Pseudogrupo de solu¸ c˜ oes de uma forma multiplicativa

3.3 G-fibrados de Morita

3.3.1 Pseudogrupo de solu¸ c˜ oes de uma forma multiplicativa

Nessa subse¸cão mostraremos que os G-fibrados de Morita que são Γ-planos permitem transportar formas multiplicativas de G ⇒ M para o correspondente grupoide de gauge, após a escolha certa do pseudogrupo generalizado Γ. A seguir lembramos os conceitos de formas multiplicativas com valores em uma representa¸cão e pseudogrupo de solu¸cões de uma forma multiplicativa, esses conceitos são tomados de [Sal13].

Defini¸cão 3.29. Sejam G ⇒ M um grupoide de Lie e G y E uma representa¸cão7. Uma k-forma multiplicativa em G com valores em E é uma forma ω ∈ Ωk(G, t∗E) satisfazendo

(m∗ω)_(g,h) = (pr∗₁ω)_(g,h)+ g · (pr∗₂ω)_(g,h)

para todo (g, h) ∈ G(2).

Formas multiplicativas aparecem naturalmente na integra¸cão de variedades de Poisson [Wei87] ou mais geralmente na integra¸cão de estruturas de Dirac [BCW+04]. Em [Sal13] se estuda o vinculo das formas multiplicativas com equa¸cões diferenciais parciais.

Defini¸cão 3.30. Seja ω uma k-forma multiplicativa em G com valores em E. Uma bise¸cão local β de G é chamada de solu¸cão de ω se β∗ω = 0.

O fato que a forma ω é multiplicativa implica que o seu conjunto de solu¸cões é um pseudogrupo generalizado de G. Então, seja Γ o pseudogrupo de solu¸cões de uma k-forma multiplicativa ω ∈ Ωk_{(G, t}∗_{E). A seguir mostraremos que para todo Γ-fibrado principal P o seu G-fibrado associado P} herda uma k-forma Ω ∈ Ωk(P, µ∗E) satisfazendo certa condi¸cão de compatibilidade com ω e com a a¸cão θ : G y P .

Esse fibrado vetorial E não é o fibrado ancorado modelo da se¸cão anterior. Nessa se¸cão o fibrado ancorado modelo ´

G-FIBRADOS DE MORITA 73

Afirma¸c˜ao 3.31. Sejam ω uma k-forma multiplicativa em G com valores em E e Γ o pseudogrupo generalizado de solu¸c˜oes de ω. Para todo Γ-fibrado principal P o seu G-fibrado associado P herda uma forma Ω ∈ Ωk(P, µ∗E).

Demonstra¸cão. Seja π : P −→ B o G-fibrado principal Γ-plano associado ao P . Então, de acordo com a Se¸cão 1.7.2, ele admite um atlasσi : Ui −→ P

i∈I cujas fun¸cões de transi¸cão são da forma

γij(b) = Zij(b, fj(b)) ∀b ∈ Ui∩ Uj

onde Zij tem a propriedade de que para cada b0 ∈ Ui∩ Uj existe uma vizinhan¸ca Wb0 de (b0, fj(b0)) em B × M e uma bise¸c˜ao local βb0 _{∈ Γ tal que Z}

ij(b, x) = βb0(x), para todo (b, x) ∈ Wb0, isto implica que γij = βb0 em uma vizinhan¸ca de b0 ∈ Ui ∩ Uj. Por outro lado, cada se¸c˜ao local σi determina um G-morfismo Φi : p ∈ PUi −→ δ p, σi(π(p)) ∈ G da restri¸c˜ao PUi para o G-fibrado

unit´ario cobrindo a aplica¸c˜ao fi= µ ◦ σi.

PUi G

Ui M

Φi

π s

Assim fazendo o pullback da forma multiplicativa ω ∈ Ωk(G, t∗E) por cada Φi obtemos uma cole¸c˜ao de formas localmente definidas Φ∗_iω ∈ Ωk(PUi, µ

∗_E)

i∈I. Para verificar que de fato essa cole¸cão define uma forma em P usamos as fun¸cões de transi¸cão. Note que para cada p ∈ PUi∩Uj temos

