CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA
PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM MATEM ´ATICA
(Mestrado)
EVANDRO MAZETTO BRIZOLA
C ´ODIGOS QU ˆANTICOS COLORIDOS EM SUPERF´ICIES COMPACTAS COM GˆENERO g ≥ 2
Maring´a-PR 2019
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Uni- versidade Estadual de Maring´a, como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Area de concentra¸c˜´ ao: Matem´atica Aplicada.
Orientador: Dr. Eduardo Brandani da Silva.
Maring´a 2019
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)
Brizola, Evandro Mazetto
B862c Códigos quânticos coloridos em superfícies compactas com gênero g ≥ 2 / Evandro Mazetto Brizola. -- Maringá, 2019.
83 f. : il. color.
Orientador: Profº. Drº. Eduardo Brandani da
Silva.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de
Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós- Graduação em Matemática - Área de Concentração:
Matemática Aplicada, 2019.
1. Códigos quânticos corretores de erros. 2.
Códigos coloridos em superfícies compactas. 3.
Mecânica quântica. 4. Geometria hiperbólica. I.
Silva, Eduardo Brandani da, orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas.
Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Matemática Aplicada. III. Título.
CDD 22.ed. 003.54 Edilson Damasio CRB9-1.123
Primeiramente, agrade¸co a Deus e `a Nossa Senhora da Concei¸c˜ao Aparecida por todas as ben¸c˜aos recebidas e por me darem for¸cas para realizar com muito empenho e dedica¸c˜ao mais essa etapa de meus estudos.
Agrade¸co `a minha fam´ılia por todo o suporte dado nesse per´ıodo do mestrado, em especial
`
a minha m˜ae Iria Mazetto Brizola e meu pai Valter Brizola. `A minha namorada Patrine Kieling de Lima por sempre estar ao meu lado me apoiando em todos os momentos.
Aos meus professores da UTFPR-PB por todos os ensinamentos durante a minha gra- dua¸c˜ao, em especial ao professor Dr. Carlos Alexandre Ribeiro Martins que foi muito im- portante para que eu escolhesse e ingressasse no PMA da UEM e por ter me apresentado ao meu orientador.
Aos meus professores do PMA por todos os ensinamentos durante o mestrado.
Ao meu orientador, professor Dr. Eduardo Brandani da Silva, por ter me aceito como orientando e por todos os ensinamentos compartilhados e ajudas durante esse per´ıodo. Por ter me apresentado `a essa ´area de estudo e pela confian¸ca que depositou em mim.
Aos colegas feitos durante o mestrado que de uma maneira ou de outra, contribu´ıram para o ˆexito obtido.
A CNPq pelo aux´ılio financeiro nesses dois anos de mestrado, que foi fundamental para a conclus˜ao do mesmo.
O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar a constru¸c˜ao dos c´odigos quˆanticos colori- dos em superf´ıcies compactas com gˆenero g maior ou igual a dois. Para isso, apresentamos alguns elementos da mecˆanica quˆantica, essenciais para a compreens˜ao dos mesmos. Abor- damos v´arios c´odigos quˆanticos corretores de erros, com um maior destaque para os c´odigos quˆanticos topol´ogicos, onde se encontra os c´odigos quˆanticos coloridos. Por fim, apresenta- mos v´arios elementos da geometria hiperb´olica e fazemos detalhadamente a constru¸c˜ao dos c´odigos quˆanticos coloridos em superf´ıcies compactas comg maior ou igual a dois, apresen- tando os parˆametros dos c´odigos obtidos parag variando de dois a nove, e apresentamos uma fam´ılia de c´odigos quˆanticos que constru´ımos fixando a distˆancia m´ınima do c´odigo.
Palavras-chave: mecˆanica quˆantica, geometria hiperb´olica, c´odigos quˆanticos corretores de erros, c´odigos quˆanticos topol´ogicos, c´odigos coloridos, c´odigos coloridos em superf´ıcies compactas.
The main goal of this work is to present the construction of color quantum codes on compact surfaces with genus g greater than or equal to two. For this, we present some elements of quantum mechanics essential for their understanding. We introduced several quantum error-correction codes, with a greater emphasis on the topological quantum codes, where the quantum color codes are inserted. Finally, we present several elements of hyperbolic geometry and we made the construction of color quantum codes on compact surfaces withg greater than or equal to two, giving the parameters of the codes obtained for 2≤g ≤9, and we present a family of quantum codes that we constructed by fixing the minimum distance of the code.
