Uma generalização de pseudogrupo estruturas

Texto

(1)Uma Generaliza¸c˜ ao de Γ-Estruturas. Genaro Pablo Zamudio Chauca. Tese apresentada ao ´ tica e Estat´ıstica Instituto de Matema da ˜ o Paulo Universidade de Sa para ˜ o do t´ıtulo obtenc ¸a de ˆncias Doutor em Cie. Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Ivan Struchiner Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CAPES e do CNPq S˜ ao Paulo, abril de 2018.

(2) Uma Generaliza¸c˜ ao de Γ-Estruturas. Esta versão da tese contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comiss˜ ao Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 20/04/2018. Uma cópia da versão original está dispon´ıvel no Instituto de Matemática e Estat´ıstica da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Ivan Struchiner (orientador) - IME-USP • Prof. Dr. Cristian Ortiz - IME-USP • Prof. Dr. Rui Loja Fernandes - UI • Profa . Dra . Maria Amelia Salazar Pinzón - UFF • Prof. Dr. Pedro Walmsley Frejlich - UFRGS.

(3) Agradecimentos Tem muitas pessoas as quais devo agradecer por ter me ajudado a completar essa jornada. Em primeiro lugar agradecer a minha fam´ılia, meus pais Abraham e Rosa, meus irmãos Abraham e Sofia e meu sobrinho Jano. Espero que essa conquista possa enorgulhecer vocês e ela seja uma forma de retribui¸c˜ ao a todo o carinho e afeto que me deram. Agrade¸co o apoio incondicional de Denisse, a minha companheira nessa longa caminhada que é a vida. Já são muitas experiencias que temos vivido juntos e sei que elas me tornaram uma melhor pessoa. Obrigado por compartilhar comigo essa alegria tão particular de viver. Agrade¸co aos amigos que encontrei em São Paulo: Julio Bueno, Julio Malo, Gabriela, Carolina, Jose e Diana, German, Charlie, Elkin, Harry, Edu, Aura, Jorgito, Sergio, e aos mais próximos Alex, Diego e Diana. Obrigado pelas conversas, cafés, cervejas e por fazer me sentir em casa. Agrade¸co ao meu orientador Ivan Struchiner. Sinto que Ivan foi aquele irmão mais velho que me ensino e me ajudou na base das suas experiencias. Provavelmente esse trabalho poderia ter sido bem mais sucedido se eu tivera recolhido todas as indica¸cões do Ivan, mas também acredito que eu sentiria ele menos o meu trabalho. Obrigado Ivan por essa liberdade. Agrade¸co aos colegas, professores e funcionários do IME-USP. Meu passo pelo instituto foi uma das melhores experiencias que j´ a tive, e sou muito afortunado pelas excelentes pessoas que conheci. Gostaria dedicar esse trabalho ` a memoria do Prof. Holger Valqui. Foi muito afortunado de conhecer ao Profe Valqui quando come¸cava a minha vida acadêmica e devo a ele grande parte da minha forma¸c˜ ao como cientista. Nunca vou esquecer a sua frase: “Quien realmente entiende las cosas puede explicarlas de la manera m´ as sencilla posible”. Finalmente, e n˜ ao menos importante, agrade¸co à CAPES e ao CNPq pelo auxilio financeiro durante a realiza¸c˜ ao deste trabalho.. i.

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(5) Resumo ZAMUDIO CHAUCA, Genaro Pablo. Uma Generaliza¸ c˜ ao de Γ-Estruturas. 2018. viii + 101 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estat´ıstica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018. Já é bem estabelecido na geometria diferencial o uso de fibrados principais com grupo de estrutura para a defini¸c˜ ao e o estudo de algumas estruturas geométricas na base do fibrado. O uso de fibrados principais com grupoide de estrutura na defini¸cão de estruturas geométricas sobre variedades não tem sido muito explorada. O u ńico exemplo do uso desses fibrados para definir estruturas geométricas foi dado Haefliger. Ele mostrou que folhea¸cões regulares sobre uma variedade est˜ ao em correspondência com uma classe de fibrados principais com grupoide de estrutura, e usando a classifica¸cão de fibrados principais ele obtive a classifica¸cão de folhea¸cões regulares a menos de homotopia sobre uma variedade aberta. Neste trabalho propomos uma defini¸cão a qual generaliza as folhea¸cões regulares para produzir uma classe de fibrados vetoriais ancorados e provamos para eles um teorema de classifica¸c˜ ao no espirito do teorema de Haefliger. Depois aplicamos a teoria desenvolvida aos grupoides com formas multiplicativas e mostramos como a nossa defini¸cão permite trasladar a geometria guardada na forma multiplicativa para a base do fibrado principal. Em seguida voltamos para o caso de folhea¸cões regulares e mostramos que a nossa proposta permite incluir novas estruturas transversais ` a folhea¸cão. Palavras-chave: Grupoides de Lie, fibrados principais, Γ-estruturas, formas multiplicativas, folhea¸cões regulares, geometria transversal.. iii.

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(7) Abstract ZAMUDIO CHAUCA, Genaro Pablo. A Generalization of Γ-Structures. 2018. viii + 101 p. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estat´ıstica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018. It is well know in differencial geometry the use of principal bundles with structure group to define and study some geometric structures on the base of the bundle. The use of principal bundle with a structure groupoid has not been extensively studied yet. The only example using this kind of bundle was provided by Haefliger in his study of regular foliations. Haefliger showed that regular foliations can be identified with some class of principal bundles with structure groupoid, then by using the classifying theorem of principal bundles he arrived to the classification theorem of regular foliations up to homotopy on open manifolds. In this work we will propose a definition that generalizes regular foliations to include anchored vector bundles and, will prove a classification theorem for these structures in the spirit of Haefliger’s theorem. Then we will apply this theory to groupoids with multiplicative forms and show that our definition permits to transfer the geometry encoded in the multiplicative form to the base of the bundle. Then we will back to the case of regular foliations and show that our proposal allow new transversal structures to the foliation. Keywords: Lie groupoids, principal bundles, Γ-structures, multiplicative forms, regular foliations, transversal geometry.. v.

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(9) Sum´ ario Introdu¸ c˜ ao. 1. 1 Grupoides de Lie e G-fibrados principais. 5. 1.1. Grupoides de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Algebroides de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2.1. Algebroide de Lie de um grupoide de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. G-fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.3.1. Cociclos de Haefliger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.3.2. G-morfismos e G-homotopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.3.3. Pullback de G-fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. Espa¸cos classificantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.4.1. Constru¸c˜ ao do G-fibrado universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.4.2. Classifica¸c˜ ao de G-fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.5. G-fibrados associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 1.6. Equivalência de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 1.7. Bise¸c˜ oes e pseudogrupos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 1.7.1. Grupoide étale gerado por um pseudogrupo generalizado . . . . . . . . . . .. 34. 1.7.2. Rela¸c˜ ao entre um Γ-fibrado principal e o seu G-fibrado principal associado .. 38. 1.7.3. Gr´ afico de um Γ-fibrado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 1.3. 1.4. 2 Fibrados vetoriais ancorados e aplica¸ c˜ oes transversais 2.1 2.2. 43. Fibrados vetoriais ancorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2.1.1. Pullback de fibrados vetoriais ancorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. Jatos e classifica¸c˜ ao de aplica¸cões transversais a um fibrado vetorial ancorado . . .. 46. 2.2.1. Teorema de classifica¸caõ de aplica¸cões transversais a fibrados vetoriais ancorados ` a la Gromov-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Uma generaliza¸ c˜ ao de Γ-estruturas. 50 53. 3.1. Γ-estruturas cl´ assicas e estruturas de Haefliger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.2. Γ-fibrados vetoriais ancorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.2.1. Classifica¸c˜ ao de Γ-f.v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. G-fibrados de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 3.3.1. 72. 3.3. Pseudogrupo de solu¸c˜ oes de uma forma multiplicativa . . . . . . . . . . . .. vii.

(10) ´ SUMARIO. viii. 4 Γ-folhea¸ c˜ oes. 77. 4.1. Classifica¸c˜ ao de Γ-folhea¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 4.2. Classifica¸c˜ ao de folhea¸c˜ oes transversalmente homogêneas . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 4.2.1. Conex˜ oes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 4.2.2. Folhea¸c˜ oes regulares transversalmente homogêneas . . . . . . . . . . . . . .. 87. A No¸ c˜ oes de espa¸ c˜ os ´ etales. 89. B Formas b´ asicas em uma submers˜ ao sobrejetora. 93. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 97. ´ Indice Remissivo. 101.

