Limite duma fun¸c˜ ao num ponto

Os n´umeros reais s˜ao por natureza uma abstrac¸c˜ao matem´atica. Na vida real, ´e imposs´ıvel medir exactamente uma distˆancia ou um intervalo de tempo; assim, muitas vezes ´e mais impor- tante saber como ´e que uma fun¸c˜ao se comporta pr´oximo dum ponto a do que propriamente nesse ponto. Em particular, ´e extraordinariamente ´util saber como ´e que os valores da fun¸c˜ao variam quando o argumento se aproxima nesse ponto.

A formaliza¸c˜ao desta ideia leva ao conceito de limite duma fun¸c˜ao num ponto. H´a v´arias defini¸c˜oes poss´ıveis de limite, que para o caso da An´alise Matem´atica s˜ao coincidentes. Apre- sentaremos aqui uma defini¸c˜ao baseada em sucess˜oes (limite `a Heine), que tem a vantagem de ser bastante concreta e f´acil de usar na pr´atica.

Defini¸c˜_{ao. Sejam f : R → R uma fun¸c˜ao e a um ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f . O} n´umero real b ´e o limite (`a Heine) de f em a, denotado limx→af (x) = b, se para qualquer

sucess˜ao u tal que lim un= a se tiver lim f (un) = b.

O requisito de a ser um ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f prende-se com a ideia de o limite reflectir o comportamento da fun¸c˜ao quando o argumento est´a “pr´oximo” de a; se a for um ponto exterior ao dom´ınio de f , n˜ao h´a qualquer informa¸c˜ao sobre o comportamento de f em pontos pr´oximos de a, porque f n˜ao est´a definida para esses valores. Se a for um ponto isolado, tamb´em n˜ao faz sentido falar no limite de f em a.

Podemos desde j´a estender esta defini¸c˜ao ao caso em que a = ±∞ ou b = ±∞ com o significado ´obvio; a ´unica ressalva a fazer ´e definir quando ´e que ±∞ ´e ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f . Dizemos que −∞ ´e um ponto de acumula¸c˜ao de um conjunto se esse conjunto n˜ao for minorado; e dizemos que +∞ ´e ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de um conjunto se Apontamentos de An´alise Matem´atica I

100 CAP´ITULO 2. FUNC¸ ˜OES REAIS DE VARI ´AVEL REAL

esse conjunto n˜ao for majorado. Em termos de limites de sucess˜oes, estamos a ser coerentes com o que dissemos atr´as: +∞ (ou −∞) ´e ponto de acumula¸c˜ao dum conjunto se existir uma sucess˜ao de termos nesse conjunto que ´e um infinitamente grande positivo (ou negativo).

Vejamos alguns exemplos. Exemplo.

1. Tomemos a fun¸c˜ao f definida por f (x) = x + 1 e calculemos o seu limite no ponto 2. Se u ´e uma sucess˜ao com limite 2, ent˜ao

lim f (un) = lim (un+ 1) = lim un+ 1 = 2 + 1 = 3 ,

donde limx→2x + 1 = 3.

2. Tomemos a fun¸c˜ao f definida por f (x) = x2 _{e calculemos o seu limite quando x → +∞.}

Se u ´e um infinitamente grande positivo, ent˜ao f (un) = u2n tamb´em ´e um infinitamente

grande positivo; logo limx→+∞x2 = +∞.

3. Consideremos a fun¸c˜ao g definida por g(x) = (x−1)_x−12 e vamos calcular o seu limite no ponto 1. Observe-se que neste ponto a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida.

Se u ´e uma sucess˜ao com limite 1 e cujos termos s˜ao diferentes de 1, ent˜ao lim g (un) = lim (un− 1)2 un− 1 = lim (un− 1) = lim un− 1 = 1 − 1 = 0 , donde limx→1 (x−1)2 x−1 = 0.

4. Consideremos agora a fun¸c˜ao h definida por h(x) = |x|_x e vejamos o que se passa no ponto 0. Sejam un= _n1 e vn= −1_n duas sucess˜oes com limite 0. Temos que

lim h (un) = lim |un| un = limun un = lim 1 = 1 lim h (vn) = lim |vn| vn = lim−vn vn = lim −1 = −1

tendo em conta que vn ´e uma sucess˜ao de termos negativos. Uma vez que h´a duas

sucess˜oes u e v que tendem para 0 tais que h (un) e h (vn) tˆem limites diferentes, podemos

concluir que a fun¸c˜ao h n˜ao tem limite no ponto 0.

