2.6 Limites e continuidade
2.6.4 Fun¸c˜ oes definidas por ramos
H´a um caso de fun¸c˜oes cuja continuidade n˜ao ´e imediata a partir da sua defini¸c˜ao: as fun¸c˜oes definidas por ramos. De facto, quando definimos uma fun¸c˜ao com express˜oes diferentes em diferentes subintervalos, a continuidade das fun¸c˜oes transcendentes elementares garante que ela ´e cont´ınua nos pontos interiores de cada um desses subintervalos e que ´e cont´ınua `a direita ou `a esquerda dos extremos que estejam inclu´ıdos no intervalo. Por´em, nada garante que os pontos de mudan¸ca de ramo n˜ao sejam mesmo pontos de descontinuidade.
Vejamos uma fun¸c˜ao simples que ilustra estas duas situa¸c˜oes: a fun¸c˜ao f definida por
f (x) = x + 1 x < −1 x2− 2x −1 ≤ x < 2 x − 2 x ≥ 2
Da continuidade das fun¸c˜oes transcendentes elementares (em particular, dos polin´omios), sabemos que f ´e cont´ınua em todos os pontos da recta real com excep¸c˜ao de −1 e 2. Sabemos ainda que ´e cont´ınua `a direita do ponto −1 (j´a que a express˜ao que a define nesse ponto ´e igual `
a express˜ao que a define `a direita desse ponto) e do ponto 2 (por uma raz˜ao an´aloga).
Para que f seja cont´ınua nos pontos −1 e 2, basta ent˜ao que seja cont´ınua `a esquerda em cada um deles. Vejamos o que se passa.
lim
x→−1−f (x) = limx→−1−x + 1 = −1 + 1 = 0 6= f (−1) = −1
lim
x→2−f (x) = limx→2−x
2− 2x = 4 − 4 = 0 = f (2) = 0
Ent˜ao f ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio excepto no ponto −1. Exerc´ıcio 44. Indique quais os pontos em que as seguintes fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas.
(a) g(x) = ( arctan 1x x < 0 1 + e1−x x ≥ 0 (b) h(x) = ( −e1x x < 0 log 1+x1 2 x ≥ 0
Mais do que determinar se uma fun¸c˜ao ´e cont´ınua, interessa muitas vezes determinar parˆametros que a tornam cont´ınua. ´E frequente, por exemplo, ter fun¸c˜oes que s˜ao lineares em cada intervalo, e que se pretende que sejam cont´ınuas; ent˜ao, torna-se necess´ario deter- minar o termo independente da express˜ao que define a fun¸c˜ao em cada intervalo por forma a atingir este objectivo.
2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 111
Exemplo. No sistema fiscal portuguˆes, o Imposto sobre o Rendimento das Pessoas Singu- lares (IRS) ´e determinado em fun¸c˜ao do rendimento colect´avel apurado em cada ano civil por aplica¸c˜ao duma taxa, definida em fun¸c˜ao dum escal˜ao determinado por esse mesmo rendimento. Por´em, as transi¸c˜oes entre escal˜oes s˜ao cont´ınuas, no sentido em que, num ponto de transi¸c˜ao entre escal˜oes, o imposto calculado pela f´ormula de ambos os escal˜oes tem o mesmo valor. Assim, ao valor do imposto a pagar ´e abatida uma parcela cujo valor ´e fixo em cada escal˜ao. Ou seja, o imposto a pagar por um rendimento R no escal˜ao i ´e dado por I(R) = Rti − Ai,
onde Ai designa a parcela a abater nesse escal˜ao.
Em 2010, os escal˜oes de rendimento e as taxas associadas s˜ao as seguintes.
Escal˜ao Rendimento Taxa
1 at´e e4793 10.5% 2 e4793 a e7250 13% 3 e7250 a e17.979 23.5% 4 e17.979 a e41.349 34% 5 e41.349 a e59.926 36.5% 6 e59.926 a e64.623 40% 7 acima de e64.623 42%
Vejamos como determinar as parcelas a abater em cada escal˜ao. No primeiro escal˜ao, esta parcela vale 0. Queremos que a fun¸c˜ao I seja cont´ınua; ent˜ao, tem de ser cont´ınua no ponto 4793, pelo que temos que ter limR→4793−I(R) = limR→4793+I(R). Ou seja,
lim
R→4793−(Rt1− A1) =R→4793lim +Rt2− A2 ⇐⇒ 4793 × 0.105 = 4793 × 0.13 − A2
⇐⇒ A2 = 119.825
donde a parcela a abater no segundo escal˜ao ´ee119.825. (O valor previsto na lei ´e de e119.82.) Conhecendo A2, podemos determinar A3 da mesma forma. Para que a fun¸c˜ao R seja
cont´ınua na transi¸c˜ao para o terceiro escal˜ao, temos de ter lim
R→7250−(Rt2− A2) =R→7250lim +Rt3− A3 ⇐⇒ 7250 × 0.13 − 119.825 = 7250 × 0.235 − A3
⇐⇒ A3 = 881.075
que ´e a parcela a abater no terceiro escal˜ao. (O valor previsto por lei ´e de e881.08.) Continuando este racioc´ınio, podemos calcular A4, A5, A6 e A7.