(11) Introdu¸ c˜ ao A no¸cão de folhea¸c˜ ao regular foi introduzida por Ehresmann e Reeb[ER44], como uma generaliza¸cão natural da parti¸c˜ ao de uma variedade pelas curvas integrais de um campo vetorial. Sobre uma variedade topol´ ogica B de dimensão n, uma estrutura de variedade folheada de codimens˜ ao k é definida por um atlas maximal fi : Ui ⊂ Rk × Rn−k −→ B tal que fi (Ui ) cobrem B e as mudan¸cas de coordenadas s˜ ao homeomorfismos da forma (x, y) 7−→ (ϕ(x), ψ(x, y)), onde x ∈ Rk e y ∈ Rn−k . A estrutura ser´ a dita diferenci´ avel ou anal´ıtica se as mudan¸cas de coordenadas são diferenci´ aveis ou anal´ıticas. Em seguida Ehresmann generalizou esta no¸cão substituindo Rk e Rn−k por um par de espa¸cos topológicos M e F quaisquer e as mudan¸cas de coordenadas sendo elementos de um pseudogrupo de homeomorfismos locais do produto M × F localmente da forma (x, y) 7−→ (ϕ(x), ψx (y)); onde ϕ e ψx pertencem respetivamente aos pseudogrupos de automorfismos locais de M e F . Haefliger em [Hae58] utilizou o grupoide Γ ⇒ Rk de germes de transforma¸cões locais de Rk para definir e estudar propriedades de folhea¸cões regulares de codimensão k em uma variedade. De fato, Haefliger mostrou que folhea¸c˜ oes regulares em uma variedade B se correspondem com uma classe de Γ-fibrados principais sobre B. O trabalho de Haefliger teve foco no estudo da existência e da deforma¸c˜ ao dessas estruturas. Por exemplo, Haefliger mostrou em [Hae58] que não existe folhea¸cão anal´ıtica de codimens˜ ao um sobre a esfera S 3 . Gostar´ıamos apontar que o ponto de vista de Haefliger inclui naturalmente as Γ-estruturas em B como folhea¸cões de codimensão zero, e mais particularmente as G-estruturas integráveis, para G um subgrupo do GL(n, R) e com n = dimB. Após alguns anos, e depois da chegada dos teoremas de classifica¸cão de submersões por Phillips em [Phi67] e de classifica¸c˜ ao de aplica¸cões transversais a uma folhea¸cão por Phillips em [Phi70] e Gromov em [Gro69], Haefliger em [Hae70] e [Hae71a] apresentou o teorema de classifica¸c˜ ao a menos de homotopia de folhea¸c˜ oes regulares sobre uma variedade aberta. Isto equivale a responder a seguinte pergunta: Dadas duas folhea¸cões da mesma codimensão sobre uma variedade, quando pode-se deformar uma delas na outra através de folhea¸cões da mesma codimensão? Ademais, o ponto de vista de Haefliger para definir folhea¸cões regulares permite estudar também, apos a escolha de pseudogrupos espec´ıficos de transforma¸cões locais de Rk , certas geometrias transversais à folhea¸c˜ ao como estruturas simpléticas ou métricas riemannianas. A historia da classifica¸c˜ ao de folhea¸cões regulares em variedades não necessariamente abertas foi completada por Thurston em [Thu74] para folhea¸c˜ oes de codimens˜ ao maior que um e em [Thu76] para folhea¸cões de codimens˜ ao um. Thurston usa uma defini¸c˜ ao de equivalente de folhea¸cão regular à dada por Haefliger mas um método diferente de prova do teorema de classifica¸cão de folhea¸cões, pois os teoremas de Phillips e Gromov só s˜ ao validos para variedades abertas. O objetivo deste trabalho é utilizar os grupoides de Lie na defini¸cão e no estudo de estruturas geométricas sobre variedades, seguindo a filosofia de Haefliger no seu estudo de folhea¸cões regulares. 1.

(12) 2. ˜ INTRODUC ¸ AO. Grupoides de Lie s˜ ao uma generaliza¸c˜ ao de grupos de Lie e de variadades diferenciáveis. Como j´ a é padrão na literatura, os grupos de Lie podem ser pensados como transforma¸cões de simetria de uma variedade; de forma semelhante os grupoides de Lie podem ser pensados como transforma¸cões de simetria de um espa¸co fibrado. Na teoria de grupoides de Lie o conceito de transforma¸cão local se generaliza naturalmente para o conceito de bise¸c˜ ao local, e pseudogrupos de transforma¸cões locais se generalizam para pseudogrupos de bise¸c˜ oes locais, os quais são chamados de pseudogrupos generalizados. Desde esse ponto de vista os pseudogrupos de transforma¸cões locais de uma variedade M se identificam com os pseudogrupos generalizados do grupoide de pares de M , um dos grupoides mais simples na teoria de grupoides de Lie. Nosso objetivo nesse trabalho é definir e estudar as estruturas que surgem quando substitu´ımos pseudogrupos de transforma¸c˜ oes locais por pseudogrupos de bise¸cões locais de um grupoide de Lie. Para isso primeiro propomos a defini¸cão dos Γ-fibrados vetoriais ancorados, abreviadamente Γ-f.v.a., onde Γ é um pseudogrupo de bise¸cões locais. Os Γ-f.v.a serão certos fibrados principais com grupoide de estrutura o grupoide de germes de elementos em Γ e os quais tem naturalmente associado um fibrado vetorial ancorado. Esse fibrado vetorial ancorado associado é localmente isomorfo ao pullback ancorado de um fibrado vetorial ancorado modelo a : E −→ T M e colado globalmente de forma que o objeto global também é um fibrado vetorial ancorado. A motiva¸cão para a introdu¸c˜ ao dos Γ-f.v.a. é a seguinte. Apesar que os grupoides de Lie G ⇒ M não possuem representa¸c˜ oes canˆ onicas, o seu grupoide de 1-jatos J 1 G ⇒ M tem uma representa¸c˜ ao canônica sobre o algebroide ρ : A −→ T M de G, o qual é um exemplo de um fibrado vetorial ancorado, e as bise¸c˜ oes locais de G agem por automorfismos locais de A preservando a âncora e o colchete de Lie nas se¸c˜ oes de A. Em seguida desenvolvemos a teoria de pullback e homotopia de Γ-f.v.a. e apresentamos o teorema de classifica¸c˜ ao dos Γ-f.v.a. Desde certa perspectiva, os Γ-f.v.a. e o seu teorema de classifica¸c˜ ao são o maior âmbito no qual as ferramentas e o método de prova do teorema de classifica¸cão de folhea¸cões regulares devido a Haefliger continuam valendo quando substitu´ımos pseudogrupos de transforma¸cões locais por pseudogrupos de bise¸cões locais. Finalmente introduzimos as Γ-folhea¸co˜es os quais serão uma classe de Γ-f.v.a. que ao mesmo tempo definem uma folhea¸c˜ ao regular. Assim para uma Γ-folhea¸cão o fibrado vetorial ancorado a : E −→ T M torna-se em um modelo para a geometria transversal à folhea¸cão regular subjacente. Dessa forma Γ-folhea¸c˜ oes ser˜ ao folhea¸c˜ oes regulares com geometria transversal definida por um fibrado vetorial ancorado modelo. Logo desenvolvemos a teoria de pullback e homotopia de Γfolhea¸cões e apresentamos o teorema de classifica¸cão de Γ-folhea¸cões. O teorema de classifica¸c˜ ao de Γ-folhea¸cões é uma extens˜ ao direta do teorema de classifica¸cão de folhea¸cões regulares devido a Haefliger em [Hae71a]. Organiza¸ c˜ ao do trabalho • No Cap´ıtulo 1 apresentamos os resultados preliminares da teoria de grupoides de Lie G ⇒ M e os G-fibrados principais. Assim as Se¸cões 1.1, 1.2 e 1.6 são brevemente dedicadas a conceitos j´ a padrão em muitas referencias sobre grupoides de Lie. As Se¸cões 1.3, 1.4 e 1.5 são dedicadas a conceitos um pouco menos padr˜ ao na literatura sobre grupoides de Lie, porém esses resultados são uma generaliza¸c˜ ao direta dos correspondentes na teoria de fibrados principais com grupo.

(13) 3 de estrutura. Na Se¸c˜ ao 1.7 tratamos os pseudogrupos generalizados Γ e o seu grupoide de germes Γ ⇒ M . O resultado mais importante dessa se¸cão é a constru¸cão do gráfico de um Γ-fibrado principal, o qual é uma generaliza¸cão de um resultado semelhante obtido para pseudogrupos de transforma¸c˜ oes locais. • No Cap´ıtulo 2 apresentamos os resultados preliminares da teoria de fibrados vetoriais ancorados. O resultado mais importante desse cap´ıtulo é a classifica¸cão de aplica¸cões transversais a um fibrado ancorado apresentado na Se¸cão 2.2, esse teorema acompanhado da constru¸c˜ ao do gráfico de um Γ-fibrado principal são as pe¸cas fundamentais para as provas dos teoremas de classifica¸c˜ ao apresentados nos Cap´ıtulos 3 e 4. • O Cap´ıtulo 3 come¸ca com uma revisão das Γ-estruturas clássicas e das estruturas de Haefliger, onde descrevemos brevemente algumas consequências do ponto de vista de Haefliger para estudar folhea¸c˜ oes regulares. Na Se¸cão 3.2 introduzimos os Γ-f.v.a. e provamos o seu teorema de classifica¸c˜ ao. Os Γ-f.v.a. s˜ ao Γ-fibrados principais que tem canonicamente associado um fibrado vetorial ancorado o qual é localmente modelado por um fibrado vetorial ancorado a : E −→ T M fixado. Na Se¸c˜ ao 3.3 introduzimos os G-fibrados de Morita e os G-fibrado principais Γ-planos. Os G-fibrados de Morita que são Γ-planos são a imagem dos Γ-f.v.a. com modelo local igual ao algebroide ρ : A −→ T M de G via o morfismo canônico Γ 7−→ G. Em seguida mostramos que com a escolha adequada do Γ é poss´ıvel transportar formas multiplicativas do grupoide G para formas na base do G-fibrado principal ou para formas multiplicativas no correspondente grupoide de gauge do G-fibrado principal. • No Cap´ıtulo 4 definimos as Γ-folhea¸cões e provamos o seu teorema de classifica¸cão. Em seguida apresentamos um corol´ ario o qual responde a seguinte pergunta: Fixada uma folhea¸c˜ ao regular, quando ela admite uma estrutura transversal localmente isomorfa a um fibrado vetorial ancorado modelo a : E −→ T M ?.

