UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE GEOFÍSICA
MIRO FELICIANO DÖRING DOS SANTOS
MÉTODO DE GEIGER MODIFICADO:
LOCALIZAÇÃO HIPOCENTRAL E INVERSÃO PARA VELOCIDADE
NATAL-RN 2018
MÉTODO DE GEIGER MODIFICADO:
LOCALIZAÇÃO HIPOCENTRAL E INVERSÃO PARA VELOCIDADE
Relatório apresentado no curso de graduação em Geofísica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para a obtenção do título de Bacharel em Geofísica.
Orientador: Prof. Dr. Jordi Julià Casas.
NATAL/RN 2018
MÉTODO DE GEIGER MODIFICADO:
LOCALIZAÇÃO HIPOCENTRAL E INVERSÃO PARA VELOCIDADE
Relatório apresentado no curso de graduação em Geofísica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para a obtenção do título de Bacharel em Geofísica.
Aprovado em:___/___/___
_____________________________________________________ Prof. Dr. Jordi Julià Casas
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Orientador
_____________________________________________________ Prof. Dr. Walter Eugênio de Medeiros
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Membro Interno
_____________________________________________________ Dr. Flávio Lemos de Santana
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Membro Interno
educacional, psicológica, humanitária e em todas as categorias possíveis que definem um ser humano decente. Por me ensinar a ter paciência e mostrar que na vida existem inúmeras formas de alcançar os seus objetivos. Te amo de maneiras inimagináveis e se cheguei aqui é por seu apoio incondicional em tudo que faço.
Obrigado a Jana. A gente briga bastante, mas sempre tenho um lugar para você no meu coração, você sempre me influenciará a ser um irmão e uma pessoa melhor.
Muito obrigado ao meu orientador, Jordi, pela incrível orientação e paciência, desde tirar todas as minhas dúvidas a me explicar todos os conceitos (mais de uma vez). Pelas excelentes correções e por me incentivar a alcançar patamares cada vez mais altos. Obrigado pela presença, até o finalzinho, dos meus amigos de curso, Bruno, Daniel, Dênis, Gustavo, Miguel e Thabita, que estiveram comigo nessa jornada incrível, aprendemos juntos e crescemos juntos, insistimos até o final e se cheguei até aqui com certeza foi também graças às presenças de vocês! Obrigado também àqueles que ficaram para trás ou o destino levou a diferentes objetivos como Arthur, Gabriel, Márcio e Thiago. Nós somos a melhor turma!
Obrigado em especial a Thabita, pela sua amizade, paciência e compaixão. Dos almoços no laboratório às noites mal dormidas. Não sei como você me aturou todo santo dia, mas te agradeço do fundo do coração por isso.
Obrigado a todos os meus amigos em Salvador. Estou longe, mas vocês sempre estarão comigo. Em especial a Lucas e Pedro, as suas amizades ao longo desses anos é algo que transcende a distância, nunca me esquecerei de vocês.
Obrigado à minha segunda família! A Dina e Valfredo. Não tenho como pôr em palavras tudo que vocês já fizeram para mim, são 23 anos de gratidão que tenho por vocês. Não poderia me esquecer do meu maninho Rodrigo, uma das únicas constantes em toda a minha jornada estou longe, mas nunca te esqueço!
Obrigado a Nice, Yslei, Vô celina e Neinha pela felicidade do meu dia a dia quando estou em Salvador, a importância de vocês é imensa, sempre as considerarei!
Geologie oder Natur oder um rücksichtvoll und gebildet zu sein, dass alle Ziele des Lebens erreicht werden können wenn mann sich bemüht und das ihr euch für alles in meinen Leben interessiert.
Danke an meine Ganze Familie in Europa. An Michaela, Sebastian, Alex, Susi, Constantin, Seema, Feli, Mathieu, ihr wirt immer in meinem Herzen bleiben. Danke an Volker, Cristoph und Laura, ich freue mich immer bei euch zu sein, es macht mir unedlich Spass.
Danke an alle Cousinen und Cousins, an Caro, Coni, Lukas, Jonas, Maxi, Nolan, Vanessa und Larissa zwar sind wir weit entfernt aber ich freue mich immer euch zu sehen.
Obrigado a todos os professores durante essa jornada, sou eternamente grato pelo que aprendi e guardarei a sabedoria e o conhecimento de cada classe para sempre. Os seus ensinamentos me fazem ser a pessoa que sou hoje.
Obrigado ao CNPq pela bolsa concedida durante o curso, a UFRN pelo imenso apoio estudantil e alimentício e ao LabSis pelo apoio estrutural que culminaram na criação desse trabalho.
O método de Geiger de localização hipocentral é um problema de otimização não-linear que permite determinar o tempo de origem e coordenadas do hipocentro ( ) a partir dos tempos de chegada das ondas P e/ou S. O método, na sua versão tradicional, necessita da suposição da velocidade de propagação da onda sísmica que, usualmente, é obtida a partir de múltiplas tentativas de inversão e da análise da curva do RMS em função da velocidade da onda. O presente trabalho de graduação visa modificar o algoritmo de Geiger para determinar, de forma simultânea, ambos os parâmetros de fonte e a velocidade do meio de propagação em uma única inversão. Para isso, o método de Geiger foi modificado para inverter tempos de chegada para múltiplos eventos e determinar, de forma simultânea, as coordenadas hipocentrais dos mesmos e uma velocidade de propagação comum para todos. O novo algoritmo foi testado com dados sintéticos, com e sem ruído, onde foram simuladas duas situações: uma para uma rede de 5 estações com um terremoto no centro, e outra para uma rede de 5 estações com diversos terremotos distribuídos aleatoriamente. Ambas as metodologias, tradicional e modificada, recuperaram os parâmetros focais com precisão semelhante, mostrando que a recuperação da velocidade através de uma única inversão é possível e que a inversão para múltiplos eventos com o método modificado de Geiger é mais direta. Foi realizado também um teste prático, a partir de dados coletados por uma rede sismológica local na localidade de Irauçuba/CE, que já apresentou intensa sismicidade. A rede funcionou durante o período de setembro de 2015 a março de 2016 e contou com 7 estações sismológicas que funcionaram em modo contínuo e registraram 22 eventos locais. Os resultados mostraram que os parâmetros da fonte e a velocidade do modelo são bem resolvidos através do método de Geiger modificado proposto neste trabalho Palavras chave: Sismicidade; Método de Geiger; Localização Hipocentral.
Geiger’s method of hypocentral location is a non-linear optimization problem that determines the origin time ( ) and the hypocentral coordinates of the seismic source ) from the arrival time of P and/or S waves recorded at seismic stations. The method, in its traditional form, requires the assumption of the speed of propagation of the seismic wave, which is usually chosen from a trial-and-error process that involves multiple inversions and analysis of the root-mean-square (RMS) as a function of wave speed. The current project seeks to modify Geiger's algorithm in order to determine both the source parameters and the speed of propagation in a single inversion run. To that purpose, Geiger’s method was modified to invert arrival times from multiple events and simultaneously determine their hypocentral coordinates and a common wave speed. The new algorithm was tested on synthetic data, with and without noise, where simulating two situations: One in which a network of 5 stations was centered around a target earthquake, and another one in which 5 stations were surrounding several earthquakes distributed randomly. Both methodologies, traditional and modified, retrieved the true focal parameters with similar accuracy, demonstrating that constraining the wave speed within a single inversion is possible and that the simultaneous inversion of multiple events with the modified Geiger’s method is straightforward. A practical test was also performed with data collected through a local seismic network that operated in Irauçuba/CE during a period of intense local seismicity. The network was deployed between September 2015 and March 2016, and consisted of 7 seismic stations that operated continuously and recorded up to 22 local events. Our results demonstrate that the source parameters and the propagating wave speed can be accurately constrained through the modified Geiger’s method proposed in this study.
