timento. Quer dizer, se um ciclo amortecido é inerente à equação
it = a
1 + c it–θ + µ
∆it–θ–ω
∆t (23′)
então, quando εt é o choque irregular ao tempo t, a equação:
it = a
1 + c it+θ + µ
∆it–θ–ω
∆t + εt (23′′)
representará flutuações não amortecidas semi-regulares. No exame fei- to do assunto, parecia, conforme foi dito acima, que esse ciclo era bas- tante regular e de amplitude apreciavelmente maior que a dos choques irregulares se o amortecimento era de pouca intensidade. Com um amortecimento mais significativo, o ciclo gerado tornava-se irregular e sua amplitude assumia a mesma ordem de magnitude da dos choques. Isso pode ser ilustrado pelo seguinte exemplo. A primeira variante do modelo de ciclo econômico, obtida acima a partir dos dados dos Estados Unidos para o período de 1929/40, envolve flutuações ligeiramente amortecidas. O amortecimento é de cerca de 1,5% ao ano e o período é de 8,5 anos. Se introduzirmos os choques irregulares no modelo, veremos que aparecem flutuações cíclicas bastante regulares.
A nossa equação é: it = 0,734it–1 2 + 0,634it– 1 2 – 0,489it– 1 2 – 0,245it– 5 2 +εt (28′′)
Para produzir os choques irregulares extraímos 160 algarismos aleatórios, de 0 a 9, da tabela de números aleatórios, de Tippett.87 Os
desvios desses algarismos da média aritmética, isto é, de 4,5, são to- mados como sendo os choques irregulares, ε.
Abaixo aparece o cálculo de i a partir da equação acima para alguns períodos:
Os cinco primeiros choques, ε0,ε1,ε2,ε3, e ε4,, são tomados também como
os valores iniciais de i. Dessa forma aparecem tanto na segunda como na terceira coluna. Para o período 5, de acordo com a equação acima,
i0, i1, i2, i3 e i4 são multiplicados pelos coeficientes 0,734, 0,634, –0,489,
0 e 0,245, respectivamente, e somados. Esta soma, mais o choque ε5
nos dá i5. Da mesma forma, multiplicamos i1, i2, i3, i4 e i5 pelos mesmos
coeficientes e adicionamos ε6 a essa soma para obter i6, e assim por
diante. O it obtido corresponde aos intervalos semestrais. A curva A
do gráfico 16 representa os dados anuais para i, isto é, as médias aritméticas i5+ i6
2 ,
i7+ i8
2 etc., numeradas 1, 2 etc.
Veremos que as flutuações obtidas exibem um ciclo bastante re- gular com um período médio de cerca de 8 anos. (O período do ciclo amortecido original é de 8,5 anos). A amplitude dos ciclos vai de 12 a 25 anos e, portanto, é apreciavelmente mais alta que o máximo absoluto da magnitude dos choques, que é de apenas 4,5.
É evidente que o ciclo ligeiramente amortecido de nosso modelo para os Estados Unidos não pode ser apresentado como o padrão do
87 As tabelas de Tippett consistem em colunas de números de 4 algarismos. Tomamos os algarismos do primeiro número, depois os do segundo número etc., da primeira coluna. Utilizamos os primeiros 40 números, obtendo assim 160 algarismos.
ciclo econômico em geral. Poderia ter havido um amortecimento muito mais forte. Vamos, portanto, calcular o efeito de um amortecimento maior, por exemplo, quando todos os coeficientes, exceto o de it – 1, da
equação (28′′′) são reduzidos em 20%. A nova equação (com os coefi- cientes arredondados) fica sendo então:
it = 0,6it–1 2 + 0,6it–1 – 0,4it– 3 2 – 0,2it– 5 2 + εt
O ciclo baseado nessa equação é bastante amortecido, sendo o amortecimento de cerca de 14% ao ano. O período de duração é de cerca de 8 anos. Introduzimos então nesse modelo a mesma série de choques que foi empregada acima. Os resultados estão representados pela curva B no gráfico 16. A curva B então é o equivalente da curva
A com um amortecimento muito maior.
Gráfico 16. Ciclos ligados a choques irregulares.
A modificação do padrão que resulta do amortecimento mais forte é fácil de se observar. Numa secção da curva não é discernível ciclo regular algum. A amplitude é de, no máximo, 12, mas em geral é muito mais baixa, caindo freqüentemente abaixo do valor máximo ab- soluto dos choques (isto é, 4,5).
Isso demonstra claramente as dificuldades inerentes à teoria aci- ma exposta. É impossível supor que os coeficientes da “equação do ciclo econômico” sejam necessariamente de molde a produzir amorte- cimentos suaves (como foi o caso do modelo dos Estados Unidos para o período de 1929/40). Por outro lado, um amortecimento forte leva a um ciclo bastante irregular e de pequena amplitude. Isso tem servido de base para vários autores tentarem a arriscada suposição de que os ciclos econômicos originais não são amortecidos e que conseqüente- mente se transformam, mais cedo ou mais tarde, em ciclos de amplitude constante, atingindo o “teto”. Contudo, não há confirmação para a teoria segundo a qual o “teto” seria em geral atingido na fase de prosperidade. Chegamos, portanto, a uma espécie de impasse.
