Grafos divisores de zero r-partidos completos

O Lema 2.26 nos mostrou que se K é um corpo finito, então Γ(Z2× K) é um grafo estrela

de ordem _{|K|. Veremos agora que, exceto para grafos estrelas de ordem pequena (como os} dados nos exemplos no in´ıcio do cap´ıtulo), esta ´e a ´unica forma que um grafo estrela pode ser realizado como Γ(R).

Teorema 2.36. ([6]) Seja R um anel finito com_{|Γ(R)| ≥ 4. Ent˜ao Γ(R) ´e um grafo estrela}

se, e somente se, R ∼=Z2× K, onde K ´e um corpo finito. Em particular, se Γ(R) ´e um grafo

estrela, ent˜ao _{|Γ(R)| = p}n _{para algum primo p e inteiro n} _{≥ 0. Reciprocamente, cada grafo}

estrela de ordem pn _{pode ser realizado como Γ(R).}

Demonstra¸c˜ao: Se R ∼= Z2 × K, com K um corpo finito, segue da Proposi¸c˜ao 2.26 que

Γ(R) ´e um grafo estrela, com|Γ(R)| = pn_{, para algum primo p e inteiro n} _{≥ 0.}

Suponhamos que Γ(R) seja um grafo estrela. Se R não é isomorfo a Z2 × K, então

(pelo Corol´ario 2.28 e lema anterior) R ´e um anel local com ideal maximal M = D(R), com R

M ∼= Z2. Da demonstra¸c˜ao do lema anterior obtemos que M = Ann(x), para algum

x_{∈ M}∗_{. Ainda, M ´e um 2-grupo e, assim,} _{|M| = 2}t_{, para algum t}

∈ N. Mas, por hip´otese, |Γ(R)| = |M∗_{| ≥ 4, donde t ≥ 3, ou seja, |M| ≥ 8 . Al´em disso, M}2 ₌_{{0, x}.}

Podemos tomar ent˜ao a, b, c, d_{∈ M}∗_{\ {x} dois a dois distintos. Sabemos que ab, ac, ad ∈}

M2 ₌_{{0, x}. Como x é o único vértice adjacente a todos os outros vértices e Γ(R) é um grafo}

estrela, temos que Ann(a)_{\ {a} = {0, x} e ab = ac = ad = x. Ent˜ao, a(b − c) = a(b − d) = 0,} ou seja, b−c, b−d ∈ Ann(a). Mas notemos que Ann(a) ´e um subgrupo aditivo de M. Assim, |Ann(a)| = 2s_{, para algum inteiro s}_{≥ 1. Logo, a /}_{∈ Ann(a), o que implica Ann(a) = {0, x}.}

Sendo b6= c e b 6= d, devemos ter b − c = b − d = x, donde c = d, uma contradi¸c˜ao. Portanto,

R ∼=Z2× K. ⊓⊔

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos

O objetivo desta se¸c˜ao ´e estudar os grafos divisores de zero r-partidos completos, r _{≥ 2.} Em um primeiro momento, estudaremos os grafos bipartidos completos, destacando alguns grafos deste tipo que podem ser realizados como Γ(R). Na segunda parte do cap´ıtulo, daremos

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 45

aten¸cão aos grafos divisores de zero r-partidos completos, com r ≥ 3. Determinaremos para quais inteiros r _{≥ 3, existe um anel R tal que Γ(R) é r-partido completo e exibiremos} algumas propriedades de um grafo divisor de zero com esta forma. Veremos ainda que algumas informa¸cões acerca do anel podem ser obtidas quando o grafo divisor de zero deste anel é um grafo r-partido completo, r≥ 3.

Iniciamos esta se¸cão com um resultado que generaliza o Lema 2.26 dado na se¸cão 2.3. Proposi¸c˜ao 2.37. ([6]) Sejam A e B dom´ınios de integridade e R = A× B. Então Γ(R) é

um grafo bipartido completo. No caso em que A e B s˜ao finitos, temos que Γ(R) ´e finito e

|Γ(R)| = |A| + |B| − 2.

Demonstra¸c˜ao: Sejam V1 = {(a, 0) : a ∈ A∗} e V2 = {(0, b) : b ∈ B∗}. Ent˜ao, dados

x = (a, 0)∈ V1 e y = (0, b)∈ V2, temos que xy = (0, 0). Logo V1∪ V2 ⊆ D(R)∗ e cada v´ertice

de V1 ´e adjacente a todo v´ertice de V2.

Consideremos agora x = (a1, b1)∈ D(R)\{(0, 0)}. Ent˜ao existe y = (a2, b2)∈ R \{(0, 0)}

tal que xy = (0, 0), isto ´e, (a1, b1)(a2, b2) = (0, 0). Logo, a1a2 = 0 e b1b2 = 0. Como A ´e

um dom´ınio de integridade, devemos ter a1 = 0 ou a2 = 0. Se a1 = 0, ent˜ao b1 6= 0 (pois

x_{6= (0, 0)) e, assim, x = (0, b}1) ∈ V2. Se a1 6= 0, ent˜ao a2 = 0. Neste caso, teremos b2 6= 0,

pois y_{6= (0, 0). Como B tamb´em ´e um dom´ınio de integridade e b}1b2 = 0, temos que b1 = 0,

donde x = (a1, 0) ∈ V1. Logo, D(R)∗ ⊆ V1∪ V2 e, assim, temos a igualdade D(R)∗ = V1∪ V2.

Claramente, V1∪ V2 ´e uma uni˜ao disjunta. Do fato de A e B serem dom´ınios de integridade

segue que os vértices de V1 não podem ser adjacentes entre si e nem os vértices V1 podem ser

adjacentes a v´ertices de V2. Portanto, Γ(R) ´e um grafo bipartido completo.

Se A e B forem finitos, ent˜ao Γ(R) finito e, fazendo uma contagem simples, temos |Γ(R)| = |V (Γ(R))| = |V1| + |V2| = |A| − 1 + |B| − 1 = |A| + |B| − 2. ⊓⊔

Se A = Z2 na proposi¸cão anterior, então V (Γ(R)) = {(1, 0)} ∪ V2 (união disjunta) com

V2 ={(0, b) : b ∈ B∗}. Assim, Γ(R) ´e um grafo estrela com |Γ(R)| = |Z2| + |B| − 2 = |B|, o

que j´a sab´ıamos pelo Lema 2.26.

Considerando que F4 ={0, 1, α, α + 1} ´e um corpo com quatro elementos, apresentamos

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 46

Figura 2.18: Γ(F4× Z5)≃ K3,4 Figura 2.19: Γ(Z3× Z7)≃ K2,6

No resultado a seguir, vemos mais uma condi¸c˜ao suficiente para que um anel tenha um grafo divisor de zero bipartido completo.

Teorema 2.38. Seja R um anel. Se existem P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1∩ P2 ={0}, ent˜ao

R ´e reduzido e Γ(R) ´e bipartido completo.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que existam P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1∩ P2 ={0}. Ent˜ao,

R ´e reduzido, pois N il(R) =T

P∈Spec(R)P ⊆ P1∩ P2 ={0}.

Afirmamos que P1, P2 ∈ Ass(R). De fato, como R n˜ao ´e dom´ınio de integridade, temos

que P1 6= {0} e P2 6= {0}. Desse modo, P1∩ P2 = {0} implica que existem elementos n˜ao

nulos a _{∈ P}1 \ P2 e b ∈ P2 \ P1. Ent˜ao Ann(b) = P1. Com efeito, se x ∈ Ann(b), ent˜ao

xb = 0 ∈ P1 ∩ P2. Notemos que x 6= b, pois se tiv´essemos x = b, ter´ıamos b2 = 0, o que

contradiz o fato de R ser reduzido. Como P1 ´e primo e b /∈ P1, seque que x∈ P1. Por outro

lado, se z ∈ P1, ent˜ao zb ∈ P1 ∩ P2 = {0} e da´ı z ∈ Ann(b). Assim, temos a igualdade

Ann(b) = P1. Analogamente, mostra-se que Ann(a) = P2 e, assim, P1, P2 ∈ Ass(R).

Vamos mostrar agora que P1∪ P2 = D(R). Como P1, P2 ∈ Ass(R), ´e imediata a inclus˜ao

P1∪ P2 ⊆ D(R). Tomemos ent˜ao x ∈ D(R) e vamos supor, por absurdo, que x /∈ P1∪ P2.

Seja y_{∈ R}∗ _{tal que xy = 0. Ent˜ao xy} _{∈ P}

1∩ P2. Como x /∈ P1, x /∈ P2 e P1 e P2 s˜ao primos,

devemos ter y∈ P1∩ P2 ={0}, o que ´e um absurdo, visto que y 6= 0. Logo, P1∪ P2 = D(R).

Consideremos V1 = P1 \ {0} e V2 = P2 \ {0}. Então, Γ(R) é bipartido com a parti¸cão

V1 ∪ V2. De fato, suponhamos que existam t, w ∈ V1 tais que {t, w} ∈ E(Γ(R)). Ent˜ao,

tw = 0, donde tw_{∈ P}1∩ P2. Como P2 ´e primo, devemos ter t∈ P2 ou w ∈ P2. Supondo, sem

perda de generalidade, que t_{∈ P}2, obtemos que t∈ P1∩ P2 ={0}, o que ´e uma contradi¸c˜ao,

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 47

V1. Analogamente, mostramos que n˜ao existe uma aresta formada por dois elementos de V2.

Logo, Γ(R) ´e bipartido. Neste caso, se tomarmos a_{∈ V}1 e b∈ V2, teremos ab∈ P1∩P2 ={0},

donde obtemos que Γ(R) ´e um grafo bipartido completo. ⊓⊔

Se R é um anel tal que Γ(R) é bipartido completo, não podemos garantir que existem P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1∩ P2 ={0}. Por exemplo, Γ(Z8) é bipartido completo (Γ(Z8)≃

K1,2, pela Figura 2.7). Mas, Spec(Z8) ={(2)}, pois Z8 ´e local com ideal maximal (2) e, em

um anel finito, todo ideal primo ´e maximal.