5. Finalmente, seja h definida por h(x) = ex21 e calculemos lim_x→0h(x). Sendo u um

infinit´esimo, temos que

lim h (un) = lim e

1

u2_{n = e0+}1 _{= e}+∞_{= +∞ ,}

observando que u2_n ´e um infinit´esimo positivo.

Consideremos uma variante da fun¸c˜ao anterior: h(x) = e1x. Se calcularmos o limite de h

em 0, conclu´ımos que este n˜ao est´a definido. De facto, se u for um infinit´esimo positivo, temos que lim h (un) = lim e 1 un = e 1 0+ = e+∞= +∞ ,

2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 101

enquanto que se u for um infinit´esimo negativo temos lim h (un) = lim e

1 un = e

1

0− = e−∞= 0 .

Estas situa¸c˜oes s˜ao muito comuns, e d˜ao origem ao conceito de limite lateral : o limite da fun¸c˜ao f quando nos aproximamos de a vindos duma direc¸c˜ao.

Defini¸c˜_{ao. Sejam f : R → R uma fun¸c˜ao e a um ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f . O} n´umero real b ´e o limite `a direita de f em a, denotado limx→a+f (x) = b, se para qualquer

sucess˜ao decrescente u tal que lim un = a se tiver lim f (un) = b.

O n´umero real b ´e o limite `a esquerda de f em a, denotado limx→a−f (x) = b, se para

qualquer sucess˜ao crescente u tal que lim un= a se tiver lim f (un) = b.

Exemplo. Consideremos novamente a fun¸c˜ao h definida por h(x) = |x|_x. Se u for um in- finit´esimo positivo qualquer, ent˜ao |un| = un, donde

lim h (un) = lim |un| un = limun un = lim 1 = 1 e portanto lim x→0+ |x| x = 1 . Se v for um infinit´esimo negativo, ent˜ao |vn| = −vn, donde

lim h (vn) = lim |vn| vn = lim−vn vn = lim −1 = −1 , e portanto lim x→0− |x| x = −1 .

Claro que se limx→af (x) existir, ent˜ao esse limite coincide com os limites de f `a direita e

`

a esquerda desse ponto; o rec´ıproco tamb´em ´e verdade.

Proposi¸c˜ao. O limite de f em a existe se e s´o se existirem e forem iguais os limites laterais de f nesse ponto.

Exemplo.

1. Seja f definida por f (x) = _x21₋₁. Se u for uma sucess˜ao que tende para 1, ent˜ao u

2 n− 1 ´e

um infinit´esimo positivo; logo

lim f (un) = lim 1 u2 n− 1 = 1 0+ = +∞ . Logo limx→1 _x21₋₁ = +∞.

2. Seja agora g definida por f (x) = _x−33₊₈ e estudemos o limite desta fun¸c˜ao no ponto x = −2.

Se u for uma sucess˜ao que tende para −2 por valores superiores, ent˜ao u3

n + 8 ´e um

infinit´esimo positivo; logo

lim g (un) = lim −3 u3 n+ 8 = −3 0+ = −∞ .

102 CAP´ITULO 2. FUNC¸ ˜OES REAIS DE VARI ´AVEL REAL

Por´em, se u for uma sucess˜ao que tende para −2 por valores inferiores, ent˜ao u3 n+ 8 ´e

um infinit´esimo negativo; neste caso, tem-se lim g (un) = lim −3 u3 n+ 8 = −3 0− = +∞ .

Conclu´ımos assim que lim_x→−2+ −3

x3₊₈ = −∞ e que limx→−2− −3

x3₊₈ = +∞. Esta fun¸c˜ao

tem limites laterais diferentes no ponto −2, logo limx→−2_x−33₊₈ n˜ao existe.

Exerc´ıcio 36. Calcule o valor dos seguintes limites. (a) lim x→3 x + 5 x − 3 (b) lim x→2₃+ log(3x − 2) _{(c) lim} x→1 x + 1 x2_{− 1} (d) lim x→±3 x2 − 2x + 3 x2_{− 9}