Φj(p) = m Φi(p), γij(π(p)) Logo Φ∗_jω p(v1, . . . , vk) = ωm(Φi(p),γij(π(p))) dm(dpΦiv1, dp(γij ◦ π)v1), . . . , dm(dpΦivk, dp(γij ◦ π)vk) = (m∗ω)(Φi(p),γij(π(p))) (dpΦiv1, dp(γij ◦ π)v1), . . . , (dpΦivk, dp(γij◦ π)vk)

agora usamos o fato que ω ´e multiplicativa, ent˜ao

Φ∗_jω p(v1, . . . , vk) = pr ∗ 1ω (Φi(p),γij(π(p))) (dpΦiv1, dp(γij◦ π)v1), . . . , (dpΦivk, dp(γij◦ π)vk) + Φ(p) · pr∗2ω (Φi(p),γij(π(p))) (dpΦiv1, dp(γij◦ π)v1), . . . , (dpΦivk, dp(γij◦ π)vk) = ωΦi(p) dpΦiv1, . . . , dpΦivk + Φi(p) · ωγij(π(p)) dp(γij ◦ π)v1, . . . , dp(γij ◦ π)vk = (Φ∗_iω)p(v1, . . . , vk) + Φi(p) · π∗(γij∗ω) p(v1. . . , vk)

como γij localmente ´e uma solu¸c˜ao de ω conclu´ımos que Φ∗jω = Φ∗iω em PUi∩Uj. Assim, todas

as formas localmente definidas Φ∗

iω ∈ Ωk(PUi, µ

∗_E)

i∈I colam para produzir uma forma Ω ∈ Ωk(P, µ∗E).

Afirma¸c˜ao 3.32. A k-forma Ω ∈ Ωk(P, µ∗E) constru´ıda na Afirma¸c˜ao3.31 satisfaz

onde denotamos por θ : G ×MP −→ P a a¸c˜ao de G em P , pr1 : G ×MP −→ G e pr2: G ×MP −→ P denotam a proje¸c˜ao na primeira e segunda componente respectivamente.

Demonstra¸cão. Como a condi¸cão (3.10) é pontual, logo é suficiente verificar-a localmente. Assim, suponha que (g, p) ∈ G ×M PUi, então obtemos

(θ∗Ω)_(g,p)= θ∗Φ∗_iω

(g,p) = (idG× Φi) ∗_m∗_ω

(g,p)

logo, usando o fato que ω ´e multiplicativa temos

(θ∗Ω)(g,p) . . . , (u, v), . . . = (m∗ω)(g,Φi(p)) . . . , (u, dpΦiv), . . . =(pr∗₁ω)(g,Φi(p)) . . . , (u, dpΦiv), . . .+g · (pr ∗ 2ω)(g,Φi(p)) . . . , (u, dpΦiv), . . . =ωg . . . , u, . . .+g · (Φ∗iω)p . . . , v, . . . =(pr∗₁ω)_(g,p) . . . , (u, v), . . .+g · (pr∗ 2Ω)(g,p) . . . , (u, v), . . .

Tendo provado que Ω ∈ Ωk(P, µ∗E) satisfaz a condi¸cão de compatibilidade (3.10) gostar´ıamos de saber quando ela desce para uma forma em Ωk(B, P ⊗GE). De acordo como ApêndiceBdevemos saber quando Ω é horizontal e G-invariante. Uma condi¸cão necessária para que Ω seja horizontal e G-invariante é que ω ∈ Ωk(G, t∗E) pensada como uma forma no G-fibrado unitário seja horizontal e G-invariante. Assim temos a seguinte proposi¸cão

Proposi¸c˜ao 3.33. Seja ω ∈ Ωk(G, t∗E) uma forma multiplicativa, horizontal e G-invariante. Ent˜ao existe ϑ ∈ Ωk_{(B, P ⊗}

GE) tal que Ω = π∗ϑ, onde Ω é a k-forma constru´ıda na Afirma¸cão 3.31. Porém, formas multiplicativas e básicas no G-fibrado unitário podem ser escassas e assim fica claro que não toda forma Ω ∈ Ωk(P, µ∗E) desce para uma forma em B.

Agora passamos para os Γ-f.v.a., lembre-se que nessa se¸cão o fibrado ancorado modelo é o algebroide ρ : A −→ T M de G e o pseudogrupo generalizado Γ é o pseudogrupo de solu¸cões da forma multiplicativa ω ∈ Ωk(G, t∗E). Mostraremos que para um Γ-f.v.a. a forma multiplicativa ω ∈ Ωk(G, t∗E) induz uma forma multiplicativa no correspondente grupoide de gauge ω0 ∈ Ωk_{(P ⊗}

G P, t∗(P ⊗GE)).