Keywords: quantum mechanics, hyperbolic geometry, quantum error-correction codes, to- pological quantum codes, color codes, color codes on compact surfaces.
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 3
1.1 Nota¸c˜oes . . . . 3
1.2 Qubit . . . . 4
1.3 Algebra Linear´ . . . . 5
1.4 Matrizes de Pauli . . . . 11
1.5 Os Postulados da Mecˆanica Quˆantica e Medi¸c˜oes . . . . 13
1.6 Fase . . . . 20
2 C´odigos Quˆanticos Corretores de Erros 23 2.1 C´odigo Bit Flip de Trˆes Qubits . . . . 24
2.2 C´odigo Phase Flip de Trˆes Qubits . . . . 27
2.3 C´odigo de Shor . . . . 29
2.4 C´odigos CSS . . . . 30
2.5 C´odigos Estabilizadores . . . . 36
3 C´odigos Quˆanticos Topol´ogicos 42 3.1 Homologia . . . . 42
3.2 C´odigos de Superf´ıcie . . . . 45
3.2.1 Estabilizadores . . . . 47
3.2.2 Tessela¸c˜ao Dual . . . . 49
3.2.3 Operadores Strings . . . . 50
3.2.4 C´odigo T´orico de Kitaev . . . . 52
3.3 C´odigos Quˆanticos Coloridos . . . . 52
4 Constru¸c˜ao dos C´odigos Quˆanticos Coloridos em Superf´ıcies Compactas com g ≥2 57 4.1 Geometria Hiperb´olica . . . . 57
4.1.1 Tessela¸c˜oes Regulares . . . . 62
4.1.2 Emparelhamento de Lados . . . . 63
4.2 Constru¸c˜ao dos C´odigos . . . . 66
4.2.1 Determinando os Parˆametros dos C´odigos . . . . 68
4.2.2 C´odigos Gerados . . . . 73
4.2.3 Uma Fam´ılia Obtida Fixando d Par . . . . 78
Considera¸c˜oes Finais 80
Referˆencias 81
Da mesma forma que a mecˆanica cl´assica, a mecˆanica quˆantica descreve como os objetos f´ısicos se movem em fun¸c˜ao do tempo, por´em utilizando estruturas matem´aticas diferentes das utilizadas na mecˆanica cl´assica. No caso da cl´assica, o estado de um sistema em um dado momento ´e representado por um ponto em um espa¸co de fase. Por exemplo, para uma
´
unica part´ıcula movendo-se em uma dimens˜ao, o espa¸co de fase ´e o planox, p, consistindo de pares de n´umeros (x, p) que representam a posi¸c˜ao e o momento. J´a na mecˆanica quˆantica, o estado dessa part´ıcula ´e dado por uma fun¸c˜ao de onda de valor complexo ψ(x), e , todas as fun¸c˜oes poss´ıveis est˜ao em um espa¸co vetorial linear complexo com produto interno, ou seja, um espa¸co de Hilbert. Para mais informa¸c˜oes sobre mecˆanica quˆantica, recomendamos ao leitor [18], [22], [25].
J´a na quest˜ao da computa¸c˜ao quˆantica, um computador baseado nos princ´ıpios da teoria quˆantica foi proposto primeiro por Richard Feynman em 1982 [13]. Um grande avan¸co nessa
´
area ocorreu com David Deutsch [11], que descreveu uma vers˜ao quˆantica da m´aquina de Turing.
Em 1994, Peter Shor [27] mostrou, usando propriedades quˆanticas, que diferentemente de um computador convencional, que fatora um n´umero com n d´ıgitos em uma quantidade de passos que cresce de maneira exponencial, um computador quˆantico faz isso com uma quantidade de passos que cresce de maneira polinomial.
Existem muitas dificuldades em se realizar computa¸c˜ao quˆantica e uma das maiores difi- culdades est´a na decoerˆencia quˆantica, que ´e o decaimento de estados em superposi¸c˜ao, como pode ser visto em [32].
Em 1948, Claude Shannon introduziu os c´odigos corretores de erros cl´assicos [26], os quais
serviram de inspira¸c˜ao para a cria¸c˜ao de c´odigos quˆanticos corretores de erros.
Em 1995, Peter Shor [28] exibiu o primeiro c´odigo quˆantico corretor de erro, o qual foi uma mistura de dois c´odigos de 3 qubits, protegendo o estado contra erros bit flip e phase flip.