Notemos queZ8 não é reduzido. No caso em R é reduzido, a rec´ıproca do teorema anterior

é verdadeira. É o que nos diz o próximo resultado.

Teorema 2.39. ([15]) Seja R um anel reduzido. Se Γ(R) ´e bipartido, ent˜ao existem P1, P2 ∈

Spec(R) tais que P1∩ P2 ={0}.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que Γ(R) seja um grafo bipartido, com parti¸c˜ao V1 ∪ V2.

Mostremos inicialmente que V1∪ {0} ´e um ideal de R. De fato, sejam x ∈ V1∪ {0} e r ∈ R.

Então, existe t∈ R∗ _{tal que xt = 0. Se rx = 0, então é claro que rx}_{∈ V}

1∪ {0}. Se rx 6= 0,

temos que rx_{∈ V}1, pois t∈ V2, (rx)t = r(xt) = 0 e Γ(R) ´e bipartido.

Tomemos agora x, y _{∈ V}1 ∪ {0}. Se x = 0, y = 0 ou x = y, ent˜ao ´e imediato que

x_{− y ∈ V}1∪ {0}. Suponhamos ent˜ao que x 6= 0, y 6= 0 e que x 6= y. Sendo Γ(R) bipartido

e conexo, existem t, s _{∈ V}2 (n˜ao necessariamente distintos) tais que xt = 0 = ys. Assim,

xst_{− yst = (x − y)st = 0. Notemos que st 6= 0, pois R ´e reduzido. Da´ı, st ∈ V}2, pois

y(st) = (ys)t = 0, y _{∈ V}1 e Γ(R) ´e bipartido. Desse modo, usando novamente o fato de que

Γ(R) ´e bipartido, temos que x_{− y ∈ V}1. Assim, V1∪ {0} ´e um ideal.

Mostremos agora que V1∪ {0} ´e um ideal primo. Seja ab ∈ V1∪ {0}. Ent˜ao, existe t ∈ V2

tal que abt = 0. Se bt = 0, ent˜ao b∈ V1∪ {0}. Se bt 6= 0, temos bt ∈ V2, donde a ∈ V1∪ {0}.

Logo, V1∪ {0} ´e um ideal primo de R.

De modo an´alogo podemos mostrar que V2∪ {0} ´e um ideal primo de R. Assim, temos

V1∪ {0} e V2∪ {0} dois ideais primos distintos de R tais que P1∩ P2 ={0}. ⊓⊔

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 48

estudo mostrando que a Proposi¸c˜ao 2.37 n˜ao pode ser generalizada para grafos r-partidos completos, com r _{≥ 3. Ou seja, se tivermos R}1, . . . , Rr dom´ınios de integridade, r ≥ 3 e

R≈ R1× . . . × Rr, ent˜ao Γ(R) n˜ao pode ser um grafo r-partido completo.

Proposi¸c˜ao 2.40. Sejam R1, . . . , Rr dom´ınios de integridade, com r ≥ 2. Consideremos o

anel R = R1× . . . × Rr. Então, Γ(R) é r-partido, mas não pode ser r-partido completo.

Demonstra¸c˜ao: Dado x = (x1, . . . , xr) ∈ D(R)∗, devemos ter xi 6= 0, para algum i ∈

{1, . . . , r}. Consideremos V1 = {x ∈ D(R)∗ : x1 6= 0}. Para cada i ∈ {2, . . . , r}, de-

finamos Vi = {x ∈ D(R)∗ \ (

Si−1

j=1Vi) : xi 6= 0}. Temos que cada Vi 6= ∅, pois se

ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) tem 1 na i-´esima coordenada de R, ent˜ao ei ∈ Vi. Claramente

vemos que D(R)∗ ₌Sr

i=1Vi ´e uma uni˜ao disjunta. Consideremos agora x = (x1, . . . , xr), y =

(y1, . . . , yr) ∈ D(R)∗ tais que xy = 0. Seja j ∈ {1, . . . , r} o menor ´ındice tal que xj 6= 0.

Ent˜ao, x _{∈ V}j e yj = 0, pois xjyj = 0 e Rj ´e um dom´ınio de integridade. Disso resulta

que y /∈ Vj. Logo, dois vértices adjacentes de Γ(R) estão em partes distintas da parti¸cão de

D(R)∗_{. Assim, Γ(R) ´e r-partido.}

Suponhamos que r _{≥ 3 e consideremos x = (0, 1, 1, . . . , 1), y = (1, 0, 1, . . . , 1) ∈ D(R)}∗_.

Então, xy 6= 0, pois ambos possuem a terceira coordenada igual a 1. Podemos notar que Ann(x)_{∩ Ann(y) = {(0, . . . , 0)}. Assim, d(x, y) = 3, donde vem que diam(Γ(R)) = 3. Sa-} bemos que um grafo r-partido completo, r ≥ 2, tem diâmetro no máximo igual a 2. