Classifica¸c˜ ao de Γ-folhea¸ c˜ oes - Uma generalização de pseudogrupo estruturas

Nessa se¸cão apresentaremos o teorema de classifica¸cão de Γ-folhea¸cões, o qual será um extensão direta do teorema de classifica¸cão de Γ-folhea¸cões clássicas de Haefliger apresentado em [Hae71a]. Seja π_Γ : P Γ −→ BΓ o Γ-fibrado universal, usando as representa¸cão de Γ em T M temos o fibrado vetorial associado P Γ ⊗_ΓT M −→ BΓ. Seja π : P −→ B um Γ-fibrado principal diferenciável e seja Ψ : P −→ P Γ um Γ-morfismo classificante para P com aplica¸cão classificante ψ : B −→ BΓ. Então Ψ induz o morfismo de fibrados vetoriais

ΨT M: P ⊗_ΓT M P Γ ⊗_ΓT M

[p, u] [Ψ(p), u]

Por outro lado, lembre-se que a aplica¸c˜ao de momento µ : P −→ M induz o morfismo de fibrados vetoriais

µ : T B P ⊗_ΓT M

vb [σ(b), dbf · vb]

A seguinte afirma¸c˜ao permite caracterizar as Γ-folhea¸c˜oes em B no conjunto Bun_Γ(B).

Afirma¸cão 4.8. Seja π : P −→ B um Γ-fibrado principal com aplica¸cão de momento µ : P −→ M e seja Ψ : P −→ P Γ um Γ-morfismo classificante para P . Então P é uma Γ-folhea¸cão em B se e somente se o morfismo de fibrados vetoriais ΨT M ◦µ : T B −→ P Γ ⊗_b _ΓT M é um epimorfismo.

A prova dessa afirma¸cão é uma consequência direta do fato que ΨT M é um isomorfismo na fibra. O epimorfismo ΨT M ◦_bµ será chamado de epimorfismo classificante para a Γ-folhea¸cão P . A caracteriza¸cão de Γ-folhea¸cões dentro de Bun_Γ(B) apresentada na afirma¸cão acima depende da escolha de Γ-morfismo classificante, o qual é definido a menos de Γ-homotopia. Agora analisaremos o que acontece ao escolher outro Γ-morfismo classificante.

Sejam Ψ0 e Ψ1 dois Γ-morfismos classificantes para a Γ-folhea¸cão P . Então existe uma Γ- homotopia H : P × I −→ P Γ tal que H0 = Ψ0 e H1 = Ψ1. Consideramos em P × I a estrutura de Γ-fibrado principal de apresentada na Observa¸cão 1.34, e como a nova aplica¸cão de momento µ0 = µ ◦ pr₁ : P × I −→ M também é submersão então P × I é uma Γ-folhea¸cão em B × I, de fato

a folhea¸cão definida em B × I é por subvariedades da forma L × I onde L é uma folha de F. Para P × I o seu epimorfismo induzido bµ0 _´_{e definido por}

µ0_{: T B × T I} _{(P × I) ⊗} ΓT M (v, r) [(p, t), dpµ · (dpπ)−1· v]

onde (p, t) ∈ P × I s˜ao tais que (v, r) ∈ Tπ(p)B × TtI. Da cara do epimorfismo bµ0 conclu´ımos que sua restri¸c˜ao a bµ0

T B×I tamb´em ´e um epimorfismo. Ora, denotamos por H

T M _{: (P × I) ⊗}

ΓT M −→ P Γ ⊗_Γ T M o morfismo induzido pelo Γ-morfismo H, e lembre-se que HT M ´e um isomorfismo na fibra. Por conseguinte a composta de HT M com bµ0

T B×I determina uma homotopia entre os epimorfismos ΨT M₀ ◦µ e Ψ_b T M₁ ◦_bµ e essa homotopia ´e atrav´es de epimorfismos.

T B × I (P × I) ⊗ΓT M P Γ ⊗ΓT M B × I B × I BΓ b µ0 T B×I HT M idB×I h

Consequentemente obtemos uma aplica¸c˜ao

FolΓ(B) π0 Epi(T B, P Γ ⊗_ΓT M )

P [ΨT M ◦µ]_b

(4.4)

onde FolΓ(B) denota o conjunto de (classes de isomorfismo) de Γ-folhea¸c˜oes em B, e Epi(T B, P Γ⊗_Γ T M ) ´e o conjunto dos epimorfismos de T B −→ B em P Γ ⊗_ΓT M −→ BΓ munido da topologia compacto-aberta.

