Cadeia de Markov aplicada na análise da confiabilidade

Neste trabalho serão analisados, em tempo contínuo, sistemas que possuem o espaço de estados discreto, ou seja, Processos de Markov.

Para aplicação da teoria de Markov na análise da confiabilidade de sistemas, deve-se primeiramente considerar todas as possíveis combinações de funcionamento dos componentes integrantes. Assim são atribuídos os índices (1) para componentes em pleno funcionamento e o índice (0) para componentes em falha. Um sistema composto por (n) componentes apresenta (2 ) possíveis estados, onde o conjunto de estados é representado por S = {S , S , … , S } . A combinação dessas informações dará origem a matriz espaço de estados do processo de Markov. Sendo assim demonstrado na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 Matriz de Estados do Processo de Markov

Estados { } → Nº Componente ↓ 1 2 3 4 + 1 + 2 2 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 1 0 0 3 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0

É importante notar que cada estado é um vetor coluna de ordem (n) que representa o funcionamento ou não de cada componente, bem como do sistema (dependendo de sua configuração). O estado (S ) é referente ao início da operação do sistema, onde não existem falhas e o estado (S ) refere-se a falha de todos os componentes do sistema. Os estados intermediários são montados a partir de combinações de falhas, onde, admitindo-se a sequência de número de falhas (1,2,3, … , 2 ) distribuídas de acordo com número de componentes. Ou seja, admite-se primeiramente uma falha e essa é combinada para cada componente, após isto, admitem-se duas falhas no sistema e assim sucessivamente até o estado de falha total do sistema. O total de combinações de cada quantidade de falha, para todos os componentes, segue a lógica do triangulo de Pascal (MORAS, 2002).

Para um sistema contendo três componentes, a construção da matriz de estados segue o raciocínio abaixo, onde primeiramente deve-se determinar o número de estados possíveis (Ne) de acordo com a Equação 3.48.

= 2 = 8 , = º (3.48) Sendo assim o conjunto de estados é dado por S={S , S , S , S , S , S , S , S }. Como citado anteriormente o total de combinações para cada quantidade de falha segue o triângulo de Pascal, ver Tabela 3.3.

Tabela 3.3 Triangulo de Pascal para combinação de três componentes Coluna → Linha ↓ 0 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1

Sendo o sistema composto por três componentes, deve-se atentar para linha três do triângulo mostrado na Tabela 3.3. A partir da Tabela 3.4 abaixo, pode-se observar a contribuição desta analogia. Neste sistema existe um estado contendo zero falha (S ), três

estados contendo apenas uma falha (S , S , S ), três estados contendo duas falhas (S , S , S ) e por final um estado contendo a falha dos três componentes (S ).

Tabela 3.4 Contribuição da analogia do sistema com o triângulo de Pascal Nº de estados

(Linha 3 do triângulo de Pascal) 1 3 3 1

Nº falhas 0 1 2 3

Assim a matriz espaço de estados para um sistema contendo três componentes é dada através da Tabela 3.5.

Tabela 3.5 Matriz de Estados para três componentes Estado →

Componente ↓ 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 0 1 1 0 0 1 0

2 1 1 0 1 0 1 0 0

3 1 1 1 0 1 0 0 0

Observa-se que o estado (S ) comunica-se com os estados (S ), (S ) e (S ) através da falha de um componente, onde (λ) representa a taxa de falha que modela essa transição de estado. O contrário também é válido e os estados (S ), (S ) e (S ) comunicam-se com o estado (S ), porém através do reparo de um componente, com taxa (μ). Durante a análise das transições, considera-se uma variação de tempo extremamente pequena, que impossibilita mais de uma falha ou reparo por transição. Sendo assim, os estados que contém o mesmo número de falhas não se comunicam entre si.

Pode-se considerar a taxa de falha (λ) e de reparo (μ) constantes, e de acordo com Moras (2002) para que isso aconteça deve-se modelar o tempo de vida e de reparo com uma distribuição exponencial. Ele ainda afirma que processos deste tipo são descritos como Processos de Markov de Salto Puro. Hoel et al. (1972) trata em seu livro sobre a modelagem matemática destes e descreve a obtenção das equações de Chapman-Kolmogorov que descrevem este processo. A descrição deste modelo utilizará os princípios da teoria de Markov encontrados no livro de (RAMAKUMAR, 1993).

Dado um processo estocástico de tempo contínuo {X(t), t ≥ 0}, onde a variável X(t) representa o estado do processo no tempo (t) e todos os estados estão contidos no conjunto espaço de estados (S). Seguem algumas definições na Equação 3.49.