Figura 1 - Decomposição em valor singular da matriz A ... 22 Figura 2 - Mapa com as coordenadas das estações e do terremoto nos eixos x, y e z para o primeiro exemplo numérico, onde as estações são simbolizadas com um símbolo matemático de mais e o terremoto com um círculo. O eixo z está ‘entrando’ na figura e as coordenadas cartesianas são dadas em quilômetros. ... 23 Figura 3 - Gráfico, com (azul) e sem ruído (vermelho), baseado no valor RMS do cálculo da localização hipocentral, utilizado para encontrar a velocidade adequada. .... 25 Figura 4 - Localizações das estações e dos terremotos nas coordenadas x, y e z para o segundo exemplo numérico, onde as estações são simbolizadas com um símbolo matemático de mais e cada terremoto com um círculo. O eixo z está ‘entrando’ na figura e as coordenadas são estão ao lado do símbolo das estações. ... 27 Figura 5 - Mapa da rede Irauçuba utilizada para este trabalho mostrando as 8 estações da rede das quais 7 foram utilizadas para a aquisição dos dados. ... 30 Figura 6 - Mapa simplificado da Província Borborema. SDS: Cinturão de dobras Sergipano; SRP: Cinturão Riacho Pontal; SPAB: Cinturão Alto Brígida; SPP: Cinturão Pajeú-Paraíba; SED: Cinturão Seridó; SL: Linha Sienotóide; PEAL: Massivo Pernambuco-Alagoas; RPM: Massivo Rio Piranhas; CBM: Massivo Caldas Brandão: SF: Cráton São Francisco; A: Aracajú; R: Recife; S: Salvador; N: Natal; F: Fortaleza. 31 Figura 7 - Sismograma com filtro passa banda de 2 e 20 Hz. O eixo horizontal demonstra os tempos de percurso e o eixo vertical a amplitude do sinal. ... 33 Figura 8 - Gráfico das diferenças nas localizações da Tabela 10. No eixo x estão os 22 eventos localizados e no eixo y as diferenças, em metros, entre as localizações verdadeiras e calculadas. ... 36 Figura 9 - Distâncias entre as localizações epicentrais dos eventos determinados pelo método de Geiger modificado (indicado pelos quadrados) e pelo método tradicional (indicado pelos círculos). ... 34 Figura 10 - Comparação entre os RMS do trabalho de Menezes (2016), em vermelho, e o atual trabalho, em azul. No eixo x estão as estações e no eixo y os diferentes eventos. ... 39 Figura 11 - Matriz de resolução do dado com dados reais mostrando quão bem os dados podem ser previstos. ... 41
diagonal principal. ... 42 Figura 13 - Matriz de resolução do modelo, para os dados reais da rede Irauçuba, demonstrando quão bem os parâmetros do modelo real podem ser resolvidos. ... 43 Figura 14 – Matriz de covariância do modelo, para dados reais da rede Irauçuba, demonstrando que os parâmetros do modelo não estão correlacionados. ... 45
1 INTRODUÇÃO 13
1.1 Apresentação 13
1.2 Por que modificar o algoritmo de Geiger? 13
1.3 Objetivo 14
2 METODOLOGIA 15
2.1 Método de Geiger 15
2.1.1 Meio com velocidade uniforme 17
2.1.2 Modificação para a velocidade 18
2.1.3 Inclusão dos tempos de percurso da onda P e S 20
2.1.4 Solucionando um sistema de equações simultâneas 21
2.2 Exemplos numéricos 22
2.2.1 Primeiro exemplo numérico 23
2.2.2 Segundo Exemplo numérico 26
3 APLICAÇÃO A DADOS REAIS: REDE IRAUÇUBA 29
3.1 Contexto Geológico 30
3.2 Dados e instrumentação 32
3.3 Análise dos dados 34
3.3.1 Modelo de Velocidade 34
3.3.2 Teste de viabilidade 34
3.4 Cálculo das Incertezas 40
3.4.1 Matriz de resolução do dado 40
3.4.2 Matriz de resolução do modelo 42
3.4.3 Matriz de covariância 43
REFERÊNCIAS 49
1 INTRODUÇÃO
1.1 Apresentação
Este trabalho busca desenvolver um novo algoritmo para localização hipocentral de sismos locais a partir de uma modificação do método de Geiger (Geiger, 1912). A modificação do algoritmo consiste na inclusão de tempos de percurso para múltiplos eventos e na determinação simultânea de todos os parâmetros de fonte (coordenadas hipocentrais e tempos de origem) e da velocidade de propagação (comum) das ondas sísmicas durante a inversão. O novo algoritmo é testado com “dados” sintéticos e com dados reais coletados durante o período de setembro de 2015 a março de 2016 na localidade de Irauçuba/CE.
1.2 Por que modificar o algoritmo de Geiger?
O monitoramento da sismicidade de uma região é geralmente feito através de uma rede sismográfica composta por um número ‘N’ de estações sismográficas.
O Laboratório de Sismologia (LabSis) da UFRN serve como observatório para a sismicidade da região Nordeste do Brasil. Na ocorrência de uma atividade sísmica ela é registrada por diversas estações da Rede Sismográfica do Nordeste (RSisNE) e com as informações dessas estações identifica-se a região epicentral e o período de ocorrência da sismicidade. Caso a atividade sísmica persista é instalada uma rede local ao redor da região epicentral para poder se fazer um estudo aprofundado com o intuito de se obter informações mais precisas do mecanismo gerador dessa atividade sísmica.
Os eventos registrados pela rede local são em seguida analisados no Laboratório Sismológico para determinar sua localização hipocentral e tempo de origem.
O hipocentro é o ponto ou região no interior da Terra que é o foco de um abalo sísmico, ou seja, onde as rochas sofrem ruptura ou deslocamento de forma a se produzirem ondas elásticas (ondas Primárias, P, e Secundárias, S). A projeção do hipocentro em superfície é o epicentro. O instante em que se inicia a liberação de energia do terremoto é caracterizado como tempo de origem. Para determinar o tempo de origem assim como a localização hipocentral se faz uso de algum algoritmo de
otimização que minimiza e os tempos de chegadas das ondas P e S registradas em cada estação sismográfica.
Na prática, a determinação dos parâmetros da fonte é baseada no método de Geiger (Geiger 1910; 1912), em que as coordenadas (latitude, longitude e profundidade) do hipocentro e a tempo de origem do evento são determinadas através da inversão dos tempos de percurso das ondas P e/ou S dos sismogramas correspondentes ao evento. Esse método visa à minimização do tempo residual (diferença entre os tempos de percurso observados e calculados) através da linearização do problema direto e a resolução iterativa do problema inverso, por exemplo, utilizando mínimos quadrados. Nesta localização hipocentral tradicional a inversão é feita para cada evento separadamente, assumindo um valor de velocidade uniforme para a propagação das ondas sísmicas.
Uma das maiores dificuldades na abordagem tradicional descrita acima é a determinação da velocidade de propagação das ondas sísmicas. Tal processo é feito testando vários valores de velocidade e comparando os valores de RMS dos tempos residuais correspondentes, de modo que a velocidade com menor valor de RMS é escolhida como a velocidade correta (p.e.Lima e Neto et al., 2009). Assim, é necessário realizar múltiplas inversões para cada evento antes de poder reportar um valor definitivo para os parâmetros de fonte dos eventos analisados.
A velocidade do meio de propagação, assim como a localização hipocentral e o tempo de origem, no entanto, é também dependente dos tempos de percurso. Desta forma, teoricamente deveria ser possível utilizar os tempos de percurso para determinar todos esses parâmetros.
Tendo em vista essa propriedade dos tempos de percurso estes, este trabalho visa modificar o método Geiger a fim de fazê-lo compatível com uma inversão para múltiplos eventos, simultaneamente com as velocidades das ondas P e S.
1.3 Objetivo
O objetivo geral deste trabalho é estimar a localização hipocentral a partir de um método modificado de Geiger que considera a velocidade como parâmetro do modelo. Desta forma os objetivos específicos estabelecidos para esse trabalho são:
Desenvolver a teoria base da modificação feita e as considerações relevantes para a aplicação desta metodologia.
Realizar testes numéricos em uma rede sismográfica simulada, e comparar o método tradicional e o modificado a fim de obter-se provas práticas da aplicabilidade da modificação.
Aplicar a modificação para dados reais obtidos pela rede Irauçuba/CE e comparar com os resultados da abordagem tradicional obtidos por Menezes (2016).
