2.2
Colora¸c˜oes de Beck
Apresentaremos aqui alguns resultados expostos por Istvan Beck, em seu artigo “Coloring of commutative rings” [11], sobre colora¸c˜oes de v´ertices. Dentre esses resultados, destacamos os Teorema 2.21 e o Teorema 2.24. O primeiro apresenta algumas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que um grafo divisor de zero tenha n´umero crom´atico finito. O segundo elenca algumas propriedades de um anel que possui um grafo divisor de zero com n´umero crom´atico finito.
J´a mencionamos neste texto que a defini¸c˜ao de grafo divisor de zero dada por Beck difere da defini¸c˜ao que adotamos aqui. No entanto, nesta se¸c˜ao, manteremos a Defini¸c˜ao.2.1.
Para iniciarmos, devemos dizer que um elemento r∈ R ´e um elemento finito de um anel R se o ideal gerado por r ´e finito. Na sequˆencia, apresentamos alguns lemas que nos d˜ao condi¸c˜oes para que um grafo divisor de zero tenha um clique infinito.
Lema 2.12. ([11]) Seja R um anel que possui um n´umero infinito de elementos finitos. Ent˜ao Γ(R) cont´em um clique infinito.
Demonstra¸c˜ao: Sejam x1, x2, . . . , xn, . . . elementos finitos distintos dois a dois de R. Como
(x1) ´e um ideal finito e x1xi ∈ (x1), para todo i∈ N, existem infinitos ´ındices a21, a22, a23, . . .
tais que
x1xa21 = x1xa22 = x1xa23 = . . . .
Vamos considerar ent˜ao a sequˆencia {xa2n}n∈N e denotar xa21 = xa2. Sabemos que
xa2xa2i ∈ (xa2), para todo i ∈ N. Sendo (xa2) um ideal finito, existem infinitos ´ındices
a31, a32, a33, . . . , a3n, . . . tais que
xa2xa31 = xa2xa32 = xa2xa33 = . . . .
Consideremos agora a sequˆencia {xa3n}n∈N. Denotando xa31 = xa3 e repetindo o processo,
obteremos uma sequˆencia x1, xa2, xa3, . . ., a qual denotamos por y1, y2, y3, . . . , yn, . . ., tal que
yiyj = yiyk, quando j > i e k > i.
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 30
yjyk = yjyr, temos que
zijzkr = (yi− yj)(yk− yr) = yiyk− yiyr− yjyk+ yjyr = 0.
Desse modo, z1,2z3,4 = z1,2z3,5 = 0. Como z3,4 6= z3,5, ent˜ao z3,4 6= z1,2 ou z3,5 6= z1,2.
Se z3,4 6= z1,2, temos o clique {z1,2, z3,4}. Se z3,5 6= z1,2, o clique obtido ´e {z1,2, z3,5}. Vamos
assumir que z3,5 6= z1,2 e que, portanto, Γ(R) possui o clique{z1,2, z3,5}.
Notemos agora que z6,7, z6,8, z6,9 s˜ao dois a dois distintos. Logo, um deles n˜ao pertence
ao conjunto {z1,2, z3,5}. Supondo que z6,9 ∈ {z/ 1,2, z3,5}, temos o clique {z1,2, z3,5, z6,9}. Pros-
seguindo desse modo, obteremos um clique infinito de Γ(R). ⊓⊔
Lema 2.13. ([11]) Seja I um ideal finito de R. Ent˜ao Γ(R) cont´em um clique infinito se, e
somente se, Γ(R/I) cont´em um clique infinito.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que Γ(R) possui um clique infinito C. A imagem C de C pela proje¸c˜ao canˆonica de R em R/I ´e um clique de Γ(R/I). Como I ´e finito, devemos ter C infinito. Logo, Γ(R/I) cont´em um clique infinito C.
Reciprocamente, consideremos {xi}i∈N um clique infinito de Γ(R/I). Ent˜ao, para todo
i6= j, xixj ∈ I. Como I ´e finito, o conjunto dos produtos {xixj}i6=j ´e finito. Para o elemento
x1, existem ´ındices a2, a22, a23, . . . , a2n, . . . tais que
x1xa2 = x1xa22 = x1xa23 = . . . .
