Definição dos parâmetros dos atuadores lineares para otimização da

É necessária a definição dos comprimentos máximo e mínimo, do curso, e dos pontos de fixação dos atuadores. A escolha deve ser feita de forma a serem obtidos os valores de , , e , definidos na Seção 3.2.1.2. Além disso, também deve ser avaliada a sensibilidade do deslocamento da ponta do braço em função do deslocamento dos atuadores, pois este valor está relacionado com a repetibilidade que pode ser obtida pelo braço. A dedução das equações apresentadas nesta seção é mostrada no Apêndice A.5.

Para se obter os limites mínimo e máximo do comprimento do atuador , e , respectivamente, é possível basear-se na Equação 3.11, o que permite escrever:

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ( ) (3.31) e

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ( ) (3.32) onde e representam e . A atribuição depende da orientação do atuador: se ele estiver por cima da junta, então e , e, se estiver por baixo, então e .

Estas equações dependem da definição prévia de ambos os pontos de fixação do atuador, os quais podem ser escolhidos arbitrariamente pelo projetista, mas, de preferência, deve-se usar um método sistemático para a definição destes pontos, com o objetivo de se obter valores ideais sob alguma métrica. Assim, foi desenvolvido um método para definir um dos pontos, buscando a minimização do erro de posicionamento do braço nos pontos críticos.

O erro de posicionamento do manipulador, ou sua repetibilidade, depende do erro de posicionamento dos atuadores, além da flexibilidade do braço. O erro devido à flexibilidade é tratada na Seção 4.3, enquanto que aqui é avaliada a relação entre o erro de posicionamento de cada atuador, , com o erro na extremidade do braço, . A relação entre os dois erros é dada pela transmissão mecânica, que pode ser obtida da seguinte forma:

√( * ( * (3.33)

onde e são as coordenadas da extremidade do braço. A Equação 3.34 é equivalente:

onde ̅ é mostrado na Equação 3.19 e é a distância entre a junta e a ponta do braço. Como ̅ depende do comprimento do atuador , ele será aqui escrito como uma função de , ̅ ( ). O comprimento para a segunda junta, , é constante e igual a , enquanto que o do primeiro elo, , depende do ângulo e varia entre e .

Neste caso, o foco é na transmissão mecânica porque quanto menor for

melhor será a repetibilidade do braço, para uma mesma repetibilidade do atuador . Além disto, a força obtida na extremidade do braço também é amplificada, mas a velocidade é atenuada. Isto porque esta transmissão mecânica é equivalente à de um braço de alavanca, como mostrado na Figura 3.4.

Pela norma ISO 9283, a repetibilidade nominal do braço é a menor repetibilidade encontrada em seu volume de trabalho. Portanto, se deve analisar quais são os pontos em que

é maior em função do comprimento . Desde que ‖ ‖ ‖ ‖, a função terá será uma curva em forma de uma bacia, como pode ser visto na Figura 3.9, para , ‖ ‖ e ‖ ‖ . Assim, o pior caso ocorre quando ou quando , com

sendo a maior distância possível entre a ponta do braço e a junta . Para o primeiro elo, , e para o segundo elo

Figura 3.9 – Gráfico mostrando o comportamento de

em função de

O erro nominal do braço devido ao erro de posicionamento do atuador é dado pela seguinte equação:

Assim, para minimizar a sensibilidade de posicionamento, e melhorar a repetibilidade, ̅ ( ) deve ser igual a ̅ ( ). Há também uma restrição sobre o curso do atuador, que deve ser escolhido de modo a ser possível alcançar o curso angular da junta. Desta forma, a sensibilidade é minimizada, para um dado curso , se ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ .

Ao se resolver um sistema de equações que leva em consideração as restrições de curso e comprimento dos atuadores, chega-se à seguinte equação para a inversa do valor de ̅ , definida por : ̅ ( ) √‖ ‖ . ( ) / . ( ₎ / com ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖) (3.36)

onde , ou “comprimento morto”, é a parte do comprimento do atuador que não contribui para o seu curso. O comprimento morto é composto de duas partes, e , que se referem ao comprimento morto da base e da extremidade, respectivamente, como mostrado na Figura 3.10. Embora o curso possa ser customizado com relativa facilidade, este comprimento morto é uma característica de projeto do atuador. O valor para os atuadores considerados deve ser tomado de um catálogo ou fornecido diretamente pelo fabricante.

Figura 3.10 – Desenho mostrando o curso e as duas partes do “comprimento morto” do cilindro atuador

Com o valor calculado, é possível obter os demais parâmetros do atuador , incluindo um dos pontos de fixação, usando-se as seguintes equações:

√‖ ‖ (3.37)

onde é o comprimento do atuador quando ele se encontra na metade do seu curso,

(3.39) ‖ ‖ ( ₎ (3.40) onde ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖), e ‖ ‖ ( * (3.41)

onde é o curso do atuador.

Os parâmetros e são definidos em função do volume de trabalho desejado, enquanto que ‖ ‖ é um valor arbitrário, definido como um parâmetro de entrada no projeto. O uso dos pontos ‖ ‖ e ‖ ‖, ao invés dos pontos ‖ ‖ e ‖ ‖, é importante para o equacionamento, como pode ser visto no Apêndice A.5.

Geralmente, os atuadores são montados de forma a estarem mais alinhados com o primeiro elo. Neste caso, para o primeiro atuador, o ponto de fixação será , e portanto ‖ ‖ ‖ ‖. Similarmente, para o segundo atuador, , e ‖ ‖ ‖ ‖, lembrando que é baseado no ponto segundo a seguinte equação:

[

] (3.42)

Por consequência, ‖ ‖ ‖ ‖ e ‖ ‖ ‖ ‖.

A definição dos pontos de fixação iniciais e é feita na especificação do projeto, antes mesmo de serem definidos os comprimentos dos elos. Como a definição dos pontos pode depender dos comprimentos, são usadas duas matrizes, e , de modo que:

[ ] (3.43)

e

[ ] _(3.44)

As matrizes e possuem dimensão de 2 x 3. Desta forma, os pontos de fixação iniciais podem ser definidos em função dos comprimentos dos elos, mesmo eles ainda não sendo conhecidos no começo do projeto.

A Equação 3.40 permite calcular apenas a distância entre o ponto de fixação do atuador e a junta correspondente. Para obter a posição deste ponto também é necessário o cálculo de um ângulo, o que pode ser feito por intermédio da seguinte equação:

( ) .

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖‖ ‖ / (3.45) onde o sinal aparece porque ( ) ( ). Deve ser positivo se o atuador estiver por cima da junta, ou negativo se estiver por baixo. Com isso, se pode definir o valor de um dos ângulos ou . O valor do outro ângulo deverá ser calculado de acordo com o ponto inicial definido arbitrariamente. O cálculo destes ângulos em função das coordenadas dos pontos é mostrado na Seção 3.1.1.

Para que seja possível fabricar o braço, é importante que os valores para as coordenadas dos pontos de acoplamento sejam truncadas em um certo valor, por exemplo para o milímetro mais próximo. Com os pontos , , e calculados e truncados, então podem ser usadas as Equações 3.31 e 3.32, juntamente com os limites angulares calculados na Seção 3.2.3, para calcular os comprimentos mínimos e máximos dos atuadores. Estes valores não precisam ser truncados; os atuadores físicos escolhidos apenas precisam ter um comprimento mínimo menor do que o valor calculado, e similarmente um comprimento máximo maior. Isto pode ser obtido se for usado nos cálculos desta seção um comprimento morto levemente maior do que o do atuador cogitado.