CAPM e o fator de desconto estocástico

O comportamento dos investidores é modelado pela função utilidade U c c



_t, _t1



, que é definida levando em consideração os valores de consumo atual, c , e futuro, _t c_t1:

u c c



t, t1



u c

 

t E u ct

 

t1  (2.44)

onde,

 

t

u c : utilidade do consumo em t;

 : taxa de impaciência à postergação do consumo característica do investidor utilizada para descontar u c

 

_t1 para t;

 

1

t t

E u c_{ } _: expectativa em t da utilidade do consumo em t+1.

Cochrane (2005, p. 4) utiliza a função utilidade potência, que indica que o investidor com aversão ao risco preocupa-se mais com a possibilidade de perda do que com a de ganho, cuja expressão é dada por:

 

1 1 1 t t u c c      (2.45) onde,  indica o grau de aversão ao risco do investidor.

Quando  1, o limite da expressão 2.45 é:

u c

 

ln

 

c (2.46) A expressão 2.46 é denominada de função utilidade logarítmica. Segundo esta função, o consumo do investidor é proporcional à sua riqueza. Ainda, a função utilidade u c é

 

crescente, o que reflete em um maior desejo por consumo, e côncava, denotando declínio do valor marginal do consumo.

Assumindo-se que é possível investir livremente em qualquer ativo, ao preço pt, o ponto de

equilíbrio entre a função utilidade de consumo, tanto em t quanto em t+1, e a riqueza investida é dada por:

max 



u c

 

t  Eu c

 

t1 



(2.47) sendo, _{ igual à quantidade de ativos que o investidor escolhe comprar.}

A expressão 2.47 está sujeita às seguintes restrições:

ct  et pt (2.48) ct1 et1 xt1 (2.49) onde,

t

c e ct1: nível de consumo do investidor em t e t+1, respectivamente;

t

e e et1: nível de riqueza do investidor em t e t+1, respectivamente; 1

t

x : payoff, ou investimento, em t+1.

Portanto, para encontrar o número de ativos que o investidor deverá comprar para maximizar a função utilidade de consumo versus o investimento, deve-se atentar para as restrições: (i) de acordo com a expressão 2.48, o consumo em t é igual ao nível de riqueza em t menos o valor total do investimento em t; e (ii) pela equação 2.49, o consumo em t+1 é igual ao nível de riqueza em t+1 somado ao payoff total em t+1.

Substituindo as expressões 2.48 e 2.49 na equação 2.47, tem-se:

max



 



u e



t  pt



 Etu e



t1 xt1







max 



u e



t pt



 Etu e



t1 xt1







(2.50) Derivando a equação 2.50 em relação em função de  , e igualando a zero, obtém-se:

d max 



u e



t pt



 Etu e



t1 xt1







d 0  E_tu c

 

_t1 xt1  ptu c

 

t (2.51) ou, ptu c

 

t  Etu c

 

t1 xt1 (2.52)

Reescrevendo a expressão 2.52 em função de pt:

p_t  E_t u c

 

t1  u c

 

_t xt1       (2.53) onde,

 

t

u c : utilidade marginal de consumo em t;

 

t 1

u c _ : utilidade marginal de consumo em t+1;

1

t

x_ : payoff, ou investimento, em t+1.

Sendo que m1 é denominado de fator de desconto estocástico ou taxa de substituição marginal, tem-se:

m m_t1u c

 

t1



u c

 

_t (2.54)

A relação entre o fator de desconto estocástico e o payoff é fundamental na teoria de apreçamento de ativos. Entre t e t+1, este fator de desconto deve satisfazer à seguinte expressão: E_t



m_t1x_t1



 R_{t ,t}f_1E_t

 

m_t1 p_t (2.55) 1 _{A variável aleatória m}

t+1 também é conhecida como pricing kernel. O termo fator de desconto estocástico é

onde,

R_t,tf 1: taxa livre de risco entre t e t+1.

Harrison e Kreps (1979) demonstram que a existência do fator de desconto estocástico equivale à lei do preço único, segundo a qual dois bens idênticos não podem ser vendidos a preços diferentes (ELTON et al., 2004, p. 317).