Robert Calderbank, Peter Shor e Andrew Steane desenvolveram em 1996 os c´odigos quˆanticos CSS [8], [30], que geraram uma grande classe de c´odigos conhecida como c´odigos quˆanticos estabilizadores [16]. J´a em 1997, Alexei Yu Kitaev [21] desenvolveu um novo c´odigo conhecido como c´odigo t´orico de Kitaev, que agora ´e visto como um exemplo dos c´odigos quˆanticos topol´ogicos. Os geradores estabilizadores desses c´odigos s˜ao geometricamente lo- cais, ou seja, agem em uma quantidade pequena de qubits em sua vizinhan¸ca, fazendo com que as palavras quˆanticas se tornem resistentes aos ru´ıdos locais [5].
Em 2009, Clarice Albuquerque, Reginaldo Pallazo e Eduardo B. Silva [1] desenvolveram uma extens˜ao dos c´odigos de Kitaev para superf´ıcies compactas com gˆenerog ≥2, onde se fez necess´ario o uso de geometria hiperb´olica. Os c´odigos topol´ogicos obtidos, conhecidos como c´odigos de superf´ıcie, foram os c´odigos com os melhores parˆametros at´e aquele momento.
H´ector Bomb´ın e Miguel A. Martin-Delgado [6] desenvolveram os c´odigos quˆanticos colo- ridos, que s˜ao uma subclasse dos c´odigos quˆanticos estabilizadores. Esses c´odigos codificam o dobro de qubits em rela¸c˜ao aos c´odigos de superf´ıcie, para uma mesma superf´ıcie.
Inspirados em [1], Waldir Silva Soares e Eduardo B. Silva desenvolveram em 2018, os c´odigos quˆanticos coloridos em superf´ıcies compactas com gˆenerog ≥2 [29], que foi utilizado como principal referˆencia para a elabora¸c˜ao dessa disserta¸c˜ao.
Este trabalho est´a organizado da seguinte maneira: No Cap´ıtulo 1, apresentaremos alguns elementos da mecˆanica quˆantica para a compreens˜ao dos c´odigos quˆanticos. Em seguida, no Cap´ıtulo 2, abordaremos v´arios c´odigos quˆanticos corretores de erros, como por exemplo, os c´odigos CSS e os c´odigos estabilizadores. No Cap´ıtulo 3, falaremos sobre os c´odigos quˆanticos topol´ogicos, onde faremos a constru¸c˜ao dos c´odigos de superf´ıcie e dos c´odigos quˆanticos coloridos. Por fim, no Cap´ıtulo 4, introduzimos v´arios conceitos de geometria hiperb´olica, apresentaremos a constru¸c˜ao dos c´odigos quˆanticos coloridos em superf´ıcies compactas com gˆenero g ≥2 e mostraremos uma fam´ılia de c´odigos que n´os constru´ımos.
Preliminares
Antes de falarmos sobre os c´odigos quˆanticos iremos apresentar alguns elementos que s˜ao indispens´aveis para a compreens˜ao desses c´odigos, desde as nota¸c˜oes que iremos utilizar at´e elementos b´asicos da mecˆanica quˆantica, como por exemplo, os postulados e algumas medi¸c˜oes quˆanticas.
Este cap´ıtulo est´a dividido da seguinte maneira. Na Se¸c˜ao 1.1, apresentaremos algumas nota¸c˜oes da mecˆanica quˆantica que ser˜ao utilizadas em praticamente todo o nosso trabalho.
Em seguida, na Se¸c˜ao 1.2, explicaremos o que ´e um qubit, fazendo um comparativo com o conhecidobit cl´assico. Seguiremos o cap´ıtulo na Se¸c˜ao 1.3, onde relembraremos v´arios concei- tos de ´algebra linear, conceitos esses os quais utilizaremos a nota¸c˜ao de Dirac apresentada na primeira se¸c˜ao. Ap´os, na Se¸c˜ao 1.4, falaremos dasmatrizes de Pauli, que s˜ao os operadores mais importantes que aparecer˜ao no decorrer do trabalho. Na Se¸c˜ao 1.5, abordaremos os postulados em que a mecˆanica quˆantica est´a sustentada, juntamente com asmedi¸c˜oes proje- tivas e medi¸c˜oes POVM. Por fim, na Se¸c˜ao 1.6, falaremos brevemente sobre o termo “fase”.