Consequentemente, espera-se obter uma maior praticidade para determinar a localização hipocentral de múltiplos eventos, assim como a facilidade em determinar as suas velocidades.
2 METODOLOGIA
Para o desenvolvimento do presente trabalho é necessário discorrer sobre o método de Geiger de forma teórica e abordar o que implica aplicá-lo em meio com velocidade uniforme. Em seguida, necessita-se demonstrar a modificação do método para acrescentar a velocidade como parâmetro do modelo. Ainda na metodologia é discutido como foi feita a inclusão dos tempos de percurso da onda S para acrescentar informação à inversão. Por fim serão feitos dois exemplos numéricos para validar a modificação do método perante duas situações, em comparação com o método tradicional de Geiger.
2.1 Método de Geiger
O problema de localização hipocentral é um problema de otimização não linear que visa determinar o tempo de origem e as coordenadas do hipocentro de um terremoto a partir de tempos de chegada de onda P e/ou S. Para o caso do método de Geiger (Geiger, 1910;1912) a solução é obtida de forma iterativa por meio de uma linearização do problema não linear, através de sua expansão em série de Taylor. Para tal, é preciso de uma estimativa inicial das coordenadas que estejam perto do hipocentro verdadeiro e o melhor tempo de origem ( ) a fim de minimizar uma função objetivo definida como
, (2.1) em que é o tempo de percurso da onda P ou S registrada na estação i-ésima, é o tempo de origem, e são as coordenadas do hipocentro. A função calcula o tempo de chegada teórico para a estação i-ésima (problema direto). Para tal é assumido que as localizações e altitudes das N estações sismográficas são conhecidas e que o modelo de velocidade que compreende as estações sismográficas e o hipocentro também é conhecido. Além disso, é considerado que o problema envolve sismicidade local pelo que um sistema de coordenadas cartesianas pode ser utilizado.
Seguindo a abordagem clássica do método de Geiger, a função é expandida ao redor de uma localização próxima , por meio de uma série de Taylor obtendo-se: (2.2) A equação (2.2) pode ser reescrita em notação vetorial da seguinte forma:
, (2.3) em que é o vetor gradiente
(2.4) e . (2.5) A localização próxima é convenientemente chamada de solução de teste ou de “chute”.
Todas as derivadas parciais das derivadas da função de tempo de percurso (eq.2. 4) são quantidades conhecidas, pois elas são avaliadas baseadas na solução de teste.
Na resolução de um sistema de equações definidas pela equação (2.3), o objetivo é achar um vetor , tal que os tempos de percurso calculados através da função se aproximem dos tempos de percurso observados . Isso é feito a partir de um processo
iterativo em que a solução de teste é atualizada no começo de cada iteração adicionando um , obtido da iteração anterior.
Para a conveniência da solução de , envolvendo várias estações, a equação (2.2) é reescrita em forma matricial como,
, (2.6) onde A= , (2.7)
e é o vetor de residuais em que
. (2.8)
A solução em mínimos quadrados do sistema definido pela equação (2.6) é satisfeita por (2.9) ou
. (2.10) Esse processo é repetido iterativamente até que o valor dos resíduais seja aproximadamente zero (critério de convergência).
2.1.1 Meio com velocidade uniforme
Com o critério generalizado para a solução do método de Geiger pré-estabelecido, o método foi particularizado para um meio de propagação descrito por um semiespaço de velocidade uniforme (v). Para este modelo simplificado a função é dada pela equação,
em que são as coordenadas do evento, é o tempo de origem desse evento, e são as coordenadas da i-ésima estação e v é a velocidade de propagação da onda sísmica.
Além disso, para o meio com velocidade uniforme é necessário calcular ss derivadas parciais definidas pela equação (2.4). Esse é um processo de dois passos: Primeiro, derivar as expressões gerais das derivadas parciais e segundo, a avaliação numérica dessas derivadas em termos da solução de teste. Basicamente as expressões gerais das derivadas parciais são dadas por,
, (2.12) , (2.13) , (2.14) , (2.15) e d= . (2.16) 2.1.2 Modificação para a velocidade
O propósito deste trabalho de graduação é o de fazer uma modificação do método de Geiger para incorporar os parâmetros (velocidade) do meio de propagação na minimização da função objetivo, a fim de determinar, de forma simultânea, ambos os parâmetros de fonte e a velocidade do meio de propagação em uma única inversão.
Para poder determinar a velocidade de forma simultânea é necessário considerá-la como um parâmetro do modelo. Assim, o novo vetor de parâmetros será dado por
, (2.17) e a solução a ser encontrada será para um novo residual em que o chute inicial ou solução de teste é dada por .
Desta maneira, segue-se o mesmo procedimento do método de Geiger tradicional discutido anteriormente, em que é feita uma expansão em série de Taylor e são calculadas as derivadas parciais. Contudo, agora o mesmo processo é feito
considerando a velocidade e suas derivadas parciais, obtendo-se a matriz de derivadas parciais dada por
A= , (2.18)
e altera-se o vetor para
, (2.19) em que, considerando o problema direto para um meio de velocidade uniforme descrito na seção anterior,
. (2.20) No entanto, considerando a totalidade dos eventos para uma mesma região sísmica, é coerente assumir que a velocidade de propagação do meio será comum para todos eles. Assim, em vez de resolver o problema inverso de forma individualizada, torna-se lógico considerar uma inversão simultânea de todos os eventos para o cálculo que inclui a velocidade do meio de propagação. Com esse objetivo, considera-se uma matriz que contém N-blocos na diagonal principal, onde cada bloco representa um conjunto de derivadas parciais para os parâmetros de fonte associadas a um evento, e na última coluna dessa matriz se insere uma coluna de derivadas parciais à respeito da velocidade , (2.21)
e o vetor de parâmetros é modificado para
. (2.22) Desta maneira é possível determinar simultaneamente os parâmetros da fonte e a velocidade para múltiplos eventos sem grandes modificações ao método tradicional.
2.1.3 Inclusão dos tempos de percurso da onda P e S
Visto como é feita a inversão para múltiplos eventos, simultaneamente com a velocidade P ou S, será demonstrado como incorporar os tempos de percurso de ambas as ondas na matriz de derivadas parciais para que os dados contidos nela estejam associados corretamente com os parâmetros no vetor de parâmetros. Para realizar esse ajuste é necessário, inicialmente, considerar um novo vetor de parâmetros, que inclua ambas as velocidades das ondas P e S,
. (2.23) Em seguida, é necessário considerar separadamente a matriz de derivadas parciais para os tempos de percurso da onda P e outra para os tempos de percurso da onda S
, (2.24) , (2.25)
onde insere-se uma coluna de zeros a fim de poder associar as derivadas da velocidade da onda P com o parâmetro correspondente do vetor de parâmetros e as derivadas da velocidade da onda S com o seu parâmetro correspondente . Após os ajustes feitos nas matrizes separadamente, considera-se uma única matriz que estará associada com o novo vetor de parâmetros (eq. 2.17),
. (2.26)
Com a matriz feita e o novo vetor de parâmetros estabelecido é possível inverter simultaneamente os dados para a localização hipocentral e para as velocidades da onda
P e da onda S. Assim o vetor resultante da inversão considerando as velocidades das ondas P e S resulta em,
(2.27) 2.1.4 Solucionando um sistema de equações simultâneas
Para este trabalho foi utilizado a decomposição em valores singulares (SVD). Um valor singular, e os correspondentes vetores singulares associados a uma matriz retangular A, são, respectivamente, um escalar e um par de vetores u e v que satsifaçam a condição
, (2.28), , (2.29), onde é transposa Hermitiana de A (a transposta hermitiana não difere de uma transposta normal para números reais). Os vetores singulares e são tipicamente escalados para ter norma 1. Além disso, se u e v forem vetores singulares de A, então e também são. Os valores singulares de são sempre reais e não negativos, mesmo se A for complexo.