Ora mostraremos que a aplica¸cão (4.4) é invariante pela rela¸cão de homotopia integral. Para isso, sejam P0 e P1 duas Γ-folhea¸cões em B integralmente homotópicas e seja π : P −→ B × I a Γ-folhea¸cão que realiza a homotopia entre P0 e P1. Então a aplica¸cão de momento µ : P −→ M e um Γ-morfismo classificante Ψ : P −→ P Γ determinam o seguinte epimorfismo

T B × T I P ⊗_ΓT M P Γ ⊗_ΓT M

B × I B × I BΓ

µ ΨT M

idB×I ψ

Como P ´e uma homotopia integral ent˜ao µb

T B×I : T B × I −→ P ⊗ΓT M é um epimorfismo. Note que Ψ0= Ψ ◦ i0 é um Γ-morfismo classificante para P0 e Ψ1 = Ψ ◦ i1é um Γ-morfismo classificante para P1. Consequentemente ΨT M ◦µb

T B×I : T B × I −→ P Γ ⊗ΓT M é uma homotopia através de epimorfismos entre os epimorfismos classificantes de P0 e P1. Portanto a aplica¸cão (4.4) desce para Γ-folhea¸cões modulo homotopia integral e assim obtemos uma aplica¸cão bem definida

Haef: FolΓ(B) /≈ π0 Epi(T B, P Γ ⊗_ΓT M )

CLASSIFICAÇ ÃO DE Γ-FOLHEAÇ ÕES 83

Teorema 4.9. Seja B uma variedade aberta. Ent˜ao a aplica¸c˜ao

Haef: FolΓ(B) /≈ π0 Epi(T B, P Γ ⊗_ΓT M )

e uma bije¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao. A prova desse teorema segue o mesmo caminho da prova do Teorema3.22e muito pr´oxima da prova do teorema de Haefliger apresentado em [Hae71a].

• Haef é sobrejetora: Seja eΨ : T B −→ P Γ ⊗_ΓT M um epimorfismo e denote por ψ : B −→ BΓ a proje¸cão de eΨ. Seja P −→ B o gráfico de ψ∗P Γ constru´ıdo no Teorema 1.79 e lembre que P tem aplica¸cão de momento submersão, isto é P é uma Γ-folhea¸cão em B. Dessa forma temos um epimorfismo T B −→ P Γ ⊗ΓT M que permite fatorar eΨ : T B −→ P Γ ⊗ΓT M como a composta desse epimorfismo T B −→ P Γ ⊗ΓT M com um morfismo F : T B −→ T B transversal à distribui¸cão tangente da folhea¸cão F definida por P. Como B é uma variedade aberta, pelo Teorema 2.22 o morfismo F pode ser deformado por morfismos transversais à T F para o diferencial df de uma aplica¸cão f : B −→ B transversal a T F. Finalmente P = f∗P é o Γ-folhea¸cão procurada.

• Haef é injetora: Sejam P0 e P1 duas Γ-folhea¸cões em B tais que o seus corresponden- tes epimorfismos classificantes pertencem a mesma componente conexa por caminhos em Epi(T B, P Γ ⊗_ΓT M ). Seja eΦ : T B × I −→ P Γ ⊗ΓT M a homotopia através de epimorfismos entre os epimorfismos classificantes de P0 e P1. Seja φ : B × I −→ BΓ a proje¸cão de eΦ. Seja P0 −→ B0 _{o gr´}_{afico do Γ-fibrado principal φ}∗_{P Γ, o qual define uma Γ-folhea¸c˜}_{ao em B}0_. Então novamente temos um epimorfismo T B0 −→ P Γ ⊗_ΓT M que permite fatorar eΦ como a composta desse epimorfismo T B0 −→ P Γ ⊗_Γ_{T M com uma homotopia H : T B × I −→ T B}0 através de aplica¸cões transversais à distribui¸cão tangente da folhea¸cão F0 definida por P0. Novamente, como B é uma variedade aberta, o Teorema2.22 garante que H pode ser defor- mada no diferencial dh de uma homotopia h : B × I −→ B0 por aplica¸cões transversais a T F0. Finalmente P = h∗P0 realiza a homotopia integral procurada entre P0 e P1.

Se no Teorema 4.9 escolhemos Γ como sendo um pseudogrupo generalizado do grupoide M × M ⇒ M , isto é Γ sendo um pseudogrupo clássico, recuperamos o teorema de classifica¸cão de Γ-folhea¸cões clássicas devido a Haefliger.

Agora gostar´ıamos usar o Teorema 4.9 para estudar o problema de quando uma folhea¸cão regular admite uma estrutura transversal localmente modelada no fibrado ancorado a : E −→ T M . Antes de tudo, devemos apontar que uma resposta a tal problema é obtida a menos de homotopia. Agora, observe que não há diferen¸ca se na Defini¸cão 3.4de folhea¸cões regulares de codimensão k em B usamos o grupoide de germes Γ ⇒ Rkde todas as transforma¸cões locais de Rk ou se usamos o grupoide de germes ΓM ⇒ M de todas as transforma¸cões locais de M quando dimM = k. Isto segue da equivalência de Morita entre os grupoides Γ ⇒ Rk e ΓM ⇒ M2. Desta forma, fixada uma variedade M de dimM = k, de acordo com o Teorema4.9 temos que folhea¸cões regulares de

codimens˜ao k sobre uma variedade aberta B s˜ao classificadas a menos de homotopia integral pelo conjunto π0 Epi(T B, P ΓM ⊗ΓM T M )

FolΓM(B) /≈ π0 Epi(T B, P ΓM⊗_Γ_M T M )

Ora, o morfismo de grupoides E0 definido em (4.2) induz um E0-morfismo entre os fibrados universais P Γ e P ΓM.

P Γ P ΓM

BΓ BΓM

Esse E0-morfismo induz um morfismo de fibrados vetoriais nos fibrados vetoriais associados a representa¸c˜ao sobre T M

P Γ ⊗_ΓT M P ΓM ⊗_Γ_M T M

BΓ BΓM

ΞT M

De fato, o morfismo ΞT M ´e um isomorfismo na fibra.

Observe que um epimorfismo classificante para uma Γ-folhea¸cão determina um epimorfismo classificante para a folhea¸cão regular por ela definida. Com efeito, seja P −→ B uma Γ-folhea¸cão com aplica¸cão de momento µ : P −→ M , e seja Ψ : P −→ P Γ um Γ-morfismo classificante para P . Então ΨT M ◦µ : T B −→ P Γ ⊗_b _ΓT M é o epimorfismo classificante para a Γ-folhea¸cão, e a sua composta com ΞT M : P Γ ⊗_ΓT M −→ P ΓM⊗_Γ_MT M determina um epimorfismo classificante para a folhea¸cão regular definida por P .

P Γ ⊗_ΓT M T B P ΓM ⊗ΓM T M ΞT M ΨT M_◦ b µ ΞT M_◦ΨT M_◦ b µ

Reciprocamente, seja Q −→ B uma folhea¸cão regular F em B com aplica¸cão de momento ν : Q −→ M , e seja Ψ0 : Q −→ P ΓM um ΓM-morfismo classificante para Q, então ΨT M0 ◦ν :b T B −→ P ΓM ⊗_Γ_M T M é um epimorfismo classificante de F . Suponha que existe uma aplica¸cão

Ψ : T B −→ P Γ ⊗_ΓT M que torna o seguinte diagrama comutativo

P Γ ⊗_ΓT M T B P ΓM ⊗_Γ_M T M ΞT M e Ψ ΨT M 0 ◦νb

CLASSIFICAÇ ÃO DE FOLHEAÇ ÕES TRANSVERSALMENTE HOMOG ÊNEAS 85

B, com aplica¸c˜ao de momento µ, cujo epimorfismo classificante ΨT M_◦ b

µ é homotópico a eΨ através de epimorfismos em Epi(T B, P Γ ⊗_ΓT M ). Portanto a folhea¸cão regular F0 em B definida por P é integralmente homotópica à folhea¸cão regular F . Assim obtemos o seguinte corolário do Teorema

4.9.

Corolário 4.10. Seja B uma variedade aberta, e seja F uma folhea¸cão regular em B com epimorfismo classificante ΨT M₀ ◦_bν. Existe uma correspondência 1-1 entre as classes de homotopia de levantamentos T B −→ P Γ ⊗_ΓT M do epimorfismo classificante F e folhea¸cões regulares integralmente homotópicas a F que admitem estrutura transversal localmente modelada por a : E −→ T M , de acordo com a Observa¸cão 4.5.

P Γ ⊗_ΓT M

T B P ΓM ⊗_Γ_M T M

ΞT M

ΨT M 0 ◦νb

No documento Uma generalização de pseudogrupo estruturas (páginas 91-95)