Para mais detalhes recomendamos ao leitor [18], [23], [24].
1.1 Nota¸c˜oes
Na tabela 1.1 apresentamos algumas nota¸c˜oes de ´algebra linear na nota¸c˜ao deDirac que s˜ao utilizadas na literatura de mecˆanica quˆantica e ir˜ao aparecer em nosso trabalho.
Nota¸c˜ao Descri¸c˜ao
z∗ Complexo conjugado do n´umero complexo z.
|ψi Vetor. Tamb´em chamado de ket.
hψ| Vetor dual `a |ψi. Tamb´em chamado de bra.
hϕ|ψi Produto interno entre os vetores |ϕi e |ψi.
|ϕi ⊗ |ψi ou|ϕψi ou|ϕi|ψi Produto tensorial entre os vetores |ϕie |ψi.
A† Adjunta da matriz A.
hϕ|A|ψi Produto interno entre os vetores |ϕi e A|ψi ou entre os vetores A†|ϕi e |ψi.
|ϕihψ| Operador produto externo ou tamb´em chamado de “dyad”.
Tabela 1.1: Nota¸c˜oes utilizadas em mecˆanica quˆantica, conhecidas como nota¸c˜ao de Dirac.
1.2 Qubit
Falaremos agora sobre o qubit (ou bit quˆantico) que ´e o sistema mecˆanico quˆantico funda- mental, o qual usaremos em todo o nosso trabalho, e ´e o sistema mecˆanico quˆantico mais simples poss´ıvel.
Do mesmo modo que um bit cl´assico tem um estado (0 ou 1), um qubit tamb´em tem.
Uma das coisas que distingue bit e qubit ´e que um qubit pode estar no estado |0i ou |1i, onde
|0i=
1 0
e |1i=
0 1
,
ou, ainda, podemos ter combina¸c˜oes lineares desses estados (chamadas de superposi¸c˜ao) da seguinte forma:
|ψi=α|0i+β|1i, (1.1)
ondeα, β ∈C. Oestado de um qubit nada mais ´e que um vetor em um espa¸co vetorial com- plexo bidimensionalC2, que ´e um espa¸co de Hilbert. Qualquer combina¸c˜ao linear P
iαi|ψii
´e uma superposi¸c˜ao de estados |ψii com amplitude αi para o estado |ψii.
Os estados |0i e |1i s˜ao conhecidos como estados na base computacional, os quais for-
mam uma base ortonormal para o espa¸co vetorial, tamb´em chamado de espa¸co de estados.
Utilizaremos sempre o fato de |ψi ser unit´ario, ou seja, hψ|ψi = 1, o que ´e equivalente `a
|α|2+|β|2 = 1. Assim, quando medirmos um qubit a probabilidade de obtermos o resultado
|0i ser´a de |α|2 e a probabilidade de obtermos o resultado |1iser´a de |β|2. Por exemplo, considere o qubit |ϕi = √1
2|0i+ √1
2|1i. A probabilidade de obtermos o resultado|0iao medirmos esse qubit ser´a de
√1 2
2
,que ´e a mesma probabilidade de obtermos o resultado|1i. Observe que as probabilidades somam um. De fato,
√1 2
2
+
√1 2
2
= 1 2 +1
2 = 1.
No caso dos bits, podemos ter quatro estados formados por dois bits cl´assicos, 00, 01, 10 e 11. J´a para o sistema de dois qubits, temos os estados |00i, |01i, |10i e |11i que s˜ao chamados de estados na base computacional. Esses estados pertencem ao espa¸co de Hilbert C2⊗C2 =C4.
A superposi¸c˜ao desses quatro estados ´e dado da seguinte forma:
|ψi=α00|00i+α01|01i+α10|10i+α11|11i. (1.2) A probabilidade da medi¸c˜ao resultar em, por exemplo, |00i ser´a de|α00|2. Analogamente para os demais qubits.
A condi¸c˜ao de que as probabilidades somam um dever´a ser satisfeita, ou seja, dadoW = {00,01,10,11} temos que,
X
x∈W
|αx|2 = 1. (1.3)
Para n qubits, podemos definir uma base {|jn−1jn−2· · ·j0i}, onde jk = 0,1 e essa base cont´em 2n vetores.
1.3 Algebra Linear´
Nesta se¸c˜ao faremos um apanhado de v´arios conceitos de ´algebra linear na nota¸c˜ao de Dirac, os quais iremos utilizar com frequˆencia em nosso trabalho. Daremos essa aten¸c˜ao especial `a
´
algebra linear, pois ela ´e a linguagem matem´atica fundamental da mecˆanica quˆantica.
Defini¸c˜ao 1.1. Seja W um espa¸co vetorial e C o conjunto dos n´umeros complexos. Uma fun¸c˜ao (·,·) :W ×W →C´e um produto interno se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) (·,·) satisfaz
|vi,X
i
λi|wii
!
=X
i
λi(|vi,|wii) ; (ii) (|vi,|wi) = (|wi,|vi)∗;
(iii) (|vi,|vi)≥0 valendo a igualdade se, e somente se, |vi= 0.
Dizemos que um espa¸co com produto interno ´e um espa¸co vetorialW com um produto interno definido em W.
Essa nota¸c˜ao (·,·) que usamos para o produto interno, n˜ao ´e a nota¸c˜ao de Dirac apresen- tada na Se¸c˜ao 1.1. Mas ser´a usada para que possamos introduzir a nota¸c˜aoh·,· isem causar confus˜ao.
Os estados quˆanticos que trabalharemos sempre estar˜ao em algum espa¸co vetorial com- plexo de dimens˜ao finita, e, em espa¸cos vetoriais dessa forma, um espa¸co de Hilbert ´e exa- tamente a mesma coisa que um espa¸co com produto interno. Assim, diremos que os estados quˆanticos est˜ao em algum espa¸co de Hilbert, e quando o fizermos, estaremos nos referindo `a algum Cn. Por isso, vamos definir um produto interno em Cn, o qual sempre ser´a utilizado quando quisermos calcular o produto interno entre os estados quˆanticos. Vamos representar por um momento os vetores coluna emCn,
|vi=
v1
... vn
,
como |vi = (v1, . . . , vn). Sejam |vi = (v1, . . . , vn), |wi = (w1, . . . , wn) ∈ Cn. O produto interno entre|vi e |wi´e definido como:
(|vi,|wi) = ((v1, . . . , vn),(w1, . . . , wn))≡X
i
vi∗wi =h
v1∗ · · · vn∗ i
w1
... wn
. (1.4)
Definindohv| ≡ |vi†, temos que
hv|=|vi†=
v1
... vn
†
=h
v1∗ · · · vn∗ i
.
Logo,
hv|wi=h
v1∗ · · · vn∗ i
w1
... wn
. (1.5)
Note que, como representamos um vetor|vi como matriz coluna, o seu dualhv|ser´a uma matriz linha, onde essa matriz ´e a transposta conjugada da matriz coluna que representa |vi.
E como definimoshv| ≡ |vi†, temos que (A|vi)†=hv|A†.
E f´´ acil verificar que o produto interno definido acima ´e realmente um produto interno em Cn.
Defini¸c˜ao 1.2. Sejam|vi,|wi e|ui vetores. Dizemos que os vetores |vie |wi s˜ao ortogonais se o produto interno entre eles for zero. E dizemos que |ui ´e um vetor unit´ario se a sua norma for igual a um, onde a norma de um vetor |ui ´e definido por
|||ui|| ≡p
hu|ui. (1.6)
Exemplo 1.3. Considere os vetores |0i e |1i. Veja que |0i e |1is˜ao ortogonais e ambos s˜ao unit´arios. De fato,
h0|1i=h
1∗ 0∗ i
0 1
=h 1 0
i
0 1
= 0 e
h0|0i=h
1∗ 0∗ i
1 0
=h 1 0
i
1 0
= 1,
h1|1i= h
0∗ 1∗ i
0 1
= h
0 1 i
0 1
= 1.
Defini¸c˜ao 1.4. Um conjunto de vetores |ii com i´ındice, ´e um conjunto ortonormal se cada vetor for um vetor unit´ario, e vetores distintos no conjunto s˜ao ortogonais, ou seja, hi|ji= δij, onde
δij =
1 se i=j 0 se i6=j
´e conhecido como delta de Kronecker.
Como exemplo, basta pegar o conjunto W = {|0i,|1i}. Pelas contas feitas no exemplo 1.3 temos queW ´e um conjunto ortonormal.
