Problema 1 Otimização multiobjetivo disponibilidade versus custo em um

O primeiro problema a ser estudado nesta dissertação dá sequência ao trabalho de Castro e Cavalca (2006). Naquela ocasião, um sistema redundante composto por cinco subsistemas foi analisado através de um processo de otimização mono objetivo, no qual a disponibilidade foi calculada através de estatística e teoria de conjuntos e foi tratada como função objetivo. O custo, peso e volume eram restrições do processo.

Portanto, o objetivo principal da análise desenvolvida neste trabalho consiste em realizar uma otimização multiobjetivo para avaliação do mesmo sistema redundante, no qual as funções objetivo serão a disponibilidade e o custo. Para o cálculo da função disponibilidade empregam-se as abordagens combinatória (probabilidade e teoria de conjuntos) e estocástica (Cadeia de Markov).

Como objetivo secundário serão utilizados três algoritmos multiobjetivo para solução do problema de otimização, a partir dos resultados obtidos será selecionado o algoritmo que apresentar o melhor resultado para ser utilizado nos próximos problemas.

Os algoritmos que compões esta análise são: Algoritmo Genético, através da versão (NSGA2); Algoritmo Vagalume, representado por (MOFA) e por final o algoritmo Enxame de Partículas com a versão (MOPSO). A Figura 4.2 ilustra o fluxo seguido para análise deste problema.

Figura 4.2 Fluxograma de análise do primeiro problema de otimização

O sistema estudado inclui o conceito de redundância de unidade, pois projetos que utilizam este conceito apresentam maiores valores para taxa de disponibilidade. A Figura 4.3 representa o sistema em questão, sendo este composto por cinco subsistemas em paralelo, com componentes redundantes ativos e ligados em série.

Figura 4.3 Sistema Redundante

O subsistema 1 é composto por (y ) componentes redundantes idênticos entre si, o subsistema 2 da mesma maneira possui (y ) componentes idênticos, assim dado o subsistema (i), existe um número (y ) de componentes redundantes idênticos dentro de seu estágio.

Cada subsistema possui características individuais, justificado pelo uso da configuração de redundância de unidade. As variáveis do problema que compõe a análise são:

 - Taxa de falha dos componentes de ( );  - Taxa de reparo dos componentes de ( );

 – (%) Recursos de manutenção corretiva utilizados em ( );  - Custo dos componentes de ( );

 - Custo relativo ao aumento percentual de manutenção;  - Custo de manutenção corretiva.

Serão analisadas as funções:

 Complementar da disponibilidade ( );

 Custo global, que incorpora em sua formulação tanto custo de aquisição como o de manutenção.

Neste problema, os algoritmos foram preparados para minimizar as funções objetivo, em termos de (Rec , y ), de acordo com Equação 4.8.

min : → ( , )

: → ( , ) (4.8)

É importante salientar que para obtenção de máximos valores na função disponibilidade é possível minimizar seu complementar ( ), ver Equação 4.9.

= 1 (4.9)

Em um sistema série-paralelo como o representado pela Figura 4.3, o cálculo da disponibilidade através da abordagem clássica é dado através da Equação 4.10, de acordo com (CASTRO E CAVALCA, 2006).

= ∏ 1 (1 ) (4.10)

Considerando uma distribuição exponencial da variável tempo de falha, a disponibilidade de cada componente (A ) pode ser obtida através da Equação 3.31. Combinando as Equações 3.31 e 4.10 tem-se a disponibilidade deste sistema em função da dependabilidade, representada na Equação 4.11.

= ∏ 1 (4.11)

De acordo com a formulação dos algoritmos é necessária à obtenção da função ( ), sendo esta formulada em termos do número de componentes redundantes e do percentual de recursos de manutenção. Combinando as Equações 4.3, 4.9 e 4.11, tem-se Equação 4.12.

= = 1 ∏ 1

[( ) ] (4.12)

A formulação estocástica da função disponibilidade que descreve o sistema estudado é calculada através da Cadeia de Markov, no qual cada subsistema é tratado individualmente (paralelo) e por final será empregado o conceito de sistema em série, matematicamente descrito através da Equação 3.32.

Dado o subsistema (i), o algoritmo formulado para o cálculo da função objetivo ( ) segue os passos mostrados na Figura 4.4.

Figura 4.4 Fluxograma da formulação através da Cadeia de Markov

Detalhando o fluxograma acima:

1. A matriz espaço de estados é formada através do número de componentes redundantes ( ), representando as linhas, e pelo número de possíveis estados ( ) (Equação 4.13), representando as colunas, como no exemplo (Tabela 3.2).

= 2 (4.13)

2. Através da análise da matriz de estados, formula-se a matriz de taxa de transição (ρ), considerando as transações entre estados e o que de fato levou o componente a mudar, seja uma falha, modelada por (λ ), ou um reparo (μ ). A taxa ( ) representa a ‘velocidade’ para realização do reparo, ou seja, quanto maior o seu valor, mais rápido este sistema poderá voltar a desempenhar suas funções de projeto. Considerando a influência do processo de manutenção sob esta taxa, sendo os sistemas que recebem maior percentual de recursos de manutenção aqueles reparados com mais velocidade, pode-se definir a taxa de reparo em

função da variável ( ). Sendo (β = 1) o coeficiente de incremento. A função que descreve o reparo é dada pela Equação 4.14, onde (μ ) representa a taxa de reparo inicial.

= (1 + ) (4.14)

3. A matriz geradora dos coeficientes da equação diferencial (Q) é dada pela Equação 3.56.

4. É obtido o sistema de equações diferenciais, de acordo com a Equação 3.53. 5. O sistema de equações diferenciais é resolvido através de solução numérica,

disponível no software Matlab.

6. Em um subsistema composto por componentes idênticos entre si e em paralelo, o único estado que representa a falha total deste é o último, ou seja, aquele em que todos os componentes falharam. Neste contexto, a disponibilidade de um subsistema (i) com componentes redundantes em paralelo é calculada através da probabilidade complementar à probabilidade de encontrar o sistema no último estado.

7. O valor da disponibilidade do subsistema (i) é carregado na posição (i) do vetor [A], vetor este que guarda os valores de cada subsistema.

8. Devem-se realizar os passos anteriores para todos os subsistemas.

9. Considerando que os subsistemas estão operando em série, e que a disponibilidade de um sistema nesta configuração é dada pela Equação 3.31. O valor da disponibilidade de todo o sistema é o produto do vetor [A].

10. A função ( ) é dada combinando a Equação 4.9 e o produto do vetor [A], vide Equação 4.15.

= ( ) = 1 ∏ [ ] (4.15)

No que tange a programação da função objetivo, faz-se necessário o detalhamento do passo 2 do fluxograma acima, sendo este responsável pela montagem da matriz ( ), ver Figura 4.5.

A função objetivo custo (Equação 4.16) é obtida através da combinação das Equações 4.1 e 4.2 e foi sugerida no trabalho de Castro e Cavalca (2006).

= ∑ + ∑ + ∑ ( ) (4.16)

Figura 4.5 Montagem da Matriz Rho

4.3.2 Problema 2 - Análise de um sistema redundante com sobrecargas

No estudo da teoria de confiabilidade, existem sistemas cujas taxas de falha e de reparo não podem ser consideradas independentes do estado atual de funcionamento, logo este tipo de projeto não pode ser analisado através de métodos clássicos. Como exemplo, temos os projetos com redundância ativa, que operam dividindo a carga total do sistema, no qual se um componente falhar a carga adicional aplicada nos demais elementos implicará para o aumento no valor de suas taxas de falha. Arya et al. (2010) modela o comportamento de uma sobrecarga elétrica em um componente, no entanto considera que todo comportamento de excesso de carga deveria ser inserido em uma taxa de falha ( ).

Este segundo problema tem como objetivo analisar o sistema representado na Figura 4.3 incluindo o pensamento de sobrecarga, onde a taxa de falha deixa de ser constante e varia de acordo com número de componentes em falha em um determinado estado.

Em adição ao fluxograma da Figura 4.4 este problema insere durante o passo (2), uma função em que a taxa de falha varia de acordo com um contador de componentes falhados (CF). Esta hipótese possibilita a modelagem do sistema de maneira mais realista, pois conforme os componentes do sistema vão saindo de funcionamento o excesso de carga faz com que a taxa de falha dos componentes ainda operantes aumente.

Para um melhor entendimento, seja um sistema contendo três componentes, a matriz de estado que o representa está descrita na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 Matriz de estados para sistema redundante com três componentes Estado → Componente ↓ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 0 0 3 1 1 1 0 1 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0

A variável (c ) apresenta o tamanho do vetor coluna que representa os estados. A variável (c ) retorna a soma dos elementos do vetor coluna, representando a quantidade de componentes em operação. A obtenção da quantidade de componentes que falharam (CF) é dada através da Equação 4.17.