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(15) Cap´ıtulo 1. Grupoides de Lie e G-fibrados principais Neste cap´ıtulo iremos lembrar as defini¸cões e propriedades elementares da teoria de grupoides de Lie. As nossas principais referencias para a teoria de grupoides de Lie são os livros de Mackenzie [Mac05], de Moerdijk e Mrˇcun[MM03] e as notas de Crainic e Fernandes [CF11]. Para uma motiva¸cão ao estudo e introdu¸c˜ ao hist´ orica dos grupoides de Lie recomendamos a leitura das notas do final de cap´ıtulo nas referencias [Mac05] e [CF11].. 1.1. Grupoides de Lie. O objeto de estudo principal neste trabalho são os grupoides de Lie. A defini¸cão mais curta de grupoide, sem nenhuma estrutura adicional, é a seguinte. Defini¸ c˜ ao 1.1. Um grupoide G é uma categoria (pequena) onde todos os morfismos s˜ ao isomorfismos. O conjunto de morfismos do grupoide será denotado pela mesma letra G e o conjunto de objetos do grupoide ser´ a denotado por M . H´ a uma serie de aplica¸cões entre G e M as quais vem da defini¸c˜ ao de grupoide • “Source” s : G → M ; a qual associa a cada elemento em G o seu dom´ınio. • “Target” t : G → M ; a qual associa a cada elemento em G o seu codom´ınio. • Unidade u : M → G; a qual associa a cada objeto em M o seu morfismo identidade em G • Inversão i : G → G; a qual associa a cada morfismo em G o seu morfismo inverso • Multiplica¸c˜ ao m : G (2) → G; a qual associa a cada par de morfismos compon´ıveis em G a sua . composi¸c˜ ao, onde G (2) = (g, h) ∈ G × G : s(g) = t(h) . Estas aplica¸c˜ oes s˜ ao chamadas de aplica¸cões de estrutura e elas satisfazem algumas condi¸cões as quais são consequência da Defini¸c˜ ao 1.1, vide por exemplo a página 112 em [MM03] ou a p´ agina 4 em [CF11]. Segue dessas condi¸c˜ oes que as aplica¸cões s e t são sobrejetoras, a aplica¸cão u é injetora e a aplica¸c˜ ao i é uma bije¸c˜ ao. Denotaremos um grupoide por G ⇒ M ; os morfismos em G 5.

(16) 6. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. serão denotados por g : x → y, onde s(g) = x e t(g) = y; o morfismo inverso de g será denotado por i(g) = g −1 , e o morfismo identidade em x será denotado por u(x) = 1x . Este trabalho ser´ a desenvolvido na categoria diferenci´ avel, com exce¸cão da se¸cão referente a espa¸cos classificantes onde as constru¸cões s˜ ao feitas na categoria topológica. Por isto a nossa seguinte defini¸cão é a de grupoide diferenciável ou grupoide de Lie. Defini¸ c˜ ao 1.2. Um grupoide de Lie é um grupoide G ⇒ M onde G é uma variedade diferenci´ avel (possivelmente n˜ ao Hausdorff ), M é uma variedade diferenci´ avel, todas as aplica¸co ˜es de estrutura s˜ ao diferenci´ aveis, e as aplica¸c˜ oes s e t s˜ ao submers˜ oes. Então, num grupoide de Lie as aplica¸cões s e t são submersões sobrejetoras, a inversão i é um difeomorfismo e a unidade u é um mergulho. Assim, para cada x ∈ M , as imagens inversas s−1 (x) e t−1 (x) s˜ ao subvariedades mergulhadas de G e são chamadas de s-fibra e t-fibra em x, respectivamente. A invers˜ ao induz a difeomorfismo entre estas duas subvariedades i : s−1 (x). t−1 (x). g. g −1. Dado g : x → y, a multiplica¸c˜ ao ` a direita pelo elemento g ∈ G é definida somente sobre a s-fibra em y e induz um difeomorfismo sobre a s-fibra em x Rg : s−1 (y). s−1 (x). h. hg. Analogamente, a multiplica¸c˜ ao ` a esquerda por g induz um difeomorfismo entre a t-fibra em x e a t-fibra em y. Para cada x ∈ M a restri¸c˜ ao da multiplica¸cão ao conjunto Gx = s−1 (x) ∩ t−1 (x) induz uma estrutura de grupo em Gx . Na verdade Gx é um grupo de Lie chamado de grupo de isotropia . em x. Finalmente, Ox = t(g) : g ∈ s−1 (x) ⊂ M é uma subvariedade imersa chamada de órbita em x. Defini¸ c˜ ao 1.3. Um grupoide de Lie é chamado de transitivo se ele tem apenas uma orbita, i.e. dado qualquer par (y, x) ∈ M × M ent˜ ao existe um elemento g ∈ G tal que s(g) = x e t(g) = y. Defini¸ c˜ ao 1.4. Sejam G ⇒ M e H ⇒ N dois grupoides de Lie. Um morfismo de grupoides de Lie é um functor diferenci´ avel de G em H. De outro modo, um morfismo de grupoides de Lie é um par de aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis F : G −→ H, f : M −→ N que comutam com todas as aplica¸c˜ oes de estrutura dos grupoides. Como é mostrado na Proposi¸c˜ ao 1.2.2 em [Mac05], para que (F, f ) seja um morfismo de grupoides de Lie é suficiente que elas comutem com as aplica¸cões s, t e m. Se (F, f ) : G −→ H é um morfismo de grupoides ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f envia orbitas de G em orbitas de H, e F envia o grupo de isotropia de G em x para o grupo de isotropia de H em f (x). Agora apresentaremos alguns exemplos de grupoides de Lie. Exemplo 1.5. Um grupo de Lie G é equivalente a um grupoide de Lie G ⇒ {∗} onde o conjunto de objetos contém um elemento s´ o. Sejam G, H dois grupos de Lie, ent˜ ao morfismos de grupoide de G ⇒ {∗} em H ⇒ {∗} coincidem com os morfismos de grupos de Lie de G em H..

(17) GRUPOIDES DE LIE. 7. Exemplo 1.6. Uma variedade M é um grupoide de Lie M ⇒ M onde todas as aplica¸c˜ oes de estrutura s˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade idM . Sejam M, N duas variedades, ent˜ ao morfismos de grupoides de Lie M ⇒ M em N ⇒ N coincidem com as aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis de M em N . Exemplo 1.7. Seja M uma variedade. O produto cartesiano M × M é um grupoide de Lie sobre M , cada par (y, x) é considerado como um morfismo x → y. A multiplica¸c˜ ao e a inversa neste grupoide s˜ ao definidas por (z, y)(y, x) = (z, x),. (y, x)−1 = (x, y). e dado x ∈ M temos 1x = (x, x). Este grupoide é chamado de grupoide dos pares de M e é denotado por M × M ⇒ M . O grupoide M × M ⇒ M é um exemplo de um grupoide transitivo. Exemplo 1.8. Seja π : P −→ B uma submers˜ ao sobrejetora. Ent˜ ao o produto fibrado P ×B P = . (q, p) ∈ P ×P : π(q) = π(p) é uma subvariedade mergulhada de P ×P . A restri¸c˜ ao das aplica¸c˜ oes de estrutura do grupoide de pares de P para P ×B P fornece de uma estrutura de grupoide de Lie para P ×B P ⇒ P , esse grupoide é chamado de grupoide de submers˜ ao de π : P −→ B. Exemplo 1.9. Seja G × M → M uma a¸c˜ ao do grupo de Lie G sobre a variedade M . O produto cartesiano G × M é um grupoide sobre M , chamado de grupoide de transforma¸c˜ ao ou grupoide de a¸c˜ ao, e denotado por G n M ⇒ M . Para cada morfismo (g, x) temos definido s(g, x) = x, t(g, x) = gx, u(x) = (1, x), onde 1 é o elemento identidade em G. A multiplica¸c˜ ao e a inversa s˜ ao definidas por (h, y)(g, x) = (hg, x),. (g, x)−1 = (g −1 , gx). As ´ orbitas e as isotropias do grupoide G n M ⇒ M coincidem com as ´ orbitas e as isotropias da a¸c˜ ao G × M → M . Exemplo 1.10. Sejam G um grupo de Lie e π : P −→ B um G-fibrado principal. Denote por P ⊗G P o quociente de P × P pela a¸c˜ ao diagonal de G. Assim P ⊗G P herda estrutura de variedade diferenci´ avel e também tem estrutura de grupoide de Lie sobre B. Para cada morfismo [p, q] ∈ P ⊗G P temos s([p, q]) = π(q) e t([p, q]) = π(p). A multiplica¸c˜ ao e inversa s˜ ao definidas por [p, q][q, r] = [p, r],. [p, q]−1 = [q, p]. e dado b ∈ B temos 1b = [p, p], onde p ∈ π −1 (b). Este grupoide é chamado de grupoide de gauge do G-fibrado principal P e é denotado por P ⊗G P ⇒ B. Note que P ⊗G P ⇒ B é um grupoide transitivo. Exemplo 1.11. Seja π : E → M um fibrado vetorial. Denote por GL(E) o conjunto de isomorfismos lineares entre as fibras de E, i.e. GL(E) = {g : Ex → Ey : x, y ∈ M, g é um isomorfismo linear} O conjunto GL(E) tem estrutura de variedade diferenci´ avel induzida pelo atlas de fibrado de E e é um grupoide de Lie sobre M . Dado um morfismo g : Ex → Ey temos s(g) = x, t(g) = y, i(g) = g −1 , 1x = idEx ; e a multiplica¸c˜ ao é simplesmente a composi¸c˜ ao de aplica¸c˜ oes. Este grupoide é chamado de grupoide geral linear de E. N˜ ao é dif´ıcil verificar que GL(E) é o grupoide de gauge do fibrado de referenciais de E..

