A análise será desenvolvida em dois contextos. No primeiro contexto os indi- víduos estão restritos ao crédito não existindo mercado de ativos que lhes per- mitam transferir renda entre os períodos. No caso com mercados completos os consumidores podem transferir renda entre os períodos e comprar seguro-saúde suavizando o ßuxo de consumo entre os estados da natureza do segundo período. Três motivos justiÞcam a inclusão destas duas abordagens. Em primeiro lugar, existem várias endemias para as quais não existe cobertura de seguros. Em segundo lugar, o acesso ao crédito não é uniforme nas sociedades. Em terceiro lugar, em geral, o ßuxo de renda dos indivíduos é mais elevado quando estes estão mais velhos. Desse modo, não é claro que os resultados de eÞciência sejam similares nos dois contextos. Além disso, a existência de restrição ao crédito equivale teoricamente à análise onde se considera que “estar doente” gera perda de utilidade para os consumidores que não pode ser compensada por suavização do ßuxo de consumo4. Ou seja, mesmo que os indivíduos consigam transferir
renda entre os estados, o estado saudável gera um nível de utilidade superior ao estado doente.
3.1
R est r ição ao Cr édit o
No caso com restrição ao crédito, os indivíduos no segundo período podem apenas consumir a dotação que lhes foi ofertada. No primeiro período os indivíduos escolhem se irão se vacinar e quanto irão consumir do bem privado.
O problema de maximização dos indivíduos pode ser descrito como:
M ax : πt(vt, v) U (x0t, x1t) + (1 − π (vt, v)) U (x0t, x2t) (4)
s.a
pvv+ p0x0t = p0w0t (5)
p1x1t = p1w1t (6)
p2x2t = p2w2t (7)
Substituindo as restrições obtemos:
M ax: πt(vt, v) U (w0t−pv, w1t) + (1 − π (vt, v)) U (w0t−pv, w2t) (8) 4O caso com restrição ao crédito é equivalente ao caso com mercados completos onde teríamos dois parâmetros na função utilidade: nível de consumo e um outro parâmetro referente, por exemplo, ao nível de felicidade individual. Desse modo, quando os agentes Þcam doentes, este estado altera o nível de felicidade e portanto gera perda de utilidade ainda que o consumo nos dois estados seja constante.
3.2
M er cados Com plet os
No caso de mercados completos os agentes podem transferir renda entre os perío- dos além de comprar seguro.
Os indivíduos solucionam o mesmo problema descrito pela equação (4) sub- stituindo as restrições (5), (6) e (7) por:
pvv+ p0x0+ qb ≤ p0w0 (9) p1x1+ ps (vt,v) p2 S − p1b ≤ p1w1 (10) p2x2−p2S − p2b ≤ p2w2 (11)
Os indivíduos escolhem o consumo no período zero x0, o consumo no período 1 em cada estado, x1
1, x12, a quantidade de ativos de renda Þxa b, e a quantidade de seguro-saúde , S.5
4
Exist ência do Equilíbr io
D efi nição 2 Equi líbr i o Competi t i vo em uma economi a com r est r i ção a crédi t o
Um equilíbr io competitivo em uma economia com restr ição a crédito é uma coleção
((xt∗,vt∗),v∗,p∗ v ,p∗,α
∗
t), consistindo de uma alocação factível (x∗, v∗), do nível
médio de vacinação da economia, v∗
, do preço da vacina, p∗
v, do vetor de preços
do bem pr ivado, p∗
, da proporção de cada tipo de indivíduos que irá se vacinar ,
α∗
t, tal que:
1) a restr ição de recur sos da economia é respeitada, isto é, o mercado de bens está em equilíbr io confor me descr ito pelas equações (2) e (3).
2) os indivíduos maximizam as suas preferências descr itas pela equação (4) ou seja, sempre que existir outra alocação estr itamente prefer ível à alocação de equi- líbr io, esta alocação não respeita a restr ição orçamentár ia dos indivíduos, isto é: Se, U(xq, vq) > U (x∗ , v∗ ) (12) p∗ xq+ pvvq >p ∗ w.
5Como não existe incerteza agregada na economia, p
2= p1= 1nesta economia.
D efi nição 3 Equi líbr i o Compet i t i vo em uma economi a com mer cados complet os
Um equilíbr io competitivo em uma economia com mercados completos é uma coleção ((xt* ,vt* ), v* , p ∗ v , p* , q ∗ , p∗s t ,α ∗ t, b ∗ t, S ∗
t), consistindo de uma alocação
factível (x* ,v* ), do nível médio de vacinação da economia, v∗
, do preço da vaci- na, p∗
v,do vetor de preços do bem pr ivado, p ∗
, do preço do ativo de renda fixa, q∗
,do preço do seguro saúde para cada tipo, p∗s
t (vt,v),da proporção de cada tipo de
indivíduos que irá se vacinar , α∗
t, do volume de ativos de rendafixa que cada tipo
irá demandar , b∗
te do volume de seguro saúde que cada tipo irá comprar S ∗ t,tal
que:
1) a restr ição de recur sos da economia é respeitada, isto é, os mercados de bens estão em equilíbr io confor me descr ito pelas equações (2) e (3) e o mercado de ativos está equilíbr io confor me equação abaixo:
T
X
t= 1
ρt{[αtbt(1)] + [(1 − αt) bt(0)]} = 0 (13)
2) os indivíduos maximizam as suas preferências descr itas pela eq.(4), e a cesta ótima escolhida é caracter izada pela equação (12).
P r op osição 4 Exi st e pelo menos uma alocação de equi líbr i o nest a econo- mi a
A demonstração é uma generalização da demonstração da Existência do Equi- líbrio em uma economia com um continuo de agentes de Aumann (1966).
D efi nição 5 A locação de Equi líbr i o P aret o-Ót i mo Uma alocação factível (x∗
t, v ∗
t) é Pareto-Ótimo se não existir nenhuma outra alo-
cação factível tal que:
U(bxt,bvt) ≥ U (x ∗ t, v ∗ t) , ∀t e U(bxt,bvt) > U (x ∗ t, v ∗
t) para pelo menos um tipo de agente
isto é, todos os agentes estão tão bem quanto estar iam com a cesta anter ior e pelo menos um agente desta economia está estr itamente melhor .
D efi nição 6 A locação de Equi líbr i o Óti mo de P ar et o Rest r i to Uma alocação factível (x∗
t, v ∗
t) é ótimo de Pareto-Restr ito se:
1) no per íodo 1 os indivíduos consumirem exatamente a dotação em cada estado da natureza e,
2) não existir nenhuma outra alocação factível Pareto super ior à alocação(x∗ t, v
∗ t) .