Nesta seção faremos a caracterização do equilíbrio através das condições de primeira ordem. Analogamente à seção em que apresentamos o problema dos consumi- dores, a análise será feita nos contextos de economias com e sem acesso ao mer- cado de crédito.
5.1
Com ent ár ios P r eli m inar es
De forma geral, tanto na economia com restrição ao crédito, como na economia com mercados completos, existem três soluções para o problema de maximização de cada tipo de consumidor: todos os indivíduos do mesmo tipo decidem se vacinar; todos os indivíduos do mesmo tipo decidem não se vacinar e, indivíduos de um mesmo tipo randomizam entre as duas escolhas. A última solução ocorre quando os indivíduos estão indiferentes entre se vacinar e não se vacinar.
A solução alcançada para cada tipo de consumidor depende da parametriza- ção da economia, isto é, das distribuições de probabilidade dos estados e do preço da vacina. Se o preço da vacina for inferior ao benefício privado de se vacinar estes escolhem se vacinar. Na avaliação do benefício privado os indivíduos con- sideram apenas o efeito direto da decisão de se vacinar sobre a distribuição de probabilidade não incorporando o efeito da decisão individual sobre a média de indivíduos vacinados da economia. A existência de três soluções para o problema de maximização de cada tipo de consumidor determina a ocorrência de 3T tipos
de equilíbrio em uma economia com T tipos de indivíduos. No caso de uma econo- mia com apenas um tipo de agente cada solução do problema de maximização caracteriza um tipo de equilíbrio.
5.2
P r im eir o Caso: M odelo com r est r i ção ao cr édit o
Nessa seção vamos caracterizar a condição para que o equilíbrio competitivo em uma economia com restrição ao crédito seja eÞciente.
P r op osição 7 Em uma economi a com restr i ção ao crédi t o e um con- j unt o fi ni t o de t i pos de agent e exi st e um li mi t e i nf er i or para o pr eço da vaci na pv e um li mi te super i or par a o preço da vaci na pv t al que:
Se pv ≤ pv o equi líbr i o é efi ci ente r est r i to e todos os i ndi víduos se
vaci nam;
Se pv ≥pv o equi líbr i o é efi ci ent e rest r i t o e nenhum dos i ndi víduos se
vaci na;
Se pv ∈¡pv, pv
¢
o equi líbr i o competi ti vo é i nefi ci ent e r est r i t o.
Em par ti cular , em todo equi líbr i o no qual uma f ração αtdos i ndi víduos
de um mesmo ti po se vaci na e a out ra f ração (1 − αt) dos i ndi víduos
não se vaci na é i nefi ci ent e rest r i t o.
A intuição deste resultado é simples. A ineÞciência do equilíbrio competitivo é decorrência da existência de externalidades entre os indivíduos no consumo privado de vacinas. Como os indivíduos não levam em consideração os efeitos que a sua decisão individual de se vacinar gera sobre os demais indivíduos, pode ocorrer um nível de vacinação sub-ótimo para determinado tipo de agente uma vez que estes estão considerando apenas o benefício privado, em geral, inferior ao benefício social total.
O planejador central realiza três escolhas para cada tipo de agente: escolhe a fração de cada tipo que irá vacinar, escolhe o consumo no período zero dos indivíduos vacinados e escolhe o consumo no período zero dos indivíduos não vacinados. O planejador pode realizar transferências de dotação do período ze- ro entre os indivíduos. Estas escolhas são realizadas de forma a garantir dois resultados:
1) igualdade da utilidade marginal esperada do consumo no período zero entre os indivíduos vacinados e os indivíduos não vacinados de cada tipo;
2) igualdade da taxa marginal de substituição social à taxa marginal de trans- formação, no caso, o preço da vacina.
Os indivíduos que não forem vacinados irão consumir um nível mais elevado de consumo no período zero de modo que a utilidade marginal esperada seja a mesma entre os dois grupos. A igualdade entre a taxa marginal de substituição social ao preço da vacina para cada tipo determina a fração α de indivíduos deste tipo que será vacinada. Vale ressaltar que a taxa marginal de substituição social considera tanto o efeito direto da vacina sobre a distribuição de probabilidades dos estados, como o efeito indireto, isto é o efeito de vacinar determinado grupo de agentes sobre o nível de vacinação média da economia. Estas igualdades vão Þcar explícitas no resultado das condições de primeira ordem do problema de maximização do planejador apresentado no apêndice 1.
Muito embora o benefício privado avaliado pelos indivíduos seja sempre difer- ente do benefício social avaliado pelo planejador podem existir alocações de equilíbrio competitivo eÞciente restrito. Estas alocações eÞcientes restritas são soluções extremas, isto é, soluções em que ou todos os indivíduos de todos os tipos se vacinam ou nenhum indivíduo se vacina. Se o preço da vacina for muito baixo de modo que é sempre melhor para todos os indivíduos de todos os tipos se vacinarem, isto é trocarem consumo no período zero por vacina, o planejador também irá escolher vacinar a todos os indivíduos de cada tipo. Neste caso, mesmo que o benefício social seja maior que o benefício privado para cada tipo de agente, como o custo de se vacinar é inferior à menor taxa marginal de sub- stituição privada, o planejador não pode fazer nada diferente da escolha que os indivíduos realizariam e deste modo o equilíbrio é pareto-eÞciente. Ou seja, o limite inferior pv, do intervalo de preços da vacina abaixo do qual o equilíbrio é
eÞciente, é dado pela menor taxa marginal de substituição privada da vacina. No equilíbrio competitivo onde todos os indivíduos de todos os tipos decidem não se vacinar, a situação é análoga. Neste caso, o preço da vacina é bastante elevado de forma que não vale a pena para os indivíduos trocarem consumo do período zero por vacina. Mesmo considerando o efeito indireto da vacina sobre a distribuição de probabilidades, se a taxa marginal de substituição social para cada tipo de agente for inferior ao preço da vacina, o planejador irá escolher não vacinar nenhum indivíduo desta economia e desse modo não há nada que este possa realizar diferente da escolha dos indivíduos, sendo portanto, esta, uma alocação de equilíbrio Pareto-eÞciente restrito. Ou seja, o limite superior do intervalo de preços da vacina, pv,acima do qual o equilíbrio será sempre eÞciente
restrito é dado pelo maior nível da taxa marginal de substituição social da vacina. Por outro lado, sempre que indivíduos de um mesmo tipo estiverem indifer- entes entre se vacinar e não se vacinar, o equilíbrio será ineÞciente pois nesse caso a diferença entre o benefício social e o benefício privado para este tipo importa e portanto a fração de indivíduos que o planejador escolhe vacinar é sempre difer- ente da fração de indivíduos que decide se vacinar voluntariamente. A fração da população de cada tipo de agente a ser vacinada pelo planejador é determinada igualando a taxa marginal de substituição social da vacina ao preço desta. Todas as derivações para se alcançar estes resultados estão demonstradas no apêndice 1.
5.3
Segundo Caso: M odelo com m er cados com pl et os
P r op osição 8 Em uma economi a com mercados complet os e um con- j unt o fi ni t o de t i pos de agent e exi st e um li mi t e i nf er i or para o pr eço da vaci na pv e um li mi te super i or par a o preço da vaci na pv t al que :
Se pv ≤pv o equi líbr i o é efi ci ent e e todos os i ndi víduos se vaci nam;
Se pv ≥pv o equi líbr i o é efi ci ent e e nenhum dos i ndi víduos se vaci na;
Se pv ∈
¡ pv, pv
¢
o equi líbr i o compet i t i vo é i nefi ci ent e. Em par t i cular , em t odo equi líbr i o no qual uma f ração αt dos i ndi víduos de um mesmo
t i po se vaci na e a out r a fr ação (1 − αt) dos i ndi víduos não se vaci na é
i nefi ci ent e no senti do de P ar et o.
A intuição sobre estas condições é semelhante àquela descrita para a economia com restrição ao crédito. O equilíbrio competitivo será eÞciente quando o difer- encial entre o benefício privado e o benefício social não for importante na decisão de vacinar cada tipo de agente na economia. Isto ocorre em duas situações: ou quando o preço da vacina é muito baixo de forma que todos os indivíduos de todos os tipos decidem se vacinar e assim o fato do planejador levar em consid- eração os efeitos de externalidades entre os indivíduos não altera o resultado de vacinação da população total; ou quando o preço da vacina é mais elevado que a
maior taxa marginal de substituição social entre a vacina e o bem zero de modo que as escolhas do planejador e dos indivíduos convergem.
A principal diferença entre os dois resultados é que antes o melhor que o planejador poderia fazer era igualar a utilidade marginal esperada do consumo no primeiro período entre os indivíduos vacinados e os não vacinados já que estava restrito. Agora, no modelo com mercados completos o planejador irá igualar a utilidade marginal do consumo do primeiro período entre os indivíduos vacinados e não vacinados e também a utilidade marginal do segundo período. Dito de outra forma, o planejador irá garantir o mesmo nível de consumo para todos os indivíduos. Esta é uma diferença fundamental entre os dois modelos. Na economia com restrição ao crédito a alocação de equilíbrio eÞciente onde apenas uma fração α da população do tipo “t” é vacinada é uma alocação onde o nível de utilidade auferido pelos indivíduos vacinados e não vacinados é diferente. Esta situação é equivalente à situação onde o “estado doente” gera uma perda de utilidade que não pode ser compensada por um ßuxo de consumo constante entre os dois estados. Desse modo, em uma economia com restrição ao crédito, se existir uma tecnologia de produção da vacina à qual a escolha do planejador é vacinar apenas uma fração de indivíduos de determinado tipo, esta solução eÞciente suporta utilidade desigual entre os indivíduos de um mesmo tipo. Em oposição, em uma economia com mercados completos na solução eÞciente os consumidores auferem sempre o mesmo nível de utilidade. Este resultado está descrito na proposição abaixo.
O equilíbrio em que agentes de um mesmo tipo estão indiferentes entre se vacinar e não se vacinar é ineÞciente pois as alocações são diferentes entre os dois grupos e portanto não satisfazem às condições de primeira ordem do proble- ma de maximização do planejador. A derivação completa desses resultados está apresentada no apêndice 2.
P r op osição 9 Em uma economi a com restr i ção ao crédi t o e um con- j unt o fi ni t o de t i pos de agent e, quando o equi líbr i o efi ci ent e consi st e de uma alocação em que para algum t i po na economi a apenas uma fr ação é vaci nada, este equi líbr i o supor ta nível de uti li dade desi gual par a os i ndi víduos vaci nados e não vaci nados.Em cont raste, em uma economi a com mer cados complet os, mesmo que o equi líbr i o efi ci ent e consi st a de uma alocação em que par a algum t i po de agent e apenas uma fr ação dos i ndi víduos é vaci nada, neste equi líbr i o todos os i ndi víduos deste ti po auf erem o mesmo nível de uti li dade.
A demonstração desse resultado segue das proposições anteriores.
Este é um resultado muito forte. Na presença de restrição ao crédito para, por exemplo, algum tipo de doença que tenha contágio, dependendo do custo de produção da vacina o planejador escolhe não vacinar a todos os indivíduos de
um mesmo tipo. O melhor que o regulador tem condição de fazer nesse caso é manter os indivíduos com o mesmo nível de utilidade esperada. Mas ex-post à realização da incerteza estes indivíduos irão auferir nível de utilidade desigual. Desse modo, uma recomendação de política pública direta diante desse resultado é a necessidade de se completar os mercados para enfermidades que não apresentam mercado de seguros.
6
Exemplo
Nesta seção vamos, através de um exemplo, ilustrar os principais resultados demonstrados na seção anterior para uma economia com apenas um tipo de agente. Além disso, para cada caso analisado, propomos um pacote de políti- ca que restaura a eÞciência do equilíbrio competitivo.