(18) 8. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. Observa¸ c˜ ao 1.12. Seja G ⇒ M um grupoide de Lie. A ancora do grupoide é a aplica¸c˜ ao % := (t, s) : G −→ M × M . Pode-se verificar que essa ancora define um morfismo de grupoides de Lie (%, idM ) de G ⇒ M para o grupoide de pares M × M ⇒ M .. 1.2. Algebroides de Lie. A contraparte infinitesimal associada a um grupoide de Lie é o algebroide de Lie, em semelhan¸ca a rela¸cão entre grupos de Lie e ´ algebras de Lie. A terminologia usual na teoria de grupoides de Lie diz que “derivando” um grupoide de Lie obtemos um algebroide de Lie, e “integrando” um algebroide de Lie obtemos um grupoide de Lie. A principal diferen¸ca com os grupos e álgebras de Lie é que nem todo algebroide de Lie vem de um grupoide de Lie, existem algebroides de Lie n˜ ao integráveis. As condi¸c˜ oes para a integrabilidade de um algebroide de Lie foram dadas por Crainic e Fernandes em [CF03]. A seguir lembramos a defini¸cão de algebroide de Lie e alguns exemplos1 . Defini¸ c˜ ao 1.13. Um algebroide de Lie sobre M consiste de: 1. Um fibrado vetorial A −→ M , 2. Um morfismo de fibrados vetoriais ρ : A −→ T M sobre a identidade de M chamado de ˆ ancora, 3. Um colchete de Lie [ , ] : Γ (A) × Γ (A) −→ Γ (A) nas se¸c˜ oes de A satisfazendo a regra de Leibniz [α1 , f α2 ] = f [α1 , α2 ] + Lρ(α1 ) (f )α2 onde α1 , α2 ∈ Γ (A) e f ∈ C ∞ (M ). Uma consequência desta defini¸c˜ ao é que a âncora induz um morfismo de álgebras de Lie ao n´ıvel das se¸cões ρ∗ : Γ (A) −→ X(M ), e em particular ρ∗ (Γ (A)) ⊂ X(M ) é uma subálgebra de Lie. Não é exigido que a âncora tenha posto constante, contudo ρ(A) ⊂ T M sempre define uma distribui¸c˜ ao generalizada integr´ avel e portanto essa distribui¸cão se integra para uma folhea¸cão singular em M . As orbitas desta folhea¸c˜ ao s˜ ao as orbitas do algebroide A. Se ρ é injetor então ρ(A) ⊂ T M define uma distribui¸cão integr´ avel e neste caso as orbitas do algebroide define uma folhea¸cão regular em M . Segue da regra de Leibniz que, para cada x ∈ M , a restri¸cão do colchete [ , ] para o Ker(ρx ) ⊂ Ax define uma estrutura de ´ algebra de Lie em Ker(ρx ). Essa álgebra de Lie Ker(ρx ), [ , ]x é chamada de álgebra de isotropia.. 1.2.1. Algebroide de Lie de um grupoide de Lie. Como já foi dito anteriormente, sempre é poss´ıvel associar a um grupoide de Lie o seu algebroide de Lie. Essa constru¸c˜ ao ser´ a relembrada a seguir. Como a aplica¸cão s é uma submersão sobrejetora então Ker(ds) ⊂ T G é um subfibrado vetorial, e denotaremos por Xs (G) = Γ Ker(ds) . Definimos 1. Nesse trabalho as se¸co ˜es de um fibrado vetorial E −→ M ser˜ ao denotadas por Γ (E). Na ultima se¸ca õ deste cap´ıtulo denotaremos por Γ aos pseudogrupos. Nesse ponto fazemos a advertência entre a semelhan¸ca nessas nota¸co ˜es Γ ( · ) e Γ..

(19) ALGEBROIDES DE LIE. 9. o fibrado vetorial A := u∗ Ker(ds). Como u : M −→ G é um mergulho então M e u(M ) ⊂ G s˜ ao difeomorfos, e esse difeomorfismo induz um isomorfismo de fibrados vetoriais entre A e Ker(ds)|u(M ) . A. M. '. Ker(ds)|u(M ). '. u(M ). A âncora é definida por ρ = u∗ dt|Ker(ds) . Para definir o colchete de Lie [ , ]A nas se¸cões de A, consideramos uma se¸c˜ ao de A como uma aplica¸cão α : u(M ) −→ Ker(ds)|u(M ) e assim cada se¸c˜ ao α induz uma se¸c˜ ao α e ∈ Xs (G) definida pela seguinte formula α e: G. Ker(ds). g. d1t(g) Rg · α(1t(g) ). A aplica¸cão α ∈ Γ (A) 7−→ α e ∈ Xs (G) é injetora e a sua imagem é o conjunto de campos vetoriais de G invariantes ` a direita n Xsinv (G) = X ∈ Xs (G) : Xgh = dg Rh · Xg. ; ∀(g, h) ∈ G (2). o. Como o conjunto de campos vetoriais de G invariantes à direita forma uma subálgebra de Lie dos campos vetoriais de G ent˜ ao ele induz um colchete de Lie nas se¸cões de A definido por [α1 , α2 ]A := [e α1 , α e2 ]|u(M ) Não é dif´ıcil verificar que esses colchete e âncora satisfazem a regra de Leibniz. Ante poss´ıveis confusões, o algebroide do grupoide de Lie G ⇒ M será denotado por A(G) −→ M . Pode-se verificar que as orbitas dos algebroide A(G) coincidem com as componentes conexas das orbitas do grupoide G, e que as ´ algebras de isotropia Ker(ρx ), [ , ]x são as álgebras de Lie dos grupos de isotropia Gx . Exemplo 1.14. O algebroide do grupoide G ⇒ {∗} é a algebra de Lie g de G considerado como um fibrado vetorial sobre um ponto. Exemplo 1.15. O algebroide do grupoide M ⇒ M é o fibrado vetorial zero A = 0, com ˆ ancora zero e colchete zero. Exemplo 1.16. O algebroide do grupoide de pares M × M ⇒ M é o fibrado tangente A = T M , com ˆ ancora igual a identidade ρ = idT M e o colchete é o colchete de campos vetoriais. Exemplo 1.17. O algebroide do grupoide de transforma¸c˜ ao GnM ⇒ M tem como fibrado vetorial o fibrado trivial A = g × M . A ˆ ancora é definida por ρ(ξ, x) = d1 θx · ξ, onde θ : G × M −→ M é a a¸c˜ ao, θx (g) = g · x, e 1 ∈ G é identidade do grupo. As se¸c˜ oes de g × M −→ M s˜ ao identificadas . ∞ com fun¸c˜ oes C (M, g). Os elementos de uma base ξ1 , . . . , ξn de g podem ser considerados como se¸c˜ oes constantes do fibrado g × M −→ M e assim C ∞ (M, g) é um C ∞ (M )-modulo gerado por X . ξ1 , . . . , ξn . Portanto cada se¸c˜ ao α ∈ C ∞ (M, g) se expressa de forma u ńica como α = αi ξi , i.

