3 APLICAÇÃO A DADOS REAIS: REDE IRAUÇUBA
3.4 Cálculo das Incertezas
Supondo que se encontrou uma inversa generalizada que resolve o problema ainda é necessário avaliar quanto os parâmetros do modelo encaixam no dado, ou se os dados podem ser independentemente previstos, ou resolvidos e qual a correlação de estimativa de cada parâmetro. Para responder essas perguntas foram calculadas as incertezas associadas à inversão.
3.4.1 Matriz de resolução do dado
Supondo que encontramos uma matriz inversa que solucione o problema Gm=d, dando uma estimativa dos parâmetros do modelo é possível retrospectivamente perguntar quão bem essa estimativa dos parâmetros do modelo se encaixa nos dados (Menke, 1984). Ao adicionar a estimativa na equação conclui-se que
, (3.2) onde obs e pre simbolizam os dados observados e previstos, respectivamente. A matriz quadrada é chamada de matriz de resolução do dado. Essa matriz descreve quão bem as predições correspondem ao dado. Desta forma, se N for corresponder a uma matriz identidade, então dpre=dobs e os erros são zero. No entanto se os dados da matriz de resolução não forem uma matriz identidade então os erros são diferentes de zero (Menke, 1984).
Para o caso de N não corresponder uma matriz identidade os elementos contidos nela ainda irão se espalhar majoritariamente pela diagonal principal onde os maiores valores estarão nela, porém ao seu redor existirão elementos que contribuem para a média ponderada dos dados observados. As linhas de uma matriz de resolução N descrevem quão bem os dados podem ser independentemente previstos. Graficamente uma matriz N que corresponda a uma identidade indicará linhas vazias com spikes nos locais dos dados, demonstrando que não há uma grande dependência entre os dados. Já para o dos dados não estarem bem previstos o gráfico seria largo indicando o espalhamento dos dados de cada evento na matriz de resolução.
Aplicando esta base teórica para os dados reais da rede Irauçuba obteve-se a Figura 13, onde é possível visualizar que os dados encontram-se na diagonal principal. Ainda é possível visualizar que além da diagonal principal existem duas diagonais
paralelas a ela, isso se dá por conta de se estar lidando com os tempos de percurso da onda P e S. Assim, a matriz de resolução do dado está mostrando a correlação entre cada tempo de percurso da onda P e o tempo de percurso da onda S.
Figura 10 - Matriz de resolução do dado com dados reais mostrando quão bem os dados podem ser previstos.
Figura 11 - Matriz de resolução do dado, com dados reais, ampliada quanto a sua diagonal principal.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Ampliando na diagonal da matriz de resolução do modelo é possível notar que a os dados encontram-se, em sua maior parte, como mostrado na figura 8, onde tem-se uma distribuição de spikes ao longo da diagonal principal. No entanto, é possível notar que a matriz possui certos picos fora da diagonal principal, o que é aceitável por não se tratar de um modelo perfeito.
3.4.2 Matriz de resolução do modelo
Visto que a matriz de resolução dos dados tem a capacidade de caracterizar se os dados podem ser previstos, ou determinados pode se fazer a mesma pergunta para os parâmetros do modelo. Para poder determinar isso é necessário admitir um conjunto de parâmetros do modelo que solucionam a equação . Utilizando a expressão para os dados observados na expressão estimada do modelo
nos dá
, (3.3) onde R é a matriz de resolução do modelo. Assim, se R for uma matriz identidade então cada modelo do parâmetro é determinado exclusivamente. Caso não, então as estimativas dos parâmetros do modelo são realmente médias ponderadas dos parâmetros
reais do modelo. Da mesma forma que matriz de resolução dos dados, plotar as linhas da matriz de resolução do modelo R indicará quão bem os parâmetros do modelo podem ser determinados. Com picos estreitos na diagonal principal indicando que o modelo está bem determinado e picos mais largos indicando um modelo não tão bem determinando (Menke, 1984).