Com os valores singulares formando a diagonal principal de e os correspondentes vetores singulares formando as colunas de duas matrizes ortogonais e , obtém-se as equações
(2.30), , (2.31), já que e são matrizes unitárias. Multiplicando a primeira equação por na direita obtem-se a equação de decomposição singular,
A total decomposição em valor singular de uma matriz envolve um de dimensões , um de dimensões e um de dimensões (Fig. 1).
Figura 1 - Decomposição em valor singular da matriz A
Fonte: elaborado pelo autor, 2018.
A aplicação da técnica da SVD neste trabalho se faz mediante a sua pseudoinversa, caracterizada por,
,
onde é a transposta da matriz U e a pseudoinversa de a qual é formada substituindo-se todo elemento diagonal não-nulo por seu inverso e tomando-se a transposta da matriz resultante.
2.2 Exemplos numéricos
Serão mostrados dois exemplos numéricos que ilustram a eficácia da modificação do método de Geiger proposta na seção anterior. A solução de teste inicial das coordenadas foi obtida como a média das localizações das estações, já que nestes exemplos as estações estão bastante próximas às localizações epicentrais. Os tempos de percurso observados foram determinados dividindo as distâncias entre as estações e os eventos (Figs. 2 e 5) pelas velocidades das ondas P e S, as quais foram escolhidas arbitrariamente e o chute inicial para o tempo de origem foi estimado em zero, por se tratar dos tempos de percurso exatos entre as estações e os eventos.
Para os dois exemplos os tempos de percurso calculados foram obtidos ao substituir a solução de teste nas funções de tempos de percurso. Para as derivadas parciais foram utilizadas as equações (2.7) e (2.18) a depender se o exemplo fez o uso do algoritmo do método de Geiger tradicional ou a modificação para a velocidade.
2.2.1 Primeiro exemplo numérico
O primeiro exemplo numérico consiste em simular uma rede de 5 estações, distribuídas em volta de um terremoto (Fig. 2). Desta maneira, o intuito deste exemplo é utilizar o algoritmo de inversão de Geiger tradicional para estimar o hipocentro e calcular o RMS (Root Mean Square) para encontrar a velocidade. Em seguida, o mesmo processo será feito com o algoritmo modificado de Geiger onde serão estimados os parâmetros hipocentrais e as velocidades da onda P e S em uma única inversão. Para esse exemplo as localizações nas figuras estão dispostas em um eixo cartesiano de duas dimensões para demonstrar da maneira mais simples a eficácia do método.
Figura 2 - Mapa com as coordenadas das estações e do terremoto nos eixos x, y e z para o primeiro exemplo numérico, onde as estações são simbolizadas com um símbolo matemático de
mais e o terremoto com um círculo. O eixo z está ‘entrando’ na figura e as coordenadas cartesianas são dadas em quilômetros.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
A Figura 2 ilustra as coordenadas das estações sismográficas e do terremoto considerados neste exemplo. Com essas coordenadas foram calculados os tempos de percurso para cada dupla evento-estação, assumindo velocidades da onda P e S de 6.2 km/s e 3.668 km/s, respectivamente. Os tempos de percurso e as distâncias entre o terremoto e cada estação estão listados na Tabela 1. Em seguida, os tempos de percurso foram utilizados para o cálculo da localização hipocentral. Na aplicação do método
tradicional usaram-se valores da velocidade de onda P entre 5.7 e 6.5 km/s; as velocidades da onda S foram calculadas fixando uma razão Vp/Vs de 1.69 (Ferreira et al., 1998; Lima Neto, 2010).
Tabela 1 – Tempos de percurso para as ondas P e S para o primeiro exemplo numérico. Na primeira coluna tem-se o código representando o terremoto e a estação, em seguida a distância em linha reta do terremoto a cada estação em quilômetros e os tempos de percurso da onda P e
S, respectivamente, em segundos. T1S1 3,741 km 0,6034 s 1,022 s T1S2 3,316 km 0,5349 s 0,9061 s T1S3 4,472 km 0,7213 s 1,221 s T1S4 3,741 km 0,6034 s 1,022 s T1S5 4,472 km 0,7213 s 1,221 s
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
A Figura 3 mostra um gráfico do RMS x Velocidade da onda P com o intuito de encontrar o valor da velocidade que dá o menor valor do RMS na inversão. Os resultados são mostrados para inversão de dados sem ruído (Tabela 1) e contaminados com ruído gaussiano de 20%. No eixo x se localizam as estimativas para a velocidade da onda P (Vp) em km/s e na vertical os valores numéricos do RMS. Como é possível ver no gráfico, o menor valor do RMS foi atingido para uma velocidade de 6.2 km/s em ambos os casos, o que condiz com a velocidade real utilizada para calcular os tempos de percurso deste evento. Utilizando-se esta velocidade, os resultados encontrados para as coordenadas da localização hipocentral, com e sem ruído, estão na Tabela 2. Os valores de RMS para cada valor da velocidade de onda P após 4 iterações são dados na Tabela 3.
Tabela 2 - Resultados da localização hipocentral, com e sem ruído. utilizando o método de Geiger tradicional
Parâmetros Evento 1 Evento 1 com ruído
T 0 -0.0043
X 2.9999 3.0543
Y 2.9999 3.0543
Z -2 -1.712
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018
É possível notar na Figura 3 que com ruído, os valores de RMS crescem muito, mesmo que ainda seja possível determinar a velocidade de propagação da onda P, de 6.2 km/s, como a adequada para a localização hipocentral. As coordenadas do hipocentro são recuperadas com menor exatidão (Tabela 2). Mais especificamente, as coordenadas X e Y mostram valores bem semelhantes aos valores verdadeiros; porém, o erro na
coordenada Z é maior e parece se correlacionar com o valor não-nulo obtido para o tempo de origem.
Tabela 3 - Valores das velocidades das ondas P e seus respectivos valores de RMS sem e com ruído para o primeiro exemplo numérico
Velocidade da onda P(km/s) RMS RMS com ruído
5.7 0.0142 0.0868 5.9 0.0076 0.0649 6.0 0.0046 0.0813 6.1 0.0019 0.0612 6.2 8.37e-04 0.0175 6.4 0.0056 0.0358
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018
Figura 3 - Gráfico, com (azul) e sem ruído (vermelho), baseado no valor RMS do cálculo da localização hipocentral, utilizado para encontrar a velocidade adequada.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Em seguida foi utilizado o método de Geiger modificado, inicialmente sem ruído algum e posteriormente aplicando um ruído gaussiano de 20%. Nesta inversão os chutes iniciais foram de 5.9 km/s para a onda P e 3.9 km/s para a onda S e o número de
iterações utilizado foi de 4. Esses chutes foram arbitrários já que os exemplos numéricos não se baseiam em nenhuma região em específico.
Tabela 4 - Localização hipocentral e velocidade do meio, sem e com ruído, utilizando o método modificado de Geiger.
Parâmetros Evento 1 Evento 1 com ruído
T 0 0 X 3 3 Y 3 3 Z -2 -2 Vp 6.19 6.23 Vs 3.668 3.732
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Com os resultados na Tabela 4 já é possível notar que a localização hipocentral, mesmo na presença de ruído se mostra bastante eficaz para o algoritmo modificado e condiz com os dados apresentados na Figura 1 quanto à localização hipocentral. Já quanto às velocidades o algoritmo consegue recuperar quase que com total exatidão as velocidades de propagação da onda no meio, especialmente na ausência de ruído. Comparando brevemente com o método tradicional é notável a maior facilidade em se estimar a velocidade já que não há a necessidade de chutar diversos valores da velocidade da onda P e plotar em função do RMS.
2.2.2 Segundo Exemplo numérico
O segundo exemplo numérico consiste em utilizar uma rede com 5 estações com múltiplos eventos espalhados aleatoriamente. Cada evento será então calculado isoladamente, com e sem ruído, utilizando o algoritmo modificado do método de Geiger. Em seguida, todos os eventos serão localizados em uma inversão só, novamente com e sem ruído. Para o segundo exemplo as estações se situaram predominantemente em volta dos eventos, a exceção de um evento (T4) que se localizou fora da rede de estações, porém nas proximidades (Fig. 4). Ao total foram simulados 4 eventos com profundidades diferenciadas e localizações aleatórias (ver Tabela 5). Como no exemplo numérico anterior, as localizações foram simplificadas a um eixo cartesiano.