(20) 10. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. onde αi ∈ C ∞ (M ). Com essas identifica¸c˜ oes podemos escrever o colchete entre as se¸c˜ oes do algebroide g × M −→ M pela express˜ ao [α, α0 ](x) = [[α(x), α0 (x)]] +. Xn o αi (x) d1 (αj0 ◦ θx ) · ξi ξj − αj0 (x) d1 (αi ◦ θx ) · ξj ξi i,j. onde [[ , ]] denota o colchete de Lie de g. Exemplo 1.18. Seja q : E −→ M um fibrado vetorial. Uma deriva¸c˜ ao de E é um par (D, X) onde D : Γ (E) −→ Γ (E) é uma aplica¸c˜ ao R-linear, X ∈ X(M ) e eles satisfazem a regra de Leibniz D(f σ) = f Dσ + LX (f )σ Denotamos por Der(E) o conjunto das deriva¸c˜ oes de E, ele tem estrutura de espa¸co vetorial, de fato é um subespa¸co do endomorfismos do espa¸co vetorial Γ (E). Além disso, existem um colchete de Lie em Der(E) definido por [(D, X), (D0 , X 0 )] = (DD0 − D0 D, [X, X 0 ]) e um C ∞ (M )-modulo morfismo ρ∗ : (D, X) ∈ Der(E) 7−→ X ∈ X(M ). Pode-se verificar que Der(E) é isomorfo ` aa ´lgebra de Lie das se¸c˜ oes do algebroide de Lie gl(E) do grupoide GL(E) ⇒ M .. 1.3. G-fibrados principais. ´ poss´ıvel desenvolver uma teoria de fibrados principais com grupoide de estrutura, de forma E completamente an´ aloga ` a teoria de fibrados principais com grupo de estrutura. A seguir relembraremos as defini¸c˜ oes elementares e os mais importantes resultados. Assim como os grupos agem sobre espa¸cos, os grupoides agem sobre espa¸cos fibrados. Desta forma para definir a a¸c˜ ao do grupoide de Lie G ⇒ M precisamos de uma aplica¸cão µ : P −→ M . Denotamos por n o G ×M P := (g, p) ∈ G × P : µ(p) = s(g) ao produto fibrado de µ : P −→ M e s : G −→ M . Como s é uma submersão então G ×M P é uma subvariedade mergulhada de G × P . Defini¸ c˜ ao 1.19. Seja G ⇒ M um grupoide de Lie. Uma a¸c˜ ao ` a esquerda de G ao longo da aplica¸c˜ ao µ : P −→ M é uma aplica¸c˜ ao θ : (g, p) ∈ G ×M P 7−→ g · p ∈ P satisfazendo as seguintes propriedades 1. µ(g · p) = t(g), ∀(g, p) ∈ G ×M P . 2. g · (h · p) = (gh) · p, ∀(g, h) ∈ G (2) e ∀(h, p) ∈ G ×M P . 3. 1µ(p) · p = p, ∀p ∈ P . De forma an´ aloga se define uma a¸c˜ ao à direita. Simplificadamente, uma a¸cão também ser´ a denotada por G y P . A aplica¸c˜ ao µ : P −→ M é chamada de aplica¸cão de momento da a¸cão, e n˜ ao estamos supondo a priori que ela seja sobrejetora. Uma a¸cão de G sobre P associa a cada g : x → y, com s(q) ∈ µ(P ), um homeomorfismo θg : p ∈ µ−1 (x) 7−→ g · p ∈ µ−1 (y). A aplica¸cão θg é um.

(21) G-FIBRADOS PRINCIPAIS. 11. homeomorfismo devido a que n˜ ao estamos supondo alguma propriedade sobre µ que garanta que suas fibras sejam subvariedades de P . No entanto, no caso que µ seja uma submersão, a aplica¸c˜ ao . g −1 θ torna-se é um difeomorfismo. Seja p ∈ P , o conjunto Op = g · p : g ∈ s (µ(p)) é chamado de . orbita da a¸c˜ ao passando por p ou simplesmente orbita de p. O conjunto Isop = g ∈ G : g · p = p é chamado de grupo de isotropia da a¸cão em p. De forma semelhante ao caso de a¸cões de grupos de Lie, com cada a¸c˜ ao G y P de um grupoide de Lie temos associado o seu grupoide de a¸c˜ ao G n P ⇒ P , cujas aplica¸c˜ oes de estrutura são semelhantes as apresentadas no caso de a¸cões de grupos no Exemplo 1.9. As orbitas e isotropias do grupoide G n P coincidem com as orbitas e isotropias da a¸c˜ ao G y P . Defini¸ c˜ ao 1.20. Seja q : E −→ M um fibrado vetorial. Uma representa¸c˜ ao de G ⇒ M é uma a¸c˜ ao θ : G ×M E −→ E ao longo de q : E −→ M tal que θg : Ex −→ Ey é um isomorfismo linear, para cada g : x → y em G. Observa¸ c˜ ao 1.21. Suponha que temos uma a¸c˜ ao de G ao longo de µ : P −→ M . Para cada p ∈ P a aplica¸c˜ ao de momento µ envia a orbita da a¸c˜ ao passando por p na orbita do grupoide passando por µ(p), i.e. µ(Op ) = Oµ(p) . Assim µ(P ) ⊂ M é uma cole¸c˜ ao de orbitas do grupoide [ G, de fato podemos escrever µ(P ) = Ox . Em particular se G é um grupoide transitivo ent˜ ao x∈µ(P ). µ : P −→ M deve ser sobrejetora. Defini¸ c˜ ao 1.22. Seja G ⇒ M um grupoide de Lie. Um G-fibrado principal P sobre B consiste de: 1. Uma a¸c˜ ao ` a esquerda θ : G ×M P −→ P ao longo da aplica¸c˜ ao µ : P −→ M (n˜ ao necessariamente uma submers˜ ao sobrejetora), 2. Uma submers˜ ao sobrejetora e G-invariante π : P −→ B tais que a aplica¸c˜ ao ∆ : G ×M P. P ×B P. (g, p). (g · p, p). é um difeomorfismo. Em um G-fibrado principal π : P → B temos a seguinte nomenclatura: • P é chamado de espa¸co total. • B é chamado de espa¸co base. • π é chamado de proje¸c˜ ao. • G é chamado de grupoide de estrutura. • Pb = π −1 (b) é chamada a fibra sobre b ∈ B. A seguinte proposi¸c˜ ao enumera algumas propriedades, cuja verifica¸cão é direta, dos fibrados principais com grupoide de estrutura Proposi¸ c˜ ao 1.23. Um G-fibrado principal π : P −→ B com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M tem as seguintes propriedades:.

(22) 12. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. 1. A a¸c˜ ao θ : G ×M P −→ P é livre e pr´ opria. 2. As ´ orbitas da a¸c˜ ao θ : G ×M P −→ P s˜ ao as fibras da proje¸c˜ ao π : P −→ B. 3. A ´ orbita da a¸c˜ ao passando por p ∈ P é difeomorfa ` a s-fibra em µ(p). Mais explicitamente, seja p ∈ P , se denotamos por b = π(p) e x = µ(p). Ent˜ ao θp : g ∈ s−1 (x) 7−→ g · p ∈ Pb é um difeomorfismo. 4. dimG − dimM = dimP − dimB 5. Os grupoides G n P ⇒ P e P ×B P ⇒ P s˜ ao isomorfismo, e o isomorfismo é dado pela aplica¸c˜ ao ∆. Exemplo 1.24. Fibrados principais para o grupoide G ⇒ {∗} coincidem com os G-fibrados principais. Exemplo 1.25. A aplica¸c˜ ao s : G −→ M de qualquer grupoide de Lie é um G-fibrado principal. A a¸c˜ ao de G sobre ele mesmo é por multiplica¸c˜ ao ` a esquerda e a aplica¸c˜ ao de momento é t : G −→ M . Este fibrado é chamado de G-fibrado unit´ ario . Exemplo 1.26. Seja f : B −→ M uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel. O G-fibrado principal trivial determinado pela f é aquele que tem espa¸co total f ∗ G = {(b, g) ∈ B × G : f (b) = s(g)}, proje¸ca õ pr1 : (b, g) ∈ f ∗ G 7−→ b ∈ B, aplica¸c˜ ao de momento t ◦ pr2 : (b, g) ∈ f ∗ G 7−→ t(g) ∈ M ; onde a a¸c˜ ao de G sobre f ∗ G é por multiplica¸c˜ ao ` a esquerda na segunda componente. Exemplo 1.27. Veja que uma a¸c˜ ao do grupoide G n M ⇒ M ao longo da aplica¸c˜ ao µ : P −→ M é equivalente a uma a¸c˜ ao de G×P −→ P que torna µ : P −→ M uma aplica¸c˜ ao G-equivariante. Logo um G n M -fibrado principal π : P −→ B com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M é equivalente a um G-fibrado principal π : P −→ B e uma aplica¸c˜ ao G-equivariante µ : P −→ M . Como a proje¸c˜ ao π é uma submers˜ ao sobrejetora, ela sempre admite se¸cões locais numa vizinhan¸ca de qualquer ponto da base B. Assim cada se¸cão local σ : U −→ P da proje¸cão π define um difeomorfismo Φ−1 : f ∗ G. PU. (b, g). g · σ(b). onde f := µ ◦ σ : U → M , e PU = π −1 (U ). A aplica¸cão de divisão δ do fibrado P , definida por δ := pr1 ◦ ∆−1 : P ×B P → G e a qual é caracterizada pela equa¸c˜ ao q = δ(q, p) · p permite escrever explicitamente a aplica¸caõ inversa de Φ−1 Φ : PU. f ∗G. p. π(p), δ p, σ(π(p)). (1.1). Assim cada se¸c˜ ao local σ : U −→ P da proje¸cão π define uma carta de G-fibrado principal de P , i.e. um difeomorfismo de PU para o G-fibrado principal trivial f ∗ G que faz com que os seguintes.