Neste exemplo as preferências dos indivíduos podem ser representadas por uma função utilidade Cobb-Douglas na forma logarítmica. Esta função utilidade apresenta a particularidade de ser separável entre os dois períodos, ou seja a utilidade auferida no primeiro período zero independe do consumo no segundo período.
A função de utilidade esperada pode ser descrita da seguinte forma:
U(x0, x1, x2, vi) = πi(vi,α) (β ln x0i+(1 − β) ln x1i)+(1−πi(vi,α))(β ln x0i+(1 − β) ln x2i)
(14)
6.1
Econom ia com r est r i ção ao cr édit o
Os resultados apresentados nas duas próximas proposições são análogos aos ap- resentados para o modelo geral, exceto que estão descritos para os parâmetros particulares desta economia.
P r op osição 10 Em uma economi a com r estr i ção ao cr édi to e um úni - co t i po de agent e, o equi líbr i o compet i t i vo é efi ci ent e rest r i t o nas duas si t uações extr emas:
1) quando todos os i ndi víduos escolhem se vaci nar se a segui nte condi ção f or sati sfei ta ∂π1(α) ∂α > β£1 − (aw0−1) ¡ ln w0−ln w0− 1a ¢¤ (1 − β) ;
2) quando t odos os i ndi víduos escolhem não se vaci nar se a segui nt e condi ção for sat i sf ei t a:
∂π0(α) ∂α < β£1 − (aw0−1) ¡ ln w0−ln ¡ w0− 1a ¢¢¤ (1 − β) 14
Em par t i cular , todo equi líbr i o compet i t i vo onde i ndi víduos de um mes- mo t i po são i ndi f er entes entr e se vaci nar e não se vaci nar é i nefi ci ente r est r i t o
A demonstração desta prova é feita através da caracterização das condições de primeira ordem dos problemas competitivos e do planejador central respecti- vamente. Uma forma usual de veriÞcar se o equilíbrio é eÞciente é analisar sob que condições dos parâmetros da economia a solução encontrada pelo planejador central coincide com a solução do problema competitivo. A prova completa está no apêndice 2.
P r op osição 11 Em uma economi a com r est r i ção ao cr édi to e um ti po de agent e, o equi líbr i o compet i ti vo é efi ci ente no sent i do de P areto se o gover no i mplementar um pacot e de políti ca {s∗
u,τ} = n 1 a, αa w0 o .
A inclusão desse exemplo serve apenas para mostrar que é possível através de uma política de subsídio implementada pelo governo restaurar a eÞciência do equilíbrio competitivo. Nesse exemplo, estamos com uma estrutura bastante sim- pliÞcada e só existe um tipo de agente nesta economia. Como vimos, o equilíbrio competitivo nesse caso será eÞciente, se a tecnologia de produção da vacina for ou muito cara ou muito barata em relação ao benefício social que gera. Desse modo, para restaurar a eÞciência o planejador tem que se preocupar unicamente com o caso em que o equilíbrio eÞciente consiste em vacinar apenas uma fração dos indivíduos desse tipo. Uma forma possível de se restaurar a eÞciência em uma economia com restrição ao crédito onde as preferências são separáveis nos dois períodos, é garantir o mesmo nível de consumo para todos os indivíduos. Das condições de primeira ordem do problema do planejador sabemos que a alocação eÞciente garante o mesmo nível de consumo para os indivíduos vacinados e não vacinados. Desse modo, para garantir a eÞciência do equilíbrio o planejador por- põe um pacote de política que restaure esta alocação. O planejador pode propor um subsídio sobre o preço da vacina que será Þnanciado com uma taxação sobre a renda do período zero de todos os indivíduos.