= (4.17)

Neste trabalho, a função taxa de falha variável, em função da quantidade de componentes falhados, é representada pela Equação 4.18.

Onde (λ ) representa a taxa de falha inicial, ou seja, quando todos os componentes operam sem falhas. Os coeficientes (α) e (γ) são fatores para simular o incremento da taxa de falha conforme o número de componentes falhados (CF) aumenta.

Tabela 4.2 Função taxa de falha para até três componentes falhados

Estados N. de Componentes falhados

( ) Equação de ( ) 1 0 2, 3 e 4 1 = [1 + (1 )] 5, 6 e 7 2 = [1 + (2 )] 8 3 = [1 + (3 )]

A Tabela 4.2 demonstra como a função de (λ) cresce com a distribuição de falha. É importante ressaltar que esta distribuição é facilmente obtida através do Triangulo de Pascal.

4.3.3 Problema 3 - Análise da disponibilidade versus custo em um sistema de distribuição de água

A disponibilidade de equipamentos de produção tem papel fundamental na lucratividade das organizações, onde os impactos de um processo de manutenção inadequado podem ser observados através de paradas de linha, excesso de gastos com aquisição de componentes de manutenção, etc. Neste contexto, o estudo da confiabilidade e disponibilidade de equipamentos e sistemas é uma interessante proposta para orientar a estratégia de manutenção de forma eficiente.

O terceiro problema proposto neste trabalho tem como objetivo estudar um caso real da aplicação de teoria tratada neste trabalho, no qual através da Cadeia de Markov pode-se estimar a disponibilidade de um sistema de captação de água de uma indústria. Será utilizado na análise um processo de otimização multicritério (disponibilidade versus custo) objetivando uma eventual proposta de melhoria. Essa análise pode fornecer dados interessantes e sua melhoria do ponto de vista de confiabilidade está diretamente ligada ao aumento da

produtividade dessa indústria, que se tornaria, então, mais competitiva em relação a seus concorrentes.

Esta organização capta água de um rio em suas proximidades para utilizá-la em seu processo (na forma de vapor para desenvolvimento de potência). Pode-se considerar que essa captação é realizada por três bombas submersíveis, que direcionam a água para dois tanques. Existem ainda duas bombas ligadas a esses tanques que direcionam a água para o processo, conforme Figura 4.6.

Figura 4.6 Processo de captação de água

A falha desse sistema gera a falta de água no processo, fazendo com que a fábrica fique parada até o reparo, ocasionando perdas de produção. É importante salientar que o sistema falha se ocorrerem as seguintes circunstâncias:

 As três bombas submersíveis falharem;  Os dois tanques falharem;

 As duas bombas de processo falharem.

Como citado anteriormente, durante a análise de confiabilidade existem sistemas cujas taxas de falha não podem ser consideradas independentes do seu estado atual e, portanto, não podem ser analisadas pelo método combinatório. No caso proposto, em que há sistema de

bombas redundantes que operam dividindo a carga, isso ocorre. Caso uma dessas bombas falhe, as outras trabalham com maior carga, o que contribui para um aumento da sua taxa de falha. Esta sobrecarga será considerada durante a evolução dos estados que compõe a análise através de Markov (Equação 4.18).

Este processo fabril pode ser representado pelo sistema série-paralelo (redundância de unidade) representado na Figura 4.7. Nesta análise as tubulações que ligam os subsistemas não serão consideradas.

Figura 4.7 Sistema redundante do processo de captação e distribuição de água

Os dados para essa modelagem estão contidos na Tabela 4.3 e Tabela 4.4, onde são consideradas iguais entre si, as bombas submersíveis, os tanques e as bombas que levam para o processo a água. Os componentes operam conjuntamente e na falha de um dos componentes do subsistema o outro será sobrecarregado.

Tabela 4.3 Dados falha e reparo para análise do problema 3

Componente Taxa de Falha inicial Taxa de Reparo inicial

A 0,7519 121,7

B 1 3,34

C 1,1630 9,0408

Tabela 4.4 Custos envolvidos na análise do problema 3

Componente Custo de aquisição (R$)

Custo anual de Manutenção (R$)

Custo dos recursos de manutenção (R$)

( )

A 260.000,00 2.967,02 693,00

B 2.000.000,00 78,50 710,69

5 SIMULAÇÃO E RESULTADOS

5.1 Problema 1 - Otimização multiobjetivo disponibilidade versus custo em um sistema