Quando aplicarmos algum operadorAem um vetor |vi, ou seja,A|vi, estaremos conside- rando uma representa¸c˜ao matricial do operador A em rela¸c˜ao `a bases ortonormais de sa´ıda e entrada desse operador. Caso a entrada e sa´ıda forem as mesmas, consideramos a mesma base ortonormal para ambas.
Defini¸c˜ao 1.5. Seja |vi um vetor em um espa¸co vetorial com produto interno V e seja |wi um vetor em um espa¸co vetorial com produto interno W. Definimos |wihv| como sendo o operador linear de V em W cuja a¸c˜ao ´e definida por
(|wihv|)(|v0i)≡ |wihv|v0i=hv|v0i|wi,
onde hv|v0i ´e o produto interno de |vi por |v0i em V, logo hv|v0i|wi´e um m´ultiplo de |wi. O operador linear |wihv| ´e conhecido como produto externo ou dyad.
Uma aplica¸c˜ao de produto externo ´e a seguinte:
Dada uma base ortonormal qualquer |ii para o espa¸co vetorial V e dado um vetor qualquer
|vi ∈V, sabemos que|vi pode ser escrito na base |iicomo
|vi=X
i
vi|ii, (1.7)
para algum conjunto de n´umeros complexos vi. ´E f´acil ver que hi|vi=vi. Logo X
i
|iihi|
!
|vi = X
i
|iihi|vi
= X
i
vi|ii
= |vi.
Como tomamos um vetor |vi ∈V qualquer, temos que X
i
|iihi|=I. (1.8)
A equa¸c˜ao (1.8) ´e conhecida como rela¸c˜ao de completude e ´e extremamente ´util em v´arios c´alculos.
Defini¸c˜ao 1.6. Sejam V um espa¸co de Hilbert e A um operador linear em V. Ent˜ao o operador linear A† em V tal que, para todos os vetores |vi,|wi ∈V temos que
(|vi, A|wi) = A†|vi,|wi
, (1.9)
´e chamado de operador linear adjunto ou conjugado Hermitiano. Quando A = A† dizemos queA ´e um operador Hermitiano ou auto-adjunto.
Observa¸c˜ao: Para n˜ao causar confus˜ao, novamente usamos parˆenteses para representar o produto interno entre os vetores|vi e A|wi e entre os vetores A†|vi e |wi.
Defini¸c˜ao 1.7. Seja W um subespa¸co vetorial de dimens˜ao d do espa¸co vetorial V de di- mens˜ao n. Considere{|1i, . . . ,|ni} uma base ortonormal paraV tal que {|1i, . . . ,|di}´e uma base ortonormal paraW. O operador
P ≡
d
X
i=1
|iihi| (1.10)
´e chamado de projetor do subespa¸co W.
Para qualquer projetor P temos que P2 =P.
De fato, sejam W um subespa¸co vetorial de algum espa¸co vetorial, {|1i, . . . ,|di} uma base ortonormal qualquer paraW e |vi um vetor qualquer do espa¸co vetorial. Temos que
P ≡
d
X
i=1
|iihi|
´e o projetor do subespa¸co W. Note que P2(|vi) = P(P|vi)
= P(h1|vi|1i+h2|vi|2i+· · ·+hd|vi|di)
= h1|viP|1i+h2|viP|2i+· · ·+hd|viP|di
= h1|vi
d
X
i
|iihi|(|1i) +h2|vi
d
X
i
|iihi|(|2i) +· · ·+hd|vi
d
X
i
|iihi|(|di)
= h1|vi|1i+h2|vi|2i+· · ·+hd|vi|di
= |1ih1|(|vi) +|2ih2|(|vi) +· · ·+|dihd|(|vi)
=
d
X
i
|iihi|(|vi)
= P|vi.
Como tomamos um vetor |vi qualquer, temos queP2 =P.
Defini¸c˜ao 1.8. Dizemos que uma matriz U ´e unit´aria se U†U = I. Do mesmo modo, dizemos que um operador U ´e unit´ario se U†U =I.
Observa¸c˜ao 1.9. Um operador ´e unit´ario se, e somente se, cada uma de suas representa¸c˜oes matricias s˜ao unit´arias. Al´em disso, se U ´e um operador unit´ario, ent˜ao tamb´em satisfaz U U† =I.
Defini¸c˜ao 1.10. Seja A um operador linear em um espa¸co vetorial V. Dizemos que A ´e um operador positivo se para todo |vi ∈V, hv|A|vi for um n´umero real n˜ao negativo.
Defini¸c˜ao 1.11. Sejam V e W espa¸cos vetoriais de dimens˜aom e n, respectivamente. Con- sidere V e W espa¸cos de Hilbert. Ent˜ao V ⊗W (V tensor W) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao m·n. Os elementos de V ⊗W s˜ao combina¸c˜oes lineares de produtos tensoriais
|vi ⊗ |wi de elementos |vi ∈V e |wi ∈W.
Usaremos muitas vezes as nota¸c˜oes|vwi ou|vi|wi para o produto tensorial |vi ⊗ |wi. E o produto tensorial de |vi por ele mesmok vezes, ser´a denotado por |vi⊗k.
Defini¸c˜ao 1.12. Sejam |vi ∈ V e |wi ∈ W vetores. Considere A e B operadores lineares em V e W, respectivamente. Definimos o operador linear A⊗B em V ⊗W pela equa¸c˜ao
(A⊗B) (|vi ⊗ |wi)≡A|vi ⊗B|wi. (1.11)
Uma representa¸c˜ao matricial para o produto tensorial, a qual ser´a dada agora, ´e conhecida comoproduto de Kronecker. SejamA uma matriz de ordemm×n eB uma matriz de ordem p×q. A representa¸c˜ao matricial de A⊗B fica da seguinte forma:
A⊗B =
A11B A12B . . . A1nB A21B A22B . . . A2nB
... ... . .. ... Am1B Am2B . . . AmnB
mp×nq
. (1.12)
Exemplo 1.13. Considere A=
2 0
0 −1
2×2
e B =h 1 4
i
1×2. Assim,
A⊗B =
2B 0B
0B −1B
=
2·1 2·4 0·1 0·4 0·1 0·4 −1·1 −1·4
=
2 8 0 0
0 0 −1 −4
2×4
. Defini¸c˜ao 1.14. O comutador entre dois operadores A e B ´e definido como
[A, B]≡AB−BA. (1.13)
Se [A, B] = 0, ent˜ao AB=BA e assim, dizemos que A comuta com B.
Defini¸c˜ao 1.15. O anticomutador entre dois operadores A e B ´e definido como
{A, B} ≡AB+BA. (1.14)
Se {A, B}= 0, ent˜ao AB=−BA e assim, dizemos que A anticomuta com B.
1.4 Matrizes de Pauli
Apresentaremos agora as matrizes de Pauli e algumas de suas propriedades. Muitas vezes iremos nos referir `a elas como operadores, pois representam operadores na base {|0i,|1i}.
Esses ser˜ao os operadores mais importantes que se far˜ao presentes nos pr´oximos cap´ıtulos desse trabalho.
As matrizes I ≡
1 0 0 1
, X ≡
0 1 1 0
, Y ≡
0 −i i 0
e Z ≡
1 0
0 −1
, (1.15)
s˜ao chamadas de matrizes de Pauli. Alguns textos chamam apenas as matrizes X, Y e Z de matrizes de Pauli e acrescentam a matriz I para os c´alculos. Por´em, em nosso trabalho, quando nos referirmos as matrizes de Pauli estaremos falando das quatro matrizes.
Veja que,
X|0i=
0 1 1 0
1 0
=
0 1
=|1i e
X|1i=
0 1 1 0
0 1
=
1 0
=|0i.
Por esse motivo a matriz X tamb´em leva o nome de matrizbit flip.
Veja tamb´em que,
Z|0i=
1 0
0 −1
1 0
=
1 0
=|0i e
Z|1i=
1 0
0 −1
0 1
=−
0 1
=−|1i.
onde −1 ´e conhecido como fator fase. Por esse motivo a matriz Z tamb´em leva o nome de matrizphase flip.
Essas quatro matrizes s˜ao Hermitianas e unit´arias. De fato,
X† = (X∗)> =
0 1 1 0
∗
>
=
0 1 1 0
>
=
0 1 1 0
=X e
XX† =XX =
0 1 1 0
0 1 1 0
=
1 0 0 1
=I.
Analogamente mostra-se que I, Y eZ s˜ao Hermitianas e unit´arias.
Temos tamb´em que as matrizesX e Y, X eZ e ainda, Y eZ anticomutam. De fato, XY =
0 1 1 0
0 −i i 0
=
i 0 0 −i
=i
1 0
0 −1
=iZ
e
Y X =
0 −i i 0
0 1 1 0
=
−i 0
0 i
=−i
1 0
0 −1
=−iZ.
Do mesmo modo, pode-se mostrar que XZ =−iY e ZX = iY, e tamb´em que Y Z = iX e ZY =−iX.
E, ´e claro, cada uma dessas matrizes comutam consigo mesma eI comuta com X, Y eZ.
Logo, as matrizes de Pauli comutam ou anticomutam. Esse fato ´e de crucial importˆancia e ser´a utilizado mais adiante.
1.5 Os Postulados da Mecˆanica Quˆantica e Medi¸c˜oes
Nesta se¸c˜ao, falaremos brevemente sobre os postulados da mecˆanica quˆantica, os quais foram obtidos atrav´es de tentativa e erro. Falaremos tamb´em sobre medi¸c˜oes quˆanticas conhecidas como medi¸c˜oes projetivas e medi¸c˜oes POVM, dando f´ormulas para a probabilidade de um poss´ıvel resultado ocorrer e como ficar´a o estado ap´os ser realizada uma medi¸c˜ao no mesmo.
Postulado 1: Associado a qualquer sistema f´ısico isolado est´a um espa¸co vetorial com produto interno, nesse caso um espa¸co de Hilbert, conhecido como o espa¸co de estados do sistema. O sistema ´e completamente descrito por seu vetor de estado, que ´e um vetor unit´ario no espa¸co de estados do sistema.
Dado um sistema f´ısico qualquer, infelizmente, a mecˆanica quˆantica n˜ao nos diz qual ´e o seu espa¸co de estado e n˜ao nos diz tamb´em qual ´e o seu vetor de estado. Descobrir isso para um sistema espec´ıfico ´e um problema dif´ıcil para o qual os f´ısicos desenvolveram muitas regras [24].
Fazendo uso de estruturas matem´aticas, o postulado 2 nos diz como o estado de um sistema quˆantico muda com o tempo.
Postulado 2: A evolu¸c˜ao de um sistema quˆantico fechado ´e descrita por uma transforma¸c˜ao unit´aria. Isto ´e, o estado |ψi do sistema no tempo t1 est´a relacionado ao estado |ψ0i do sistema no tempo t2 por um operador unit´ario U que depende apenas dos tempos t1 e t2,
|ψ0i=U|ψi. (1.16)
A mecˆanica quˆantica nos garante que a evolu¸c˜ao ocorre dessa forma, por´em n˜ao nos diz quais operadores unit´arios U descrevem a dinˆamica quˆantica do mundo real. As matrizes de Pauli s˜ao exemplos de operadores unit´arios agindo em um ´unico qubit.
Por fechado, o postulado quer dizer que o sistema n˜ao est´a interagindo de forma alguma com outros sistemas. Um fato muito importante ´e que, ao olharmos para um sistema quˆantico, ele n˜ao mais ser´a fechado, pois estaremos interagindo com ele, logo, possivelmente n˜ao ser´a mais descrito por uma evolu¸c˜ao unit´aria.
O postulado 3 descreve as estat´ısticas de medi¸c˜ao e descreve qual ser´a o estado do sistema quˆantico ap´os realizarmos a medi¸c˜ao.
Postulado 3: As medi¸c˜oes quˆanticas s˜ao descritas por uma cole¸c˜ao{Mm} de operadores de medi¸c˜ao. Esses s˜ao operadores que atuam no espa¸co de estados do sistema que est´a sendo me- dido. O ´ındicem refere-se aos resultados de medi¸c˜ao que podem ocorrer no experimento. Se o estado do sistema quˆantico for|ψiimediatamente antes da medi¸c˜ao, ent˜ao a probabilidade de que o resultadom ocorra ser´a
p(m) = hψ|Mm†Mm|ψi, (1.17) e o estado do sistema ap´os a medi¸c˜ao ser´a
Mm|ψi q
hψ|Mm†Mm|ψi
. (1.18)
Os operadores de medi¸c˜ao satisfazem a equa¸c˜ao de completude X
m
Mm†Mm =I. (1.19)
Como as probabilidades devem sempre somar um, exigimos que a rela¸c˜ao de completude seja satisfeita. Desse modo, as probabilidades ir˜ao somar um. De fato,
X
m
p(m) = X
m
hψ|Mm†Mm|ψi
= hψ|X
m
Mm†Mm|ψi
= hψ|I|ψi
= hψ|ψi
= 1.