(23) G-FIBRADOS PRINCIPAIS. 13. diagramas sejam comutativos. Φ. PU. f ∗G. π. Φ. PU µ. pr1. f ∗G t◦pr2. U. M. Defini¸ c˜ ao 1.28. Seja π : P −→ B um G-fibrado principal. Um atlas de G-fibrado principal para . P é uma cole¸c˜ ao de se¸c˜ oes locais σi : Ui → P i∈I da proje¸c˜ ao π tal que Ui i∈I é uma cobertura aberta de B. . Assim, dado π : P −→ B um G-fibrado principal, cada atlas σi : Ui → P i∈I para P define . uma cole¸cão de aplica¸c˜ oes γij : Ui ∩ Uj → G i,j∈I γii : Ui. G. b. 1fi (b). γij : Ui ∩ Uj. G. b. δ σi (b), σj (b). . Onde fi = µ ◦ σi . Como vimos acima, associado a cada se¸cão local σi temos um difeomorfismo Φi , e quando Ui ∩ Uj 6= ∅ as aplica¸c˜ oes γij fazem a transi¸cão entre esses difeomorfismos ∗ Φi ◦ Φ−1 j : fj G. Ui ∩Uj. (b, g). fi∗ G. Ui ∩Uj. b, gγji (b). Devido as equa¸c˜ oes acima, as aplica¸cões γij ’s são chamadas de fun¸cões de transi¸cão do atlas . σi : Ui −→ P i∈I .. 1.3.1. Cociclos de Haefliger. Defini¸ c˜ ao 1.29. Seja U =. Ui i∈I uma cobertura aberta de uma variedade B e G ⇒ M um. grupoide de Lie. Um cociclo de Haefliger em U a valores em G é uma cole¸c˜ ao de aplica¸c˜ oes . γij : Ui ∩ Uj −→ G i,j∈I que satisfazem as seguintes condi¸c˜ oes 1. Para cada b ∈ Ui : γii (b) é uma unidade de G 2. Para cada b ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk : γij (b)γjk (b) = γik (b) Se denotamos por fi = s ◦ γii : Ui −→ M temos que γii = u ◦ fi . Além disso, o item (2) implica as seguintes rela¸c˜ oes • s γij (b) = fj (b), • t γij (b) = fi (b), −1 = γji (b) • γij (b).

(24) 14. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. para b ∈ Ui ∩ Uj . Ora, observe que dado um atlas para o G-fibrado principal π : P −→ B, o seu conjunto de fun¸cões de transi¸c˜ ao define um cociclo de Haefliger sobre B. Por outro lado, para cada cociclo de Haefliger sobre a cobertura aberta Ui i∈I de B existe um G-fibrado principal para o qual o seu conjunto de fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao é o cociclo de Haefliger dado. Todas estas constru¸cões são análogas ao caso de fibrados principais com grupo de estrutura, mas a lembramos aqui para fixar nota¸cão. . Seja Ui i∈I uma cobertura aberta de uma variedade B e seja γij : Ui ∩ Uj −→ G i,j∈I um cociclo de Haefliger a valores em G. Para cada i ∈ I considere o G-fibrado trivial determinado pela a fi , fi∗ G −→ Ui . Denote por (i, b, g) os elementos da união disjunta fi∗ G e defina a rela¸cão i∈I. (i, b, g) ∼ (j, b0 , g 0 ) ⇐⇒ b = b0 ∈ Ui ∩ Uj e g 0 = gγij (b) O fato que as γij ’s constituema um cociclo de Haefliger implica que essa rela¸cão é uma rela¸cão de fi∗ G /∼ e denote por [i, b, g] os elementos de Pe. O espa¸co Pe é o equivalência. Denote por Pe = i∈I. espa¸co total de um G-fibrado principal sobre B cuja proje¸cão é definida por π e : Pe [i, b, g]. B b. A aplica¸cão de momento de Pe é definida por µ e : Pe. M. [i, b, g]. t(g). A a¸cão de G em Pe é definida por θe: G ×M Pe. Pe. (g, [i, b, h]). [i, b, gh]. A aplica¸cão de divis˜ ao de Pe é definida por δe: Pe ×B Pe. G. ([i, b, g], [j, b, h]). gγij (b)h−1. . Além disso temos um atlas σ ei : b ∈ Ui −→ [i, b, 1fi (b) ] ∈ Pe i∈I para Pe sobre a mesma cobertura Ui i∈I na qual esta definida o cociclo de Haefliger dado. Não é dif´ıcil verificar que para tal atlas o seu conjunto de fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao coincide com o cociclo de Haefliger inicialmente dado. ´ importante assinalar que o constru¸c˜ Observa¸ c˜ ao 1.30. E ao descrita acima gera um G-fibrado principal na categoria correspondente. Isto é se B é um espa¸co topol´ ogico, G ⇒ M é um grupoide . topol´ ogico e os cociclos γij : Ui ∩ Uj −→ G i,j∈I s˜ ao aplica¸c˜ oes continuas ent˜ ao π e : Pe −→ B é um G-fibrado principal topol´ ogico; por outro lado se B é uma variedade, G ⇒ M é um grupoide de Lie . e os cociclos γij : Uij −→ G i,j∈I s˜ ao aplica¸c˜ oes diferenci´ aveis ent˜ ao π e : Pe −→ B é um G-fibrado principal diferenci´ avel..

(25) G-FIBRADOS PRINCIPAIS. 1.3.2. 15. G-morfismos e G-homotopias. Defini¸ c˜ ao 1.31. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ ao de momento µi : Pi −→ M . Um G-morfismo de P1 em P2 é uma aplica¸c˜ ao F : P1 −→ P2 tal que • o seguinte diagrama é comutativo F. P1. P2. µ1. µ2. M • F é G-equivariante, i.e. F (g · p) = g · F (p), ∀(g, p) ∈ G ×M P1 . Observa¸ c˜ ao 1.32. Veja que na defini¸c˜ ao de G-morfismo precisamos apenas da a¸c˜ ao de G sobre os espa¸cos, para isto precisar´ıamos apenas falar da categoria dos G-espa¸cos. Contudo, a propriedade de ser G-equivariante implica que todo G-morfismo entre G-fibrados principais F : P1 −→ P2 induz uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel f : B1 −→ B2 entre as bases dos G-fibrados principais, e essa aplica¸c˜ ao induzida faz com que o seguinte diagrama seja comutativo. P1. F. π1. B1. P2 π2. f. B2. ´ costume dizer que F : P1 −→ P2 é um G-morfismo sobre (ou cobrindo) a f : B1 −→ B2 . E Defini¸ c˜ ao 1.33. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ ao de momento µi : Pi −→ M . Sejam Fj : P1 −→ P2 , j = 0, 1, dois G-morfismos. Uma G-homotopia entre F0 e F1 é uma aplica¸c˜ ao2 H : P1 × I −→ P2 tal que Ht : p ∈ P1 7−→ H(p, t) ∈ P2 é um G-morfismo, para cada t ∈ I, e H0 = F0 , H1 = F1 . Observa¸ c˜ ao 1.34. Outra forma de pensar uma G-homotopia surge da seguinte observa¸c˜ ao: Se π : P −→ B é um G-fibrado principal com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M , ent˜ ao π × idI : P × I −→ B × I é um G-fibrado principal com aplica¸c˜ ao de momento µ ◦ pr1 : P × I −→ M e onde G age somente na primeira componente. Assim uma G-homotopia entre os G-morfismos Fj : P1 −→ P2 , j = 0, 1, é um G-morfismo H : P1 × I −→ P2 , onde P1 × I tem a estrutura de G-fibrado principal indicada no inicio deste par´ agrafo, tal que H0 = F0 e H1 = F1 . Com essa vis˜ ao de uma G-homotopia fica claro que H desce para uma homotopia h : B1 × I −→ B2 entre as aplica¸c˜ oes entre as bases induzidas pelos G-morfismos F0 e F1 . Defini¸ c˜ ao 1.35. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Um G-morfismo F : P1 −→ P2 é um G-isomorfismo se existe um G-morfismo F 0 : P2 −→ P1 tal que F 0 ◦ F = idP1 e F ◦ F 0 = idP2 . Neste caso dizemos que P1 e P2 s˜ ao isomorfos e denotamos por P1 ' P2 . 2. Denotaremos por I = [0, 1]..