Exerc´ıcio 45. Verifique que os valores das parcelas a abater a partir do quarto es- cal˜ao do IRS s˜ao A4 = e2768.87, A5 = e3802.595, A6 = e5900.005 e A7 = e7192.465.
Exerc´ıcio 46. Determine o valor de k que torna cada uma das seguintes fun¸c˜oes cont´ınuas em todo o seu dom´ınio.
(a) f (x) = ( x2− k x > 1 sin(x − 1) + 2 x ≤ 1 (b) g(x) = ( e−x x ≥ 0 k − sin(x) x < 0
112 CAP´ITULO 2. FUNC¸ ˜OES REAIS DE VARI ´AVEL REAL
Outra situa¸c˜ao importante ´e a situa¸c˜ao em que pretendemos aumentar o dom´ınio duma fun¸c˜ao por forma a incluir a um ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio e de modo a que a fun¸c˜ao resultante seja cont´ınua. Podemos fazer isto se a fun¸c˜ao tiver limite (finito) nesse ponto.
Por exemplo: seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) = xx−12−1, que est´a definida em R \ {1}. Se calcularmos o limite de f no ponto 1, obtemos
lim
x→1f (x) = limx→1
x2− 1
x − 1 = limx→1(x + 1) = 2 .
Isto significa que podemos estender continuamente a fun¸c˜ao f ao ponto 1 definindo-a da se- guinte forma. f∗(x) = ( x2−1 x−1 x 6= 1 2 x = 1
Um exemplo um pouco mais interessante ´e o da fun¸c˜ao g definida por g(x) = sin(x)x em R \ {0}. Ao contr´ario da fun¸c˜ao f anterior, a express˜ao de g n˜ao pode ser simplificada; por´em, sabemos que limx→0g(x) = 1, pelo que podemos prolongar g a toda a recta real da seguinte
forma.
g∗(x) =
(sin(x)
x x 6= 0
1 x = 0
Em contrapartida, a fun¸c˜ao h definida por h(x) = sin 1x, tamb´em com dom´ınio R \ {0}, n˜ao pode ser prolongada `a origem de forma cont´ınua: o limite limx→0h(x) n˜ao existe. Para
verificar este facto, basta escolher dois infinit´esimos un e vn tais que lim h (un) 6= lim h (vn).
Podemos conseguir isto escolhendo un por forma a que sin
1 un
= 0 (para o que basta garantir que u1
n ´e um m´ultiplo de π, o que se obt´em fazendo un =
1
nπ) e vntal que sin
1 vn
= 1 (o que se obt´em desde que v1
n seja a soma de
π
2 com um m´ultiplo de 2π, por exemplo com vn = 1
π 2+2nπ
). Exerc´ıcio 47. Verifique se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao prolong´aveis por continuidade.
(a) f (x) = x2x−2x−32−9 (b) g(x) =
arcsin(x−1)
x2−x (c) h(x) = x+24−x
x−1x
A continuidade tem implica¸c˜oes importantes no estudo de fun¸c˜oes. H´a dois resultados fundamentais para fun¸c˜oes cont´ınuas: o Teorema do valor interm´edio (ou de Bolzano) e o Teorema de Weierstrass. Vamos dar alguma aten¸c˜ao ao primeiro, j´a que ´e uma boa aplica¸c˜ao da mat´eria coberta at´e aqui e tem um interesse pr´atico importante.
Teorema (Teorema do valor interm´edio). Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [a, b] e y um valor entre f (a) e f (b). Ent˜ao existe um ponto x tal que a < x < b e f (x) = y.
Este teorema justifica a forma de tra¸car gr´aficos que temos vindo a usar empiricamente desde o in´ıcio: uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao passa de um valor a outro sem passar por todos os valores interm´edios — o que implica que quaisquer dois pontos do seu gr´afico est˜ao ligados, ou seja, o seu gr´afico ´e uma linha sem quebras. As ´unicas excep¸c˜oes que vimos at´e agora foram as fun¸c˜oes definidas por ramos, que podiam ter saltos nos pontos de mudan¸ca de ramos (que acab´amos de ver que podem ser de facto descontinuidades) e as fun¸c˜oes cujo dom´ınio n˜ao ´
e cont´ıguo, cujo gr´afico necessariamente tem uma quebra nos pontos que n˜ao pertencem ao dom´ınio da fun¸c˜ao.
