2.6 Limites e continuidade
2.6.1 No¸c˜ oes b´ asicas de topologia
Antes de definirmos este conceito, precisamos dumas no¸c˜oes de topologia. A Topologia ´e uma ´
2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 97
nosso estudo, precisamos apenas de algumas no¸c˜oes elementares sobre o conjunto dos n´umeros reais.
Defini¸c˜ao. Seja A um conjunto de n´umeros reais.
- Um ponto x diz-se interior a A se existe um intervalo aberto ]a, b[ tal que x ∈ ]a, b[ ⊆ A. - Um ponto x diz-se exterior a A se existe um intervalo aberto ]a, b[ tal que x ∈ ]a, b[ e
]a, b[ n˜ao intersecta A.
- Um ponto x diz-se fronteiro a A se qualquer intervalo aberto ]a, b[ contendo x intersecta A. - Um ponto x diz-se ponto de acumula¸c˜ao de A se qualquer intervalo aberto ]a, b[ contendo x
intersecta A em pontos diferentes de x.
O conjunto dos pontos interiores de A diz-se o interior de A; o conjunto dos pontos exteri- ores de A diz-se o exterior de A; o conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A, representada por ∂A; e o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de A diz-se o conjunto derivado de A, representado por A0. `A uni˜ao do interior de A com a sua fronteira chama-se fecho de A, denotado por A. Um conjunto A diz-se aberto se s´o cont´em pontos interiores e fechado se ´e igual ao seu fecho. Chama-se ainda complementar de A ao conjunto Ac que cont´em todos os
pontos que n˜ao pertencem a A; tˆem-se as rela¸c˜oes A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac= R.
Graficamente, os conceitos de interior, exterior e fronteira denotam exactamente o que aquelas palavas significam: os pontos interiores est˜ao dentro do conjunto A, no sentido em que n˜ao s´o pertencem a A como os pontos `a sua volta tamb´em; os pontos exteriores a A est˜ao fora de A, mais uma vez no sentido em que os pontos `a sua volta tamb´em n˜ao pertencem a A; e os pontos fronteiros separam os pontos interiores de A dos pontos exteriores de A. Os pontos fronteiros dividem-se em duas categorias: os pontos isolados, que pertencem a A mas n˜ao est˜ao pr´oximos de mais nenhum ponto desse conjunto, e os pontos de acumula¸c˜ao. Observe-se que todos pontos interiores a A s˜ao necessariamente pontos de acumula¸c˜ao de A.
A Figura 2.34 apresenta alguns exemplos destes conceitos relativos ao conjunto A = [−4, −2] ∪ {0} ∪ ]1, 3]. Os pontos −5, −1, 92 e 6 est˜ao fora do conjunto, bem como a viz- inhan¸ca (assinalada) que os cont´em. Os pontos −72, −52 e 2 est˜ao dentro do conjunto, bem como os intervalos marcados que os contˆem. J´a para os pontos −4, 0, 1 e 3, o intervalo assinal- ado intersecta A e o complementar de A, sendo claro que o mesmo se passa por muito pequeno que o intervalo se torne; estes pontos s˜ao pontos de fronteira. No caso dos pontos −4, 1 e 3, cada intervalo cont´em uma infinidade de pontos em A e fora de A: estes pontos s˜ao pontos de acumula¸c˜ao do conjunto A; no caso do ponto 0, o ´unico ponto de A contido no intervalo
0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 x
Figura 2.34: Pontos interiores, exteriores, fronteiros e de acumula¸c˜ao do conjunto A. Apontamentos de An´alise Matem´atica I
98 CAP´ITULO 2. FUNC¸ ˜OES REAIS DE VARI ´AVEL REAL
assinalado (e em qualquer outro mais pequeno) ´e o pr´oprio ponto 0, pelo que este ponto ´e um ponto isolado. Os pontos −72, −52 e 2 tamb´em s˜ao pontos de acumula¸c˜ao do conjunto.
Uma vez que vamos estar essencialmente interessados em intervalos (j´a que estaremos a trabalhar com dom´ınios de fun¸c˜oes), ´e ´util ter a ideia de como ´e que estes conceitos se traduzem em termos de intervalos. Para um intervalo I da forma [a, b], ]a, b], [a, b[ ou ]a, b[, com a < b, temos que:
- o interior de I ´e ]a, b[;
- o fecho e o derivado de I s˜ao [a, b]; - a fronteira de I ´e {a, b}.