Da mesma forma que a matriz de resolução dos dados, os dados da rede Irauçuba
foram aplicados para determinar a matriz de resolução do modelo (Fig. 12). Na figura a
seguir é possível ver claramente a matriz de identidade proposta no modelo perfeito do Menke (1984), onde há picos ao longo da diagonal principal demonstrando que os parâmetros do modelo real podem ser resolvidos.
Figura 12 – Matriz de resolução do modelo, para os dados reais da rede Irauçuba, demonstrando quão bem os parâmetros do modelo real podem ser resolvidos.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
3.4.3 Matriz de covariância
A covariância dos parâmetros do modelo depende da covariância do dado e da maneira como o erro é mapeado dos dados aos parâmetros do modelo. Desta forma é útil definir uma matriz de covariância unitária que caracteriza o grau de amplificação do erro que ocorre no mapeamento. Normalmente determinar a matriz de covariância
envolveria determinar uma matriz em que na diagonal principal teriam os valores das covariâncias; no entanto, caso os dados forem considerados independentes, então todos igualam a si com um valor de , assim a matriz de covariância unitária é dada por,
. (3.4) Mesmo que os dados estejam correlacionados, é possível achar uma normalização da matriz de covariância dos dados, de forma que é possível definir uma matriz de covariância unitária , relacionada à matriz de covariância do modelo por,
. (3.5) Tanto as matrizes de resolução do modelo e do dado como a matriz de covariância são independentes dos valores reais e das variâncias dos dados.
Figura 13 – Matriz de covariância do modelo, para dados reais da rede Irauçuba, demonstrando que os parâmetros do modelo não estão correlacionados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Na figura anterior é demonstrada a matriz de covariância do modelo onde tem-se nas fileiras e colunas os 88 parâmetros associados a localização hipocentral e tempos de percurso, e por último as velocidades das ondas P e S. Para o cálculo da matriz de covariância foi calculada uma matriz diagonal para demonstrar a independência entre os dados, ou seja, a estimativa entre os erros feitos. Para foi feito um “chute” de 0.01 por conta de essa ser a taxa de amostragem e assim o menor valor possível para esta variável. Com esse resultado é possível notar que os parâmetros do modelo não
4 DISCUSSÃO
Na localização hipocentral a solução de teste, ou chute inicial, define se o problema estará convergindo para a solução correta ou não. Uma solução teste muito longe da localização real pode levar a solução a convergir para um mínimo local, fazendo desta forma o problema nunca ser solucionado. Para o caso deste trabalho a rede utilizada era local, desta maneira utilizou-se como chute inicial para as coordenadas uma média das medidas x,y e z para de todas as coordenadas da rede. Para os tempos de percurso, após inúmeros testes com o algoritmo de inversão, chegamos a conclusão de que o chute inicial mais adequado era de considerar o minuto de chegada da onda na estação como zero, de forma que o vetor de dados dos tempos de chegada correspondia aos segundos e milésimos de segundo das picagens de onda. Por fim, para a velocidade utilizou-se uma solução baseada em alguns trabalhos anteriores feitos na região ou que englobassem a região como um todo na sua análise de velocidade (Ferreira et al, 1995; Ferreira et al, 1998; Lima Neto et al, 2010).
O método tradicional de Geiger inclui a inversão com os tempos de onda S. Tal inclusão está associada à redução das incertezas da estimativa do e da profundidade hipocentral já que para uma inversão hipocentral somente com os tempos de percurso da onda P, a estimativa do hipocentro depende muito de todas as observações em conjunto. Assim, ter somente a leitura dos tempos de percurso da onda P não irá ajudar muito na estimativa do hipocentro na ausência de outras informações. Por conta disso, na inversão do método de Geiger modificado foi feita a inclusão dos tempos de percurso da onda S, consequentemente resultando na inversão simultânea dos parâmetros hipocentrais com a velocidade da onda P e também com a velocidade da onda S.