2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 113
Numericamente, este teorema (e em particular a sua prova) tem grande interesse porque permite obter solu¸c˜oes de equa¸c˜oes com a precis˜ao que se queira. Vamos ver a constru¸c˜ao num caso particular: o caso em que y = 0 e f (a) < f (b). Todos os casos podem ser reduzidos a este: para resolver f (x) = y resolvemos a equa¸c˜ao equivalente f (x) − y = 0; e se f (a) > f (b) aplicamos o m´etodo `a fun¸c˜ao −f .
Demonstra¸c˜ao (M´etodo da bissec¸c˜ao). Vamos definir recursivamente duas sucess˜oes a e b da seguinte forma:
1. a0 = a e b0 = b;
2. tomando c = an+bn
2 (o ponto m´edio do intervalo [an, bn]):
(a) se f (c) < 0, ent˜ao an+1= c e bn+1 = bn;
(b) se f (c) > 0, ent˜ao an+1= an e bn+1= c.
Por constru¸c˜ao, a sucess˜ao a ´e uma sucess˜ao crescente e a sucess˜ao b ´e uma sucess˜ao cres- cente. Ambas as sucess˜oes s˜ao limitadas (todos os seus temos est˜ao no intervalo inicial [a0, b0]),
logo s˜ao convergentes. Uma vez que a cada passo reduzimos o intervalo [an, bn] a metade, temos
tamb´em que |an− bn| ≤ b02−an0; ent˜ao lim an= lim bn.
Sendo x = lim an = lim bn, vamos ver que f (x) = 0. Uma vez que f ´e cont´ınua, temos que
f (x) = lim f (an) = lim f (bn). Mas f (an) < 0 para qualquer n, donde lim f (an) ≤ lim 0 = 0;
analogamente, lim f (bn) ≥ lim 0 = 0. Ent˜ao f (x) = 0.
Vejamos como podemos aplicar este m´etodo para encontrar solu¸c˜oes de equa¸c˜oes que n˜ao s˜ao resol´uveis analiticamente. Consideremos a equa¸c˜ao sin(x) = log(x). Tra¸cando os gr´aficos destas duas fun¸c˜oes, vemos que esta equa¸c˜ao tem uma solu¸c˜ao no intervalo [2, 3] (Figura 2.35).
x y 1 2 3 -1 1 4 5 2 f(x)=sin(x) g(x)=log(x)
Figura 2.35: Os gr´aficos de f (x) = sin(x) e g(x) = log(x) intersectam-se num ponto com abcissa entre 2 e 3.
Para usar o m´etodo da bissec¸c˜ao, tomamos h(x) = log(x) − sin(x) e vamos resolver a equa¸c˜ao h(x) = 0, observando que h(2) < 0 e h(3) > 0. Podemos construir uma tabela como a seguinte.
114 CAP´ITULO 2. FUNC¸ ˜OES REAIS DE VARI ´AVEL REAL n an bn c h(c) Caso 0 2 3 2.5 0.317 (b) 1 2 2.5 2.25 0.033 (b) 2 2 2.25 2.125 −0.096 (a) 3 2.125 2.25 2.188 −0.032 (a) 4 2.188 2.25 2.219 −1.1 × 10−4 (a) 5 2.219 2.25 2.235 0.016 (b) 6 2.219 2.235 2.227 0.008 (b) 7 2.219 2.227 2.223 0.004 (b) 8 2.219 2.223 2.221 0.002 (b) 9 2.219 2.221 2.220 9 × 10−3 (b)
Podemos portanto concluir que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao sin(x) = log(x) se encontra no inter- valo [2.219, 2.220]. Com os meios computacionais dispon´ıveis actualmente, ´e muito f´acil aplicar este m´etodo para obter solu¸c˜oes com precis˜oes de oito ou dez casas decimais quase instanta- neamente. Note-se que f (x) ´e zero com trˆes casas decimais para qualquer valor de x naquele intervalo.
A Figura 2.36 mostra a sequˆencia de pontos determinados.
x y 2.2 2 2.6 2.8 3 1 f(x)=sin(x) g(x)=log(x) 2.4 a0 a3 a4 5 a b6 b2 b1 b0
Figura 2.36: Resolu¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao sin(x) = log(x).
Exerc´ıcio 48. Aplique o m´etodo da bissec¸c˜ao para encontrar solu¸c˜oes das seguintes equa¸c˜oes.
(a) ex = 2 − x (b) x2− 2x = sin(x) (c) x3 − 2x = 3
O outro resultado ter´a um interesse te´orico nos cap´ıtulos seguintes.
Teorema (Weierstrass). Uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado [a, b] tem m´ınimo e m´aximo nesse intervalo.