FIGURA 13 - Capa do livro Matemátiica Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição.)
Ao abrirmos este 4º volume já tivemos uma surpresa, Sangiorgi utiliza o
diagrama de flechas logo na contra-capa do livro, utilizando-os até mesmo antes de iniciar a abordagem dos conteúdos presentes no livro.
A importância do estudo de funções na 4ª série pode ser percebida pelo seguinte trecho extraído do prefácio do livro:
Neste livro o conceito moderno de função é o dominante, participando ativamente da Álgebra e da Geometria. As equações do segundo grau, bem como os problemas que envolvem, terão um tratamento atualizado, segundo a linha já empregada no estudo das equações em outras séries. (SANGIORGI, prefácio, 1967).
Sabendo que os autores são “agentes” de uma cultura com representação social, educacional e didática e que eles expressam suas representações em suas obras didáticas e certamente suas apropriações, olhamos para a figura 14 e percebemos que “é necessário também prestar atenção àquilo que eles silenciam, pois se o livro didático é um espelho, pode ser também uma tela”.(CHOPPIN, 2004, p. 557).
Notamos que logo abaixo do diagrama de flechas Sangiorgi faz menção ao desenvolvimento da Matemática. Acima desta linha do tempo nos parece que o
FIGURA 14 – Contra-capa do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de
desenhista coloca desenhos que representam tecnologias. Sabemos que as
décadas de 1960 e 1970 foram um marco importante para o crescimento do Brasil, inclusive tecnológico. Tudo nos leva a crer que estas figuras caracterizaram uma concepção do autor ligando o MMM com as novas tecnologias, com a modernidade.
Sangiorgi escreve no prefácio:
Ao final deste volume, você ficará de posse dos assuntos de Matemática relativos aos quatro anos de estudos do Ginásio. E não se esqueça: você estará incluído no primeiro grupo de jovens brasileiros que completa seu curso ginasial conhecendo as belas estruturas da Matemática Moderna, a exemplo do que já vem ocorrendo nos grandes países civilizados de nossa época. [...] Está, pois, encerrada a coleção de livros didáticos para o Ginásio, destinada à sua formação matemática e humanística, de acordo com os anseios renovadores dos atuais homens de Ciência. (SANGIORGI, 1967 – grifo nosso ).
Da citação acima, notamos claramente que o autor utiliza uma estratégia para que o aluno se encante com as estruturas da Matemática Moderna, e completa dizendo que a sua coleção didática para o Ginásio está “de acordo com os anseios renovadores dos atuais homens de Ciência”, ou seja, está preparando o aluno para enfrentar os desafios da sociedade moderna.
No 4º volume do Guia para o Professor, Sangiorgi escreve:
É com satisfação que, depois de três anos de atividades ininterruptas desenvolvidas por grupos de professores universitários e secundários, podemos registrar o êxito da reformulação do ensino da Matemática na escola média brasileira. [...] Não basta a criança adquirir rudimentos de leitura, de escrita e de cálculo, como coisas sem ligação; é essencial que, por intermédio do cálculo (como
FIGURA 15 – Contra-capa do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
técnica) e desenho (como fonte emuladora de seu espírito criador), ela possa, por meio das estruturas comuns, estar apta a compreender o mundo em que está vivendo. (SANGIORGI, 1971,p.01)
Nesta citação fica clara a preocupação que o autor tem com a aprendizagem do aluno e com a intenção de prepará-lo para enfrentar os desafios da sociedade moderna.
No capítulo 3, Sangiorgi dividiu o conteúdo de funções em 4 partes, sendo elas:
Neste 4º volume o conteúdo de função encontra-se nas páginas intermediárias do livro. Há uma ampliação na abordagem com ênfase na linguagem dos conjuntos. Sangiorgi começa a desenvolver o tema funções através das relações, iniciando com a apresentação de alguns exemplos, dando a definição de relação, utilizando diagramas de flechas, mostrando o “conjunto de partida”, e o “conjunto de chegada”, justamente quando se definem domínio e imagem da relação. Então, seguem-se posteriormente os exercícios resolvidos e propostos.
A seguir, analisamos cada uma das partes compostas do capítulo 3 deste volume, tentando verificar como o autor abordou o ensino de funções nesta coleção didática em Tempos Modernos.