Tabela 5: Localização cartesiana (x,y,z) para as cinco estações (S1 a S5) e os quatro terremotos (T1 a T4) utilizados no segundo exemplo numérico
X Y Z
S1 4 1 -1
S2 2 2 -1
S4 1 4 -1 S5 3 5 -2 T1 3 3 -2 T2 4 2.5 -3 T3 2 4 -2 T4 5 6 -3
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Figura 4 - Localizações das estações e dos terremotos nas coordenadas x, y e z para o segundo exemplo numérico, onde as estações são simbolizadas com um símbolo matemático de mais e cada terremoto com um círculo. O eixo z está ‘entrando’ na figura e as coordenadas são estão ao
lado do símbolo das estações.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
As estações da Figura 5 compõem o mesmo conjunto de estações do primeiro exemplo numérico (Fig. 2). As estações são dadas pelas siglas de S1 a S5 e os terremotos de T1 a T4.
Com essas localizações foram calculados os tempos de percurso baseado nas distâncias entre as coordenadas dos eventos e das estações assumindo velocidades da onda P e S de 6.2 km/s e 3.668 km/s, respectivamente (Tabela 5). Em seguida, os tempos foram inseridos no algoritmo modificado de Geiger e invertidos (para cada evento) usando valores iniciais para as coordenadas da média de todas as estações, para
o tempo 0 segundos e para a velocidade de 5.9 km/s (onda P) e 3.5 km/s (onda S) e um total de 4 iterações.
Tabela 6 - Localização hipocentral e velocidade de propagação do meio para diversos eventos, sem e com ruído.
Ev. 1 Ev.1 c/ruído Ev.2 Ev.2 c/ ruído Ev.3 Ev.3 c/ ruído Ev.4 Ev.4 c/ ruído T 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3.000 3.000 4.000 4.000 2.000 2.000 5.000 5.000 Y 3.000 3.000 2.500 2.499 4.000 4.000 6.000 6.000 Z -2.000 -2.000 -3.000 -3.000 -1.999 -1.999 -3.000 -3.000 Vp 6.200 6.199 6.200 6.200 6.199 6.199 6.199 6.199 Vs 3.668 3.667 3.668 3.668 3.667 3.667 3.667 3.667
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
A Tabela 6 acima mostra os valores para tempo, coordenadas e as velocidades da onda (P e S) recuperadas para cada evento, sem e com ruído. Novamente os tempos de origem são zero (ou aproximadamente) por terem sido utilizados os tempos exatos de percurso para o programa. Como no exemplo numérico anterior, para o teste com ruído, foi utilizado um ruído gaussiano de 20%. Aqui é possível observar que, mesmo com ruído, invertendo os dados com o método modificado não há grandes alterações.
Após a inversão dos eventos separadamente foram utilizados os mesmos tempos de percurso das ondas P e S para todas as estações e a inversão feita para todos simultaneamente utilizando o método modificado de Geiger. Os resultados são mostrados na Tabela 7.
Tabela 7 – Parâmetros hipocentrais e velocidades do meio, sem e com ruído, para o segundo exemplo numérico.
Parâmetros Todos eventos, sem ruído Todos eventos, com ruído
T₁ 0 0 X₁ 3.00 3.00 Y₁ 3.00 3.00 Z₁ -2.00 -2.00 T₂ 0 0 X₂ 4.00 4.00 Y₂ 2.50 2.50 Z₂ -3.00 -3.00 T₃ 0 0 X₃ 2.00 2.00 Y₃ 4.00 4.00 Z₃ -2.00 -2.00 T₄ 0 0
X₄ 5.00 5.00
Y₄ 6.00 6.00
Z₄ -3.00 -3.00
Vp 6.20 6.20
Vs 3.668 3.668
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Após a inversão dos dados simultaneamente é possível notar que a disparidade dos resultados com e sem ruído é mínima. Desta forma, a recuperação dos valores de velocidade de onda P e S é superior aos obtidos nas inversões de eventos individuais. Considerando que foi utilizado um ruído gaussiano de 20% os resultados são muito satisfatórios
3 APLICAÇÃO A DADOS REAIS: REDE IRAUÇUBA
Para o presente trabalho foram utilizados dados da rede Irauçuba (Fig. 6), região inserida na Província Borborema, que é a região com maior atividade sísmica do tipo intraplaca do Brasil (Oliveira, 2015). A sua atividade sísmica se manifesta, geralmente, na forma de uma sequência de pequenas e longas durações (Ferreira et al., 1995; Takeya et al., 1989) e com profundidades usualmente menores que 10 km. Uma das regiões onde os sismos alcançaram maior magnitude foi a de Irauçuba-CE, região de estudo deste trabalho, com magnitudes históricas de até 4.9 mb em 1991 (Ferreira, 1998).
Figura 5 - Mapa da rede Irauçuba utilizada para este trabalho mostrando as 8 estações da rede das quais 7 foram utilizadas para a aquisição dos dados.
Fonte: Modificado de Menezes (2016). 3.1 Contexto Geológico
A Província Borborema (PB) se situa na região continental estável da América do Sul e cobre uma área poligonal de aproximadamente, 900 km de comprimento e 600 km de largura. A PB se encontra limitada ao norte e ao leste pelo Oceano Atlântico, a oeste pela Bacia do Parnaíba e ao sul pelo cráton São Francisco (Bezerra et al, 2011).
A PB foi caracterizada inicialmente por Almeida et al (1977; 1981) como uma unidade geotectônica do Nordeste Brasileiro que foi inteiramente afetada pelo Ciclo Brasiliano/Pan-Africano. É composta por uma rede complexa de cintos Proterozóicos supracrustais ao redor de blocos de idade Arqueana a Paleoproterozóica (Ferreira et al, 1998). A província é majoritariamente deformada por zonas de cisalhamento dúctil que limitam diferentes regiões tectônicas. A área costal e parte do seu interior abrangem bacias sedimentares que marcam uma extensão da crosta formada durante a fase de rifteamento da quebra da Pangea (Bezerra et al, 2011; Brito Neves et al., 2000). Apesar de que essa região foi altamente deformada e metamorfoseada há 500 a 600 Ma durante a orogenia Brasiliana, muitas feições da geologia pré-Brasilana podem ser reconhecidas nas rochas. Desta forma, a estratigrafia e geologia da PB podem ser generalizadas em: Embasamento gnáissico com complexos migmatíticos (massivos), sequencias
supracrustais deformadas e metamorfizadas (cinturões de dobras), zonas de cisalhamento do Brasiliano e plútons graníticos do Brasiliano (Van Schmuss, 1995).
Figura 6 - Mapa simplificado da Província Borborema. SDS: Cinturão de dobras Sergipano; SRP: Cinturão Riacho Pontal; SPAB: Cinturão Alto Brígida; SPP: Cinturão Pajeú-Paraíba; SED: Cinturão Seridó; SL: Linha Sienotóide; PEAL: Massivo Pernambuco-Alagoas; RPM: Massivo Rio Piranhas; CBM: Massivo Caldas Brandão: SF: Cráton São Francisco; A: Aracajú;
R: Recife; S: Salvador; N: Natal; F: Fortaleza.
Fonte: Modificado de Van Schmuss, 1995.
A Província Borborema compreende os domínios de Médio Coreaú, Ceará Central e Rio Grande do Norte, Transversal, e Sul. A PB possui vários sistemas de zonas de cisalhamento de escala continental que a dividem nos domínios supracitados (Ferreira et al, 1998), sendo os principais o Lineamento Patos e o Lineamento Pernambuco, na direção EW, e o lineamento Transbrasiliano, na direção NE-SW. De forma mais expressiva se manifesta o lineamento Pernambuco, que se localiza na parte central da província e se caracteriza por ser uma zona de cisalhamento vertical dúctil, contínua e sinuosa, de 700 km de comprimento e que possui uma expressão clara em superfície (Ferreira et al, 2008). O último evento orogênico atuante na região, a
orogenia Brasiliana, se caracterizou por intensa granitogênese de natureza bastante diversificada e associada (Almeida, 1967; Ferreira, 1998) às zonas de cisalhamento, incluindo ambos os lineamentos Patos e Pernambuco assim como suas ramificações (Archanjo et al, 1992; Brito Neves et al, 2000).