= ç , , ∈ =

( ) = { ( ) = | (0) = }

(3.49)

Onde (P ) representa a probabilidade de transição do estado (S ) para o estado (S ) num intervalo de tempo ( t) e (P (t)) a probabilidade de encontrar o sistema no estado (S ) no tempo (t). Sejam os estados (k), (i), (j), onde (k ≠ i ≠ j). Sendo (S ) um estado anterior a (S ) e (S ) um estado posterior a (S ). De acordo com Moras (2002), o comportamento deste processo estocástico é caracterizado através das informações contidas na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 Definição das equações de Processo de Markov

Condição Status em (t) Mudança em ( , + ) Status em ( , + ) Probabilidade correspondente

(a) Falha de dois ou mais

componentes 0( )

(b) Reparo de dois ou mais

componentes 0( )

(c) Falha de um componente + 0( )

(d) Reparo de um componente + 0( )

(e) Nenhuma falha ou reparo 1 + 0( )

(f) Reparo de um componente + 0( )

(g) Falha de um componente + 0( )

Fonte: Moras (2002)

Considerando as informações da tabela acima, pode-se definir a probabilidade de encontrar o sistema no estado (S ) no tempo (t + t) através da Equação 3.50.

A partir da Equação 3.50, utilizando a notação da Equação 3.49 e agrupando os índices (j) e (k) em um único índice tem-se a Equação 3.51.

( + ) = ∑ ( ) + 1 ∑ ( ) + ( ), ∈ (3.51)

Manipulando a equação 3.51, quando ( t → 0) tem-se a formulação das Equações 3.52 e 3.53.

( ) ( )

= ∑ ( ) ∑ ( ) + ( ) (3.52)

( ) = ∑ ( ) ∑ ( ) (3.53)

Para {i = 1,2, , 2 } , tem-se um conjunto de (2 ) equações diferenciais de primeira ordem, que podem ser escritas no formato matricial através de Equação 3.54.

( ) ( ) ( ) = … … … . ( ) ( ) ( ) (3.54)

Em resumo, tem-se Equação 3.55.

A matriz P(t) contém a probabilidade de cada evento, ou seja, de o sistema estar em cada estado. A matriz dos coeficientes do sistema de equações diferenciais ou simplesmente geradora (Q) é obtida a partir das taxas de falha e reparo do sistema em questão por meio da matriz das taxas (ρ) de ordem (ne x ne), definida pela Equação 3.56.

= … … … … (3.56)

Através da análise da matriz de estados pode-se determinar a matriz (ρ). A análise é realizada a partir da transição entre estados, deve-se perguntar: ‘O que fez o sistema mudar de (S ) para (S )?’. Se for a falha de um componente, deve-se atribuir a taxa de falha (λ), caso seja um reparo o índice deve ser (μ). Na diagonal principal, tem-se a somatória negativa de todos os elementos da linha.

Deve-se também subdividir o conjunto (S), onde os estados funcionais representam o sucesso da operação do sistema e pertencem ao subconjunto (S ). Os estados que representam a falha do sistema compõe o subconjunto complementar (S S ). De acordo com Moras (2002), para calcular o valor da confiabilidade do sistema, considera-se a interação entre dois estados operacionais, ou entre um estado operacional e um estado de falha, porém para o cálculo da disponibilidade pode-se considerar também a interação entre um estado de falha e um estado operacional bem como a interação entre dois estados de falha.

A partir das considerações acima, pode-se programar a dependência entre os componentes do sistema, os recursos de manutenção disponíveis e a politica de prioridade de manutenção nos componentes, sendo que a primeira afeta diretamente o valor de cada taxa (MORAS, 2002). Através da Equação 3.57, pode-se determinar a matriz geradora (Q).

= (3.57)

É possível determinar os valores de P (t) resolvendo o sistema de equações diferenciais acima. Com o conjunto de estados funcionais identificado, os valores para

confiabilidade e disponibilidade do sistema são dados pelas Equações 3.58 e 3.59 (sistemas não reparáveis).

( ) = ∑∈ ( ) (3.58) ( ) = ∑∈ ( ) (3.59)

A determinação dos valores de confiabilidade e disponibilidade se dá por meio da somatória da probabilidade de ocorrência dos estados funcionais, logo se faz necessário a resolução do sistema de equações. Dado um sistema de equações diferenciais conforme a Equação 3.54, no qual a matriz P(t) contém as probabilidades de cada estado no tempo (t), a matriz geradora (Q) possui todos os seus elementos constantes e P(0) representa o vetor de condições iniciais do modelo, dado por Equação 3.60.

(0) = (0) (0) (0) = 1 0 0 (3.60)

A solução da equação diferencial com condições iniciais P(0) é do tipo (Equação 3.61), onde a matriz (e ) é chamada de matriz de transição de estados.

( ) = . (0) (3.61)

Existem vários métodos que resolvem analiticamente uma equação diferencial, entretanto nem sempre é possível obter uma solução analítica e em casos assim os métodos numéricos são uma saída para se encontrar uma solução aproximada. O enfoque será a aplicação do método numérico de Rugge Kutta e de acordo com Moras (2002) o mais utilizado para solução deste tipo equacionamento seria o de Runge-Kutta explicito de quarta ordem. Este método consiste em comparar um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o cálculo das derivadas.

4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA