C´ odigos de Superf´ıcie

Nesta se¸c˜ao faremos a constru¸c˜ao dos c´odigos de superf´ıcies, os quais s˜ao os exemplos mais b´asicos de c´odigos topol´ogicos. Uma referˆencia b´asica para c´odigos de superf´ıcie ´e [10].

Primeiramente, dada uma superf´ıcie fechada, fixamos uma tessela¸c˜ao nessa superf´ıcie. A cada aresta dessa tessela¸c˜ao associamos um qubit. Desse modo, interpretamos cada elemento da base computacional como uma 1-cadeiac∈C₁ como segue:

|ci ≡O

i

|c_ii c∈C₁, (3.1)

onde irepresenta as arestas da tessela¸c˜ao {e_i}, ou seja, os qubits.

Os produtos dos operadores de PauliX eZ com rela¸c˜ao as 1-cadeias ser˜ao representados

por onde, por exemplo, o operador X_c consiste do produto tensorial do operador de Pauli X agindo nos qubits pertencentes `a 1-cadeia c com a identidade agindo nos demais qubits. Do mesmo modo paraZ_c.

Observa¸c˜ao 3.9. Dados c, c⁰ ∈C₁, n˜ao ´e dif´ıcil perceber que X_cX_c⁰ =X_c+c⁰ e Z_cZ_c⁰ =Z_c+c⁰.

Defini¸c˜ao 3.10. O c´odigo de superf´ıcie ´e o espa¸co gerado pelos elementos

|zi ≡ X

b∈B1

|z+bi, z ∈H₁ (3.3)

que s˜ao somas de todos os ciclos que formam uma determinada classe de homologia.

Veja que sez 6=y, ent˜aohz|yi= 0. Logo, comoH₁ 'Z22g, temos que |H₁|= 2^2g e assim,

Veremos agora os efeitos dos erros bit flip nos c´odigos de superf´ıcie.

Para isso, considere z, y ∈ Z₁, logo, ∂₁z = 0 = ∂₁y. Se ∂₁c 6= 0, ent˜ao ∂₁(z+c) 6= 0 e z+c6=y. De fato, como ∂₁ ´e homomorfismo,

∂₁(z+c) = ∂₁z+∂₁c= 0 +∂₁c=∂₁c6= 0.

Agora, suponha quez+c=y, ent˜ao

z+c+y= 0 ⇒z+c+y∈B₁, ou seja, ∂₁(z+c+y) = 0, mas

∂₁(z+c+y) =∂₁z+∂₁c+∂₁y= 0 +∂₁c+ 0 =∂₁c6= 0, o que ´e um absurdo. Portanto,z+c6=y.

Logo, hy|z+ci= 0 e, como hy|z+ci=hy|X_c|zi temos que, hy|X_c|zi= 0. Com isso, X_c poder´a levar o c´odigo nele mesmo somente quando c for um ciclo. Se b for fronteira de uma 2-cadeia, os erros X_b n˜ao v˜ao fazer nada, pois X_b|zi = |z+bi =|zi. Portanto, somente os erros bit flip Xz com z ∈ Z1 s˜ao indetect´aveis. Desse modo, a distˆancia de um c´odigo de superf´ıcie para erros bit flip ´e o comprimento do menor ciclo n˜ao trivial, o qual pertence ao conjunto Z1−B1.

3.2.1 Estabilizadores

Defini¸c˜ao 3.12. Sejamv um v´ertice ef uma face da tessela¸c˜ao fixada na superf´ıcie fechada.

Os operadores de Pauli

X_f ≡ Y

e∈∂2f

X_e e Z_v ≡ Y

e; v∈∂1e

Z_e, (3.4)

s˜ao chamados de operador face e operador v´ertice, respectivamente. Consideramos ∂₂f e∂₁e como conjuntos.

O operador face X_f consiste de um produto tensorial do operador de Pauli X agindo nos qubits que est˜ao nas arestas pertencentes `a face f, com a identidade agindo nos demais qubits, e o operador v´ertice Z_v consiste de um produto tensorial do operador de Pauli Z

agindo nos qubits que est˜ao nas arestas adjacentes ao v´ertice v, com a identidade agindo nos demais qubits, como pode ser visto na Figura 3.3. ´E claro que os operadores v´ertice comutam entre si, do mesmo modo que os operadores face tamb´em comutam entre si. Sabemos queX eZ anticomutam, mas X_f e Z_v ter˜ao nenhuma ou ter˜ao duas arestas em comum, portanto, os operadores v´ertice e face sempre comutar˜ao.