Repetindo o racioc´ınio utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.12, chegaremos que Γ(R)
possui um clique infinito. ⊓⊔
Lema 2.14. ([11]) Se R cont´em um elemento nilpotente que n˜ao ´e finito, ent˜ao Γ(R) cont´em
um clique infinito.
Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, existe x ∈ Nil(R) tal que o ideal (x) ´e infinito. Mas x ∈ N il(R) implica que existe n ∈ N tal que xn = 0. A demonstra¸c˜ao ser´a feita por indu¸c˜ao
sobre n. Como (x) ´e infinito, temos x 6= 0. Logo, iniciamos a demonstra¸c˜ao considerando n = 2.
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 31
Se x2 = 0, ent˜ao dados ax, bx∈ (x), teremos (ax)(bx) = 0. Assim, Γ(R) possui um clique infinito, a saber, o subgrafo induzido pelo ideal (x).
Suponhamos n ≥ 3 e que o resultado seja verdadeiro para qualquer elemento nilpotente n˜ao finito de R cujo ´ındice de nilpotˆencia seja menor do que n. Tomemos y = x2. Ent˜ao
yn−1 = (x2)n−1 = xn−2 e, como n ≥ 3, temos 2n − 2 ≥ n. Da´ı, yn−1 = 0. Se (y) ´e infinito,
o resultado segue da nossa hip´otese de indu¸c˜ao. Vamos supor ent˜ao que (y) ´e finito. Neste caso, (x)/(y) ´e infinito e o subgrafo induzido por (x)/(y) ´e um clique infinito de R/(y). Como (y) ´e finito, segue do Lema 2.13 que Γ(R) possui um clique infinito. ⊓⊔
Exemplo 2.15. Em Z4[x], o elemento 2 ´e nilpotente com ´ındice de nilpotˆencia igual a 2.
Como o ideal (2) ´e infinito, segue do lema anterior queZ4[x] possui um clique infinito.
Consideremos agora um anel R tal que N il(R) ´e infinito. Se todo elemento de N il(R) ´e finito, o Lema 2.12 nos garante que Γ(R) possui um clique infinito. Se algum elemento de N il(R) n˜ao ´e finito, tamb´em obtemos que Γ(R) possui um clique infinito: basta aplicarmos o Lema 2.14. Provamos assim o seguinte resultado:
Lema 2.16. ([11]) Se N il(R) ´e infinito, ent˜ao Γ(R) tem um clique infinito.
O pr´oximo lema trata de um anel reduzido R cujo grafo divisor de zero n˜ao possui um clique infinito.
Lema 2.17. ([11]) Se R ´e um anel reduzido tal que Γ(R) n˜ao cont´em um clique infinito,
ent˜ao R satisfaz a condi¸c˜ao de cadeia ascendente (c.c.a.) sobre ideais da forma Ann(a), com
a∈ R∗.
Demonstra¸c˜ao: Seja R um anel reduzido. Vamos supor que exista uma cadeia
Ann(a1)( Ann(a2)( . . .
que n˜ao estaciona. Seja xi ∈ Ann(ai)\Ann(ai−1), i = 1, 2, . . .. Ent˜ao, para todo n ≥ 2, temos
que yn= xnan−1 6= 0. Disso resulta que os elementos ynformam um clique. De fato, se i < j,
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 32
Tamb´em, se i6= j, ent˜ao yi 6= yj, pois se tiv´essemos yi = yj, ter´ıamos y2i = yj2 = yiyj = 0, o
que contradiz o fato de R ser reduzido. Logo, Γ(R) possui um clique infinito e o resultado
est´a provado. ⊓⊔
Lema 2.18. ([11]) Se x, y∈ D(R) s˜ao tais que Ann(x) e Ann(y) s˜ao ideais primos distintos,
ent˜ao xy = 0.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que xy 6= 0. Ent˜ao x /∈ Ann(y) e y /∈ Ann(x). Mostremos que Ann(x) = (Ann(x) : y). De fato, se z ∈ Ann(x), ent˜ao zy ∈ Ann(x), donde vem que z ∈ (Ann(x) : y). Agora, dado z ∈ (Ann(x) : y), por defini¸c˜ao, zy ∈ Ann(x). Como Ann(x) ´e um ideal primo e y /∈ Ann(x), devemos ter que z ∈ Ann(x). Obtemos assim a igualdade Ann(x) = (Ann(x) : y). Analogamente, mostramos que (Ann(y) : x) = Ann(y).
Notemos que z ∈ (Ann(x) : y) se, e somente se, zyx = 0, o que ´e equivalente a z ∈ (Ann(y) : x). Logo, (Ann(x) : y) = (Ann(y) : x). Assim, temos as igualdades Ann(x) = (Ann(x) : y) = (Ann(y) : x) = Ann(y), o que ´e um absurdo. Portanto, xy = 0. ⊓⊔
No pr´oximo resultado, ´e dada uma condi¸c˜ao suficiente para que o n´umero crom´atico de Γ(R) seja finito.
Teorema 2.19. ([11]) Seja R um anel que possui um ideal finito I que ´e uma interse¸c˜ao
finita de ideais primos de R. Ent˜ao, χ(Γ(R)) ´e finito.
Demonstra¸c˜ao: Seja I um ideal finito tal que I = P1 ∩ . . . ∩ Pk, com Pi ∈ Spec(R),
para cada i ∈ {1, . . . , k}. Se D(R) ⊆ I, ent˜ao Γ(R) ´e finito e isso claramente implica χ(Γ(R)) finito. Vamos supor ent˜ao que existe a∈ D(R) tal que a /∈ I. Definamos a fun¸c˜ao f : D(R)\ I → {1, . . . , k} colocando f(x) = min{i : x /∈ Pi}, para todo x ∈ D(R) \ I.
Temos que f ´e uma k-colora¸c˜ao pr´opria de D(R)\ I. De fato, suponhamos que existam x, y ∈ D(R)∗, x6= y, tais que xy = 0 e f(x) = f(y) = j. Ent˜ao x, y /∈ P
j. Como 0 = xy∈ Pj
e Pj ´e ideal primo, devemos ter x∈ Pj ou y ∈ Pj, uma contradi¸c˜ao. Como I ´e finito, temos
que I ∩ D(R) finito, digamos |I ∩ D(R)| = m. Usando este fato e a k-colora¸c˜ao pr´opria f dada anteriormente, temos que χ(Γ(R))≤ k + m, ou seja, χ(Γ(R)) ´e finito. ⊓⊔
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 33
O pr´oximo resultado apresenta algumas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que um grafo divisor de zero de um anel reduzido tenha n´umero crom´atico finito.
Teorema 2.20. ([11]) Para um anel reduzido R, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) χ(Γ(R)) ´e finito; (ii) ω(Γ(R)) ´e finito;
(iii) O ideal nulo de R ´e uma interse¸c˜ao finita de ideais primos; (iv) Γ(R) n˜ao cont´em um clique infinito.
Demonstra¸c˜ao: Como ω(Γ(R)) ≤ χ(Γ(R)), ´e claro que (i) implica (ii). Tamb´em, se ω(Γ(R)) ´e finito, R n˜ao cont´em um clique infinito e, assim, (ii) implica (iv). Do Lema 2.19 segue que (iii) implica (i). Logo, resta mostrarmos que (iv) implica (iii).
Suponhamos que R seja um anel reduzido tal que Γ(R) n˜ao cont´em um clique infinito. Pelo Lema 2.17, R satisfaz c.c.a. sobre ideais da forma Ann(a). Seja{Ann(xi)}i∈Λ a cole¸c˜ao
formada por todos os elementos maximais, dois a dois distintos, da fam´ılia{Ann(a) : a 6= 0}. Pela Proposi¸c˜ao 1.29, temos que Ann(xi) ´e um ideal primo, para todo i ∈ Λ. Como Γ(R)
n˜ao cont´em um clique infinito, segue do Lema 2.18 que o conjunto de ´ındices Λ ´e finito. De fato, se Λ fosse infinito, ter´ıamos infinitos Ann(xi). Do Lema 2.18 ter´ıamos que xixj = 0,
para i6= j, e assim, Γ(R) teria um clique infinito, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, Λ ´e finito. Suponhamos que exista um elemento n˜ao nulo x∈T
i∈ΛAnn(xi). Ent˜ao, x ∈ D(R)∗. Da
escolha dos Ann(xi), i∈ Λ, resulta que Ann(x) ⊆ Ann(xj), para algum j ∈ Λ. Se xxj = 0,
ent˜ao xj ∈ Ann(x) ⊆ Ann(xj) e, assim, x2j = 0, donde obtemos xj = 0, uma vez que R
´e reduzido. Logo, xxj 6= 0 e disso resulta que x /∈ Ann(xj), uma contradi¸c˜ao. Portanto,
T
i∈ΛAnn(xi) ={0} e temos assim que (iv) implica (iii). ⊓⊔
Veremos a seguir que a hip´otese de R ser reduzido pode ser retirada da hip´otese do Teorema 2.20, isto ´e, esse resultado vale para qualquer anel.