A próxima parte sugere uma solução para esse problema. Ali procuramos demonstrar que as dificuldades encontradas se deviam ao tipo de choques considerados e que outros padrões de choques, que entendemos estar mais próximos à realidade, tendem a gerar ciclos econômicos que não se “desintegram” com um amor- tecimento maior.
A nova perspectiva
Os movimentos irregulares utilizados acima apresentavam dis- tribuição de freqüência harmônica, isto é, os choques com o maior ou com o menor desvio da média eram igualmente freqüentes. (Por exemplo, a freqüência de 5 com o desvio da média de +0,5 era a mesma de 9 com o desvio da média de +4,5.) Também foram usados choques de distribuição de freqüência harmônica nas experiências com flutuações cíclicas geradas por choques, que foram feitas pela primeira vez por Slutsky,88 e na aplicação específica aos ciclos eco-
nômicos realizada por Frisch.89
Contudo, supõe-se em geral que os erros aleatórios estão su- jeitos a uma distribuição de freqüência normal. Isso se baseia na hipótese de que eles próprios constituem a soma de numerosos erros elementares e no teorema de Laplace-Liapounoff, segundo o qual essas somas obedecem a uma distribuição de freqüência normal. Isso, na verdade, constitui a base teórica para a aplicação do método dos mínimos quadrados.
Ora, quer os choques irregulares encontrados nos fenômenos eco- nômicos possam ou não ser considerados a soma de numerosos choques aleatórios elementares, parece razoável supor que os choques maiores apresentam freqüência menor que os choques pequenos. Assim, a su- posição da distribuição de freqüência normal parece ser mais razoável que a da distribuição de freqüência harmônica. Como veremos a seguir, foram obtidos resultados muito interessantes de uma experiência que fizemos seguindo essa linha.
Para obter uma série de choques com distribuição de freqüência aproximadamente normal, calculamos somas de cinqüenta algarismos cada, algarismos esses retirados da tabela de Tippett acima referida.90
88 "A somatória das causas aleatórias como fonte dos processos cíclicos". In: Problemas Eco- nômicos. Instituto da Conjuntura. Moscou, 1927.
89 Ensaios Econômicos em Homenagem a Gustav Cassel. Londres, 1933.
90 Cada página dessas tabelas compreende 8 colunas de 50 números de 4 algarismos. Pode-se lê-las como 32 colunas de 50 algarismos. Cada uma dessas colunas foi somada verticalmente, obtendo-se 32 somas de 50 algarismos aleatórios. As 4 primeiras páginas foram processadas dessa maneira, obtendo-se uma série de 128 choques com distribuição aproximadamente normal.
Os desvios dessas somas de sua média (isto é, de 4,5 x 50 = 225) foram submetidos à mesma operação realizada em nossa primeira experiência.
it foi calculado primeiramente por meio da equação:
it = 0,734it–1 2 + 0,634it–1 – 0,489it– 3 2 – 0,245it– 5 2 +εt (28′′)
a qual envolve um amortecimento suave; e a seguir através da equação:
it = 0,6it–1 2 + 0,6it–1 – 0,4it– 3 2 – 0,2it– 5 2 +εt
à qual é inerente um amortecimento mais forte. No gráfico 17 aparecem as respectivas curvas C e D.
Pode-se ver imediatamente que aqui a posição é muito diferente da de nossa experiência anterior. A curva D, que corresponde a um amortecimento muito maior, apresenta um padrão bem semelhante ao da curva C. Ambas têm um período médio bastante definido, de cerca de 8 anos para a curva C e de aproximadamente 7,5 anos para a curva
D. (O período de duração dos ciclos originais é de 8,5 e 8 anos, res-
pectivamente.) A amplitude da curva D é apenas um pouco menor que a da curva C.
Apesar de esses resultados ainda estarem a exigir uma explicação matemática, o fenômeno em si é virtualmente certo: o ciclo gerado pelos choques com distribuição de freqüência normal apresenta uma estabilidade considerável com relação a modificações na equação básica que envolve acréscimos substanciais do amortecimento. Assim, mesmo com um amortecimento relativamente forte, esses choques geram ciclos bastante regulares.
Esse resultado é de importância considerável. Demonstra que um ciclo semi-regular pode ocorrer mesmo que a “equação do ciclo econômico” envolva uma dose substancial de amortecimento. Fica assim eliminada a necessidade de aceitarmos o ciclo explosivo como sendo o padrão geral das flutuações econômicas, o que havíamos considerado em desacordo com a realidade.
Poderá ser interessante comparar as flutuações econômicas reais no decurso de vários anos com a série artificial construída acima. No gráfico 17 o leitor encontrará a curva M representando o desvio relativo da tendência do índice combinado dos Estados Unidos para os setores
Gráfico 17. Ciclos provocados por choques irregulares de distribuição nor- mal (C e D), e flutuações cíclicas reais nos Estados Unidos, 1866-1914 (M).
manufatureiros, dos transportes e do comércio para o período de 1866- 1914, de acordo com Frickey.91 As flutuações reais divergem de nossas
flutuações geradas pelos choques somente na medida em que são li- geiramente menos regulares.