Cinemática direta

Para determinar a cinemática direta, é preciso definir os ângulos e dimensões do braço, os quais são mostrados na Figura 3.1. Pode-se então usar o método de Denavit-Hartenberg para definir a cinemática direta do braço de uma forma convencional, resultando na Equação 3.1 que calcula o ponto ( ) da extremidade do braço em função dos ângulos de junta e , para um braço com elos de comprimento e . A dedução desta equação é mostrada no Apêndice A.1.

( ) ( ) ( ) ( ) (3.1) onde é o ângulo entre o elo 2 e o plano horizontal, dado por

(3.2)

As juntas associadas aos ângulos e são acionadas pelos atuadores 1 e 2, respectivamente. Assim, é necessário calcular a relação entre o comprimento dos atuadores e o ângulo de junta correspondente.

Pode ser definida uma equação geral para o ângulo de uma dada junta em função do comprimento do atuador correspondente, :

.‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖‖ ‖ / (3.3)

(

* (3.4)

e é o ângulo entre o ponto e a junta , dado por

(

* (3.5)

sendo que os ângulos e podem ser visualizados na Figura 3.2. O ângulo mostrado na figura é usado na dedução das equações, mas não faz parte das equações finais e portanto é utilizado apenas no Apêndice A.1.

Figura 3.1 – Desenho esquemático mostrando a definição dos ângulos e , bem como as dimensões dos elos, e , e dos atuadores, e .

Estas equações dependem dos pontos de fixação do atuador, e , definidos na Seção 2.5. Os valores ‖ ‖ e ‖ ‖ são as distâncias entre os pontos e e a junta respectivamente, sendo definidos da seguinte forma:

‖ ‖ √ ( ) (3.6)

e

‖ ‖ √ _(3.7)

A Equação 3.1, quando combinada com a Equação 3.3, permite definir o ponto ( ) da extremidade do braço em função dos comprimentos e dos atuadores.

Figura 3.2 – Desenho esquemático mostrando a definição dos ângulos , , e 3.1.2 Cinemática inversa

Para calcular a cinemática inversa, podem ser utilizadas as seguintes equações, cuja dedução encontra-se no Apêndice A.2:

( √ .

/

) (3.8)

onde é a distância entre a extremidade do braço e a junta 1, dado por

√ (3.9)

e

.[ ( )] ( ) [ ( )] ( ) / (3.10) Estas equações são conhecidas na literatura, e podem ser vistas também em Siciliano et al., 2009.

Para calcular o comprimento dos atuadores, de forma que os ângulos de junta possuam os valores calculados pelas equações acima, pode-se utilizar a Equação 3.11, cuja dedução também é mostrada no Apêndice A.2.

Combinando as Equações 3.8, 3.10 e 3.11 é possível determinar os valores de e para um ponto ( ) dentro do volume de trabalho do braço.

3.1.3 Matriz Jacobiana

A relação entre os comprimentos e e as coordenadas do ponto ( ) não é linear. A relação entre a velocidade dos atuadores e a velocidade da extremidade do braço, no entanto, é diretamente proporcional. Esta relação é dada pela matriz Jacobiana, como apresentado por Siciliano et al., 2009. A montagem desta matriz é amplamente conhecida na literatura para robôs com atuadores rotacionais, mas é um pouco diferente no caso de um robô com atuadores lineares e juntas rotacionais. Neste caso, a montagem da matriz é realizada conforme o apresentado por Valdiero, 2005. A dedução das equações apresentadas nesta seção é mostrada no Apêndice A.3.

A matriz Jacobiana convencional é definida de modo que:

̇⃗ ̇⃗ (3.12)

onde ̇⃗ é a derivada com respeito ao tempo de ⃗, que é um vetor com os parâmetros de junta, possuindo como componentes os ângulos e , e ̇⃗ é a derivada com respeito ao tempo de ⃗, que é um vetor com a posição e ângulo da extremidade do braço, definido abaixo:

⃗ [

] (3.13)

A Equação 3.12 é aplicável a um braço genérico qualquer. Braços diferentes possuem diferentes definições para a matriz Jacobiana, a qual depende da sua cinemática. No caso do braço aqui estudado, ela é composta por:

[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ] (3.14) Derivando a Equação 3.12 é também possível obter as acelerações:

̈⃗ ̇ ̇⃗ ̈⃗ (3.15)

onde ̇ é a derivada de , dada por

̇ [

( ) ̇ ( )( ̇ ̇ ) ( )( ̇ ̇ )

Como o braço possui atuadores lineares, é preciso também a obtenção das velocidades dos atuadores. Portanto, é necessário relacionar o vetor de velocidades angulares das juntas, ̇⃗, com o vetor de velocidades dos atuadores ̇⃗⃗, o que pode ser feito por intermédio de:

̇⃗ ̅ ̇⃗⃗ (3.17)

onde ̅ é a matriz que relaciona as velocidades dos atuadores lineares com as velocidades dos parâmetros de junta. Esta matriz é dada por:

̅ [ ] (3.18) onde e

são dados por: ̅

‖ ‖‖ ‖ ( )

(3.19)

Finalmente, a matriz jacobiana total do braço, , é dada pela combinação das duas matrizes apresentadas:

̅ _(3.20)

3.2 Definição das dimensões dos elos, limites de junta e pontos de fixação dos

atuadores

O braço possui seis parâmetros cinemáticos que devem ser calculados: as dimensões e , e os limites angulares das juntas, , , e . Além disto, os quatro pontos de fixação dos atuadores, , , e também devem ser determinados. A determinação destes parâmetros deve ser feita de modo a ser obtido o balanço desejado entre a precisão de posicionamento, repetibilidade, velocidade e aceleração sobre certo espaço de trabalho. Este balanço, ou seja, a importância relativa entre estas características, deve ser definido de acordo com a tarefa ou conjunto de tarefas a serem realizadas pelo braço.

A Figura 3.3 mostra um fluxograma do processo de determinação destes parâmetros. Os dados de entrada são um volume de trabalho prismático, definido pelo projetista de acordo com o necessário para a realização das tarefas, a orientação dos atuadores, as coordenadas dos pontos e , e alguns pesos usados para a otimização, que serão detalhados posteriormente.

O volume de trabalho prismático é usado para calcular a área de trabalho como mostrado na Seção 3.2.1.1. Esta área de trabalho, juntamente com uma estimativa inicial para os cursos angulares das juntas, são então usadas para calcular as dimensões dos elos do braço e os limites angulares das juntas. Estes são chamados de parâmetros cinemáticos, como mostrado na Seção 3.2.1.2.

Com os parâmetros cinemáticos definidos, e com os pontos e e a orientação dos atuadores escolhidos arbitrariamente, são determinados os pontos e mais adequados para maximização da menor precisão encontrada no espaço de trabalho, ou seja, busca-se melhorar o pior caso. Este procedimento é mostrado na Seção 3.2.2.

Neste ponto, o braço contém todos os seus parâmetros básicos já definidos. No entanto, os cursos angulares das juntas provêm de uma estimativa inicial. Para que sejam obtidos os cursos angulares ideais é feita uma otimização onde é buscado um braço com um desempenho ideal para as tarefas estabelecidas. Este processo, mostrado na Seção 3.2.3, depende da escolha de pesos usados para combinar os vários índices de desempenho em um único valor; estes pesos são dados de entrada. Após o teste de vários valores para os cursos angulares, são encontrados os valores finais, e o braço atinge a sua configuração definitiva.

Figura 3.3 – Fluxograma mostrando o processo para determinação dos parâmetros cinemáticos e dos pontos de fixação dos atuadores