3.2 Dados e instrumentação
Os dados que foram utilizados neste trabalho fizeram parte da dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Geodinâmica e Geofísica (PPGG/UFRN) por Menezes (2016). A seguir será feito uma contextualização dos equipamentos e dados utilizados neste trabalho, assim como uma fundamentação teórica para a aplicação prática do algoritmo modificado de Geiger.
Para a aquisição dos dados foi utilizada a rede Irauçuba no Ceará, que operou de setembro de 2015 a março de 2016, e foi composta por sete estações sismográficas triaxiais digitais (Tabela 8), sendo seis estações equipadas com acelerômetros (Fig. 3) e uma com sismômetro (Fig. 8) de período curto (Menezes, 2016). A estação IR01 somente funcionou durante a ocorrência do primeiro evento, do conjunto de eventos utilizado para a inversão, sendo posteriormente substituída pela estação IR08 (Fig. 6).
Durante o tempo de operação da rede a taxa de amostragem do sinal foi inicialmente de 100 amostras/s aumentando para 500 amostras/s após os primeiros 15 dias de operação. Isso foi feito com o intuito de melhorar a definição do sinal dos registros dos eventos. Todo sistema continha um sistema de tempos (GPS) acoplado, em que a hora e a posição eram corrigidas em tempo real e gravadas automaticamente em um arquivo digital. As correções do tempo e da localização eram feitas automaticamente quando a deriva do relógio atingia um atraso de 1,0 ms.
A manutenção da rede foi realizada pelos técnicos do LabSis/UFRN em intervalos regulares de 40 dias, em que foram coletados ao todo neste período um total de 662 sismos em um total de 180 dias de operação da rede.
Para determinar os hipocentros Menezes (2016) utilizou do programa HYPO71 (Lee & Lahr, 1975), em que o hipocentro e a hora de origem são calculados por meio dos mínimos quadrados. Para essa determinação o programa requer de: 1) As coordenadas geográficas das estações (Tabela 5); 2) um modelo de velocidades incluindo a velocidade da onda P (Vp) e a razão Vp/Vs em que ambas são uniformes, e
3) os tempos de chegadas das ondas sísmicas P e S em cada estação (ver Tabela 2.3 em Menezes, 2016).
Tabela 8 - Tabela das localizações das estações conforme o código utilizado para cada, seguido do lougradouro com o nome dado conforme a propriedade em que se situa ou local mais
próximo. Em seguida as latitudes e longitudes e UTM e por fim a altitude em metros
Estação Logradouro Lat UTM Long UTM Alt(m)
IR01 Fazenda Costa 402880 9587348 136
IR02 Fazenda Crispim 399074 9584039 142 IR03 Cacimba Salgada 406438 9582752 148 IR04 Fazenda Atalaia 400175 9571537 160
IR05 Fazenda Brito 405046 9575090 192
IR06 Riacho Gabriel 391432 9575440 144
IR07 Fazenda Passarinho 398990 9578997 199 IR08 Tabuleiro do Júlio 389046 9584392 146
Fonte: Modificado de Menezes, 2016.
Para o estudo em que se baseou esse trabalho foram utilizados somente sismos locais, registrados esses pela rede de estações da Tabela 8, em que todas as leituras foram feitas após a aplicação de um filtro passa-banda fixo (Menezes, 2016), com frequência de canto inferior e superior de 2 e 20 Hz, respectivamente (Fig. 10).
Figura 7 - Sismograma com filtro passa banda de 2 e 20 Hz. O eixo horizontal demonstra os tempos de percurso e o eixo vertical a amplitude do sinal.
3.3 Análise dos dados
3.3.1 Modelo de Velocidade
Para determinar a localização hipocentral através da abordagem tradicional é necessário definir um modelo de velocidade. Como já mencionado na seção 1.2, é necessário conhecer as velocidades da onda P (Vp) e da onda S (Vs) de cada camada, ou a velocidade da onda P e a razão Vp/Vs. Menezes (2016), determinou a velocidade da onda P por meio de minimização dos erros, como descrito no capítulo anterior e a razão Vp/Vs, a partir do diagrama de Wadati (ver Figura 15 em Menezes, 2016).
Com base no diagrama de Wadati, Menezes (2016) determinou que a razão Vp/Vs era de 1.69; e com base no erro RMS e erros horizontais, ou seja, valores que minimizassem o erro das localizações hipocentrais, Menezes (2016) determinou que o valor da velocidade da onda P era de 6.2 km/s. Os resultados também indicaram que a estrutura de velocidade da crosta, para os eventos observados, podia ser representada por um único valor de velocidade, num modelo de semiespaço crustal.
Além disso, aplicando o critério dos diversos erros aos 69 eventos existentes, Menezes (2016) necessitou assegurar-se que os eventos tivessem uma melhor qualidade; desta forma, reduziu a quantidade de eventos que satisfaziam essas condições a 22, os quais serão utilizados nesse trabalho para a utilização do algoritmo do método de Geiger modificado.
3.3.2 Teste de viabilidade
Com o intuito de demonstrar a viabilidade da modificação do método de Geiger para a rede Irauçuba, inicialmente será feito um teste em que foram produzidos dados sintéticos baseados nas coordenadas das estações (Tabela 8) e nas localizações hipocentrais determinadas por Menezes (2016) (Tabela9).
Para o cálculo da distância, em linha reta, entre as estações e as localizações hipocentrais foi utilizada a norma L2 e em seguida foi feita a divisão das distâncias encontradas pelas respectivas velocidades da onda P e onda S com o intuito de obter os tempos de percurso sintéticos que simulam a base de dados real. Todos os tempos encontram-se em segundos. Assim, obtidos os tempos de percurso, utilizou-se do programa de inversão, modificado para a velocidade, para obter-se a localização hipocentral dos 22 eventos assim como as velocidades das ondas P e S.
Tabela 9 - comparação entre as localizações hipocentrais obtidas com o programa de inversão e as providenciadas por Menezes (2016), utilizando dados sintéticos. As coordenadas x e y estão
em UTM e a profundidade em metros com o eixo negativo indicando o sentido contrário no eixo cartesiano.
Terremoto X inversão X Real Y inversão Y real Z inversão Z real
1 396980 396980 9579150 9579150 -8119 -8120 2 397180 397180 9579725 9579725 -8619 -8620 3 397256 397257 9579669 9579670 -8479 -8480 4 397478 397479 9579781 9579781 -8519 -8520 5 397622 397623 9580223 9580223 -8999 -9000 6 397036 397036 9579359 9579360 -8329 -8330 7 397679 397679 9580135 9580135 -8519 -8520 8 397512 397513 9579924 9579924 -8769 -8770 9 397789 397790 9580168 9580168 -8579 -8580 10 397868 397868 9580135 9580135 -8679 -8680 11 397169 397169 9579613 9579613 -8279 -8280 12 397034 397035 9579802 9579802 -8719 -8720 13 396924 396924 9579670 9579670 -8629 -8630 14 397001 397002 9579747 9579747 -8599 -8600 15 397201 397202 9579581 9579581 -8579 -8580 16 397334 397335 9579526 9579526 -8529 -8530 17 397256 397257 9579758 9579758 -8499 -8500 18 398333 398334 9580423 9580423 -8439 -8440 19 397069 397069 9579648 9579648 -8659 -8660 20 397057 397057 9579758 9579758 -8699 -8700 21 397035 397035 9579758 9579758 -8669 -8670 22 396979 396980 9579636 9579636 -8519 -8520
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Os resultados são mostrados na Tabela 9 e, com o intuito de demonstrar de forma mais prática os resultados, foi construído um gráfico das diferenças entre as localizações hipocentrais reais e as obtidas pelo programa de inversão (Fig. 8). Em alguns pontos do gráfico umas medidas estão se sobrepondo às outras, no entanto nele é possível notar que as diferenças não ultrapassam a medida de 1 metro para todas as coordenadas cartesianas.