Vamos construir ω0 a partir de Ω, para isso lembre que P ⊗GP é o quociente de P ×MP pela a¸cão diagonal θ∆: G y P ×MP cuja aplica¸cão de momento é µ∆: (q, p) ∈ P ×MP 7−→ µ(q) = µ(p) ∈ M . Note que Ω ∈ Ωk_{(P, µ}∗_{E) induz uma Ω}0 _{∈ Ω}k_{(P ×}

M P, µ∗∆E) definida por

Ω0_(q,p) (u1, v1), . . . , (uk, vk) = Ωq(u1, . . . , uk) − Ωp(v1, . . . , vk) Agora verificamos que

• Ω0 é horizontal: Lembre-se que o kernel da proje¸cão P ×M P −→ P ⊗G P são os vetores tangentes a orbita da a¸cão G y P ×M P . Logo Ω0 é horizontal se ela se anula em vetores da forma (d1xθ q_{ξ, d} 1xθ p_{ξ) ∈ T} (q,p)P ×M P , onde ξ ∈ Ax e x = µ(q) = µ(p). Então Ω0_(q,p) (d1xθ q_ξ,d 1xθ p_{ξ), (u} 2, v2), . . . , (uk, vk) = Ωq(d1xθ q_{ξ, u} 2. . . , uk) − Ωp(d1xθ p_{ξ, v} 2. . . , vk)

G-FIBRADOS DE MORITA 75

Agora vamos calcular cada um dos somandos acima. Para isso, escrevemos d1xθ

q_{ξ = d}

(1x,q)θ(ξ, 0)

e usamos a identidade u = d₍₁_x_,q)θ(dxu · dqµ · u, u). Pela equa¸c˜ao de compatibilidade (3.10) obtemos

Ωq(d1xθ

q_{ξ, u}

2. . . , uk) = (θ∗Ω)(1x,q) (ξ, 0), (dxu · dqµ · u2, u2), . . . , (dxu · dqµ · uk, uk)

= ω1x(ξ, dxu · dqµ · u2, . . . , dxu · dqµ · uk)

De forma semelhante provamos que

Ωp(d1xθ

p_{ξ, v}

2. . . , vk) = ω1x(ξ, dxu · dpµ · v2, . . . , dxu · dpµ · vk)

Finalmente, como dqµ · ui = dpµ · vi, conclu´ımos que Ω0 ´e horizontal.

• Ω0 _´_{e G-invariante: De acordo com a Eq. (}_B.1_{) devemos calcular}

(θ∗_∆Ω)(g,q,p) (φ · dpµ∆· (u1, v1), (u1, v1)), . . . , (φ · dpµ∆· (uk, vk), (uk, vk)) =(θ∗Ω)(g,q) (φ · dqµ · u1, u1), . . . , (φ · dqµ · uk, uk) − (θ∗Ω)_(g,p) (φ · dpµ · v1, v1), . . . , (φ · dpµ · vk, vk)

para algum φ : Ts(q)M −→ TgG em J1G. Ora, usando a equa¸c˜ao de compatibilidade (3.10) temos que (θ∗Ω)_(g,q) (φ · dqµ · u1, u1), . . . , (φ · dqµ · uk, uk) = ωg φ · dqµ · u1, . . . , φ · dqµ · uk + g · Ωq(u1, . . . , uk) (θ∗Ω)_(g,p) (φ · dpµ · v1, v1), . . . , (φ · dpµ · vk, vk) = ωg φ · dpµ · v1, . . . , φ · dpµ · vk + g · Ωp(v1, . . . , vk) Como dqµ · ui= dpµ · vi, obtemos (θ_∆∗Ω)(g,q,p) (φ · dpµ∆· (u1, v1), (u1, v1)), . . . , (φ · dpµ∆· (uk, vk), (uk, vk)) =g · Ω_(q,p) (u1, v1), . . . , (uk, vk)

Tendo verificado que Ω0 ´e horizontal e G-invariante ent˜ao ela desce para uma forma ω0 ∈ Ωk(P ⊗GP, t∗(P ⊗GE)).