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 34
(i) χ(Γ(R)) ´e finito; (ii) ω(Γ(R)) ´e finito;
(iii) N il(R) ´e finito e ´e igual a uma interse¸c˜ao finita de ideais primos; (iv) Γ(R) n˜ao cont´em um clique infinito.
Demonstra¸c˜ao: ´E claro que (i) implica (ii) e que (ii) implica (iv). Pelo Teorema 2.19, (iii) implica (i).
Precisamos mostrar ent˜ao que (iv) implica (iii). Suponhamos que Γ(R) n˜ao possui um clique infinito. Pelos Lemas 2.13 e 2.16, temos que N il(R) ´e finito e Γ(R/N il(R)) n˜ao possui um clique infinito. Do Teorema 2.20 vem que {0} = {0 + Nil(R)} ´e igual a uma interse¸c˜ao finita de ideais primos, digamos{0} = P1∩ . . . ∩ Pk. Ent˜ao, N il(R) = P1∩ . . . ∩ Pk, onde Pi
´e a imagem inversa de Pi pela proje¸c˜ao canˆonica de R em R/N il(R). Portanto, (iv) implica
(iii). ⊓⊔
Nosso pr´oximo resultado apresenta, em seu enunciado, apenas conceitos da Teoria de An´eis Comutativos. No entanto, sua demonstra¸c˜ao ´e feita a partir de conceitos e resultados da teoria de grafos divisores de zero.
Proposi¸c˜ao 2.22. ([11]) Seja R um anel que cont´em um ideal finito I que ´e uma interse¸c˜ao
finita de ideais primos. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:
(i) Para todo ideal finito K de R, temos que√K ´e um ideal finito e ´e igual a uma interse¸c˜ao
finita de ideais primos;
(ii) R possui apenas um n´umero finito de ideais finitos.
Demonstra¸c˜ao: (i) Seja I um ideal finito que ´e uma interse¸c˜ao finita de ideais primos. Pelo Teorema 2.19, χ(Γ(R)) ´e finito. Consideremos K ∈ Id(R) finito. Segue do Lema 2.13 que Γ(R/K) n˜ao cont´em um clique infinito. Pelo Teorema 2.21, temos que N il(R/K) ´e finito e ´e igual a uma interse¸c˜ao finita de ideais primos. Mas notemos que N il(R/K) =√K/K. De fato, observamos que x ∈ √K/K se, e somente se, existe n ∈ Z+ tal que xn ∈ K. Como
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 35
xn = xn = 0, temos que x ∈ √K/K se, e somente se, x ∈ Nil(R/K), donde Nil(R/K) =
√ K/K.
Logo, √K/K ´e finito e igual a uma interse¸c˜ao finita de ideais primos e, assim, √K tamb´em ´e finito e igual a uma interse¸c˜ao finita de ideais primos.
(ii) Consideremos A = {x ∈ R : (x) ´e finito}. Como χ(Γ(R)) ´e finito, segue do Lema 2.12 que A ´e finito. Notemos que 0∈ A. Ainda, dados x, y ∈ A e r ∈ R, temos que (x) e (y) s˜ao ideais finitos e, da´ı, como (x + y) ⊆ (x) + (y) e (rx) ⊆ (x), resulta que x + y, rx ∈ A. Logo, A ´e um ideal finito de R. Uma vez que todo ideal finito de R est´a contido em A, o anel R possui apenas um n´umero finito de ideais finitos. ⊓⊔
Na demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado, utilizaremos o conceito de sequˆencia exata de R-m´odulos. O leitor pode encontrar a defini¸c˜ao desse conceito em ([24], p´ag. 112).