Figura 8 - Gráfico das diferenças nas localizações da Tabela 10. No eixo x estão os 22 eventos localizados e no eixo y as diferenças, em metros, entre as localizações verdadeiras e calculadas.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
As velocidades encontradas para onda P e onda S correspondem respectivamente a 6.2 km/s e 3.668 km/s o que reitera a identidade entre as velocidades encontradas por Menezes (2016) de 6.2 km/s e uma razão Vp/Vs de 1.69. Como se utilizou os tempos de percurso exatos entre os eventos e as estações os resultados do programa para os tempos de percurso foram zero e por conta disso eles não foram incluídos na Tabela 10. Fazendo uma breve comparação entre o resultado da inversão e as localizações obtidas por Menezes (2016), é possível perceber uma clara identidade tanto na localização hipocentral quanto na velocidade. Essa identidade é um fator necessário para poder certificar-se da aplicabilidade do método à rede Irauçuba.
Seguido do teste de viabilidade o método modificado de Geiger foi aplicado para os dados reais da rede Irauçuba. Para os dados reais o conjunto de dados consistiu das 7 estações utilizadas no teste de viabilidade e dos tempos de percurso referentes às picagens feitas por Menezes (2016).
Tabela 10 -Comparação entre as localizações hipocentrais obtidas com o programa de inversão e as providenciadas por Menezes (2016) utilizando dados reais. As coordenadas x e y estão em UTM e a profundidade em metros com o eixo negativo indicando o sentido contrário no eixo
cartesiano. Os tempos de percurso estão em segundos.
Terremoto X inversão X Real Y inversão Y real Z inversão Z real
1 397021 396980 9578531 9579150 -7937 -8120 2 396893 397180 9578985 9579725 -8426 -8620 3 397020 397257 9579059 9579670 -8538 -8480 4 396438 397479 9578198 9579781 -7765 -8520 5 396594 397623 9578634 9580223 -8334 -9000 6 396981 397036 9579009 9579360 -8334 -8330 7 396682 397679 9578602 9580135 -7840 -8520 8 396504 397513 9578327 9579924 -8015 -8770 9 396806 397790 9578640 9580168 -7932 -8580 10 396936 397868 9578640 9580135 -8048 -8680 11 397100 397169 9578947 9579613 -7737 -8280 12 395988 397035 9578705 9579802 -8444 -8720 13 396495 396924 9578758 9579670 -8168 -8630 14 396581 397002 9578836 9579747 -8107 -8600 15 396824 397202 9578688 9579581 -8274 -8580 16 396784 397335 9578730 9579526 -8087 -8530 17 396745 397257 9578986 9579758 -8057 -8500 18 397810 398334 9579536 9580423 -8314 -8440 19 396522 397069 9578856 9579648 -8257 -8660 20 396402 397057 9579297 9579758 -7929 -8700 21 396157 397035 9579308 9579758 -11067 -8670 22 396501 396980 9578881 9579636 -8318 -8520
Fonte: Modificado de Menezes (2016).
Para esta inversão as velocidades das ondas P e S obtidas através do algoritmo modificado de Geiger foram de 6.516 km/s e 3.757 km/s para as ondas P e S, respectivamente (razão Vp/Vs de 1.75). Neste conjunto de dados são notáveis as diferenças, tanto para as coordenadas quanto para as velocidades das ondas, entre os dados obtidos pela inversão de dados e os dados “reais”, que são as localizações hipocentrais obtidas por Menezes (2016). Para ilustrar as diferenças epicentrais entre os eventos construímos uma figura que conecta cada evento determinado pelo método tradicional com os do método modificado (Figura 9).
Figura 9 - Distâncias entre as localizações epicentrais dos eventos determinados pelo método de Geiger modificado (indicado pelos quadrados) e pelo método tradicional (indicado pelos círculos).
Na figura é possível então notar mais claramente as diferenças nas localizações hipocentrais, onde percebe-se que todas as localizações obtidas pelo método modificado estão deslocadas em direção aos sentidos negativos de x e y em relação às localizações obtidas pelo método tradicional.
Mesmo com as diferenças nas distâncias epicentrais para a inversão utilizando os dados reais o algoritmo de inversão apresentou resultados bastante satisfatórios nos exemplos numéricos e no teste de viabilidade, o que nos levou a concluir que havia a possibilidade da localização hipocentral pelo método modificado ser mais efetiva que pelo método tradicional. Desta maneira, construiu-se um gráfico em que estão dispostos os valores de RMS de cada evento para o método tradicional e o modificado, versus os respectivos eventos localizados por cada método.
Figura 9 - Comparação entre os RMS do trabalho de Menezes (2016), em azul, e o atual trabalho, em vermelho. No eixo x estão os diferentes eventos e no eixo y os valores dos RMS.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Comparando os gráficos de RMS é possível notar que os valores do RMS para o trabalho de Menezes (2016) apresentam valores menores que os do trabalho atual porém deslocados de forma semelhante.
3.4 Cálculo das Incertezas
Supondo que se encontrou uma inversa generalizada que resolve o problema ainda é necessário avaliar quanto os parâmetros do modelo encaixam no dado, ou se os dados podem ser independentemente previstos, ou resolvidos e qual a correlação de estimativa de cada parâmetro. Para responder essas perguntas foram calculadas as incertezas associadas à inversão.
3.4.1 Matriz de resolução do dado
Supondo que encontramos uma matriz inversa que solucione o problema Gm=d, dando uma estimativa dos parâmetros do modelo é possível retrospectivamente perguntar quão bem essa estimativa dos parâmetros do modelo se encaixa nos dados (Menke, 1984). Ao adicionar a estimativa na equação conclui-se que
, (3.2) onde obs e pre simbolizam os dados observados e previstos, respectivamente. A matriz quadrada é chamada de matriz de resolução do dado. Essa matriz descreve quão bem as predições correspondem ao dado. Desta forma, se N for corresponder a uma matriz identidade, então dpre=dobs e os erros são zero. No entanto se os dados da matriz de resolução não forem uma matriz identidade então os erros são diferentes de zero (Menke, 1984).
Para o caso de N não corresponder uma matriz identidade os elementos contidos nela ainda irão se espalhar majoritariamente pela diagonal principal onde os maiores valores estarão nela, porém ao seu redor existirão elementos que contribuem para a média ponderada dos dados observados. As linhas de uma matriz de resolução N descrevem quão bem os dados podem ser independentemente previstos. Graficamente uma matriz N que corresponda a uma identidade indicará linhas vazias com spikes nos locais dos dados, demonstrando que não há uma grande dependência entre os dados. Já para o dos dados não estarem bem previstos o gráfico seria largo indicando o espalhamento dos dados de cada evento na matriz de resolução.
Aplicando esta base teórica para os dados reais da rede Irauçuba obteve-se a Figura 13, onde é possível visualizar que os dados encontram-se na diagonal principal. Ainda é possível visualizar que além da diagonal principal existem duas diagonais
paralelas a ela, isso se dá por conta de se estar lidando com os tempos de percurso da onda P e S. Assim, a matriz de resolução do dado está mostrando a correlação entre cada tempo de percurso da onda P e o tempo de percurso da onda S.
Figura 10 - Matriz de resolução do dado com dados reais mostrando quão bem os dados podem ser previstos.
Figura 11 - Matriz de resolução do dado, com dados reais, ampliada quanto a sua diagonal principal.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Ampliando na diagonal da matriz de resolução do modelo é possível notar que a os dados encontram-se, em sua maior parte, como mostrado na figura 8, onde tem-se uma distribuição de spikes ao longo da diagonal principal. No entanto, é possível notar que a matriz possui certos picos fora da diagonal principal, o que é aceitável por não se tratar de um modelo perfeito.
