A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

Um Estudo Sobre Grafos Divisores de Zero

JULIO CESAR MORAES PEZZOTT

Orientadora: Irene Naomi Nakaoka

(2)

Um Estudo Sobre Grafos Divisores de Zero

JULIO CESAR MORAES PEZZOTT

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Univer-sidade Estadual de Maringá, como requisito par-cial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática.

´

Area de concentra¸c˜ao: ´Algebra

Orientadora: Profa_{. Dr}a_{. Irene Naomi Nakaoka}

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co à minha fam´ılia, que sempre me apoiou. Em especial, à minha esposa Claudia, aos meus pais e aos meus irmãos.

Agrade¸co à minha orientadora Profa_{. Dr}a_{. Irene Naomi Nakaoka pela paciência, sabedoria} e dedica¸cão na realiza¸cão deste trabalho.

Aos professores do Departamento de Matem´atica da UEM por contribu´ırem com minha forma¸c˜ao.

Aos meus amigos e colegas de mestrado. `

(4)

Resumo

Dado um anel comutativo com identidade R, o grafo divisor de zero de R, denotado por Γ(R), é o grafo cujos vértices são os divisores de zero não nulos deR e dois vértices distintos

(5)

Abstract

Given a commutative ring with identityR, the zero-divisor graph ofR, denoted by Γ(R), is the graph whose vertices are the nonzero zero-divisors ofR and two distinct vertices xand

(6)

vi

´Indice de Nota¸c˜oes

∅ conjunto vazio

|X| cardinalidade do conjunto X

X∗ _X_{\ {}₀_}

X (Y X é um subconjunto próprio de Y X _⊆Y X é um subconjunto de Y

X×Y produto direto de X por Y Im(f) imagem da fun¸cão f ker(f) núcleo da fun¸cão f

(x) ideal gerado pelo elemento x

U(R) conjunto dos elementos invert´ıveis do anel R D(R) conjunto dos divisores de zero do anel R Id(R) conjunto dos ideais do anel R

Spec(R) conjunto dos ideais primos do anel R √

I ideal radical do ideal I

N il(R) _{r_∈R : rn _{= 0}_,_{para algum}_n_∈_N_} _{(nilradical de} _R₎

J(R) radical de Jacobson do anel R V ar(I) variedade do ideal I

M in(R) conjunto dos primos minimais do anel R ass(I) conjunto dos primos associados do ideal I Ass(R) conjunto dos primos associados do anel R

(I :x) quociente do ideal I por x

Ann(x) {r∈R : rx= 0} (anulador de x)

Ann(I) _{r_∈R : rI =_{0_}}(anulador de I)

char(R) caracter´ıstica do anel R

G= (V, E) grafo com conjunto de v´ertices V e conjunto de arestas E

(7)

vii

d(u, v) distˆancia de ua v diam(G) diˆametro do grafo G

Km _{grafo completo de ordem} _m

Km,n grafo bipartido completo com conjunto de v´ertices V =V1∪V2 (uni˜ao disjunta) tal que _|V1|=m e |V2|=n

ω(G) cardinalidade do maior clique no grafoG Cn _n_-ciclo

gr(G) cintura do grafo G

χ(G) número cromático por vértices deG

e(v) max{d(v, x) : x∈V} (excentricidade do v´erticev)

rad(G) raio do grafo G Cen(G) centro do grafo G

(8)

Sum´

ario

´Indice de Nota¸c˜oes vi

Introdu¸c˜ao ix

1 Preliminares 1

1.1 An´eis comutativos . . . 1

1.1.1 An´eis Artinianos e an´eis Noetherianos . . . 4

1.1.2 Decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal . . . 6

1.1.3 Sobre os divisores de zero de um anel . . . 8

1.2 Grafos . . . 13

1.2.1 Grafos planares . . . 18

2 Grafos divisores de zero 22 2.1 O grafo divisor de zero . . . 22

2.2 Colora¸c˜oes de Beck . . . 29

2.3 Quando Γ(R) possui um v´ertice adjacente aos demais v´ertices . . . 38

2.4 Grafos completos e grafos estrela . . . 40

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos . . . 44

2.6 Ciclos e cintura . . . 57

2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao . . . 61

(9)

(10)

Introduc

¸˜

ao

O conceito de grafo divisor de zero surgiu na literatura matemática com o artigo “Coloring of commutative rings” [11], publicado por Istvan Beck em 1988. O autor definiu um grafo tomando como vértices os elementos de um anel comutativo e colocando que dois vértices distintos seriam adjacentes se o produto entre eles resultasse no elemento neutro da adi¸cão. Beck estudou colora¸cões de vértices desse grafo. Mais resultados sobre esse tema foram obtidos por D. D. Anderson e M. Nasser e publicados, em 1993, no artigo “ Beck’s Coloring of Commutative Rings ” [4].

Em 1999, no artigo “ The zero-divisor graph of a commutative ring ”[6], D. F. Anderson e P. S. Livingston apresentaram uma defini¸cão de grafo divisor de zero um pouco diferente da defini¸cão de Beck. Tais autores mantiveram a condi¸cão dada por Beck para que dois vértices fossem adjacentes; no entanto, passaram a considerar como vértices apenas os divisores de zero não nulos do anel. A partir desse artigo, a maioria dos matemáticos que trataram do tema assumiram a defini¸cão de D.F. Anderson e P.S. Livingston como a defini¸cão de grafo divisor de zero.

Nos três artigos acima citados, algumas rela¸cões entre um anel e seu grafo divisor de zero foram explicitadas e alguns resultados mostraram que propriedades acerca dos anéis poderiam ser deduzidas a partir do seu grafo divisor de zero. Desse modo, o grafo divisor de zero se apresentava como uma ferramenta auxiliar para o estudo das propriedades algébricas dos anéis.

(11)

isomorfis-Introdu¸c˜ao xi

mos de anéis. Tais rela¸cões também foram estudadas por S. Akbari e A. Mohammadian em [2]. Neste mesmo artigo, estes autores apresentaram um estudo sobre colora¸cões de arestas. Cintura, planaridade e grafos divisores de zeror-partidos completos são temas abordados por S. Akbari, H. R. Maiamani e S. Yassemi em [1]. Em [20], são explicitadas algumas rela¸cões entre o conjunto dos divisores de zero e o grafo divisor de zero de um anel. T. G. Lucas, em [19], estudou questões referentes ao diâmetro de um grafo divisor de zero. Raio, centro e número de domina¸cão são temas tratados por S. P. Redmond em [22]. Este último autor introduziu ainda, em [23], o conceito de grafos divisores de zero de anéis não comutativos, tema esse que não será explorado aqui.

Nesta disserta¸cão, apresentaremos um estudo sobre grafos divisores de zero de anéis co-mutativos. Veremos quais informa¸cões acerca de um anel podem ser obtidas a partir de seu grafo divisor de zero e destacaremos algumas propriedades desse grafo no que diz res-peito aos seguintes temas: conexidade, diâmetro, raio, centro, tamanho, cintura, número de domina¸cão, colora¸cões de vértices e forma (grafos completos e grafos r-partidos completos).

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns conceitos e resultados da Teoria de Anéis Comu-tativos e da Teoria de Grafos necessários ao estudo que faremos no próximo cap´ıtulo. Não demonstraremos aqui todos os resultados enunciados. No entanto, para cada resultado não demonstrado, indicaremos um texto no qual sua demonstra¸cão pode ser encontrada. Os pré-requisitos para leitura desta disserta¸cão são os tópicos básicos de Grupos, Anéis e Módulos.

1.1 An´

eis comutativos

Iniciamos este tópico com algumas nota¸cões e conven¸cões. Dados os conjuntos X e Y, escrevemos X ⊆ Y se X é um subconjunto de Y. Se X é um subconjunto próprio de Y, escrevemos X(Y. Se X é um conjunto finito, denotamos a cardinalidade deX por _|X_|.

Em todo o texto, os anéis serão anéis comutativos com identidade. A identidade do anel será denotada por 1 e o elemento neutro da adi¸cão por 0, com 1 ₆= 0. Quando X for um subconjunto de um anel, denotamos o conjuntoX\ {0}por X∗_.

Dado um anel R, indicamos o conjunto de todos os ideais desse anel por Id(R). Dados

I _∈ Id(R) e a _∈ R, escrevemos a para indicar o elemento a+I do anel quociente R/I. O conjunto dos elementos invert´ıveis de R´e representado por U(R).

A interse¸c˜ao de todos os ideais maximais de um anel R ´e um ideal chamado Radical de Jacobson, o qual denotamos por J(R). O Radical de Jacobson pode ser caracterizado pelo seguinte resultado:

(13)

1.1 An´eis comutativos 2

Um anel R é local quando possui um único ideal maximal M. Neste caso, R/M é um corpo, chamado de corpo residual de R. O seguinte resultado nos dá condi¸cões para que um anel seja local.

Proposi¸c˜ao 1.2. ([7], p´ag. 4) Sejam R um anel e M _∈Id(R)_{\ {}R_}.

(i) Se R\M =U(R), então R é um anel local e M é seu único ideal maximal;

(ii) Se R_\U(R) é um ideal, então R é um anel local com ideal maximalR_\U(R);

(iii) Se M é um ideal maximal e 1 +m_∈U(R) para todom _∈M, então R é local.

Denotamos o conjunto dos ideais primos de R por Spec(R). Usaremos neste texto o seguinte resultado envolvendo ideais primos.

Proposi¸c˜ao 1.3. ([7], p´ag.8) Sejam P, P1, . . . , Pn∈Spec(R) e I, I1, . . . , Ir ∈Id(R).

(i) Se I _⊆Sn_i=1Pi, ent˜ao I ⊆Pi para algum i∈ {1, . . . , n};

(ii) Se Tr_j=1Ij ⊆P, ent˜ao Ij ⊆P, para algum j ∈ {1, . . . , r}, .

Dado I _∈ Id(R)_{\ {}R_}, o conjunto V ar(I) = _{P _∈ Spec(R) : I _⊆ P_} ´e chamado de

variedade do ideal I. O seguinte teorema caracteriza esse subconjunto do Spec(R).

Teorema 1.4. ([24], pág. 53) Dado I _∈Id(R)_{\ {}R_}, V ar(I)é não vazio e admite elemento minimal em rela¸cão à inclusão de conjuntos.

Os elementos minimais de V ar(I) são chamados de primos minimais de I. Os primos minimais do ideal nulo {0} são chamados também de primos minimais de R. Desse modo, temos que P _∈ Spec(R) é um primo minimal de R se, e somente se, não existe outro ideal primo contido propriamente emP.

O conjunto dos primos minimais de R é representado por M in(R). Na hipótese da próxima proposi¸cão, temos um anel R com M in(R) finito.

Proposi¸c˜ao 1.5. Seja R um anel tal queM in(R)´e finito, digamos M in(R) = _{P1, . . . , Pk}.

Ent˜ao, para cada j _{∈ {}1, . . . , k_}, existe um elemento yj ∈( k \

i=1

i6=j

(14)

Demonstra¸c˜ao: Dado Pj ∈ M in(R), temos que Pi * Pj, para todo i ∈ {1, . . . , k} \ {j}. Desse modo, para cada i ₆= j, podemos escolher xi ∈ Pi \Pj. Assim, podemos considerar

yj =x1. . . xj−1xj+1. . . xk. Do fato de Pj ser um ideal primo segue que yj ∈( k \

i=1

i6=j

Pi)_\Pj. ⊓⊔

Dado I _∈ Id(R), o conjunto √I = _{r _∈ R : existen _∈ Z∗

+tal quern ∈ I} ´e um ideal, chamado de ideal radical de I. Claramente vemos que I ⊆√I.

O idealp{0}={r ∈R : existen∈Z∗

+tal quern = 0}é denotado porN il(R) e chamado denilradical de R. Um elemento r_∈ N il(R) recebe o nome de nilpotente e o menor inteiro positivontal que rn _{= 0 é chamado de}_{´ındice de nilpotência de} _r_{. Um anel}_R _{é dito}_reduzido seN il(R) =_{0_}. Caso contrário, R é não reduzido.

A próxima proposi¸cão nos dá uma rela¸cão entre o nilradical, os ideais primos e os primos minimais de um anelR:

Proposi¸cão 1.6. ([24], pág. 52 e pág. 54) Em um anel R, são verdadeiras as seguintes

igualdades: N il(R) = \ P∈Spec(R)

P = \

P∈M in(R)

P.

Um elemento a ∈ R ´e idempotente quando a2 ₌ _a_{. Encerramos esta se¸c˜ao com dois} resultados envolvendo elementos deste tipo.

Lema 1.7. Seja R um anel. Se a_∈R∗ _{´e idempotente, ent˜ao} _R₌_Ra_⊕_R₍₁₋_a₎_.

Demonstra¸c˜ao: Dado r ∈ R, podemos escrever r = r+ra−ra = ra+r(1−a). Assim,

R = Ra+R(1₋a). Agora, tomemos x _∈ Ra_∩R(1₋a). Ent˜ao existem r, s_∈ R tais que

x=ra=s(1−a) =s−sa. Multiplicando pora em ambos os lados dessa ´ultima igualdade e usando o fato quea´e idempotente, obtemos x=ra=ra2 _{= (}_ra₎_a_{= (}_s₋_sa₎_a₌_sa₋_sa2 ₌

sa−sa= 0, donde Ra∩R(1−a) = {0}. Portanto, R =Ra⊕R(1−a). ⊓⊔

Lema 1.8. Se R é um anel local, então seus únicos elementos idempotentes são 0 e 1.

Demonstra¸c˜ao: Seja R um anel local com ideal maximal M e seja a _∈ R tal que a2 ₌ _a_. Se a _∈ U(R), ent˜ao existe b _∈ R tal que ab = 1. Neste caso, temos que 1 = ab = a2_b ₌

(15)

um anel pertence a algum ideal maximal. Mas notemos que M = J(R). Segue da Pro-posi¸c˜ao 1.1 que 1₋a _∈ U(R). Logo, existe x _∈ R tal que x(1₋a) = 1. Assim, como 1 = 12 = x2(1−a)2 = x2(1−2a+a2) = x2(1−2a+a) = x2(1−a) = x[x(1−a)] = x,

obtemos que 1₋a= 1, donde vem que a= 0. _⊓_⊔

1.1.1 An´

eis Artinianos e an´

eis Noetherianos

Nesta se¸cão, apresentaremos as defini¸cões de anéis Artinianos e anéis Noetherianos e alguns resultados básicos envolvendo tais anéis. Come¸camos com a seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜ao 1.9. Seja C um conjunto parcialmente ordenado por uma rela¸c˜ao (respectiva-mente, ).

(a) Dizemos que _C satisfaz acondi¸c˜ao de cadeia descendente (c.c.d.) (respect.,condi¸c˜ao de cadeia ascendente (c.c.a.)) se, para cada fam´ılia (Si)i∈N de elementos deC que satisfaz

S0 S1 S2 . . .Si . . . (respect., S0 S1 S2 . . .Si . . .), existir k ∈N tal que Sk =Sk+i, para todo i∈N. Neste caso, dizemos que a cadeia estaciona.

(b) Dizemos que _C satisfaz à condi¸cão minimal (respect., condi¸cão maximal) se todo sub-conjunto não vazio de_C admite um elemento minimal (respect., maximal), com respeito à (respect., ).

O próximo resultado nos diz que as condi¸cões (a) e (b) dadas na defini¸cão anterior são equivalentes.

Proposi¸c˜ao 1.10. ([24], p´ag. 47) SejaC um conjunto parcialmente ordenado por(respect.,

por ). Ent˜ao C satisfaz a c.c.d (respect., c.c.a) se, e somente se, C satisfaz a condi¸c˜ao

minimal (respect., condi¸c˜ao maximal).

(16)

Defini¸cão 1.11. SejaM umR-módulo. Dizemos queM éArtiniano (respect.,Noetheriano) se o conjunto de seus submódulos, ordenado por _⊇ (respect., _⊆), satisfaz à condi¸cão de ca-deia descendente (respect., condi¸cão de caca-deia ascendente) ou, equivalentemente, à condi¸cão minimal (respect., condi¸cão maximal).

Um anelRé Artiniano (respect., Noetheriano) seR, visto como umR-módulo, é Artiniano (respect., Noetheriano), isto é, se o conjunto de seus ideaisId(R), ordenado por_⊇(respect.,

⊆), satisfaz à condi¸cão de cadeia descendente (resp., condi¸cão de cadeia ascendente) ou, equivalentemente, à condi¸cão minimal (respect., condi¸cão maximal).

O resultado a seguir destaca uma propriedade dos an´eis Noetherianos.

Proposi¸cão 1.12. ([24], pág. 146) Sejam R um anel Noetheriano e I ∈Id(R). Então, R/I é um anel Noetheriano.

A próxima proposi¸cão apresenta várias propriedades de um anel Artiniano. Antes de enunciá-la, precisamos saber que um ideal I é dito nilpotente quando existe um inteiro positivo n tal que In₌_{₀_}_.

Proposi¸cão 1.13. ([7], pág. 163 e 164) SejamR um anel Artiniano e I ∈Id(R). Então:

(i) Todo ideal primo de R ´e maximal;

(ii) N il(R) = J(R);

(iii) R tem somente um n´umero finito de ideais maximais;

(iv) N il(R) ´e nilpotente.

O teorema a seguir descreve a estrutura dos an´eis Artinianos.

Teorema 1.14. (Estrutura de An´eis Artinianos) ([7], p´ag. 90) Um anel Artiniano

R é de maneira única (a menos de isomorfismo) um produto direto finito de anéis locais

Artinianos.

(17)

Teorema 1.15. ([24], pág. 166) Um anelR é Artiniano se, e somente se, R é Noetheriano

e todo ideal primo de R ´e maximal.

1.1.2 Decomposi¸c˜

ao prim´

aria de um ideal

Nesta se¸cão, definiremos o que é uma decomposi¸cão primária minimal de um ideal e apresentaremos alguns conceitos e resultados relacionados ao assunto. Para isso, precisamos da seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.16. SejaQ∈Id(R)\ {R}. Dizemos queQé umideal primário se dadoab∈Q, tivermos a_∈Q oub _∈√Q.

Se Q é um ideal primário de R, então √Q = P é um ideal primo ([24], pág. 63). Mais ainda: qualquer outro ideal primo que contémQdeve conterP, ou seja,P é o único elemento minimal deV ar(Q). Neste caso, dizemos que Qé um ideal P-primário.

Estamos agora em condi¸cões de definir o que é um ideal decompon´ıvel e o que é uma decomposi¸cão primária minimal de um ideal.

Defini¸cão 1.17. Dizemos que I ∈ Id(R)\ {R} admite uma decomposi¸cão primária se I

pode ser escrito como uma interse¸cão finita de ideais primários. Neste caso, dizemos queI é um ideal decompon´ıvel .

Defini¸cão 1.18. Seja I um ideal decompon´ıvel e seja I = Tn_i=1Qi uma decomposi¸cão primária de I, com √Qi = Pi, para i ∈ {1, . . . , n}. Dizemos que tal decomposi¸cão é uma

decomposi¸cão primária minimal deI quando as condi¸cões (a) e (b) dadas a seguir são satis-feitas:

(a) Pi 6=Pj, se i6=j;

(b) Para todo j _{∈ {}1, . . . , n_}, n \

i=1

i6=j

Qi *Qj.

(18)

primárias minimais distintas. Ou seja, podemos ter Tn_i=1Qi = I = Tm_i=1Ti duas decom-posi¸cões primárias minimais de um ideal I, com Ti ∈ {/ Q1, . . . , Qn} ([24], pág. 74). No entanto, seI é um ideal decompon´ıvel, podemos garantir a seguinte unicidade:

Teorema 1.19. (Unicidade da Decomposi¸cão Primária) ([24], pág. 70)

Sejam Tn_i=1Qi = I = Tm_i=1Ti duas decomposi¸c˜oes prim´arias minimais de I tais que

√

Qi =Pi e

√

Ti =Ui. Ent˜ao, n=m e {P1, . . . , Pn}={U1, . . . , Um}.

SejamI um ideal decompon´ıvel eI =Tn_i=1Qi uma decomposi¸cão primária minimal de I, com √Qi =Pi, para i ∈ {1, . . . , n}. Pelo Teorema 1.19, os ideais P1, . . . , Pn não dependem da escolha da decomposi¸cão primária minimal deI. Estes ideais P1, . . . , Pn são chamados de

primos associados de I e o conjunto formado por eles ´e denotado porass(I).

A pr´oxima proposi¸c˜ao afirma que os primos minimais de um ideal decompon´ıvel I coin-cidem com os elementos minimais do conjuntoass(I).

Proposi¸cão 1.20. ([24], pág. 72) Seja I _∈ Id(R)_{\ {}R_} um ideal decompon´ıvel de R e seja P ∈ Spec(R). Então P é um primo minimal de I se, e somente se, P é um elemento minimal deass(I). Comoass(I)é finito, temos queV ar(I)admite apenas um número finito de elementos minimais.

Existem anéis que possuem ideais próprios não decompon´ıveis (temos um exemplo em ([24], pág. 76)). O próximo teorema destaca o fato de que em anéis Noetherianos, todos os ideais distintos do próprio anel são decompon´ıveis.

Teorema 1.21. ([24], pág. 78) SeRé um anel Noetheriano, então todo idealI _∈Id(R)_\{R_} é decompon´ıvel.

Por este último teorema, temos que seRé um anel Noetheriano, então o ideal nulo_{0_}de

R é decompon´ıvel. Logo, M in(R) é finito, pois pelo Teorema 1.20, V ar(_{0_}) possui apenas um número finito de elementos minimais. Provamos assim a seguinte proposi¸cão:

Proposi¸cão 1.22. Se R é um anel Noetheriano, então R possui apenas um número finito

(19)

1.1.3 Sobre os divisores de zero de um anel

Nesta se¸cão, destacaremos alguns resultados sobre o conjunto de divisores de zero de um anel. Em um primeiro momento, apresentaremos resultados válidos para anéis quaisquer. Ao final da se¸cão, restringiremos nosso estudo aos anéis Noetherianos e aos anéis finitos.

Defini¸c˜ao 1.23. Seja R um anel. Dado a _∈R, dizemos que a´e um divisor de zero quando existe b ∈ R∗ _{tal que} _ab _{= 0. Denotamos o conjunto dos divisores de zero do anel} _R _por

D(R).

Conv´em enfatizarmos aqui alguns fatos conhecidos acerca dos divisores de zero:

(1) Por defini¸c˜ao, 0_∈D(R);

(2) Sabemos que nem sempre D(R) ´e um ideal; por exemplo, D(Z6) = {0,2,3,4}, mas 2 + 3 = 5∈/ D(R);

(3) Dado a _∈ D(R), seja b _∈ R∗ _{tal que}_ab _{= 0; ent˜ao,} _ar _∈_D₍_R_{), para todo} _r _∈_R_{, pois}

(ra)b=r(ab) = 0;

(4) Pelos itens (2) e (3), temos que se D(R) não é ideal, então existem a, b _∈ D(R) tais que a+b /_∈D(R).

Veremos, ainda nesta se¸cão, casos em que D(R) é um ideal. A próxima proposi¸cão nos garante que, em tais casos, D(R) deve ser necessariamente um ideal primo.

Proposi¸cão 1.24. Em um anel R, se D(R) é um ideal, então D(R) é ideal primo.

Demonstra¸cão: Suponhamos que D(R)∈ Id(R). Como 1 ∈/ D(R), temos que D(R)6= R. Tomemosab_∈D(R). Então existe c_∈R∗ _{tal que (}_ab₎_c_{= 0. Se} _bc₆_{= 0, então} _a_∈_D₍_R_{). Se}

bc= 0, ent˜aob_∈D(R). Logo,D(R) ´e um ideal primo deR. _⊓_⊔

O próximo resultado nos dá uma caracteriza¸cão do conjunto dos divisores de zero e nos mostra uma importante rela¸cão entre este conjunto e o conjunto dos primos minimais.

(20)

(i) D(R) ´e uma uni˜ao de ideais primos de R;

(ii) S

P∈M in(R)P ⊆D(R).

Analisemos agora a rela¸cão entre D(R) e N il(R). Facilmente podemos mostrar que a inclusãoN il(R)_⊆ D(R) é verdadeira, qualquer que seja o anel R. Em alguns casos, ocorre a igualdade N il(R) = D(R) (por exemplo, se R = Z8). Porém, não podemos garantir que tal igualdade é verdadeira para qualquer anel R. Por exemplo, para R = Z2 ×Z2, temos

D(R) = {(0,0),(1,0),(0,1)} e N il(R) = {(0,0)}. Os dois pr´oximos resultados apresentam algumas condi¸c˜oes sob as quais a igualdadeD(R) = N il(R) ocorre.

Proposi¸cão 1.26. Em um anel R, se {0} é um ideal primário, então D(R) =N il(R).

Demonstra¸cão: Dadoa_∈D(R), existeb _∈R∗ _{tal que}_ab_{= 0} _{∈ {}₀_}_{. Como} _{₀_}_{é primário,}

devemos ter a _∈ N il(R) ou b _{∈ {}0_}. Como b ₆= 0, temos que a _∈ N il(R), donde segue a

igualdade D(R) =N il(R). _⊓_⊔

Proposi¸cão 1.27. Seja R um anel tal que todo ideal primo é maximal. Então, temos que

D(R) =N il(R) se, e somente se, D(R)´e um ideal (primo).

Demonstra¸cão: Se D(R) = N il(R), então D(R) ∈ Spec(R), pela Proposi¸cão 1.24. Reci-procamente, suponhamos que D(R) _∈ Spec(R). Dado Q _∈ M in(R), segue da Proposi¸cão 1.25 que Q⊆D(R). Como todo ideal primo de R é maximal, devemos ter D(R) =Q, para todoQ_∈M in(R). Da proposi¸cão 1.6 vem que N il(R) = T

Q∈M in(R)Q=D(R). ⊓⊔

A pr´oxima proposi¸c˜ao caracteriza o conjunto dos divisores de zero de um anel reduzido.

Proposi¸c˜ao 1.28. Seja R um anel reduzido.

(i) Ent˜ao, S

P∈M in(R)P =D(R);

(21)

Demonstra¸cão: (i) Pela Proposi¸cão 1.25, já temos que S

P∈M in(R)P ⊆ D(R). Da Pro-posi¸c˜ao 1.6 e do fato deR ser reduzido, obtemos as igualdades:

\

P∈M in(R)

P = \

P∈Spec(R)

P =N il(R) = {0}. (1.1)

Dado x _∈ D(R), existe y _∈ R∗ _{tal que} _xy _{= 0. Assim,} _xy _{= 0} _∈ _P_{, para todo primo}

minimal P. Ent˜ao, para cada P ∈ M in(R), x ∈ P ou y ∈ P. Se para todo primo minimal

P, tiv´essemos x /_∈ P, ter´ıamos y _∈ P, para todo P _∈ M in(R), donde ter´ıamos que y _∈

T

P∈M in(R)P, o que contradiz (1.1). Logo, existe pelo menos um primo minimal P tal que

x_∈P. Temos assim a inclus˜ao D(R)_⊆S

P∈M in(R)P e o resultado est´a provado. (ii) Sabemos por (i) que S

P∈M in(R)P = D(R). Assim, supondo que R possui um ´unico primo minimalP, de (1.1) obtemosD(R) =P =N il(R) =_{0_}, o que contradiz o fato deR

n˜ao ser um dom´ınio de integridade. ⊓⊔

Dados x _∈ R e I _∈ Id(R), o conjunto (I : x) = _{r _∈ R : rx _∈ I_} é um ideal de R, chamado de ideal quociente deI por x. O ideal {r ∈R : rI ={0}}é denotado por Ann(I) e chamado de anulador de I. Já o ideal _{r _∈ R : ra = 0_} é chamado de anulador de a e denotado porAnn(a).

Proposi¸c˜ao 1.29. ([18], p´ag. 4) Sejam R um anel e C =_{Ann(a) : a_∈R∗_}_{. Se} _C _admite

um elemento maximalI, ent˜ao I ´e um ideal primo de R.

Demonstra¸c˜ao: Seja I = Ann(a), a _∈ R∗_{. Dado} _bc _∈ _I_{, vamos supor que} _{b /}_∈ _I_{. Ent˜ao}

ab6= 0. Notemos que I =Ann(a) ⊆Ann(ab). Por hipótese, I é um elemento de C. Então

I = Ann(a) = Ann(ab). Como bc _∈ Ann(a), temos 0 =a(bc) = (ab)c, donde obtemos que

c∈Ann(ab). Assim,c∈Ann(a) = I e, portanto,I ´e um ideal primo. ⊓⊔

Vejamos agora duas proposi¸c˜oes acerca do conjunto dos divisores de zero de um anel Noetheriano. A primeira considera o caso em que tal conjunto ´e um ideal. A segunda relaciona os divisores de zero com os primos associados do ideal nulo.

(22)

Proposi¸cão 1.31. ([24], pág. 155 e pág. 156) Sejam R um anel Noetheriano. Então:

(i) D(R) =S

P∈ass({0})P;

(ii) Dado P _∈ Spec(R), temos que P _∈ ass(_{0_}) se, e somente se, existe a _∈ R tal que P =Ann(a).

Definiremos agora o que é um ideal primo associado de um anel qualquerR. Na sequência, mostraremos uma rela¸cão entre tais ideais e o conjunto dos divisores de zero em um anel Noetheriano.

Defini¸cão 1.32. SejaR um anel qualquer. Dizemos queP ∈Spec(R) é um primo associado de R quando existe a _∈ R tal que P = Ann(a). O conjunto dos primos associados de R é denotado porAss(R).

Observa¸cão 1.33. Se R é um anel Noetheriano, do item (ii) da Proposi¸cão 1.31 vem que

ass(_{0_}) =Ass(R). Pelo item (i) deste mesmo resultado, obtemos que D(R) = S

P∈Ass(R)P. A pr´oxima proposi¸c˜ao trata do conjunto dos divisores de zero em um anel Artiniano local.

Proposi¸cão 1.34. Seja R um anel local Artiniano que não é um dom´ınio. Então:

(i) todo elemento de R ´e invert´ıvel ou nilpotente;

(ii) D(R) ´e o ´unico ideal maximal de R.

Demonstra¸cão: (i) Seja M o único um único ideal maximal de R. Sendo R Artiniano, todo ideal primo de R é maximal. Assim, M é também o único ideal primo de R. Da Proposi¸cão 1.6 segue queN il(R) =T

P∈Spec(R)P =M. Sabemos que, em um anel qualquer, todo elemento n˜ao invert´ıvel pertence a algum ideal maximal. Desse modo, dador /∈U(R), devemos terr _∈M, donde obtemos que todo elemento de R ´e invert´ıvel ou nilpotente.

(ii) Pelo item (i), temos queN il(R) =M é o único ideal maximal deR. Dadox_∈D(R), comox /_∈U(R), segue quex_∈M =N il(R), donde vem queD(R)_⊆N il(R). Como sempre ocorre N il(R) _⊆ D(R), obtemos a igualdade D(R) = N il(R). Logo, D(R) é o único ideal

(23)

Vejamos agora alguns resultados acerca dos divisores de zero em an´eis finitos. A pro-posi¸c˜ao enunciada a seguir classifica os elementos de um anel finito.

Proposi¸cão 1.35. ([17], pág. 8) SeRé um anel finito, então cada elemento deRé invert´ıvel

ou divisor de zero.

A próxima proposi¸cão nos dá uma condi¸cão necessária e suficiente para que um anel finito seja local.

Proposi¸cão 1.36. Seja R um anel finito. Então R é local se, e somente se, todo elemento

deR não invert´ıvel é nilpotente. No caso em que Ré local, temos que D(R)é o (único) ideal maximal de R.

Demonstra¸cão: Suponhamos que todo elemento a _∈ R não invert´ıvel é nilpotente. Afir-mamos que R \ N il(R) = U(R). De fato, se x /∈ U(R), então x ∈ N il(R), ou seja,

x /_∈ R_\N il(R). Disso resulta a inclusão R_\N il(R) _⊆U(R). É fácil ver que se x _∈U(R), então x /∈ D(R). Como N il(R) ⊆ D(R), temos que x /∈ N il(R) e disso resulta a outra inclusãoR_\N il(R)_⊇U(R) e a igualdade desejada. Pelo item (i) da Proposi¸cão 1.2, temos queR é anel local cujo ideal maximal é N il(R).

A rec´ıproca e a segunda afirma¸c˜ao do enunciado seguem da Proposi¸c˜ao 1.34, utilizando

o fato de que todo anel finito ´e Artiniano. _⊓_⊔

O pr´oximo resultado trata da caracter´ıstica de um anel local finito.

Proposi¸cão 1.37. Seja R é um anel local finito. Então existem um número primo p e

inteiros n˜ao negativos n, t, k tais que:

(i) A caracter´ıstica de R ´epn _(char₍_R_{) =}_pn_);

(ii) D(R) com a opera¸cão de adi¸cão do anel é um p-grupo, de modo que _|D(R)_|=pt_;

(iii) |R|=pk_.

(24)

1.2 Grafos 13

isto é, p1∈ D(R). Agora, pela demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.36, D(R) = N il(R) e, então, existe n _∈ N tal que (p1)n _{= 0 e (}_p₁₎n−1 ₆_{= 0, ou seja,} _pn_{1 = 0 e} _pn−1₁ ₆_{= 0. Portanto,}

char(R) = pn_.

(ii) SendoD(R) um ideal, temos queD(R) é um subgrupo deR (Rvisto como um grupo com a opera¸cão de adi¸cão). Como char(R) =pn_{, temos que} _pn_a _{= 0, para todo} _a_∈ _R_{. Em} particular, sez _∈D(R), então pn_z _{= 0. Assim, a ordem de z, denotada por} _o₍_z_{), divide} _pn_, ou seja, o(z) = pm_{, para algum inteiro não negativo} _m_{. Logo,} _D₍_R_{) é um} _p_{-grupo. Disso} segue que_|D(R)_|=pt_{, para algum inteiro não negativo} _t_.

(iii) ComoR/D(R) é um corpo finito, sua cardinalidade é uma potência de algum primo. Pelo item (ii), |D(R)| = pt_{. Como} _|_R/D₍_R₎_| ₌ _|_R_|_/_|_D₍_R₎_|_{, devemos ter} _|_R_| ₌ _pk_{, para}

algum inteiro positivok. _⊓_⊔

Encerramos este cap´ıtulo com um teorema que nos dá uma rela¸cão entre as cardinalidade deR e de D(R) no caso em que R é finito.

Proposi¸c˜ao 1.38. Seja R um anel finito. Ent˜ao _|R_{| ≤ |}D(R)_|2_.

Demonstra¸c˜ao: Seja a∈D(R)∗_{. Ent˜ao} _Ann₍_a₎_⊆_D₍_R_{) e, da´ı,}_|_Ann₍_a₎_{| ≤ |}_D₍_R₎_|_.

Consi-deremos agora o homomorfismo sobrejetorf :R _→(a) deR-m´odulos dado por f(x) =ax. ´E claro queker(f) =Ann(a) e, assim, R

Ann(a) ∼= (a), donde

|R|

|Ann(a)| =|(a)| ≤ |D(R)|. Portanto,

|R_{| ≤ |}Ann(a)_||D(R)_{| ≤ |}D(R)_|2_. _⊓_⊔

1.2 Grafos

Nesta se¸cão, introduziremos tópicos básicos da Teoria de Grafos necessários ao estudo dos grafos divisores de zero, tais como conexidade, diâmetro, colora¸cões, ciclos, cintura, grafos

r-partidos completos, raio, centro, conjuntos dominantes e planaridade. Iniciamos com a defini¸c˜ao de grafo.

Defini¸c˜ao 1.39. Sejam V um conjunto e E um subconjunto de _{{u, v_} : u, v _∈ V_}. Um

(25)

1.2 Grafos 14

elemento de E é chamado de aresta. Se V é um conjunto finito, dizemos que n = |V| é a

ordem do grafoG= (V, E) e a denotamos por_|G_|.

Quando não houver dúvidas, vamos nos referir ao grafo G = (V, E) apenas por G. Po-demos, em alguns casos, escrever V(G) e E(G) para indicar, respectivamente, o conjunto de vértices e o conjunto de arestas de um grafoG.

Um vértice v ∈V é adjacente a um vértice u∈ V se {u, v} ∈E. O grau do vértice v é definido por deg(v) = _|{u : _{u, v_{} ∈} E_}|. Uma aresta _{u, v_{} ∈} E éincidente aos vértices u

ev.

Se V′ _⊆ _V _e _E′ _{⊆ {{}_{u, v}_} _: _{u, v} _∈ _V′_,_{_{u, v}_{} ∈} _E_}_{, dizemos que} _G′ _{= (}_V′_{, E}′_{) ´e um}

subgrafo de G e escrevemos G′ _⊆ _G_{. E se, para todos} _{u, v} _∈ _V′_, _{_{u, v}_{} ∈} _E _{implicar que}

{u, v_{} ∈}E′_{, ent˜ao dizemos que}_G′_{´e um}_{subgrafo induzido}_{. Neste caso, escrevemos}_G′ ₌_G_[_V′_].

Sejam G1 = (V1, E1) e G2 = (V2, E2) grafos. Dizemos que G1 e G2 são isomorfos, e escrevemos G1 ≃ G2, quando existe uma bije¸cão ϕ : V1 −→ V2 tal que {u, v} ∈ E1 se, e somente se, _{ϕ(u), ϕ(v)_{} ∈} E2, para todos u, v ∈ V1. Segue diretamente da defini¸cão de isomorfismo quedeg(v) = deg(ϕ(v)), para todo v ∈V1.

Umcaminho em um grafoG= (V, E) é uma sequência de vértices v0, v1, . . . , vk, distintos dois a dois, tal que _{vi, vi+1} ∈ E, para todo i = 0, . . . , k−1. Neste caso, denotamos tal caminho porv0v1· · ·vk e dizemos que o númerok é o comprimento do caminho.

Um subgrafo de ordem k ≥ 3 de G da forma G′ = (V′, E′), com V′ = {v1, v2, . . . , vk} e

E′ ₌ _{{_v

1, v2},{v2, v3}, . . . ,{vk−1, vk}, {vk, v1}} é um ciclo de comprimento k. Denotamos tal ciclo por v1v2· · ·vkv1. Um k-ciclo, denotado por Ck, é um grafo que é um ciclo de comprimentok quando visto como subgrafo de G.

Dizemos que um grafo G = (V, E) é conexo se existe um caminho ligando quaisquer dois vértices distintos. Dados u, v _∈ V, com u ₆= v, a distância de u a v é definida por

d(u, v) = min{k : existe um caminho de u av de comprimentok} e convencionamos que

d(v, v) = 0, para todo v _∈ V. O diˆametro de um grafo conexo G ´e denotado por diam(G) e definido por diam(G) = sup{d(u, v) : u, v ∈ V, u 6= v}. A cintura de G, denotada por

gr(G), é definida como o comprimento do menor ciclo em G; se G não contém ciclos, então

(26)

1.2 Grafos 15

Proposi¸c˜ao 1.40. ([16], p´ag. 8) Todo grafo G contendo um ciclo satisfaz

gr(G)_≤2_·diam(G) + 1.

Dado um grafo G= (V, E), dizemos que um subconjuntoS de V domina o grafo G (ou queS é um conjunto dominante de G) quando todo vértice de V pertence ao conjunto S ou é adjacente a algum vértice desse conjunto. Podemos ver que o próprio conjunto V sempre dominaG.

Dizemos que S ⊆ V ´e um conjunto dominante minimal de G quando S domina G e os demais conjuntos dominantes deGpossuem cardinalidade maior ou igual a cardinalidade de

S. Quando a cardinalidade de um conjunto dominante minimal de um grafoGé um número inteiro não negativon, dizemos que n é o número de domina¸cão (ou número dominante) de

Ge escrevemos γ(G) =n.

A seguir, damos um exemplo que ilustra alguns dos conceitos dados neste cap´ıtulo.

Exemplo 1.41. Consideremos o grafo conexoG= (V, E), com V =_{a, b, c, d, e_} e

E ={{a, b},{b, c},{b, e},{c, d},{d, e}},

dado na Figura 1.1. O grafoH = (V′_{, E}′_{) tal que}_V′ ₌_{_{b, c, d, e}_}_e_E′ ₌_{{_{b, c}_}_,_{_{c, d}_}_,_{_{d, e}_}}

é um subgrafo de G, mas não é um subgrafo induzido por V′_{, uma vez que} _{_{b, e}_{} ∈} _E_\_E′

(Figura 1.2).

Figura 1.1: Grafo G do Exemplo 1.41 Figura 1.2: Grafo H do Exemplo 1.41

Podemos ver que há dois caminhos distintos entre os vértices b e e, a saber, be e bcde. Por defini¸cão, temos que d(b, e) = 2. A maior distância entre dois vértices de G é 3, que é a distância entre a e d. Da´ı, diam(G) = 3. O grafo G contém o 4-ciclo bcdeb e não possui outros ciclos. Logo,gr(G) = 4.

O subconjunto A =_{a, c, e_} deV ´e um conjunto dominante de G. Tamb´em, B = _{b, d_}

(27)

1.2 Grafos 16

Antes de apresentarmos mais algumas defini¸cões, devemos nos lembrar que uma parti¸cão de um conjunto não vazio qualquer X é uma cole¸cão _{Xλ}λ∈Λ de subconjuntos não vazios de X, dois a dois disjuntos, tal que S

λ∈ΛXλ = X. Neste caso, cada elemento da cole¸c˜ao

{Xλ}λ∈Λ ´e uma parte da parti¸c˜ao de X.

Dado um inteiro positivo r, dizemos que um grafo Gé r-partido se existe uma parti¸cão deV emr subconjuntos tal que vértices pertencentes a uma mesma parte dessa parti¸cão não são adjacentes. Dizemos que G = (V, E) é um grafo r-partido completo se G é r-partido e se para quaisquer dois vérticesu ev que estão em partes distintas da parti¸cão, tivermos que

{u, v} ∈E.

Para o casor= 2, um grafor-partido é chamado de grafobipartido. Já um grafor-partido completo recebe o nome de bipartido completo e é denotado por Km,n, onde m =_|V1| ≥ 1 e

n=|V2| ≥1. Os grafos da forma K1,n s˜ao chamados de grafos estrela.

Na Figura 1.3, vemos representado o grafo bipartido completo K3,3.

Figura 1.3: Grafo bipartido completo K3,3

Um grafoGé um grafo nulo seV =∅. Dizemos que o grafoGécompleto com n vértices se_|V_|=n e _{u, v_{} ∈}E, para todos u, v _∈V, com u₆=v. Denotamos tal grafo por Kn_{. Na} Figura 1.4, temos o grafo completoK5 _{representado de dois modos distintos.}

Figura 1.4: Duas representa¸c˜oes distintas de K5

(28)

1.2 Grafos 17

A cardinalidade do maior clique de G´e denotada por ω(G). Se Gpossui um clique infinito, escrevemos ω(G) =_∞.

Uma k-colora¸cão dos vértices de um grafo G é uma fun¸cão f : V → {1,2, . . . , k}. Colo-candoVi =f−1(i), parai∈ {1, . . . , k}, temos queV1, V2, . . . , Vké umak-parti¸cão deV. Uma

k-colora¸cão f é própria se vértices adjacentes possuem imagens distintas pela f. O número cromáticoχ(G) é o menor inteiro positivoktal que existe umak-colora¸cão de vértices própria deG. Dado um grafo G, sempre temos queχ(G)≥ω(G).

Proposi¸cão 1.42. Se G = (V, E) é um grafo r-partido, então G possui uma r-colora¸cão própria de seus vértices.

Demonstra¸c˜ao: Sejam V1, . . . , Vr as r partes deV que tornamG um grafo r-partido. De-finamos f : V _{→ {}1, . . . , r_} por f(x) = k, se x _∈ Vk. Ent˜ao, se _{x, y_{} ∈} E, devemos ter

f(x)6=f(y), pois se f(x) = f(y) = k, ter´ıamosx, y ∈Vk e n˜ao poder´ıamos ter xadjacente a

y. Logo,f é uma colora¸cão própria dos vértices G, donde χ(G) é finito. _⊓_⊔

Seja G = (V, E) um grafo conexo com diˆametro finito. A excentricidade de um v´ertice

v _∈ V é o número e(v) = sup_{d(v, x) : x _∈ V_}. O raio de G é o número rad(G) =

min_{e(v) : v _∈V,_}. Um vérticev _∈V é ditocentral see(v) =rad(G). O subgrafo induzido pelo conjunto dos vértices centrais deGé ocentro do grafoG, o qual denotamos porCen(G).

Exemplo 1.43. Nas Figuras 1.5 e 1.6, representamos os grafos G1 e G2, destacando os vértices do centro com uma cor mais clara e os vértices que não estão no centro com uma cor mais escura. Notemos querad(G1) = rad(G2) = 2.

Figura 1.5: Grafo G1 do Exemplo 1.43 Figura 1.6: GrafoG2 do Exemplo 1.43

(29)

1.2 Grafos 18

Proposi¸c˜ao 1.44. Seja G= (V, E) um grafo conexo e finito. Temos querad(G) = diam(G)

se, e somente se, G=Cen(G).

Demonstra¸c˜ao: Se |G| = 1, o resultado ´e imediato. Analisemos o caso em que |G| ≥ 2. Inicialmente, vamos supor que rad(G) = diam(G). Dado x _∈ V, tomemos y _∈ V _{\ {}x_} tal que e(x) = d(x, y). Como rad(G)≤e(x) = d(x, y)≤sup{d(u, v) : u, v ∈V} =diam(G) =

rad(G), temos que e(x) =rad(G) e, assim, x_∈V(Cen(G)). Logo,G=Cen(G).

Supomos agora que G =Cen(G). Sabemos que rad(G) _≤ diam(G). Tomemos x, y _∈ V

tais que d(x, y) =diam(G). Como x∈V(Cen(G)), temos que e(x) =rad(G). Desse modo,

diam(G) =d(x, y)_≤sup_{d(x, u) : u_∈V_}=e(x) = rad(G). Logo, rad(G) =diam(G). _⊓_⊔

1.2.1 Grafos planares

Introduziremos aqui o conceito de grafo planar e apresentaremos alguns resultados en-volvendo esse tipo de grafo. Dentre tais resultados, destacamos o Teorema de Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner, o qual fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um grafo seja planar.