Uma definição do rank da matriz é o numero de valores singulares não nulos. Como os computadores possuem uma finita precisão, pode se tornar bastante difícil distinguir um valor nulo e um valor singular bem pequeno. Por isso define-se que o rank efetivo é o numero de valores singulares maior que uma tolerância pré-definida, o que reflete a precisão da máquina que está rodando o dado. Reduzir o rank da matriz, ou mais comumente, fazer um corte na matriz de valores singulares, tem o efeito de melhorar a variância da solução. No entanto, isso acarreta em uma pior resolução. Neste trabalho não foram feitos quaisquer cortes na matriz de valores singulares exatamente
para tentar obter a total resolução do dado. Além disso, por conta de se tratar de matrizes relativamente pequenas, o dado não chegou a alcançar o limite de precisão da máquina de processamento já que os menores valores foram da ordem de .
O método de Geiger é um processo iterativo. Naturalmente pergunta-se se a iteração converge para um mínimo global da nossa função objetivo como dada pela equação (2.1). Isso depende da distribuição das estações a respeito do terremoto, do chute inicial do tempo de origem e do hipocentro, dos tempos de percurso observados e do modelo de velocidade utilizado para os tempos de percurso e suas derivadas. E mesmo que seja possível encaixar os dados perfeitamente no modelo isso não quer dizer que a localização exata do terremoto foi encontrada. Somente quer dizer que foi localizado um terremoto a respeito do modelo utilizado da terra. Isso pode ou não ser perto do hipocentro real do terremoto.
Atualmente não existe um método disponível que garanta alcançar um mínimo global por um processo iterativo. Iterações terminam usualmente se os ajustes dos residuais forem muito pequenos ou se o número de iterações em função do RMS decair a um valor próximo de zero. Além disso, é necessário enfatizar que a qualidade da localização hipocentral depende da qualidade do dado: Nenhuma manipulação matemática pode substituir a preparação cuidadosa do dado bruto.
5 CONCLUSÃO
De acordo com os objetivos estabelecidos para este trabalho foram feitas inversões simultâneas para a localização hipocentral de diversos eventos, juntamente com a velocidade, utilizando o algoritmo modificado de Geiger em dados sintéticos e reais. Os dados reais, formados por 22 eventos, fizeram parte da rede Irauçuba que foi composta por 7 estações com registro digital.
Durante o trabalho foram feitos dois exemplos numéricos em que o primeiro conseguiu demonstrar que somente é necessário fazer uma inversão para obter a localização hipocentral e velocidade da onda P e S utilizando o método de Geiger modificado em comparação com a inversão tradicional, enquanto que no segundo exemplo numérico utilizou-se novamente do método de Geiger modificado para comparar a inversão de eventos separadamente e simultaneamente e assim demonstrou-
se como há um aperfeiçoamento nos dados hipocentrais e nas velocidades para a inversão de diversos eventos, mesmo com uma estação fora da rede utilizada.
Para atestar a aplicabilidade do método modificado a dados reais foram elaborados dados sintéticos em que se simulou uma rede de estações sísmicas e terremotos baseada na solução final encontrada por Menezes (2016). A partir desse dado foi possível determinar com precisão a localização hipocentral e as velocidades pré-estabelecidas a partir da inversão. Em seguida o método foi aplicado utilizando dados reais obtidos a partir de picagens de ondas do trabalho de Menezes (2016) onde foi possível notar que a inversão apresentou resultados diferentes das localizações previamente obtidas.
Com os resultados produzidos neste trabalho é possível concluir que a modificação feita no método de Geiger para incluir a velocidade como um parâmetro do modelo foi muito eficaz para dados sintéticos, demonstrando que é possível inverter os dados de localização hipocentral com a velocidade e facilitar o trabalho de inversão no entanto para os dados reais houve certa disparidade.
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