3.4.2 Matriz de resolução do modelo
Visto que a matriz de resolução dos dados tem a capacidade de caracterizar se os dados podem ser previstos, ou determinados pode se fazer a mesma pergunta para os parâmetros do modelo. Para poder determinar isso é necessário admitir um conjunto de parâmetros do modelo que solucionam a equação . Utilizando a expressão para os dados observados na expressão estimada do modelo
nos dá
, (3.3) onde R é a matriz de resolução do modelo. Assim, se R for uma matriz identidade então cada modelo do parâmetro é determinado exclusivamente. Caso não, então as estimativas dos parâmetros do modelo são realmente médias ponderadas dos parâmetros
reais do modelo. Da mesma forma que matriz de resolução dos dados, plotar as linhas da matriz de resolução do modelo R indicará quão bem os parâmetros do modelo podem ser determinados. Com picos estreitos na diagonal principal indicando que o modelo está bem determinado e picos mais largos indicando um modelo não tão bem determinando (Menke, 1984).
Da mesma forma que a matriz de resolução dos dados, os dados da rede Irauçuba
foram aplicados para determinar a matriz de resolução do modelo (Fig. 12). Na figura a
seguir é possível ver claramente a matriz de identidade proposta no modelo perfeito do Menke (1984), onde há picos ao longo da diagonal principal demonstrando que os parâmetros do modelo real podem ser resolvidos.
Figura 12 – Matriz de resolução do modelo, para os dados reais da rede Irauçuba, demonstrando quão bem os parâmetros do modelo real podem ser resolvidos.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
3.4.3 Matriz de covariância
A covariância dos parâmetros do modelo depende da covariância do dado e da maneira como o erro é mapeado dos dados aos parâmetros do modelo. Desta forma é útil definir uma matriz de covariância unitária que caracteriza o grau de amplificação do erro que ocorre no mapeamento. Normalmente determinar a matriz de covariância
envolveria determinar uma matriz em que na diagonal principal teriam os valores das covariâncias; no entanto, caso os dados forem considerados independentes, então todos igualam a si com um valor de , assim a matriz de covariância unitária é dada por,
. (3.4) Mesmo que os dados estejam correlacionados, é possível achar uma normalização da matriz de covariância dos dados, de forma que é possível definir uma matriz de covariância unitária , relacionada à matriz de covariância do modelo por,
. (3.5) Tanto as matrizes de resolução do modelo e do dado como a matriz de covariância são independentes dos valores reais e das variâncias dos dados.
Figura 13 – Matriz de covariância do modelo, para dados reais da rede Irauçuba, demonstrando que os parâmetros do modelo não estão correlacionados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Na figura anterior é demonstrada a matriz de covariância do modelo onde tem-se nas fileiras e colunas os 88 parâmetros associados a localização hipocentral e tempos de percurso, e por último as velocidades das ondas P e S. Para o cálculo da matriz de covariância foi calculada uma matriz diagonal para demonstrar a independência entre os dados, ou seja, a estimativa entre os erros feitos. Para foi feito um “chute” de 0.01 por conta de essa ser a taxa de amostragem e assim o menor valor possível para esta variável. Com esse resultado é possível notar que os parâmetros do modelo não
4 DISCUSSÃO
Na localização hipocentral a solução de teste, ou chute inicial, define se o problema estará convergindo para a solução correta ou não. Uma solução teste muito longe da localização real pode levar a solução a convergir para um mínimo local, fazendo desta forma o problema nunca ser solucionado. Para o caso deste trabalho a rede utilizada era local, desta maneira utilizou-se como chute inicial para as coordenadas uma média das medidas x,y e z para de todas as coordenadas da rede. Para os tempos de percurso, após inúmeros testes com o algoritmo de inversão, chegamos a conclusão de que o chute inicial mais adequado era de considerar o minuto de chegada da onda na estação como zero, de forma que o vetor de dados dos tempos de chegada correspondia aos segundos e milésimos de segundo das picagens de onda. Por fim, para a velocidade utilizou-se uma solução baseada em alguns trabalhos anteriores feitos na região ou que englobassem a região como um todo na sua análise de velocidade (Ferreira et al, 1995; Ferreira et al, 1998; Lima Neto et al, 2010).
O método tradicional de Geiger inclui a inversão com os tempos de onda S. Tal inclusão está associada à redução das incertezas da estimativa do e da profundidade hipocentral já que para uma inversão hipocentral somente com os tempos de percurso da onda P, a estimativa do hipocentro depende muito de todas as observações em conjunto. Assim, ter somente a leitura dos tempos de percurso da onda P não irá ajudar muito na estimativa do hipocentro na ausência de outras informações. Por conta disso, na inversão do método de Geiger modificado foi feita a inclusão dos tempos de percurso da onda S, consequentemente resultando na inversão simultânea dos parâmetros hipocentrais com a velocidade da onda P e também com a velocidade da onda S.
Uma definição do rank da matriz é o numero de valores singulares não nulos. Como os computadores possuem uma finita precisão, pode se tornar bastante difícil distinguir um valor nulo e um valor singular bem pequeno. Por isso define-se que o rank efetivo é o numero de valores singulares maior que uma tolerância pré-definida, o que reflete a precisão da máquina que está rodando o dado. Reduzir o rank da matriz, ou mais comumente, fazer um corte na matriz de valores singulares, tem o efeito de melhorar a variância da solução. No entanto, isso acarreta em uma pior resolução. Neste trabalho não foram feitos quaisquer cortes na matriz de valores singulares exatamente
para tentar obter a total resolução do dado. Além disso, por conta de se tratar de matrizes relativamente pequenas, o dado não chegou a alcançar o limite de precisão da máquina de processamento já que os menores valores foram da ordem de .
O método de Geiger é um processo iterativo. Naturalmente pergunta-se se a iteração converge para um mínimo global da nossa função objetivo como dada pela equação (2.1). Isso depende da distribuição das estações a respeito do terremoto, do chute inicial do tempo de origem e do hipocentro, dos tempos de percurso observados e do modelo de velocidade utilizado para os tempos de percurso e suas derivadas. E mesmo que seja possível encaixar os dados perfeitamente no modelo isso não quer dizer que a localização exata do terremoto foi encontrada. Somente quer dizer que foi localizado um terremoto a respeito do modelo utilizado da terra. Isso pode ou não ser perto do hipocentro real do terremoto.
Atualmente não existe um método disponível que garanta alcançar um mínimo global por um processo iterativo. Iterações terminam usualmente se os ajustes dos residuais forem muito pequenos ou se o número de iterações em função do RMS decair a um valor próximo de zero. Além disso, é necessário enfatizar que a qualidade da localização hipocentral depende da qualidade do dado: Nenhuma manipulação matemática pode substituir a preparação cuidadosa do dado bruto.
5 CONCLUSÃO
De acordo com os objetivos estabelecidos para este trabalho foram feitas inversões simultâneas para a localização hipocentral de diversos eventos, juntamente com a velocidade, utilizando o algoritmo modificado de Geiger em dados sintéticos e reais. Os dados reais, formados por 22 eventos, fizeram parte da rede Irauçuba que foi composta por 7 estações com registro digital.
Durante o trabalho foram feitos dois exemplos numéricos em que o primeiro conseguiu demonstrar que somente é necessário fazer uma inversão para obter a localização hipocentral e velocidade da onda P e S utilizando o método de Geiger modificado em comparação com a inversão tradicional, enquanto que no segundo exemplo numérico utilizou-se novamente do método de Geiger modificado para comparar a inversão de eventos separadamente e simultaneamente e assim
demonstrou-se como há um aperfeiçoamento nos dados hipocentrais e nas velocidades para a inversão de diversos eventos, mesmo com uma estação fora da rede utilizada.
Para atestar a aplicabilidade do método modificado a dados reais foram elaborados dados sintéticos em que se simulou uma rede de estações sísmicas e terremotos baseada na solução final encontrada por Menezes (2016). A partir desse dado foi possível determinar com precisão a localização hipocentral e as velocidades pré-estabelecidas a partir da inversão. Em seguida o método foi aplicado utilizando dados reais obtidos a partir de picagens de ondas do trabalho de Menezes (2016) onde foi possível notar que a inversão apresentou resultados diferentes das localizações previamente obtidas.
Com os resultados produzidos neste trabalho é possível concluir que a modificação feita no método de Geiger para incluir a velocidade como um parâmetro do modelo foi muito eficaz para dados sintéticos, demonstrando que é possível inverter os dados de localização hipocentral com a velocidade e facilitar o trabalho de inversão no entanto para os dados reais houve certa disparidade.