Lema 2.23. Seja I um ideal finito de R. Ent˜ao, para todo x ∈ R, (I : x)/Ann(x) ´e um R-m´odulo finito.
Demonstra¸c˜ao: Dado a∈ (I : x)x, temos que a =Pn
i=1λiαix, onde αi ∈ (I : x), para todo
i ∈ {1, . . . , n}. Ent˜ao, αix ∈ I, para todo i ∈ {1, . . . , n}. Como I ´e um ideal, devemos ter
Pn
i=1λiαix = a∈ I. Assim, (I : x)x ⊆ I e, sendo I finito, (I : x)x tamb´em ´e finito.
Consideremos agora a seguinte sequˆencia exata de R-m´odulos
{0} −→ Ann(x)−→ (I : x)j −→ (I : x)x −→ {0},f
onde j ´e a inclus˜ao e f ´e o epimorfismo dado por f (a) = ax. Notemos que Im(j) = Ann(x) = ker(f ). Assim, (I : x)/Ann(x) ∼= f ((I : x)). Como f ((I : x)) ⊆ (I : x)x e (I : x)x ´e finito,
temos que (I : x)/Ann(x) ´e um R-m´odulo finito. ⊓⊔
Elencamos agora v´arias propriedades satisfeitas por um anel cujo grafo divisor de zero possui n´umero crom´atico finito.
Teorema 2.24. Seja R um anel tal que χ(Γ(R)) ´e finito. Ent˜ao, as seguintes afirma¸c˜oes
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 36
(i) R satisfaz a c.c.a sobre os ideais da forma Ann(a); (ii) Ass(R) ´e finito
(iii) D(R) = [
P∈Ass(R)
P ;
(iv) Todo primo minimal de R ´e um primo associado.
Demonstra¸c˜ao: (i) Por absurdo, vamos supor que existe um conjunto {xk}k∈N tal que a
cadeia Ann(x1) ( Ann(x2) ( . . . n˜ao estaciona. Como χ(Γ(R)) ´e finito, segue do Teorema
2.21 que N il(R) ´e finito. Logo, existe n∈ N tal que xi ∈ Nil(R), para todo i > n. Ou seja,/
no m´aximo, uma quantidade finita de elementos da sequˆencia est˜ao em N il(R). Retirando, se necess´ario, tal quantidade finita e reenumerando os ´ındices, vamos supor que xi ∈ Nil(R),/
para todo i∈ N.
Pelo Teorema 2.21, temos ainda que N il(R) = P1∩. . .∩Pn, com Pi ideal primo, para todo
i∈ {1, . . . , n}. Sabemos tamb´em que, para todo x ∈ R, (Nil(R) : x) = (P1 : x)∩. . .∩(Pn: x).
Assim, o conjunto {(Nil(R) : x) : x ∈ R} ´e finito (visto que, para todo P ∈ Spec(R), (P : x) = R se x ∈ P ; (P : x) = P se x /∈ P ). Desse modo, existe um subconjunto infinito {yi} de {xi} tal que (Nil(R) : y1) = (N il(R) : y2) = . . .. Dessa igualdade vem que
todo conjunto da cadeira Ann(y1) ( Ann(y2) ( . . . est´a contido em (Nil(R) : y1). Logo,
(N il(R) : y1)/Ann(y1) ´e infinito. Mas, isso ´e um absurdo, pois sendo N il(R) finito, o lema
anterior nos diz que (N il(R) : y1)/Ann(y1) deve ser finito.
(ii) Suponhamos Ass(R) infinito, digamos Ass(R) ={Ann(xi)}i∈Λ, com Λ infinito. Pelo
Lema 2.18, temos que xixj = 0, se i6= j, donde segue que Γ(R) possui um clique infinito, o
que contradiz o fato de χ(Γ(R)) ser finito. Logo, Ass(R) ´e finito.
