fL) e a frequência de entrada fi.

Se fi < fL O circuito tende a atuar como amplificador inversor

Se fi > fL O circuito tende a atuar como integrador

Desta forma, quanto menor for a frequência limite (fL) em relação ao sinal de entrada

melhor será o comportamento do integrador. Como a Bobina de Rogowski apresenta uma banda de frequência passante entre 10Hz a 20kHz, calculou-se a resistência Rf e o capacitor C para uma frequência menor que 10Hz, obtendo-se: Rf = 1,2MΩ e C=47nF.

Como o integrador possui um ganho inversor é necessário utilizar um circuito inversor para deixar o sinal de entrada igual ao sinal real medido. Optou-se pela utilização de um circuito amplificador inversor mostrado na Figura 22 com ganho unitário (equação 26).

Figura 22 - Circuito de inversor e amplificador utilizado.

+

-

Rb

Vo(t)

Vi(t)

Ra

(26)

Entretanto, com a utilização do circuito integrador que possui um ganho elevado, ocorreu também uma amplificação no sinal de offset do amplificador operacional. O problema foi solucionado com a inclusão de um filtro passivo passa-baixas de frequência de corte igual a 1Hz, o cálculo da resistência e do capacitor foi realizado através da equação (23), obtendo- se: R = 220kΩ e C=560uF.