1ª Parte: Funções; domínio e conjunto-imagem;
2ª Parte: Sistemas de coordenadas cartesianas; gráficos das funções; 3ª Parte: Funções lineares, iniciação à Geometria Analítica;
4ª Parte: Funções trinômio do segundo grau: gráfico;
1ª PARTE: Funções: domínio e conjunto-imagem
O autor inicia o capítulo “explorando” o significado de função na perspectiva moderna, que enfatiza a correspondência única e sua importância para “toda matemática”.
FIGURA 16 - Página 67 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
Sangiorgi apresenta uma situação de correspondência entre duas grandezas,
para introduzir o conceito de função como um conjunto de pares ordenados, conforme os exemplos a seguir:
Exemplo 1. Associar a cada número natural x o número 2x.
“a cada elemento x (número natural) está associado um único elemento 2x (dobro do número natural)”.
Exemplo 2. Associar a cada criança o seu pai.
“a cada elemento (criança) do conjunto A está associado um único elemento (pai) do conjunto B”.
Com estes dois exemplos o autor formula que os alunos já podem compreender o “traço característico” de uma função: “a cada elemento do conjunto A está associado um único elemento do conjunto B” (SANGIORGI, 1967, p. 68).
O autor também utiliza os seguintes contra-exemplos:
Contra-exemplo 1. A relação: “associar a um número natural x um número maior que x” entre conjuntos de números naturais, não é uma função. Por quê?
FIGURA 17 - Página 67 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo
Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
FIGURA 18 - Página 68 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 –
Neste contra exemplo Sangiorgi destaca a importância da correspondência única: “Porque a cada elemento x (número natural) não está associado um único elemento e, sim, muitos (todos os números naturais maiores que x)”.(SANGIORGI, 1967, p.69).
Contra-exemplo 2. A relação: “associar a cada pai o seu filho” entre o conjunto A (de homens) e o conjunto B (de crianças), também não é função! (Sangiorgi, 1967, p. 69).
O autor resume a definição de função na página 70, conforme abaixo:
FIGURA 19 - Página 69 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 –
8ª edição).
FIGURA 20 - Página 69 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 –
8ª edição).
FIGURA 21 – Página 70 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 –
Em nenhum momento, as palavras variação ou dependência são
mencionadas. O autor utiliza as relações gerais através de conjuntos para representar o conjunto Imagem e contra-domínio de uma função.
Percebemos que o ensino função neste livro de Osvaldo Sangiorgi, constitui um capítulo à parte e ministrado num período limitado do curso ginasial, ou seja, não estabelece união de vários assuntos tratados na escola, mesmo que Sangiorgi procure algumas vezes contextualizar o conceito, como no seguinte lembrete amigo contido na página 76 deste livro:
FIGURA 22 - Página 77 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume ginasial, de Osvaldo Sangiorgi.
(Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
FIGURA 23 - Página 76 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume ginasial, de Osvaldo Sangiorgi.
Em relação às atividades propostas aos alunos, são divididas em exercícios
resolvidos que o autor chama de aplicação40 e exercícios de fixação41.
O autor propõe atividades que possibilitam a conversão expressão algébrica⇒ diagrama de flechas nos dois sentidos, ou seja, o autor pretende que o aluno compreenda tanto a expressão quanto a representação, diferentemente do 4º volume da coleção dos tempos pré-modernos, onde os enunciados apresentam a conversão somente num sentido: expressão algébrica ⇒ gráficos.
Os exercícios enunciados apresentam os seguintes verbos de comando: associar, assinalar, caracterizar e calcular, ou seja, Sangiorgi procura diversificar mais os exercícios em relação à antiga coleção.
Percebe-se claramente nesta análise que a linguagem de conjuntos é a referência para a introdução do conceito de função, conforme a orientação do GEEM (1962). O autor utiliza os diagramas de flechas freqüentemente para enfatizar a correspondência, que define a função.
Quanto aos Guias para os professores, Sangiorgi faz suas observações de ordem pedagógica em relação a esta 1ª parte da seguinte forma: “Dependendo da reação da classe, o professor poderá, mediante novos exemplos, caracterizar as funções (ou aplicações) sobrejetora, injetora e bijetora (ou biunívoca ou um a um)”.(SANGIORGI, 1971, p. 18)
40 Ver anexo III.
41 ver anexo IV.