Exemplo 3.34. Seja P o Γ-f.v.a. determinado pela f : B −→ M . Lembre-se que neste caso a fibrado ancorado associado é o algebroide pullback f!A e o grupoide de gauge é isomorfo ao grupoide pullback f!G, e além disso a proje¸cão F : f!G −→ G é um morfismo de grupoides de Lie sobre a f : B −→ M . Pode-se verificar que neste caso a forma ω0 = F∗ω ∈ Ωk(f!G, t!_(f∗_{E)), em} particular ω0 também é multiplicativa.

Cap´ıtulo 4

Γ-folhea¸c˜oes

Nesse cap´ıtulo introduziremos as Γ-folhea¸cões, onde Γ é um pseudogrupo generalizado de G, e apresentaremos o seu teorema de classifica¸cão. As Γ-folhea¸cões serão folhea¸cões regulares com estrutura na transversal à folhea¸cão, e dessa forma obteremos uma generaliza¸cão das geometrias transversais estudadas por Haefliger para pseudogrupos clássicos. Desde outro ponto de vista, as Γ-folhea¸cões serão uma classe de G-fibrados de Morita que são Γ-planos.

Come¸caremos com os mesmos objetos que na Se¸cão 3.2. Isto é, temos um grupoide de Lie G ⇒ M, uma representa¸cão θ : G y E no fibrado vetorial q : E −→ M e uma âncora a : E −→ T M. Consideramos Γ um subpseudogrupo em AutG(E, a).

Defini¸cão 4.1. Uma Γ-folhea¸cão em B é uma classe de isomorfismo de Γ-fibrados principais com aplica¸cão de momento µ : P −→ M submersão.

Como vimos na Se¸c˜ao3.2, para todo Γ-fibrado principal π : P −→ B com aplica¸c˜ao de momento µ : P −→ M temos o morfismo de fibrados vetoriais sobre a identidade de B definido em (3.4)

µ : T B P ⊗_ΓT M

vb [σ(b), dbf · vb]

(4.1)

onde σ é uma se¸cão local de π ao redor de b ∈ B e f = µ ◦ σ. Agora, para Γ-folhea¸cões temos uma observa¸cão semelhante à Observa¸cão 3.13.

Observa¸cão 4.2. Como Γ ⇒ M é um grupoide étale então para todo Γ-fibrado principal π : P −→ B temos que π é um difeomorfismo local. Isto produz as seguintes equivalências

• µ ´e submers˜ao.

• Para toda se¸cão local σ de π temos que f = µ ◦ σ é submersão.

• µ ´_b e um epimorfismo.

Afirma¸cão 4.3. Toda Γ-folhea¸cão em B define uma folhea¸cão regular em B.

Demonstra¸cão. Comoµ ´_be um epimorfismo então o seu kernel Ker(µ) ⊂ T B define uma distribui¸_b cão regular. Essa distribui¸cão é integrável pois pode-se verificar que para cada se¸cão local σ : U −→ P de π temos que

Ker(µ)_b

U = Ker(df )

onde f = µ ◦ σ. Denotaremos por F à folhea¸cão regular definida por P , e por T F a sua distribui¸cão tangente. Em particular Ker(µ) = T F , e o epimorfismo (_b 4.1) induz um isomorfismo entre o fibrado vetorial associado P ⊗_ΓT M e o fibrado normal de F .

Observe que o pseudogrupo generalizado Γ projeta para o pseudogrupo cl´assico ΓM = Diffloc(M ) de todas as transforma¸c˜oes locais de M

β ∈ Γ 7−→ t ◦ β ∈ ΓM

Em outras palavras existe um morfismo de grupoides de Lie ´etales

E0: Γ ΓM

germ_x(β) germ_x(t ◦ β)

(4.2)

Portanto toda Γ-folhea¸cão P produz, por meio da constru¸cão do fibrado associado, um ΓM-fibrado principal Q = P ⊗_ΓΓM −→ B, e denotaremos por ν : Q −→ M a sua aplica¸cão de momento. Agora mostraremos que o ΓM-fibrado principal Q define uma folhea¸cão regular em B de acordo com a Defini¸cão 3.4, de fato define a mesma folhea¸cão F que a Γ-folhea¸cão P constru´ıda na Afirma¸cão

4.3.

Proposi¸cão 4.4. A aplica¸cão de momento ν : Q −→ M é uma submersão e portanto Q define uma folhea¸cão regular em B. Essa folhea¸cão coincide com a folhea¸cão regular definida por P .