Se não houvesse incerteza, os preços poderiam ser expressos segundo a equação padrão do valor presente: 1 1 t t f p x R   (2.56)

sendo, Rf igual à taxa livre de risco.

Mas, como há incerteza envolvida no cálculo de pt, a expressão 2.53 é equivalente a:



1 1



t t t t p E m x_{ } ou p E mx

 

(2.57)

Tecnicamente, segundo Ferson (2003, p. 748), todos os modelos de apreçamento de ativos são derivados da seguinte equação:

pt  E m



t1



pt1 dt1



(2.58) onde,

t

p e pt1: preço do ativo em t e t+1, respectivamente; 1

t

m_ : fator de desconto estocástico;

1

t

Para ações, o payoff xt1 é igual ao preço p somado ao dividendo t dt1. O retorno bruto do

ativo, entre t e t+1, corresponde ao logaritmo natural da divisão do payoff pelo preço:

t 1 ln t 1 t x R p          (2.59)

Supondo a existência de um retorno R como um payoff de preço unitário, se R$1,00 for pago hoje, o retorno será igual à quantidade de reais ou de unidades de consumo obtidas em um período futuro. Assim:

1 E mR

 

(2.60) Como o ativo livre de risco Rf é independente do fator m, tem-se:

1 E m

 

R_f ou R_f  1

E m

 

(2.61)

Lembrando que somente o risco sistêmico gera correção de risco ao preço, pode-se decompor o payoff x em uma parte correlacionada com o fator m e em outra parte idiossincrática  _não correlacionada com o referido fator:

x proj x m

 



(2.62)

Segundo a Teoria de Carteiras desenvolvida por Markowitz (1952) e o modelo de apreçamento de ativos, o CAPM, elaborado por Sharpe (1964), o risco idiossincrático tende a desaparecer, apresentando, portanto, valor igual a zero em 2.62. Logo, o preço de x é equivalente a sua projeção para um dado fator de desconto m. A projeção de x em m é a parte de x que é perfeitamente correlacionada com m (COCHRANE, 2005, p. 15). Como o termo projeção denota uma regressão linear sem constante, obtém-se:

proj x m

 

 E mx

 

E m

 

2 m

O preço p de proj x m

 

é:

 





 

 

2

 

 

2 2 E mx E mx p proj x m p m E m E mx p x E m E m              _ _   _ _      (2.64)

Os ativos que se encontram na fronteira eficiente são perfeitamente correlacionados uns com os outros e com o fator m. Segundo Cochrane (2005, p. 18), é viável definir um fator de desconto m a partir do retorno de qualquer carteira da fronteira eficiente, com exceção de um ativo livre de risco. O autor também declara a seguinte propriedade para a fronteira eficiente:

Cada ponto da fronteira eficiente apresenta correlação negativa perfeita com o fator de desconto estocástico m e correlação positiva perfeita com o consumo. Sendo assim, em um modelo uniperiódico, pode-se escolher constantes a e b tal que:

m a bE R 

 

fr (2.65)

sendo, E R

 

fr igual ao retorno esperado de qualquer carteira da fronteira eficiente.

De acordo com Cochrane (2005, p. 19), dado o retorno de uma carteira da fronteira eficiente, é possível encontrar um fator de desconto que precifica todos os ativos.

No CAPM não-condicional uniperiódico, modelo desenvolvido por Sharpe (1964), o parâmetro E R

 

_fr é igual ao retorno esperado da carteira de mercado menos o retorno do ativo livre de risco. Por sua vez, a constante a é igual ao retorno do ativo livre de risco. Ainda, para um único ativo, a constante b é igual ao risco do ativo em relação ao mercado, representado por i,m. Por fim, o fator de desconto estocástico m é igual ao retorno requerido pelo investidor ao aplicar sua riqueza no ativo i. Portanto, a equação 2.65 pode ser também expressa por:

onde,

 

i

E R : retorno esperado do ativo i;

f

R : retorno do ativo livre de risco;

,

i m

 : beta do ativo i em relação à carteira de mercado m;

 

m

E R : retorno esperado da carteira de mercado m.

No documento Aplicação do CAPM (Capital Asset Pricing Model) condicional por meio de métodos... (páginas 47-53)