FIGURA 24 - Página 74 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume ginasial, de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
O autor define a função sobrejetora, injetora e bijetora e apresenta exemplo
de cada uma por meio das relações entre elementos de dois conjuntos, permitindo que o professor possa destacar o conjunto-imagem do contra-domínio. Trazemos os exemplos que Sangiorgi propõe ao professor:
a) Função sobrejetora;
b) Função injetora;
b) Função bijetora;
FIGURA 26 – Página 18 do Guia para professores para a 4ª série ginasial, de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1971 – 7ª edição).
FIGURA 27 – Página 19 do Guia para professores para a 4ª série ginasial, de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1971 – 7ª edição). FIGURA 25 – Página 18 do Guia para professores para a 4ª série ginasial, de
2ª PARTE: Sistemas de Coordenadas cartesianas; gráfico das funções.
FIGURA 28 - Página 85 do livro Matemática-Curso Moderno do 4º volume ginasial de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
O autor utiliza nos exemplos as relações de pares ordenados de números
reais para localizar os pontos das coordenadas cartesianas no plano.
Nesta parte destinado à introdução do conceito de função, a conversão efetuada é: expressão algébrica ⇒ tabela ⇒ representação gráfica.
Sangiorgi deixa uma preocupação com a resolução dos exercícios propostos quando ao enunciar os exercícios, deixa o seguinte lembrete amigo:
FIGURA 30 - Página 87 do livro Matemática-Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição). FIGURA 29 - Página 86 do livro Matemática-Curso Moderno do 4º
volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
Na página 91 consta um exercício muito interessante, que Sangiorgi
denomina de “Exercício exploratório” 42. Neste exercício, o autor pede para que o
aluno reveja o conteúdo de função e justifique a sentença: “O gráfico que representa, num sistema cartesiano de referência, uma função é interceptado por qualquer reta paralela ao eixo y num ÚNICO ponto”. Após enunciar a sentença, Sangiorgi diz: “Lembre-se de que o eixo-x está representando o domínio da função e e o eixo y o conjunto imagem [...]” (SANGIORGI, 1967a, p. 91). Para a realização deste exercício o aluno precisa ter o conceito de função já trabalhado nas páginas anteriores.
Os exercícios enunciados apresentam os seguintes verbos de comando: localizar, marcar, representar, assinalar e rever. Mais uma vez o autor procura diversificar os enunciados dos exercícios. Diferentemente da coleção pré-moderna que os exercícios tinham somente dois verbos de comando construa e resolva.
No Guia para os professores – 4ª parte, Sangiorgi (1971) faz o seguinte e único comentário para esta 2ª parte do capítulo 2: “A introdução do sistema de coordenadas cartesianas (pág. 85) – intuitivamente conhecido pelos alunos – vem facilitar a representação gráfica das funções. É óbvia a vantagem em se dizer eixo-x em vez de eixo dos x, como antigamente.“( SANGIORGI, 1971, p. 19).
Este comentário traz uma informação importante frente ao ideário do MMM, a de que o aluno possa construir intuitivamente um conceito, que neste caso é o da introdução do sistema de coordenadas cartesianas, que certamente seria utilizado pelos alunos para fazer a representação gráfica. Este comentário se alinha com a ideia de trabalhar os conceitos da matemática de uma forma mais intuitiva, substituindo a mecanização que era muito presente no ensino Pré-Moderno da matemática.
3ª PARTE: Funções Lineares; iniciação à Geometria Analítica
FIGURA 31 - Página 93 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
Como todo o conteúdo de função do livro, Sangiorgi apresenta exemplos
usando diagrama de flechas para explicar função linear.
Nesta 3ª parte predomina a conversão somente no sentido: expressão algébrica ⇒ tabela ⇒ representação gráfica, sendo que nos exemplos propostos não há qualquer tipo de contextualização e aparecem os verbos de comando usados são: resolva, construa e determine.
O autor mistura função com equações, inequações com abordagem gráfica, contendo até um modelo de uma prova mensal 43.