(26) 16. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. A defini¸cão acima é a defini¸c˜ ao “categ´ orica” de G-isomorfismo. Em particular todo G-isomorfismo F : P1 −→ P2 é um difeomorfismo e na defini¸cão acima F 0 = F −1 . Na verdade essa é a u ńica propriedade que caracteriza aos G-isomorfismos entre os G-morfismos, ou seja Lema 1.36. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo que também é um difeomorfismo. Ent˜ ao F é um G-isomorfismo. ´ claro que a inversa de F faz o seguinte diagrama comutativo Demonstra¸c˜ ao. E F −1. P2 µ2. P2 µ1. M Assim resta provar que F −1 é G-equivariante. Para isto note que dados (g, q) ∈ G ×M P2 temos F (g · F −1 (q)) = g · F (F −1 (q)) = g · q Portanto F −1 é G-equivariante. Pelo lema acima deve ficar claro que para um G-isomorfismo a aplica¸cão induzida nas bases é um difeomorfismo.. 1.3.3. Pullback de G-fibrados principais. O pullback de G-fibrados principais por aplica¸cões diferenciáveis produzem novos G-fibrados principais. Seja π : P −→ B 0 um G-fibrado principal com aplica¸cão de momento µ : P −→ M e seja f : B −→ B 0 uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel. O G-fibrado principal pullback é aquele que tem espa¸co total . f ∗ P = (b, p) ∈ B × P : f (b) = π(p) Como π é uma submers˜ ao sobrejetora então f ∗ P ⊂ B × P é uma subvariedade mergulhada. A seguir apresentamos as aplica¸c˜ oes que tornam f ∗ P um G-fibrado principal • Proje¸cão f ∗ π : (b, p) ∈ f ∗ P 7−→ b ∈ B, • Aplica¸cão de momento f ∗ µ : (b, p) ∈ f ∗ P 7−→ µ(p) ∈ M , • A¸cão f ∗ θ : G ×M f ∗ P −→ f ∗ P é por a¸cão à esquerda na segunda componente: g · (b, p) = (b, g · p). Além disso, a aplica¸c˜ ao pr2 : (b, p) ∈ f ∗ P 7−→ p ∈ P define um G-morfismo sobre a f : B −→ B 0 . Cada se¸cão local σ : U −→ P de π induz uma se¸cão local f ∗ σ : b ∈ f −1 (U ) 7−→ (b, σ(f (b))) ∈ f ∗ P . de f ∗ π chamada de se¸c˜ ao pullback de σ. Portanto cada atlas σi : Ui → P i∈I de P induz um . atlas pullback para f ∗ P dado por f ∗ σi : f −1 (Ui ) → f ∗ P i∈I . Observe que todo G-morfismo F : P1 −→ P2 , sobre f : B1 −→ B2 , pode ser fatorado como a composi¸cão um G-morfismo F : p ∈ P1 7−→ (π1 (p), F (p)) ∈ f ∗ P2 sobre a identidade de B1 , e do.

(27) 17. G-FIBRADOS PRINCIPAIS. G-morfismo do exemplo anterior pr2 : (b, q) ∈ f ∗ P2 7−→ q ∈ P2 cuja caracter´ıstica principal é que ele é uma bije¸c˜ ao nas fibras (f ∗ P2 )b −→ (P2 )f (b) . P1. F. pr2. f ∗ P2. P2 (1.2). B1. idB1. f. B1. B2. Essa fatora¸c˜ ao é importante na classifica¸cão de G-fibrados principais e motiva a seguinte proposi¸cão Proposi¸ c˜ ao 1.37. Sejam πi : Pi −→ B, i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre a identidade de B. Ent˜ ao F é um G-isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao. Vamos verificar que: • F é injetora: Sejam p, q ∈ P1 tais que F (p) = F (q). Como π1 = π2 ◦ F , então existe g ∈ G tal que q = g · p. Logo F (p) = F (g · p) implica g = 1x , com x = µ1 (p). Portanto p = q. • F é sobrejetora: Seja q ∈ P2 , escolha p ∈ P1 tal que π1 (p) = π2 (q). Logo π2 (F (p)) = π2 (q), então existe g ∈ G tal que q = g · F (p) = F (g · p). • Para cada p ∈ P1 , dp F é um isomorfismo: Segue da Proposi¸cão 1.23(4) que dimP1 = dimP2 . Então resta verificar que dp F é injetora. Seja v ∈ Tp P1 tal que dp F · v = 0, como π1 = π2 ◦ F então v ∈ ker(dp π1 ). Se θi denota a¸cão de G em Pi , i = 1, 2, segue da Proposi¸cão 1.23(3) que d1x θ1p : ker(d1x s) −→ ker(dp π1 ) é um isomorfismo, onde x = µ1 (p). Portanto existe F (p). ξ ∈ ker(d1x s) satisfazendo v = d1x θ1p · ξ. Como θ2 F (p). d1x θ2. F (p). · ξ = 0. Sendo d1x θ2. = F ◦ θ1p , para cada p ∈ P1 , obtemos que. um isomorfismo temos ξ = 0 e portanto v = 0.. Temos provado que F é um difeomorfismo local e uma bije¸cão, portanto F é um difeomorfismo. Como uma aplica¸c˜ ao direta da proposi¸cão anterior iremos mostrar que, a menos de isomorfismo, existe um u ńico M × M -fibrado principal. Exemplo 1.38. Uma a¸c˜ ao do grupoide M × M ⇒ M com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M fica codificada numa aplica¸c˜ ao θ : M × P −→ P que satisfaz as seguintes equa¸c˜ oes θ(µ(p), p) = p;. µ(θ(x, p)) = x;. θ(y, θ(x, p)) = θ(y, p). para todo x, y ∈ M e p ∈ P . Ora, seja µ : P −→ M a aplica¸c˜ ao de momento de um M × M -fibrado principal π : P −→ B. A invarian¸ca da proje¸c˜ ao pela a¸c˜ ao do grupoide fica codificada na equa¸c˜ ao π(θ(x, p)) = π(p) para todo x ∈ M e p ∈ P . De outra parte, é claro que pr2 : M × B −→ B é um M × M -fibrado principal com aplica¸c˜ ao de momento pr1 : M × B −→ M e a¸c˜ ao definida por θ0 : (y, x, b) ∈ M × M × B 7−→ (y, b) ∈ M × B.

(28) 18. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. Por u ´ltimo, a aplica¸c˜ ao F: P. M ×B. p. (µ(p), π(p)). define um M × M -morfismo sobre a identidade de B e portanto F é um M × M -isomorfismo. Em conclus˜ ao, a menos de isomorfismo, pr2 : M × B −→ B é o u ńico M × M -fibrado principal. Segue da decomposi¸c˜ ao de todo G-morfismo feita em (1.2) o seguinte corolário. Corol´ ario 1.39. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre f : B1 −→ B2 . Ent˜ ao o seguinte diagrama é um pullback P1. F. P2. π1. B1. π2 f. B2. Em particular P1 ' f ∗ P2 . Observa¸ c˜ ao 1.40. Sejam π2 : P2 −→ B2 um G-fibrado principal e f : B1 −→ B2 uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel. O corol´ ario acima pode ser interpretado como a resposta a seguinte pergunta: Procuramos um par (P, F ), onde P seja um G-fibrado principal sobre B1 e F : P −→ P2 seja um G-morfismo sobre f . Quantos de tais pares existem? O corol´ ario acima diz que, a menos de isomorfismo, existe um u ńico par. Observa¸ c˜ ao 1.41. Dados πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M ; e seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre a aplica¸c˜ ao f : B1 −→ B2 . Dada uma se¸c˜ ao local σ2 : U −→ P2 de π2 , usando o corol´ ario acima, podemos gerar uma se¸c˜ ao local σ1 : f −1 (U ) −→ P1 de π1 . Essas se¸c˜ oes locais fazem com que o seguinte diagrama seja comutativo P1. F. P2. σ1. f −1 (U ). σ2 f. U. Isso implica f1 = f2 ◦ f , onde fi = µi ◦ σi , i = 1, 2. Observa¸ c˜ ao 1.42. Nesse momento podemos j´ a apontar um fato importante sobre os G-fibrados principais: Todos os G-fibrados principais s˜ ao localmente isomorfismos a um pullback do G-fibrado unit´ ario. Com efeito, dada uma se¸c˜ ao local σ : U −→ P de π, o difeomorfismo Φ definido em (1.1) é um isomorfismo entre PU e o pullback do G-fibrado unit´ ario pela aplica¸c˜ ao f = µ ◦ σ. Segue também da prova da Proposi¸c˜ ao 1.37 o seguinte corolário. Corol´ ario 1.43. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre um difeomorfismo f : B1 −→ B2 . Ent˜ ao F é um G-isomorfismo. Como vimos acima, para cada G-fibrado principal e para cada atlas dele podemos associar um cociclo de Haefliger. Reciprocamente, dado um cociclo de Haefliger na Subse¸cão 1.3.1 foi apresentado o procedimento para obter um G-fibrado principal e um atlas para ele cujas fun¸cões de.

(29) ESPAC ¸ OS CLASSIFICANTES. 19. transi¸cão sejam o cociclo de Haefliger dado. Assim não deve surpreender que se come¸cássemos com . um G-fibrado principal π : P −→ B e um atlas σi : Ui −→ P i∈I para ele, e se tomássemos o . cociclo de Haefliger definido pelas suas fun¸cões de transi¸cão γij : Ui ∩ Uj −→ G i,j∈I para construir o G-fibrado principal π e : Pe −→ B descrito na Subse¸cão 1.3.1 obter´ıamos que P ' Pe. Mais explicitamente, o seguinte G-morfismo sobre a identidade de B F: P. Pe i, π(p), δ p, σi (π(p)). p. fornece um isomorfismo entre P e Pe. Dessa forma a no¸cão de isomorfismo de G-fibrados principais sobre B se traduz em uma rela¸c˜ ao de equivalência entre cociclos de Haefliger sobre B a valores no grupoide G ⇒ M . E talvez a maneira mais simples de pensar dois cociclos de Haefliger equivalentes é como dois atlas do mesmo G-fibrado principal. Observa¸ c˜ ao 1.44. Embora o nome pare¸ca indicar o contrario, n˜ ao estamos assumindo a priori que os G-fibrados principais sejam fibrados; i.e. n˜ ao exigimos a propriedade de que a proje¸ca õ π : P −→ B seja localmente trivial, e em geral n˜ ao é localmente trivial no sentido cl´ assico da palavra.. 1.4. Espa¸ cos classificantes. Cada grupoide de topol´ ogico G ⇒ M tem um G-fibrado universal, no sentido que qualquer G-fibrado principal é isomorfo ao pullback deste G-fibrado universal por uma aplica¸cão cont´ınua. A seguir apresentamos os resultados b´ asicos da classifica¸cão de G-fibrados. Nesta se¸cão trabalharemos na categoria topol´ ogica, i.e. grupoides topológicos, espa¸cos topológicos e aplica¸cões cont´ınuas. Defini¸ c˜ ao 1.45. Um grupoide de topol´ ogico é um grupoide G ⇒ M onde G e M s˜ ao espa¸cos topol´ ogicos, todas as aplica¸c˜ oes de estrutura s˜ ao continuas, e as aplica¸co ˜es s e t s˜ ao sobrejetoras e abertas. Defini¸ c˜ ao 1.46. Seja G ⇒ M um grupoide topol´ ogico. Um G-fibrado principal topol´ ogico P sobre B consiste de: 1. Uma a¸c˜ ao ` a esquerda G y P ao longo da aplica¸c˜ ao µ : P → M (n˜ ao necessariamente sobrejetora), 2. Uma aplica¸c˜ ao sobrejetora e G-invariante π : P → B que admite se¸c˜ oes locais ao redor de todo ponto em B, tais que a aplica¸c˜ ao ∆ : G ×M P. P ×B P. (g, p). (g · p, p). é um homeomorfismo. Os G-fibrados principais topol´ ogicos tem propriedades semelhantes aos G-fibrados diferenci´ aveis. Isto é:.