Figura 3.3: A¸c˜ao dos operadores face X_f e Z_v agindo nos qubits da face f e nos qubits adjacentes ao v´ertice v, respectivamente. Os c´ırculos abertos representam os qubits onde os operadores est˜ao agindo.

Os operadores v´ertice e face s˜ao os operadores estabilizadores do c´odigo de superf´ıcie, ou seja, o c´odigo de superf´ıcieC que definimos em 3.10 pode ser definido por

C={|ψi; X_f|ψi=|ψi, Z_v|ψi=|ψi, ∀f, v}. (3.5) Observe que os geradores estabilizadores X_f e Z_v n˜ao s˜ao todos independentes, pois

Y

f

X_f =I e Y

v

Z_v =I. (3.6)

Logo, como para cada face e cada v´ertice temos um gerador estabilizador, existemV +F −2 geradores independentes. Sabendo que a quantidade de geradores independentes em um c´odigo quˆantico estabilizador [n, k] ´en−k, temos que

n−k = V +F −2⇔

k = n−(V +F −2) = E−(V +F −2) = 2−χ= 2−2 (1−g) = 2g, que ´e exatamente como j´a hav´ıamos visto.

3.2.2 Tessela¸ c˜ ao Dual

Dada uma tessela¸c˜ao qualquer em uma superf´ıcie fechada, podemos construir sua tessela¸c˜ao dual da seguinte forma:

As faces da tessela¸c˜ao s˜ao levadas a v´ertices na tessela¸c˜ao dual. As arestas da tessela¸c˜ao s˜ao levadas `a arestas da tessela¸c˜ao dual e os v´ertices da tessela¸c˜ao s˜ao levados `a faces da tessela¸c˜ao dual. Denotamos o v´ertice dual correspondente a face f por f^∗, a aresta dual correspondente a arestae por e^∗ e a face dual correspondente ao v´ertice v por v^∗.

Os operadores bordo dual agindo nas cadeias dualC^∗ ficam

∂₁^∗ :C₀^∗ −→C₁^∗ e ∂₂^∗ :C₁^∗ −→C₂^∗.

Esses operadores bordo produzem os grupos de ciclos dual Z₁^∗ e bordo dual B₁^∗, logo, o primeiro grupo de homologia fica

H₁^∗ = Z₁^∗

B₁^∗ 'H₁.

Os operadores face X_f s˜ao vistos agora como operadores v´ertice X_f^∗ e os operadores v´ertice Z_v s˜ao vistos agora como operadores faceZ_v^∗.

Como pode ser visto na Figura 3.4, a dual de uma tessela¸c˜ao quadrada ´e tamb´em uma tessela¸c˜ao quadrada, chamada de auto-dual. J´a a dual de uma tessela¸c˜ao hexagonal ´e uma tessela¸c˜ao triangular.

Aplicando a j´a conhecida porta de Hadamard H transversalmente atrav´es de todos os qubits no c´odigo de superf´ıcie, o c´odigo ser´a levado a um novo subespa¸co, o qual ´e descrito pelos operadores

H^NEX_fH^NE = Y

e∈∂₂f

Z_e = Y

e^∗;f^∗∈∂2∗e^∗

Z_e ≡Z_f^∗; (3.7)

H^NEZ_vH^NE = Y

e; v∈∂1e

X_e = Y

e^∗∈∂₁^∗v^∗

X_e ≡X_v^∗. (3.8)

Esse ser´a o c´odigo definido na tessela¸c˜ao dual. Os erros phase flip s˜ao trabalhados de maneira an´aloga aos erros bit flip, por´em na tessela¸c˜ao dual.

Figura 3.4: Tessela¸c˜ao quadrada e tessela¸c˜ao hexagonal feitas no toro, juntamente com suas tessela¸c˜oes duais representadas com as linhas tracejadas. As bordas opostas dessas tessela¸c˜oes s˜ao identificadas. Os c´ırculos abertos representam os qubits e os c´ırculos cinza s˜ao os qubits identificados. A face em vermelho f da tessela¸c˜ao est´a sendo levada ao v´ertice f^∗ da dual.

A aresta em vermelho eest´a sendo levada `a aresta tracejada azul e<sup>∗</sup> e o v´erticev da face em vermelho f est´a sendo levado `a face tracejada azul v^∗.