Demonstra¸cão. O fibrado Q é o quociente do fibrado produto P ×M ΓM pela a¸cão diagonal de Γ definida ao longo da aplica¸cão µ : (p, g) ∈ P ×e M ΓM 7−→ t(g) ∈ M , e temos o seguinte diagrama comutativo P ×M ΓM M Q e µ ν

Ademais, lembre-se que temos o seguinte diagrama pullback

P ×M ΓM ΓM M P M pr2 pr1 e µ s t µ

Logo, como µ é submersão então µ ´_ee submersão e portanto ν também é submersão. Portanto Q é uma folhea¸cão regular sobre B de acordo com a Defini¸cão 3.4.

Ora, sendo ν submers˜ao ela induz o epimorfismo

ν : T B Q ⊗_Γ

0 T M

vb [σ0(b), dbf · vb]

onde σ0é uma se¸cão local de π0: Q −→ B, e f = ν ◦ σ0. Além disso, o kernel Ker(bν) é a distribui¸cão tangente da folhea¸cão definida por Q.

Por outro lado temos um E0-morfismo entre P e Q definido por

Ψ : P Q

p [p, germ_µ(p)(idM)]

Esse morfismo induz um isomorfismo entre os fibrados vetoriais associados `a representa¸c˜ao em T M

Ψ : P ⊗_ΓT M Q ⊗_Γ

0 T M

[p, v] [Ψ(p), v]

O isomorfismo bΨ comuta com os epimorfismos (4.1) e (4.3), i.e. bΨ ◦µ =_b _bν. Portanto, tanto P atrav´es deµ quanto Q atrav´b es debν definem a mesma folhea¸c˜ao F em B.

Dada uma folhea¸cão F em uma variedade B, dizemos que uma aplica¸cão diferenciável f : B −→ X é básica se ela é constante ao longo das folhas de F . Seguindo Molino [Mol72] ou Vaisman [Vai74], um fibrado vetorial E0 −→ B é folheado sobre F se as suas fun¸cões de transi¸cão são fun¸cões básicas em (B, F ). Por exemplo, se ψ : B −→ M é uma submersão e E −→ M é um fibrado vetorial então o fibrado pullback ψ∗E −→ B é um fibrado vetorial folheado para a folhea¸cão simples em B definida pelas fibras de ψ.

Das constru¸cões feitas na Se¸cão1.5temos que, fixada uma se¸cão local σ : U −→ P de π, o fibrado vetorial P ⊗_ΓT M é localmente difeomorfo ao fibrado vetorial pullback f∗T M , onde f = µ ◦ σ. Ora, seja P uma Γ-folhea¸cão em B e seja F a folhea¸cão regular definida por P . Neste caso temos que f ´

e uma submers˜ao e F

U s˜ao as fibras de submers˜ao f : U −→ M . Portanto f

∗_{T M −→ U torna-se} um fibrado vetorial folheado sobre F

U no sentido de Molino [Mol72] ou Vaisman [Vai74]. Pode-se verificar que, após escolher trivializa¸cões locais adequadas para o fibrado T M −→ M , o fibrado P ⊗_ΓT M −→ B é um fibrado vetorial folheado sobre F . Analogamente, temos que P ⊗_ΓE −→ B também é um fibrado vetorial folheado sobre F .

E claro, uma Γ-folhea¸cão produz outra estrutura além da folhea¸cão regular F . Essa estrutura adicional vem do fibrado ancorado associado a_P: E[P ] −→ T B que sempre temos ligado a todo Γ-f.v.a., e em particular a toda Γ-folhea¸cão.

E[P ] P ⊗_ΓE

0 T F T B P ⊗_ΓT M 0

a_P a

b µ

A estrutura adicional que produz a Γ-folhea¸cão P é uma estrutura de fibrado ancorado na transversal à folhea¸cão F . Para verificar isto, basta escolher uma se¸cão local σ : U −→ P de π e logo uma se¸cão local T : V −→ U da submersão f = µ ◦ σ : U −→ M . Assim T (V ) ⊂ B é uma subvariedade transversal à F , e verifica-se T!E[P ] = E

Observa¸cão 4.5. Pela discussão acima gostar´ıamos de chamar ao fibrado ancorado associado a_P: E[P ] −→ T B de estrutura transversal à Γ-folhea¸cão P , e dizer que uma Γ-folhea¸cão P em

B define uma folhea¸c˜ao regular F com uma estrutura transversal localmente modelada no fibrado vetorial ancorado a : E −→ T M .