No Guia para o uso do professor, Sangiorgi comenta que a função afim define-se pela expressão do tipo f(x)=ax+b, mas no livro é chamada de função linear devido “associar a palavra linear à reta”. (SANGIORGI, 1971, p.19). Sabemos que toda a função afim que passe pela origem diz-se função linear.
43 Ver anexo VI.
FIGURA 32 - Página 93 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
FIGURA 33 - Página 19 do Guia para os professores - 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi.
4ª PARTE: Funções trinômio do segundo grau; gráfico e estudo algébrico do
trinômio; inequações do segundo grau.
FIGURA 34 - Página 110 do livro Matemática Curso Moderno do 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional - de 1967 – 8ª edição).
Nesta 4ª parte o autor após definir a função trinômio do segundo grau, leva o
aluno a atribuir valores para a variável x, depois construir tabela e por fim construir o gráfico, predominando a conversão: expressão algébrica ⇒ tabela ⇒ gráfico utilizando quase os mesmos modelos de gráficos e resolução que foram utilizados na versão da década de 1950 (versão pré-moderna) já analisada anteriormente.
O que predomina nesta parte é a representação gráfica com exemplos propondo exercícios de fixação44 e exploratórios45, aparecendo os verbos de
comando: estude e determine.
O termo fixação utilizado por Sangiorgi nos remete a ideia de fixar a aprendizagem por meio de exercícios mecânicos e repetitivos para conduzir o ensino, diferentemente do ideário do MMM que propõe a exploração e descoberta como estratégias para a compreensão das noções e conceitos matemáticos.
44 Ver anexo VII.
45 Ver anexo VIII.
FIGURA 36 - Página 113 do livro Matemática Curso Moderno – 4º volume para os ginásios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora
Nacional - de 1967 – 8ª edição). FIGURA 35 - Página 226 do livro Matemática
Curso ginasial – 4º volume para os ginasios de Osvaldo Sangiorgi. (Companhia Editora Nacional
- de 1959 – 32ª edição).
Com relação ao Guia para uso do professores a este volume, Sangiorgi, faz
as seguintes observações de ordem pedagógica:
Depois destas observações, o autor destina as próximas páginas às respostas das questões referentes a 4ª parte do livro.
No próximo item analisamos a coleção didática de Alcidez Bóscolo e Benedito Castrucci para o curso ginasial durante o MMM intitulada Matemática Curso Moderno.
3.2.2 Síntese da Coleção Moderna de Osvaldo Sangiorgi
Sangiorgi procurou tratar conceitos importantes para a abordagem moderna de função anteriormente à 4ª série, como por exemplo, o conceito de variável, relações e correspondências, seguindo as orientações estabelecidas nos Assuntos Mínimos (GEEM, 1962) e a abordagem do conceito de funções na 4ª série ginasial (função linear, função trinômio do 2º grau e suas representações gráficas), conforme as Sugestões para um Roteiro de Programa para a Cadeira de Matemática (GEEM, 1965b).
Pudemos verificar na coleção didática moderna de Sangiorgi que o ensino de função é muito mais ampliado tanto na estrutura quanto na abordagem do tema em relação à coleção didática pré-moderna. Percebemos também uma certa diversificação dos enunciados dos exercícios.
Percebemos que o autor desenvolve o ensino de função utilizando a ideia de correspondência e associação entre conjuntos com diagramas de flechas, procurando abordar o conceito com menor rigor e utilizando exemplos do cotidiano do aluno para depois definir função.
FIGURA 37 - Página 20 do Guia para os professores - 4º volume para os Ginásios de Osvaldo Sangiorgi.
O autor inova ao fazer lembretes durante a explicação do conteúdo função,
expondo exemplos e cartas endereçadas ao amigo leitor (que seriam os alunos do ensino ginasial), estabelecendo assim uma nova forma pedagógica e metodológica de abordar os conteúdos matemáticos naquela época.
Considerando esta coleção inovadora, elencamos como categorias de análise das próximas coleções a estrutura de apresentação do conceito de função; como se deu a exploração dos conceitos de domínio, contra-domínio e imagem; a utilização de diagramas de flechas para estabelecer relações; a representação gráfica das funções linear e quadrática; e os exercícios.