(iii) Dado x ∈ D(R), existe y ∈ R∗ tal que xy = 0, donde x ∈ Ann(y). Pelo item (i),
Ann(y) est´a contido em algum elemento maximal do conjunto Ω = {Ann(a) : a ∈ R∗},
digamos Ann(y)⊆ Ann(t). Como todo elemento maximal de Ω ´e um ideal primo, temos que Ann(t) ∈ Ass(R). Assim, x ∈ Ann(t), donde se segue a inclus˜ao D(R) ⊆ S
P∈Ass(R)P . A
outra inclus˜ao ´e imediata.
(iv) Seja P ∈ Min(R). Notemos que, para todo x ∈ R \ P , Ann(x) ⊆ P (pois, se w ∈ Ann(x), ent˜ao xw = 0 ∈ P , donde w ∈ P , visto que P ´e primo e x /∈ P ). Seja
2.2 Colora¸c˜oes de Beck 37
Θ ={Ann(y) : y ∈ R \ P }. Pelo item (i), toda cadeia ascendente de ideais de Θ estaciona. Escolhemos Ann(t) um elemento maximal de Θ. Vamos mostrar que Ann(t) ´e um ideal primo de R. De fato, como Ann(t) ⊆ P e P ´e primo, 1 /∈ Ann(t), donde Ann(t) 6= R. Considerando ab∈ Ann(t), vamos supor que a /∈ Ann(t) e mostrar que b ∈ Ann(t).
Se a /∈ P , ent˜ao at /∈ P , donde Ann(at) ∈ Θ. Como Ann(t) ⊆ Ann(at) e Ann(t) ´e maximal em Θ, temos que Ann(t) = Ann(at). Mas, ab ∈ Ann(t). Logo, 0 = (ab)t = b(at), donde b∈ Ann(at) = Ann(t).
Suponhamos agora que a ∈ P . Se Ann(at) ⊆ P , utilizando o mesmo racioc´ınio do par´agrafo anterior, obteremos b∈ Ann(t). Consideremos o caso Ann(at) * P . Neste caso, existe c ∈ Ann(at) \ P . Ent˜ao, Ann(ct) ∈ Θ, donde Ann(t) ⊆ Ann(ct) ⊆ P e, pela maximalidade de Ann(t), temos que Ann(t) = Ann(ct). Mas, como a(tc) = (at)c = 0, segue que a∈ Ann(tc) = Ann(t), uma contradi¸c˜ao. Logo, se a ∈ P , ent˜ao Ann(at) ⊆ P e teremos b∈ Ann(t).
Assim, Ann(t) ´e um ideal primo contido em P . Como P ´e um primo minimal, temos
Ann(t) = P , donde M in(R)⊆ Ass(R). ⊓⊔
As propriedades listadas nos quatro itens do enunciado do teorema anterior s˜ao satisfeitas por um anel Noetheriano. No exemplo a seguir, vemos um anel n˜ao Noetheriano cujas propriedades mencionadas tamb´em s˜ao satisfeitas.
Exemplo 2.25. Seja K um corpo. Sabemos que o anel de polinˆomios A = K[x1, x2, . . .] n˜ao
´e um anel Noetheriano. Assim, R =Z2×A tamb´em n˜ao ´e Noetheriano. Facilmente podemos
verificar que Γ(R) ´e um grafo estrela (o racioc´ınio ´e an´alogo ao da demonstra¸c˜ao do Lema 2.26 da pr´oxima se¸c˜ao). Pela Proposi¸c˜ao 1.42, obtemos que χ(Γ(R)) ´e finito. Portanto, R satisfaz cada uma das quatro propriedades listadas no enunciado do teorema anterior.
Conv´em observarmos que nem todo anel Noetheriano possui grafo divisor de zero com n´umero crom´atico finito. Basta notarmos que Z4[x] ´e Noetheriano, mas χ(Γ(Z4[x])) n˜ao ´e
finito, pelo Exemplo 2.15 e pelo Teorema 2.21. Por´em, se R ´e um anel Noetheriano reduzido, segue das Proposi¸c˜oes 1.6 e 1.22 e do Teorema 2.20 que χ(Γ(R)) ´e finito.