Pullback de Γ-folhea¸c˜oes

Agora gostar´ıamos de saber quando o pullback de uma Γ-folhea¸cão por uma aplica¸cão dife- renciável produz uma nova Γ-folhea¸cão. Para isto, seja π : P −→ X uma Γ-folhea¸cão sobre X com aplica¸cão de momento µ : P −→ M , e denote por F a folhea¸cão em X definida por P . Seja ψ : B −→ X uma aplica¸cão diferenciável e considere o Γ-fibrado principal pullback P0 = ψ∗P , denote por µ0 a sua aplica¸cão de momento e por Ψ : P0 −→ P o Γ-morfismo definido entre estes Γ- fibrados principais. Seguindo as constru¸cões da Se¸cão3.2e em particular a Observa¸cão 3.11temos o seguinte diagrama comutativo.

T B P0⊗_ΓT M T X P ⊗_ΓT M b µ0 dψ _ΨT M b µ

Nesse diagrama lembramos que ΨT M é um isomorfismo na fibra pois é o morfismo de fibrados vetoriais associado ao Ψ, e que bµ é epimorfismo pois P é uma Γ-folhea¸cão em X. Do diagrama acima conclu´ımos queµ_b0é epimorfismo, e portanto P0é uma Γ-folhea¸cão, se e somente seµ◦dψ ´_b e um epimorfismo. Por sua vez, essa ultima condi¸cão é equivalente a dizer que a aplica¸cão ψ : B −→ X ´

e transversal à distribui¸cão tangente T F da folhea¸cão definida por P . Dessa forma temos provado a seguinte proposi¸cão

Proposi¸cão 4.6. ψ∗P é uma Γ-folhea¸cão se e somente se ψ t T F.

Observe que a conclusão do parágrafo anterior coincide com a defini¸cão usual de quando uma aplica¸cão diferenciável ψ : B −→ X é transversal a uma folhea¸cão1F , e nesse caso sempre podemos construir a folhea¸cão pullback, e que nas nota¸cões acima essa folhea¸cão pullback é a folhea¸cão F0 definida por P0 = ψ∗P . A observa¸cão importante aqui é que com essa mesma defini¸cão, se a folhea¸cão F vem com alguma estrutura transversal, i.e. é uma Γ-folhea¸cão, então a folhea¸cão pullback mantém a mesma estrutura transversal. Essa estrutura transversal é o fibrado ancorado associado `

a Γ-folhea¸cão. Lembramos que, de acordo com a Proposi¸cão 3.19, para a Γ-folhea¸cão pullback P0 = ψ∗P temos duas formas equivalentes de obter a sua estrutura transversal a_P0: E[P0] −→ T B,

uma delas ´e como o fibrado ancorado associado a P0 e a outra ´e como pullback ancorado do fibrado ancorado associado a P .

Homotopia de Γ-folhea¸c˜oes

Agora vamos a definir homotopia de Γ-folhea¸c˜oes

Defini¸cão 4.7. Sejam P0 e P1 duas Γ-folhea¸cões em B. Dizemos que P0 e P1 são integralmente homotópicas se existem um Γ-fibrado principal P −→ B × I e dois Γ-morfismos Ψ0 : P0 −→ P e Ψ1: P1 −→ P tais que:

CLASSIFICAÇ ÃO DE Γ-FOLHEAÇ ÕES 81

1. Para cada t ∈ I temos que itt P , e portanto i∗tP é uma Γ-folhea¸cão em B. 2. Os seguintes diagramas são comutativos

P0 P B B × [0, 1] Ψ0 i0 P1 P B B × [0, 1] Ψ1 i1 Em particular P0 ' i∗0P e P1 ' i∗1P .

Novamente, denotaremos por P0 ≈ P1 quando P0 e P1 sejam Γ-folhea¸cões em B integralmente homotópicas. Observe que se P0 e P1 são Γ-folhea¸cões integralmente homotópicas então P0 e P1 são Γ-f.v.a. integralmente homotópicos, e portanto Γ-fibrados principais homotópicos.

No documento Uma generalização de pseudogrupo estruturas (páginas 82-91)