3.2.3 A coleção didática de Alcides Bóscolo e Benedito Castrucci para o Curso
Ginasial durante o MMM.
Inicialmente iremos fazer uma apresentação dos autores para que o leitor tenha a noção da importância destes para o cenário da Educação Matemática na época.
Segundo Duarte (2007), Castrucci teve
[...] diversos artigos publicados em periódicos científicos especializados internacionais, inúmeras participações em congressos nacionais e internacionais,foi eleito membro titular da Academia de Ciências de São Paulo e da Academia Paulista de Educação. Foi fundador da Sociedade de Matemática de São Paulo, do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM) e da Sociedade Brasileira de Matemática. Pertenceu à Sociedade Brasileira de Educação Matemática, American Mathematical Society, Circolo Matemático de Palermo, entre outras sociedades. (DUARTE, 2007, p.241).
Alcides Bóscolo era licenciado em Matemática, foi professor das cadeiras de Fundamentos de Matemática e Prática de Ensino da Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras – F.F.C.L. de Santo André – SP, foi professor efetivo de Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo e membro do GEEM.
Uma das coleções didáticas publicadas de Bóscolo com Castrucci foi Matemática curso moderno para o ciclo ginasial, cuja publicação teve início em 1967. Esta coleção será nosso alvo de estudo neste item para que possamos verificar qual é o tratamento pedagógico e metodológico que os autores utilizam para explicar o conceito de função em sua coleção didática e se há alguma semelhança (uma certa padronização) ou não com a forma de apresentação do conteúdo função na coleção moderna de Sangiorgi.
Segundo Duarte (2007) os autores desta coleção se apropriaram da obra de Sangiorgi, mais especificamente, da coleção didática moderna para o ensino ginasial. Contudo não ocorreu a grande vendagem como a coleção de Sangiorgi. Segundo Duarte, “Essa apropriação do livro de Sangiorgi revela-se como outra tática de Castrucci, porém, a nosso ver, como meio de inserir-se no ambiente do ensino secundário.” (DUARTE, 2007, p.362).
Nesta pesquisa serão analisadas a 2ª edição de 1973 do livro volume 1, a 3ª
edição de 1972 do volume 2, a 5ª edição de 1972 do volume 3 e a 2ª edição do volume 4 de 1971da coleção Curso Moderno para o ensino ginasial.46
Analisando a coleção didática, encontramos no 1º volume, uma nota dos autores no prefácio em relação ao caráter intuitivo e a praticidade da Matemática:
Embora conservando no desenvolvimento um caráter prático intuitivo, não descuramos de substituir, sempre que possível, a simples verificação experimental das propriedades por um procedimento dedutivo, muito mais fecundo, iniciando assim os jovens alunos no estudo lógico que os aguarda nas séries seguintes. (BÓSCOLO e CASTRUCCI, prefácio,1973).
Em relação à Matemática moderna, neste mesmo prefácio os autores escrevem:
A modernização do ensino da Matemática que no Brasil, como em quase todas as partes do mundo, está empolgando todos quantos possuem uma parcela de responsabilidade na educação de jovens é sem dúvida um movimento irreversível que não pode prescindir da preciosa colaboração dos professores em exercícios. (BÓSCOLO e CASTRUCCI, prefácio, 1973).
Acreditamos que ao analisar este livro também teremos indícios de como estes autores se apropriaram do MMM em relação ao ensino de função. Como o primeiro volume dessa coleção, lançado em 1967, ano em que Sangiorgi estava lançando seu 4º volume da coleção Moderna, é possível que Bóscolo e Castrucci se
46 Esta coleção foi adquirida/ comprada num Sebo em São Paulo.
FIGURA 38-Capa da coleção didática ginasial de Alcides Bóscolo e Benedito Castrucci: Matemática Curso Moderno. (Editora FTD. S.A.).
tenham sido influenciados pela coleção de Sangiorgi. Esta análise vem no sentido
de verificar se há ou não um indício do fenômeno vulgata estabelecido por Chervel (1990).
É interessante observar que como para Sangiorgi o conceito de função era considerado fundamental para a matemática, para Bóscolo e Castrucci este conceito