3.2.3 Operadores Strings

Dado um operador de Pauli qualquer, podemos escrevˆe-lo como um produto tensorial de ope-radores de PauliXjuntamente com a identidadeI, vezes, um produto tensorial de operadores de Pauli Z juntamente com a identidade I.

O produto tensorial dos operadores X com a identidade I define uma 1-cadeia, onde as arestas, as quais X age correspondem ao valor 1 e as arestas onde I age, correspondem ao valor 0. Esse operador comuta com os operadores face X_f, pois os operadores face s˜ao produtos tensoriais de X com a identidade, e comuta com um operador v´ertice Zv se, e somente se, um n´umero par de operadores Xagem nas arestas adjacentes ao v´erticev. Se ele comutar com todos os operadores v´ertice Zv, ent˜ao essa 1-cadeia ´e na verdade um ciclo. Da mesma forma, o produto tensorial dos aperadores Z com a identidade I, comuta com todos os operadores v´ertice Zv, e comuta com um operador face Xf se, e somente se, um n´umero par de operadores Z agem nas arestas da face f. Se ele comutar com todos os operadores faceXf, ent˜ao essa 1-cadeia ´e na verdade um ciclo na tessela¸c˜ao dual.

As 1-cadeias com pontos finais, as que formam um loop e as que s˜ao imagem de uma 2-cadeia s˜ao chamadas de strings, onde as com pontos finais s˜ao strings abertas e, as que formam um loop e as que s˜ao imagem de uma 2-cadeia s˜aostrings fechadas. Os loops s˜ao os ciclos homologicamente n˜ao triviais.

Defini¸c˜ao 3.13. O produto tensorial dos operadores X com a identidadeI que definem uma stringµna tessela¸c˜ao e o produto tensorial dos operadores Z com a identidadeI que definem uma string µ^∗ na tessela¸c˜ao dual s˜ao chamados de operadores strings e denotados por Xµ e Z_µ^∗.

Podemos ver alguns exemplos de operadores strings na Figura 3.5.

Figura 3.5: Na tessela¸c˜ao auto-dual temos em vermelho uma string aberta na tessela¸c˜ao e em azul um loop na tessela¸c˜ao dual. J´a na tessela¸c˜ao hexagonal, temos em vermelho um loop na tessela¸c˜ao e em azul uma string fechada na tessela¸c˜ao dual.

Os operadores strings na tessela¸c˜ao e na tessela¸c˜ao dual anticomutam se, e somente se, elas se cruzam uma quantidade ´ımpar de vezes.

Defini¸c˜ao 3.14. A distˆancia do c´odigo de superf´ıcie ´e o peso do operador string correspon-dente `a um ciclo homologicamente n˜ao trivial (um loop), de menor peso.

Neste caso, a distˆancia m´ınima do c´odigo ser´a o m´ınimo entre o n´umero de arestas contidas no menor ciclo homologicamente n˜ao trivial da tessela¸c˜ao e o n´umero de arestas contidas no menor ciclo homologicamente n˜ao trivial da tessela¸c˜ao dual.

3.2.4 C´ odigo T´ orico de Kitaev

Apresentaremos agora o c´odigo t´orico de Kitaev, o qual ´e o exemplo mais simples de um c´odigo de superf´ıcie.

Para esse c´odigo foi tesselado o toro por quadrados l×l, onde o dual de uma tessela¸c˜ao quadradal×l ´e tamb´em uma tessela¸c˜ao l×l.

Como foi colocado um qubit `a cada aresta, e temos que a quantidade de arestas da tessela¸c˜ao ´e |E|= 2l², pois cada aresta pertence a duas faces, ent˜ao a quantidade de qubits nessa tessela¸c˜ao ´en = 2l².

Lembrando que o gˆenero do toro ´eg = 1, ent˜ao, como a quantidade de qubits codificado

´ek = 2g, temos que k= 2.

Por fim, a distˆancia do c´odigo t´orico de Kitaev ´e d = l, pois os ciclos n˜ao triviais tem que se enrolar ao redor do toro, e o de menor comprimento tem comprimento l. Portanto, o c´odigo t´orico de Kitaev ´e um c´odigo [2l²,2, l]. Veja que, quanto maior for o valor del, maior ser´a a distˆancia do c´odigo e maior ser´a o n´umero de qubits.