Uma alocação de equilíbrio eÞciente pode ser alcançada se o governo pro- puser um subsídio igual ao preço da vacina ¡su = pv = 1a
¢
. Neste caso todos os indivíduos no equilíbrio competitivo irão consumir o mesmo montante, isto é,
x00 = x1
1 = (1 − τ ) w0. O nível de taxação sobre a renda é deÞnido em função do nível de vacinação que o regulador deseja implementar τ = αa
wo. Quando o
governo propõe este pacote de política ele altera o nível para o qual os indivíduos são indiferentes entre se vacinar e não se vacinar.
Uma extensão desse exemplo para o caso de uma economia com vários tipos em que o regulador tem condição de distinguir os tipos, implicaria em deÞnir uma política de subsídio para cada tipo na economia. No caso de informação assimétrica os indivíduos podem ter interesse em Þngir ser de outro tipo e as
condições de implementabilidade neste caso são mais complexas. A demonstração desta proposição está descrita no apêndice 3.
6.2
Com M er cados Com pl et os
P r op osição 12 Em uma economi a com mer cados completos com um
ti po de agente, o equi líbr i o competi ti vo é P ar et o Óti mo nas duas si tu- ações extr emas:
1) quando t odos os i ndi víduos deci dem se vaci nar se a segui nt e condi ção f or sati sfei ta π1(α)−π0(α)+ ∂π1(α) ∂α ¡ π0(α)w1+ (1 − π0α) w2 ¢ ≥ exp( 1−ββ ) µ aw0 (aw0−1)2 ¶ β (1 − β) (w1−w2) ; (15)
2) quando t odos os i ndi víduos deci dem não se vaci nar se a segui nte condi ção for sat i sf ei t a:
¡ π1(α)w1+ ¡ 1 − π1(α) ¢ w2 ¢ ³ π1(α)−π0(α) + ∂π1(α) ∂α ´ > (1 − β) β (aw0) 2 (aw0−1) exp( 1−ββ ) (w 1−w2) (16)
Em par t i cular , t odo equi líbr i o compet i t i vo em que agent es de um mes- mo t i po est ão i ndi f erent es ent r e se vaci nar e não se vaci nar é i nefi - ci ent e no sent i do de P ar et o.
O resultado de ineÞciência encontrado no equilíbrio competitivo quando os agentes do mesmo tipo estão indiferentes entre se vacinar e não se vacinar é reiterado na economia com mercados completos. A alocação de equilíbrio com- petitivo não satisfaz as condições de primeira ordem do problema do planejador que realiza transferências entre os indivíduos e entre os períodos de modo a garan- tir que o consumo seja o mesmo para todos os indivíduos independente da escolha da vacina.
P r op osição 13 Em uma economi a com mer cados completos com um
ti po de agent e, se o regulador i mplemet ar uma polít i ca
{s∗ u,τ ∗ } = ½ (W E1−W E0) (pv(αβ + α) − w0(1 − β)) + pvβW E0 (W E1−W E0) 2αβ + βW E0 ,αsu w0 ¾
o equi líbr i o competi tvo onde uma parcela α da população se vaci na e uma par cela (1 − α) da população não se vaci na é P ar et o Efi ci ent e.
O problema do regulador para restaurar a eÞciência do equilíbrio competitivo em uma economia com mercados completos é similar ao caso com restrição ao crédito. No caso desta economia com apenas um tipo de agente, a ineÞciência
ocorre quando os indivíduos estão indiferentes entre se vacinar e não se vacinar. O problema do regulador é encontrar um pacote de política que garanta que os indivíduos escolhem a mesma alocação de equilíbrio que o planejador central e a mesma fração α de indivíduos é vacinada. É possível mostrar que existe uma política tributária, que consiste de um pacote de subsídio-tarifa que garante a eÞciência deste equilíbrio. O regulador, ao subsidiar o preço da vacinar reduz o custo direto desta para os indivíduos, alcançando que uma maior fração se vacine. A diferença em relação ao modelo com restrição ao crédito é que esta política é determinada de modo a garantir também que todos os indivíduos de um mesmo tipo tenham a mesma alocação de consumo nos dois períodos nos dois estados da natureza.