Embora o estudo de grafos planares não se restrinja apenas aos grafos finitos, vamos assumir nesta se¸cão que todos os grafos são finitos.

Defini¸cão 1.45. Dizemos que um grafo G é um grafo planar se for poss´ıvel desenhá-lo em um plano de modo que suas arestas não se interceptem, exceto possivelmente nos vértices aos quais são ambas incidentes. Caso contrário, Gé dito não planar.

Notemos que tal defini¸cão é intuitiva, pois não explicitamos aqui o que significa, em termos matemáticos, desenhar no plano. O leitor interessado em uma defini¸cão mais rigorosa de grafo planar pode consultar ([16], cap´ıtulo 4). Vejamos agora um exemplo.

(30)

1.2 Grafos 19

Figura 1.7: K4 _{com interse¸c˜ao de arestas} _{Figura 1.8:} _K4 _{sem interse¸c˜ao de arestas}

Dois exemplos importantes de grafos n˜ao planares s˜ao apresentados a seguir.

Teorema 1.47. ([10], p´ag. 200) Os grafos K5 _{(Figura 1.4) e} _K

3,3 (Figura 1.3) n˜ao s˜ao

planares.

Nosso intuito agora é enunciar o Teorema de Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner. Um dos conceitos que aparecem no enunciado deste teorema é o conceito de subcontra¸cão. Numa tentativa de compreendermos melhor tal conceito, apresentamos as seguintes defini¸cões.

Defini¸c˜ao 1.48. SejaG= (V, E) um grafo e sejae={a, b} ∈E. Dado q /∈V, consideremos o conjuntoF1 ={{q, x} : {a, x} ∈E ou {b, x} ∈E}. Denotemos porF2o conjunto formado pelas arestas do grafo G[V \ {a, b}].

(a) O grafo G′ _{= (}_V′_{, E}′_{) que tem} _V′ _{= (}_V _{\ {}_{a, b}_}₎_{∪ {}_q_} _e _E′ ₌ _F

1 ∪F2 ´e chamado de uma contra¸c˜ao elementar de G pela aresta e. Denotamos tal grafo G′ por G·e.

(b) Dizemos que um grafo G′ _{´e uma} _{contra¸c˜ao elementar de} _G _quando _G′ ₌ _G_·_e_{, para}

alguma aresta e deG.

Defini¸c˜ao 1.49. Dado um inteiro n ≥ 1, dizemos que uma sequˆencia finita de grafos

G0, G1, . . . , Gn é uma sequência de contra¸cões elementares quando Gi+1 for uma contra¸cão elementar deGi, para cada i∈ {0, . . . , n−1}.

A partir de tais defini¸cões, podemos definir o que é uma contra¸cão e uma subcontra¸cão de um grafo.

(31)

1.2 Grafos 20

Exemplo 1.51. ConsideremosG0,G1,G2eG3os grafos dados, respectivamente, nas Figuras 1.9, 1.10, 1.11 e 1.12. Podemos ver que G1 =G0·g,G2 =G1·h e G3 =G2·j. Temos então queG0, G1, G2, G3 é uma sequência de contra¸cões elementares e G3 é uma contra¸cão de G0. Em tais figuras, destacamos com uma cor mais clara o vértice de Gi+1 que não é vértice de

Gi, para cada i∈ {0,1,2}.

Figura 1.9: Grafo G0 do Exemplo 1.51 Figura 1.10: Grafo G1 do Exemplo 1.51

Figura 1.11: Grafo G2 do Exemplo 1.51 Figura 1.12: Grafo G3 do Exemplo 1.51

Estamos em condi¸cões de enunciar o Teorema de Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner, que nos dá uma condi¸cão necessária e suficiente para que um grafo seja planar.

Teorema 1.52. (Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner)([10] p´ag. 200 e p´ag. 201) Um

grafo Gé planar se, e somente se, não contém uma subcontra¸cão isomorfa a K3,3 ou a K5.

Destacamos que se G cont´em K5 _ou _K

3,3 como subgrafo, então G não é planar, pelo teorema anterior e pela defini¸cão de subcontra¸cão (Defini¸cão 1.50).

(32)

1.2 Grafos 21

Logo H, J, K5 é uma sequência de contra¸cões elementares, donde obtemos que K5 é uma contra¸cão deH. Pelo Teorema 1.52, H não é planar.

Figura 1.13: Grafo H do Exemplo 1.53 Figura 1.14: Grafo J do Exemplo 1.53

Figura 1.15: K5 _≃_J_·_j _{(Exemplo 1.53)}

Encerramos este cap´ıtulo com um resultado que nos apresenta mais uma caracter´ıstica de um grafo planar.

Proposi¸cão 1.54. ([13] pág. 232) Todo grafo planar contém um vértice de grau menor ou

(33)

Cap´ıtulo 2

Grafos divisores de zero

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados sobre grafos divisores de zero de anéis comutativos. Nosso objetivo é descrever algumas propriedades desses grafos e destacar algu-mas rela¸cões entre o anel e o seu grafo divisor de zero.

Dividimos o cap´ıtulo em oito se¸cões. Na primeira, daremos a defini¸cão de grafo divisor de zero e apresentaremos alguns exemplos e alguns resultados básicos que tratam da conexidade, do diâmetro e do tamanho desse grafo. Na se¸cão seguinte, exibiremos alguns resultados obtidos por Istvan Beck sobre colora¸cão de vértices de um grafo divisor de zero. Na terceira se¸cão, veremos uma condi¸cão necessária e suficiente para que um grafo divisor de zero possua um vértice adjacente aos demais vértices. Os grafos divisores de zero que são grafos completos e os que são grafos estrela serão estudados na se¸cão 4. Na quinta se¸cão, apresentaremos resultados sobre grafos divisores de zero r-partidos completos, r _≥ 2. Na se¸cão seguinte, faremos um breve estudo acerca dos ciclos e da cintura de um grafo divisor de zero. Na se¸cão 7, estudaremos algumas questões referentes ao raio, ao centro e ao número de domina¸cão de um grafo divisor de zero. Encerraremos o cap´ıtulo com uma se¸cão cujos resultados visam determinar quando que um grafo divisor de zero é planar.

2.1 O grafo divisor de zero

(34)

2.1 O grafo divisor de zero 23

vértices, mas os elementos de R que não são divisores de zero são adjacentes apenas ao elemento 0.

Nesta disserta¸cão, não usaremos a defini¸cão dada por Beck, mas a defini¸cão de grafo divisor de zero apresentada por D. F. Anderson e P. S. Livingston em [6]. Veremos que o grafo definido por tais autores pode ser visto como um subgrafo do grafo de Beck: o subgrafo induzido pelo conjunto dos divisores de zero não nulos do anel. Vejamos então a defini¸cão de grafo divisor de zero.

Defini¸c˜ao 2.1. O grafo divisor de zero de um anel R, denotado por Γ(R), ´e o grafo dado pelo par

Γ(R) = (V(Γ(R)), E(Γ(R)))

em que V(Γ(R)) =D(R)∗ _e_E_(Γ(_R_{)) =} _{{_{x, y}_} _: _{x, y} _∈_V_(Γ(_R₎₎_{, x}₆₌_y _e _x.y _{= 0}_}_.

De tal defini¸cão temos que Γ(R) é um grafo nulo se, e somente se, R é um dom´ınio de integridade. Para evitar que Γ(R) seja um grafo nulo, vamos supor implicitamente que R

n˜ao ´e um dom´ınio de integridade.

Dado um grafoG, se existir um anelRtal que Γ(R) = G, diremos queGpode ser realizado como Γ(R).

Na sequência desta se¸cão, daremos alguns exemplos e alguns resultados básicos acerca da conexidade, do diâmetro e do tamanho do grafo divisor de zero. Destacaremos ainda algumas rela¸cões entre isomorfismos de grafos e isomorfismos de anéis.

Comecemos então apresentando alguns exemplos de grafos divisores de zero. Para não sobrecarregarmos a nota¸cão, em algumas situa¸cões, omitimos as barras dos elementos de um anel quociente.

Exemplo 2.2.Consideremos os an´eisR=Z4eS = Z

2[x]

(x2₎. Ent˜aoD(R)

∗ ₌_{₂_}_e_D₍_S₎∗ ₌_{_x_}

e seus respectivos grafos divisores de zero s˜ao dados por:

Figura 2.1: Γ(Z4) Figura 2.2: Γ _Z

2[x]

(x2

(35)

Exemplo 2.3. Dados R = Z9, S = Z3[x]

(x2₎ = {0,1,2, x, x+ 1, x+ 2,2x,2x + 1,2x+ 2} e

T = Z2 ×Z2 temos que D(R)∗ = {3,6}, D(S)∗ = {x,2x} e D(T)∗ = {(0,1),(1,0)}. Os grafos divisores de zero de tais an´eis s˜ao:

Figura 2.3: Γ(Z9) Figura 2.4: Γ _Z

3[x]

(x2₎

Figura 2.5: Γ(Z2×Z2)

Exemplo 2.4. Sejam R = Z6, S = Z8, T = Z

2[x]

(x3₎ e V =

Z4[x]

(2x,x2

−2). Ent˜ao D(R)

∗ ₌_{₂_,₃_,₄_}_,

D(S)∗ ₌_{₂_,₄_,₆_}_, _D₍_T₎∗ ₌_{_{x, x}2_{, x}2₊_x_} _e _D₍_V₎∗ ₌_{₂_{, x, x}_{+ 2}_} _{e seus respectivos grafos}

divisores de zero s˜ao:

Figura 2.6: Γ(Z6) Figura 2.7: Γ(Z8)

Figura 2.8: ΓZ2[x]

(x3

)

Figura 2.9: Γ Z4[x]

(2x,x2₋₂₎

Observa¸cão 2.5. Os Exemplos 2.2, 2.3 e 2.4 nos mostram que anéis não isomorfos podem ter grafos divisores de zero isomorfos (por exemplo, Z6 e Z8 são anéis não isomorfos, mas ambos possuem K1,2 como grafo divisor zero). Logo, não podemos garantir que anéis que possuem grafos divisores de zero isomorfos são isomorfos. No entanto, podemos mostrar que anéis isomorfos sempre terão seus respectivos grafos divisores de zero isomorfos. É o que nos diz nosso primeiro resultado acerca dos grafos divisores de zero.

Teorema 2.6. Se dois anéis são isomorfos, então seus respectivos grafos divisores de zero

(36)

Demonstra¸cão: Sejam R eS anéis isomorfos e seja f :R −→S um isomorfismo entre tais anéis. Afirmamos que f(D(R)∗₎ _⊆ _D₍_S₎∗_{. De fato, dado} _x _∈ _D₍_R₎∗_{, existe} _y _∈ _D₍_R₎∗ _tal

quexy = 0. Assim, 0 =f(0) =f(xy) =f(x)f(y). Como ker(f) ={0}, temos quef(x)6= 0 e f(y) ₆= 0, donde obtemos que f(x) _∈ D(S)∗_{. Portanto,} _f₍_D₍_R₎∗₎ _⊆ _D₍_S₎∗_{. Logo, faz}

sentido considerarmos a aplica¸c˜ao

α=f_|D(R)∗ : D(R)∗ −→ D(S)∗

x 7−→ f(x).

Vamos mostrar que α induz um isomorfismo de grafos. Claramente, α ´e injetora. Agora, dado z ∈ D(S)∗_{, temos que existe} _w _∈ _D₍_S₎∗ _{tal que} _zw _{= 0, ou seja,} _{_{z, w}_{} ∈} _E_(Γ(_S_)).

Sendo f bijetor e f(0) = 0, existem x, y _∈ R∗ _{tais que} _f₍_x_{) =} _z _e _f₍_y_{) =} _w_{. Assim,}

f(xy) = f(x)f(y) = zw = 0. Como f ´e injetor, segue que xy = 0, donde, x ∈ D(R)∗ _e _α

´e sobrejetora. Logo, α ´e bijetora. Facilmente podemos verificar que _{x, y_{} ∈} E(Γ(R)) se, e somente se, {α(x), α(y)} ∈E(Γ(S)). Portanto, Γ(R)≃Γ(S). ⊓⊔

Convém mencionarmos aqui que, sob algumas condi¸cões, a rec´ıproca do teorema anterior é verdadeira. No entanto, não explicitaremos nem faremos aqui um estudo sobre tais condi¸cões. O leitor interessado neste assunto pode consultar [6] e [17].

No pr´oximo exemplo, mostramos que K3 _{pode ser realizado como Γ(}_R_).

Exemplo 2.7. Consideremos os an´eisR= Z2[x,y]

(x2_,xy,y2₎ ={0,1, x, y, x+ 1, y+ 1, x+y, x+y+ 1}

eS= F4[x]

(x2

) ={0,1, α, α

2_{, x, αx, α}2_x,_{1 +}_x,_{1 +}_αx,_{1 +}_α2_{x, α}₊_{x, α}₊_{αx, α}₊_α2_{x, α}2₊_{x, α}2₊

αx, α2₊_α2_x_}_{, onde} _F

4 ={0,1, α, α2}é um corpo com 4 elementos, com α2 =α+ 1. Não é dif´ıcil ver queD(R)∗ ₌_{_{x, y, x}₊_y_} _e _D₍_S₎∗ ₌_{_{x, αx, α}2_x_}_{. Os grafos divisores de zero de}

R e S podem ser vistos nas Figuras 2.10 e 2.11.

Figura 2.10: ΓZ2[x,y]

(x,y)2

Figura 2.11: ΓF4[x]

(x2₎

(37)

Considerando os an´eis T = Z4[x]

(2,x)2 = {0,1,2,3, x, x+ 1, x+ 2, x+ 3} e W =

Z4[x]

(x2_+x+1) =

{0,1,2,3, x, x+ 1, x+ 2, x+ 3,2x,2x+ 1,2x+ 2,2x+ 3,3x,3x+ 1,3x+ 2,3x+ 3_}, temos queD(T)∗ ={2, x, x+ 2} e D(W)∗ ={2,2x,2x+ 2}. Ambos os an´eis possuem tamb´em K3

como grafo divisor de zero.

Observa¸cão 2.8. Em [11] e em [5], os autores mostraram que, a menos de isomorfismos, os anéis dos Exemplos 2.2, 2.3, 2.4 e 2.7 são os únicos que possuem como grafo divisor de zero, respectivamente, K1_, _K2_, _K

1,2 e K3. Não apresentaremos neste texto como que tais autores chegaram a tais conclusões, mas usaremos mais adiante essa classifica¸cão.

Destacamos agora que os grafos divisores de zero dados nos exemplos anteriores são todos conexos. O próximo teorema nos garante que a conexidade é, na verdade, uma caracter´ıstica de todos os grafos divisores de zero. Este mesmo teorema afirma ainda que o diamêtro de um grafo divisor de zero não pode ser maior do que 3.

Teorema 2.9. ([6]) Para todo anel R, Γ(R) ´e conexo e diam(Γ(R))_≤3.

Demonstra¸cão: Sejam x, y ∈D(R)∗ _{distintos. Se} _xy _{= 0, então}_d₍_{x, y}_{) = 1. Então, vamos}

supor que xy ₆= 0 e analisar os poss´ıveis casos. Se x2 _{= 0 e} _y2 _{= 0, então} _x₍_xy_{) = 0 e} (xy)y = 0 e temos x(xy)y um caminho de comprimento dois, donde d(x, y) = 2. Se x2 _{= 0} e y2 ₆_{= 0 então existe} _b _∈ _D₍_R₎∗ _{\ {}_{x, y}_} _{tal que} _by _{= 0. Se} _bx _{= 0, temos que} _xby _{é um}

caminho de comprimento dois. Sebx 6= 0, ent˜ao x(xb)y´e um caminho de comprimento dois. Analogamente, podemos mostrard(x, y) = 2 no caso em que x2 ₆_{= 0 e} _y2 _{= 0.}

Suponhamos agora quexy₆= 0, x2 ₆_{= 0 e}_y2 _{= 0. Temos que existem}₆ _{a, b}_∈_D₍_R₎∗_{\ {}_{x, y}_}

tais que ax =by = 0. Se a =b, o caminho xay tem comprimento dois. Suponhamos a6= b. Se ab = 0, temos xaby um caminho de comprimento trˆes e, assim, d(x, y) = 3. Se ab ₆= 0, temosx(ab)yum caminho de comprimento dois, donded(x, y) = 2. Logo,diam(Γ(R))≤3. ⊓⊔

Já vimos, nos Exemplos 2.2, 2.3 e 2.4, grafos divisores de zero com diâmetros 0, 1 e 2, respectivamente. No próximo exemplo, exibimos um anelR tal que diam(Γ(R)) = 3.

(38)

que Ann(2)∩Ann(3) = {0}. Logo, n˜ao podemos ter d(2,3) = 2. Pelo teorema anterior,

d(2,3) = 3 e, assim, diam(Γ(Z12)) = 3. Na Figura 2.12, temos Γ(Z12).

Figura 2.12: Γ(Z12)

Com este ´ultimo exemplo, temos que, para cada d_{∈ {}0,1,2,3_}, existe um anelR tal que

diam(Γ(R)) = d. Em [2] e em ([17], pág. 49), o leitor pode encontrar condi¸cões necessárias e suficientes para que tenhamosdiam(Γ(R)) =d, para cada d_{∈ {}0,1,2,3_}. Não exploraremos tal assunto aqui.

Vamos determinar agora quais são os grafos com 4 vértices que podem ser realizados como Γ(R). Pelo Teorema 2.9, temos que a conexidade é uma condi¸cão necessária para que um grafo seja um grafo divisor de zero. A menos de isomorfismos, os únicos grafos conexos com 4 vértices são os dados na Figura 2.13:

Figura 2.13: Grafos conexos com 4 v´ertices (a menos de isomorfismo)

Dentre estes 6 grafos, apenas os 3 primeiros podem ser realizados como Γ(R). De fato, consideremos os an´eis R = Z25 e S = Z3 × Z3. Temos que D(R)∗ = {5,10,15,20} e

D(S)∗ ₌ _{₍₀_,₁₎_,₍₁_,₀₎_,₍₀_,₂₎_,₍₂_,₀₎_}_{. Seja} _F

4 = {0,1, α, α2} um corpo com 4 elementos. Consideremos o anel

T =Z2×F4 ={(0,0),(0,1),(0, α),(0, α2),(1,0),(1,1),(1, α),(1, α2)}.

(39)

Figura 2.14: Γ(Z25) Figura 2.15: Γ(Z3×Z3) Figura 2.16: Γ(Z2×F4)

Vamos mostrar agora que o grafo Gcom v´ertices {a, b, c, d}e arestas {a, b},{b, c},{c, d}

n˜ao pode ser realizado como Γ(R). De fato, suponhamos que exista um anelR comD(R)∗ ₌

{a, b, c, d} e somente os produtos nulos ab = 0, bc = 0 e cd = 0 entre os elementos de R∗_.

Como (a+c)b = ab+cb = 0, temos que a +c _∈ D(R) = _{0, a, c, b, d_}. Afirmamos que

a+c=b. De fato, notemos que a+c=a implicac= 0 e que se a+c=c, ent˜ao a= 0. Se

a+c = d, temos db = 0, mas esta rela¸cão não ocorre em R∗_{. Por fim, se} _a₊_c _{= 0, então}

0 = (a+c)d=ad+cd=ad, o que tamb´em n˜ao ocorre. Logo, devemos ter a+c=b.

Analogamente, como (b +d)c = bc+dc = 0, temos que b +d ∈ D(R)∗_{. Procedendo}

como acima, obtemos queb+d =c. Assim, b =a+c=a+b+d, donde a+d= 0. Logo,

bd=b(−a) = −(ab) = 0, o que é um absurdo. Para os outros dois grafos conexos com quatro vértices, a demonstra¸cão é análoga.

Encerramos este cap´ıtulo com um importante resultado acerca do tamanho do grafo divisor de zero.

Teorema 2.11. ([6]) Seja R um anel que não é um dom´ınio de integridade. Então Γ(R)é finito se, e somente se, R é finito. Em particular, se1_{≤ |}Γ(R)_|<_∞, então R é finito e não é corpo.

Demonstra¸cão: Suponhamos Γ(R) finito. Então, D(R)∗ _{é finito e, como} _R _{não é um}

dom´ınio de integridade, D(R)∗ _{é também não vazio. Logo, existem} _{x, y} _∈ _D₍_R₎∗ _{tais que}

xy = 0. Seja I = Ann(x). Ent˜ao I ⊆ D(R) e, assim, I ´e finito. Dado r ∈ R, temos que

ry _∈ I, pois xy = 0 implica ryx= 0. Se R fosse infinito, existiria z _∈ I com J = _{r _∈ R :

ry=z} infinito. Assim, para quaisquer r, s∈J, ter´ıamos (r−s)y=ry−sy=z−z = 0 e, então, Ann(y) =I seria infinito, o que é uma contradi¸cão. Logo, R é finito.

(40)

2.2 Colora¸c˜oes de Beck 29

2.2 Colora¸c˜

oes de Beck

Apresentaremos aqui alguns resultados expostos por Istvan Beck, em seu artigo “Coloring of commutative rings” [11], sobre colora¸cões de vértices. Dentre esses resultados, destacamos os Teorema 2.21 e o Teorema 2.24. O primeiro apresenta algumas condi¸cões necessárias e suficientes para que um grafo divisor de zero tenha número cromático finito. O segundo elenca algumas propriedades de um anel que possui um grafo divisor de zero com número cromático finito.

Já mencionamos neste texto que a defini¸cão de grafo divisor de zero dada por Beck difere da defini¸cão que adotamos aqui. No entanto, nesta se¸cão, manteremos a Defini¸cão.2.1.

Para iniciarmos, devemos dizer que um elemento r∈R ´e um elemento finito de um anel

R se o ideal gerado por r é finito. Na sequência, apresentamos alguns lemas que nos dão condi¸cões para que um grafo divisor de zero tenha um clique infinito.

Lema 2.12. ([11]) Seja R um anel que possui um n´umero infinito de elementos finitos.

Ent˜aoΓ(R) cont´em um clique infinito.

Demonstra¸c˜ao: Sejam x1, x2, . . . , xn, . . .elementos finitos distintos dois a dois de R. Como (x1) ´e um ideal finito e x1xi ∈(x1), para todo i∈N, existem infinitos ´ındicesa21, a22, a23, . . . tais que

x1xa21 =x1xa22 =x1xa23 =. . . .

Vamos considerar ent˜ao a sequˆencia {xa2n}n∈N e denotar xa21 = xa2. Sabemos que

xa2xa2i ∈ (xa2), para todo i ∈ N. Sendo (xa2) um ideal finito, existem infinitos ´ındices

a31, a32, a33, . . . , a3n, . . . tais que

xa2xa31 =xa2xa32 =xa2xa33 =. . . .

Consideremos agora a sequˆencia _{xa3n}n∈N. Denotando xa31 = xa3 e repetindo o processo,

obteremos uma sequˆenciax1, xa2, xa3, . . ., a qual denotamos pory1, y2, y3, . . . , yn, . . ., tal que

yiyj =yiyk, quandoj > i e k > i.

(41)

yjyk =yjyr, temos que

zijzkr = (yi−yj)(yk−yr) =yiyk−yiyr−yjyk+yjyr = 0.

Desse modo, z1,2z3,4 = z1,2z3,5 = 0. Como z3,4 6= z3,5, ent˜ao z3,4 6= z1,2 ou z3,5 6= z1,2. Sez3,4 6= z1,2, temos o clique {z1,2, z3,4}. Se z3,5 6=z1,2, o clique obtido ´e {z1,2, z3,5}. Vamos assumir que z3,5 6=z1,2 e que, portanto, Γ(R) possui o clique {z1,2, z3,5}.

Notemos agora que z6,7, z6,8, z6,9 s˜ao dois a dois distintos. Logo, um deles n˜ao pertence ao conjunto _{z1,2, z3,5}. Supondo que z6,9 ∈ {/ z1,2, z3,5}, temos o clique {z1,2, z3,5, z6,9}. Pros-seguindo desse modo, obteremos um clique infinito de Γ(R). ⊓⊔

Lema 2.13. ([11]) Seja I um ideal finito de R. Então Γ(R) contém um clique infinito se, e somente se, Γ(R/I) contém um clique infinito.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que Γ(R) possui um clique infinito C. A imagem C de C

pela proje¸cão canônica de R em R/I é um clique de Γ(R/I). Como I é finito, devemos ter

C infinito. Logo, Γ(R/I) cont´em um clique infinitoC.

Reciprocamente, consideremos _{xi}i∈N um clique infinito de Γ(R/I). Ent˜ao, para todo

i6=j, xixj ∈I. Como I ´e finito, o conjunto dos produtos {xixj}i6=j ´e finito. Para o elemento

x1, existem ´ındicesa2, a22, a23, . . . , a2n, . . . tais que

x1xa2 =x1xa22 =x1xa23 =. . . .

Repetindo o racioc´ınio utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.12, chegaremos que Γ(R)

possui um clique infinito. ⊓⊔

Lema 2.14. ([11]) Se Rcontém um elemento nilpotente que não é finito, entãoΓ(R)contém um clique infinito.

Demonstra¸cão: Por hipótese, existe x _∈ N il(R) tal que o ideal (x) é infinito. Mas x _∈ N il(R) implica que existe n _∈ N tal que xn _{= 0. A demonstra¸cão será feita por indu¸cão} sobre n. Como (x) é infinito, temos x ₆= 0. Logo, iniciamos a demonstra¸cão considerando

(42)

Sex2 = 0, ent˜ao dadosax, bx∈(x), teremos (ax)(bx) = 0. Assim, Γ(R) possui um clique infinito, a saber, o subgrafo induzido pelo ideal (x).

Suponhamos n ≥3 e que o resultado seja verdadeiro para qualquer elemento nilpotente não finito de R cujo ´ındice de nilpotência seja menor do que n. Tomemos y = x2_{. Então}

yn−1 _{= (}_x2₎n−1 ₌ _xn−2 _{e, como} _n _≥ _{3, temos 2}_n₋₂ _≥ _n_{. Da´ı,} _yn−1 _{= 0. Se (}_y_{) é infinito,} o resultado segue da nossa hipótese de indu¸cão. Vamos supor então que (y) é finito. Neste caso, (x)/(y) é infinito e o subgrafo induzido por (x)/(y) é um clique infinito deR/(y). Como (y) é finito, segue do Lema 2.13 que Γ(R) possui um clique infinito. _⊓_⊔

Exemplo 2.15. Em Z4[x], o elemento 2 é nilpotente com ´ındice de nilpotência igual a 2. Como o ideal (2) é infinito, segue do lema anterior queZ4[x] possui um clique infinito.

Consideremos agora um anel R tal que N il(R) ´e infinito. Se todo elemento de N il(R) ´e finito, o Lema 2.12 nos garante que Γ(R) possui um clique infinito. Se algum elemento de

N il(R) não é finito, também obtemos que Γ(R) possui um clique infinito: basta aplicarmos o Lema 2.14. Provamos assim o seguinte resultado:

Lema 2.16. ([11]) Se N il(R)´e infinito, ent˜ao Γ(R) tem um clique infinito.

O pr´oximo lema trata de um anel reduzido R cujo grafo divisor de zero n˜ao possui um clique infinito.

Lema 2.17. ([11]) Se R é um anel reduzido tal que Γ(R) não contém um clique infinito, entãoR satisfaz a condi¸cão de cadeia ascendente (c.c.a.) sobre ideais da formaAnn(a), com a_∈R∗_.

Demonstra¸c˜ao: Seja R um anel reduzido. Vamos supor que exista uma cadeia

Ann(a1)(Ann(a2)(. . .

que n˜ao estaciona. Sejaxi ∈Ann(ai)\Ann(ai−1),i= 1,2, . . .. Ent˜ao, para todon ≥2, temos