Estas propriedades justificam a terminologia de intervalo aberto e intervalo fechado: os intervalos abertos s˜ao os que coincidem com o seu interior, ou seja, os da forma ]a, b[; e os intervalos fechados s˜ao os que coincidem com o seu fecho, ou seja, os da forma [a, b].
Para intervalos ilimitados a caracteriza¸c˜ao ´e semelhante. Para I = ]−∞, b[ ou I = ]−∞, b], temos que:
- o interior de I ´e ]−∞, b[;
- o fecho e o derivado de I s˜ao ]−∞, b]; - a fronteira de I ´e {b};
e analogamente para I = ]a, +∞[ ou I = [a, +∞[. Novamente, estas propriedades s˜ao coerentes com a terminologia de intervalo aberto ou fechado que temos vindo a usar.
Vejamos alguns exemplos. Os pontos 0, 1 e 2 s˜ao interiores ao intervalo [−2, 3], enquanto os pontos −3 e 4 s˜ao pontos exteriores a este intervalo. A fronteira de [−2, 3] ´e o conjunto {−2, 3}. As mesmas rela¸c˜oes continuam a verificar-se se considerarmos em vez deste o intervalo ]−2, 3[. J´a para o intervalo [1, +∞[ s´o temos um ponto fronteiro, o ponto 1. Todos os pontos acima deste valor s˜ao pontos interiores (como por exemplo 2, π ou √5), enquanto todos os valores inferiores a 1 s˜ao pontos exteriores a este intervalo (como por exemplo 0, 12 ou −4).
Exerc´ıcio 32. Indique o interior, exterior, fronteira e derivado dos seguintes conjuntos.
(a) [1, 2] (b) ]−2, 1] (c) ]−∞, −2[ (d) ]3, +∞[ (e) [−1, +∞[ (f) R
Para um conjunto que seja uma uni˜ao de intervalos, s´o h´a que ter cuidado com os pontos fronteiros e de acumula¸c˜ao. Por exemplo, se A = ]1, 3] ∪ ]3, 4], ent˜ao o ponto 3, que ´e fronteiro a ambos os intervalos ]1, 3] e ]3, 4], ´e interior a A e n˜ao fronteiro. J´a para A = ]1, 3[ ∪ ]3, 4], o ponto 3 ´e mesmo um ponto fronteiro deste conjunto.
Exerc´ıcio 33. Determine o interior, exterior, fronteira e derivado dos seguintes conjuntos. (a) ]1, 5[ ∪ ]−1, 3] (b) [0, 1[ ∪ ]1, 2] (c) {0, 1} ∪ ]1, 2] (d) ]2, +∞[ ∪ {0} ∪ ]−2, −1] (e) R \ {−1, 1} (f) ∅
2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 99
O conceito de ponto de acumula¸c˜ao ´e fundamental para a defini¸c˜ao de limite. Uma das caracteriza¸c˜oes alternativas (e ´uteis) de ponto de acumula¸c˜ao ´e a seguinte.
Proposi¸c˜ao. Um ponto x ´e ponto de acumula¸c˜ao dum conjunto A se e s´o se existe uma sucess˜ao de termos em A \ {x} cujo limite ´e x.
Por exemplo: o ponto 0 ´e ponto de acumula¸c˜ao de ]0, 1] porque a sucess˜ao un = 1n ´e uma
sucess˜ao de termos em ]0, 1] cujo limite ´e 0. J´a o ponto −1 n˜ao ´e ponto de acumula¸c˜ao desse conjunto porque nenhuma sucess˜ao de termos positivos pode ter limite −1.
Exerc´ıcio 34. Seja A = ]−3, −2] ∪ ]1, 3[. Para cada um dos seguintes pontos de acumula¸c˜ao de A, encontre uma sucess˜ao de termos em A cujo limite seja esse ponto.
(a) −3 (b) −52 (c) −2 (d) 1 (e) 2 (f) 3
Exerc´ıcio 35. Seja A = ]−2, 0] ∪ {2} ∪ ]3, 4[. Para quais dos seguintes pontos ´e que existe uma sucess˜ao de termos em A cujo limite seja esse ponto?
(a) −3 (b) −2 (c) 0 (d) 1 (e) 2 (f) 3