cálculo de predicados de Ia ordem, o espírito da definição de verdade de Tarski, que é seu caráter recursivo.
Ademais, a própria o é a*-variante de d, qualquer que seja k, pois o difere de si própria em no máximo o valor atribuído à Æ-ésima variável do alfabeto, qualquer que sejâ k, uma vez que o não difere de si própria quanto à atribuição de valor a qualquer das variáveis do alfabeto.
Uma Vez que cada construção do cálculo de predicados de Ia ordem possui uma cláusula da definição de valoração que lhe diz respeito, e dado o princípio da composicionalidade, pode-se calcular o valor-verdade de qualquer sentença dessa linguagem, considerada uma estrutura determinada, não obstante o fato de que o número dessas sentenças é potencialmente infinito. E uma vez que são conhecidas as condições de verdade de todas as sentenças da mesma linguagem, e dado que a semântica em questão é extensional, tem-se que se conhece (potencialmente) o significado de todas essas sentenças. Por exemplo, se A é igual ao conjunto dos números naturais, a uma função- atribuição em que à variável x está associado o número cinco, e *<’ e ‘0’ são lidos como de costume, isto é, ‘é menor que’ e ‘zero’, respectivamente, então o valor-verdade da sentença ‘~3xx<0’ é o Verdadeiro, pois: i) ‘3xx<0’ é falsa, pois ii) não há nenhuma função-atribuição x-variante de a em que ‘x<0’ seja verdadeira, dado que nenhum par- ordenado de elementos de A, cujo segundo membro é zero, pertence ao conjunto dos pares ordenados <x, y> de A, tais que x<y.
No exemplo do parágrafo precedente, o conceito de satisfação não foi empregado em nenhum momento. Como na definição de valoração, dada anteriormente, as cláusulas para funções sentenciais lhes atribuíam valores-verdade, este procedimento foi adotado em nosso exemplo. Assim, dissemos que não havia uma função-atribuição x-variante de o em que ‘x<0’ fosse verdadeira. Mas isto se dá, como é óbvio, devido ao artifício das funções- atribuição. De fato, poderíamos perfeitamente falar, continuando a empregar o artifício, em funções sentenciais satisfeitas, não por seqüências infinitas de objetos, como em Tarski, mas por funções-atribuição50. Deste modo, da função sentenciai ‘4>x’ pode-se dizer que é satisfeita por uma função-atribuição que, e. g., atribui à variável x o número 1 como valor. Desta forma, ainda, uma sentença verdadeira pode ser entendida, de modo a lembrar Tarski diretamente, como uma função sentenciai sem variáveis livres, que é
satisfeita por todas as funções-atribuição. Como exemplo, a sentença ‘3xx>4’ é uma sentença verdadeira, dado o conjunto dos naturais como domínio das variáveis, pois, como não possui variáveis livres, deve ser satisfeita por todas ou por nenhuma das funções-atribuição. É satisfeita por todas elas, pois, para qualquer fimção-atribuição a, haverá uma fimção-atribuição x x-variante de a que satisfaz a função sentenciai ‘x>4\
Mas nós podemos tomar um dos exemplos anteriores, e variar, não a função- atribuição, mas a função-interpretação, de modo a tomá-ló uma sentença falsa. Tomemos a sentença ‘~3xx<0\ A função-interpretação que utilizamos entende que I (<) é igual ao conjunto dos pares-ordenados <x, y> tais que x é menor do que y. Se utilizarmos uma função-interpretação em que I (<) seja igual ao conjunto dos pares-ordenados <x, y> tais que x é maior do que y, a sentença ‘~3xx<0’ passa a ser, obviamente, uma sentença falsa51. Esta constatação nos permite empregar a noção de estrutura para a definição de novos conceitos semânticos.
Pois bem, considere-se uma função-atribuição o qualquer. Em primeiro lugar, diz- se que:
DEF. 3.1: Uma estrutura E é modelo de um conjunto de sentenças T (em símbolos |= e É)
sse para todo y e T, v° (y) = V em E.
Por exemplo, seja F = {3xPx, Pa, VxRax}, e considere-se a estrutura <Á, I>, em que A é igual ao conjunto dos naturais, e I é igual à seguinte função-interpretação:
I(a ) = 3
I (P) = {x | x é impar}
I (R) = {<3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>, <3, 4>, ...}
É fácil concluir que, dada esta estrutura E, e este conjunto de sentenças T, (=e T, uma vez
que as três sentenças de T são verdadeiras em E.
Outro conceito que pode ser definido, agora com o auxílio do conceito de modelo, é o de conseqüência semântica.
DEF. 3.2: De uma sentença a se diz que é conseqüência semântica de um conjunto de sentenças T (em símbolos T |= a ) sse para toda estrutura E, tal que (=e T\ v° (a) = V em E.
Se T for o conjunto de sentenças do exemplo anterior, e a a sentença ‘BxRgtx’,
então, considerando a definição acima de conseqüência semântica, conclui-se facilmente que r |= BxRúoc, dado que ‘3xRax’ é verdadeira em qualquer estrutura que for modelo de
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Por fim, pode-se empregar o conceito de modelo para a definição de uma noção central em semântica, a saber: a noção de validade.
DEF. 3.3: Diz-se de uma sentença a que é válida (em símbolos |= a ) sse para toda estrutura E, v” (a) em E = V (isto é, se e somente se a é verdadeira para qualquer reinterpretação de suas constantes individuais e predicados).
Como exemplo, temos que ‘~3x (Fx & ~Fx)’ é uma sentença válida (ou uma verdade lógica), uma vez que é verdadeira em todas as estruturas. Qualquer que seja I (F), não haverá nenhum elemento associado à variável x por uma íunção-atribuição qualquer, que pertença a I (F) e não pertença a I (F), de modo que a sentença resulta verdadeira em todas as estruturas e, portanto, válida.
A definição de contradição resulta da substituição de ‘V’ por ‘F’ na definição de sentença válida, e pode-se definir sentença contingente como aquela sentença que não é válida nem contraditória.
Por fim, resta dizer, para ressaltar a vastidão das aplicações dos métodos da semântica formal, que os mesmos têm sido empregados, com sucesso, para os mais