(30) 20. GRUPOIDES DE LIE E G-FIBRADOS PRINCIPAIS. • Temos uma proposi¸c˜ ao similar ` a Proposi¸cão 1.23(1), (2) e (3). • Temos aplica¸c˜ ao divis˜ ao δ := pr1 ◦ ∆−1 : P ×B P −→ G, caracterizada pela equa¸cão q = δ(q, p) · p. • Cada se¸cão local σ : U −→ P de π, cuja existência agora é exigida pela defini¸cão, induz um isomorfismo Φ−1 : (b, g) ∈ f ∗ G 7−→ g · σ(b) ∈ PU . Da mesma forma, uma cole¸cão de se¸cões . locais σi : Ui −→ P i∈I de π tal que Ui i∈I é uma cobertura aberta de B será chamada . de atlas de P . Para um atlas σi : Ui −→ P i∈I de P temos o seu conjunto de fun¸cões de transi¸cão γij : b ∈ Ui ∩ Uj 7−→ δ(σi (b), σj (b)) ∈ G. • Temos cociclos de Haefliger a valores em G, e o conjunto de fun¸cões de transi¸cão de um atlas de P define um de tais cociclos. O reciproco também é verdadeiro, para cada cociclo de Haefliger existe um G-fibrado principal e um atlas para ele para o qual o cociclo dado é o seu conjunto de fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao. • Temos G-morfismos e G-isomorfismos. Temos um lema similar ao Lema 1.36 que diz que um G-morfismo que é um homeomorfismo, é um G-isomorfismo. Para G-fibrados principais topol´ ogicos temos a seguinte lema Lema 1.47. Seja π : P −→ B um G-fibrado principal topol´ ogico com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M . Ent˜ ao π é uma aplica¸c˜ ao aberta. Demonstra¸c˜ ao. Seja V ⊂ P um subconjunto aberto. Dado p0 ∈ V , denote b0 = π(p0 ). Seja σ : U −→ P uma se¸c˜ ao local de π ao redor de b0 , denote g0 = δ(p0 , σ(b0 )) então p0 = g0 · σ(b0 ). Como a¸cão θ : G ×M P −→ P é continua e (g0 , σ(b0 )) ∈ θ−1 (V ) então existem N ⊂ G vizinhan¸ca de g0 e W1 ⊂ P vizinhan¸ca de σ(b0 ) tais que (N × W1 ) ∩ G ×M P ⊂ θ−1 (V ) Como s(N ) ⊂ M é um subconjunto aberto e µ(σ(b0 )) = s(g0 ) ∈ s(N ) então existe W2 ⊂ P vizinhan¸ca de σ(b0 ) tal que W2 ⊂ µ−1 (s(N )) Denote U1 = σ −1 (W1 ∩ W2 ). Afirma¸ c˜ ao: U1 ⊂ π(V ). Com efeito, seja b ∈ U1 , então existe g ∈ N tal que s(g) = µ(σ(b)). Como (g, σ(b)) ∈ (N × W1 ) ∩ G ×M P . Logo g · σ(b) ∈ V e portanto b = π(g · σ(b)) ∈ π(V ). A seguinte proposi¸c˜ ao é semelhante ` a Proposi¸cão 1.37 e o seu corolário são importantes para o teorema de classifica¸c˜ ao de G-fibrados principais topológicos. Proposi¸ c˜ ao 1.48. Sejam πi : Pi −→ B, i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre a identidade de B. Ent˜ ao F é um G-isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao. A prova que neste caso F também é uma bije¸cão é igual a aquela feita na Proposi¸c˜ ao 1.37. Resumindo, temos que F é uma bije¸cão continua e para terminar a prova desta proposi¸c˜ ao resta verificar que F é uma aplica¸c˜ ao aberta. Seja V ⊂ P1 um subconjunto aberto. Dado p0 ∈ V.

(31) ESPAC ¸ OS CLASSIFICANTES. 21. denotamos q0 = F (p0 ) e x0 = µ1 (p0 ) = µ2 (q0 ). Como a¸cão θ1 : G ×M P1 −→ P1 é continua existem W1 ⊂ P1 vizinhan¸ca de p0 e N ⊂ G vizinhan¸ca de 1x0 tais que (N × W1 ) ∩ G ×M P1 ⊂ θ1−1 (V ) Como aplica¸c˜ ao de divis˜ ao δ2 : P2 ×B P2 −→ G é continua e δ2 (q0 , q0 ) = 1x0 ∈ N então existe uma vizinhan¸ca W2 ⊂ P2 de q0 tal que (W2 × W2 ) ∩ P2 ×B P2 ⊂ δ2−1 (N ) Pela continuidade de F podemos assumir, sem perda de generalidade, que F (W1 ) ⊂ W2 . Como π1 é aberta ent˜ ao U = π1 (W1 ) ⊂ B é um subconjunto aberto. E podemos assumir, novamente sem perda de generalidade, que π1 (W1 ) = π2 (W2 ). Afirma¸ c˜ ao: W2 ⊂ F (V ). Com efeito, para cada q ∈ W2 existe p ∈ W1 tal que π1 (p) = π2 (q). Logo (q, F (p)) ∈ (W2 × W2 ) ∩ P2 ×B P2 , portanto g = δ2 (q, F (p)) ∈ N e q = g · F (p) = F (g · p). Além disso note que s(g) = µ2 (F (p)) = µ1 (p), portanto (g, p) ∈ (N × W1 ) ∩ G ×M P1 . Assim g · p ∈ V o que implica q = F (g · p) ∈ F (V ). Corol´ ario 1.49. Sejam πi : Pi −→ Bi , i = 1, 2, dois G-fibrados principais com aplica¸c˜ oes de momento µi : Pi −→ M . Seja F : P1 −→ P2 um G-morfismo sobre f : B1 −→ B2 . Ent˜ ao P1 ' f ∗ P2 . Alguns exemplos de G-fibrados principais topológicos se correspondem com os exemplos apresentados na se¸c˜ ao anterior. Em particular podemos fazer pullback de G-fibrados principais topológicos por aplica¸cões continuas, e mais importante ainda é a observa¸cão que todos G-fibrado principal topológico é localmente isomorfo ao pullback do G-fibrado unitário, lembrando que esses isomorfismos locais s˜ ao obtidos a partir de se¸cões locais da proje¸cão. Outra forma de caracterizar se¸c˜ oes locais (ou globais) em um G-fibrado principal é dada na seguinte proposi¸cão. Proposi¸ c˜ ao 1.50. Seja π : P −→ B um G-fibrado principal com aplica¸c˜ ao de momento µ : P −→ M . Ent˜ ao existe uma bije¸c˜ ao entre ( ) G-morfismos Ψ : P −→ G. (. σ : B −→ P. ). se¸c˜ oes globais de π. Demonstra¸c˜ ao. Seja σ : B −→ P uma se¸cão global de π, então a aplica¸cão Ψ : p ∈ P 7−→ δ p, σ(π(p)) ∈ G define um G-morfismo. Reciprocamente, seja Ψ : P −→ G um G-morfismo. Note −1 que p ∈ P 7−→ Ψ(p) · p ∈ P define uma aplica¸cão G-invariante e portanto ela desce para uma aplica¸cão σ : B −→ P que também é uma se¸cão global de π. Observa¸ c˜ ao 1.51. Resumindo as constru¸c˜ oes feitas na proposi¸c˜ ao acima, a rela¸c˜ ao entre um G-morfismo Ψ : P −→ G e uma se¸c˜ ao global σ : B −→ P é guardada na equa¸ca õ Ψ(p) = δ p, σ(π(p)) A mesma rela¸ca õ é valida para G-morfismos “locais” e se¸c˜ oes locais de π. Em particular, dado um . . atlas σi : Ui −→ P i∈I de P obtemos uma cole¸c˜ ao de G-morfismos Ψi : PUi −→ G i∈I , esses.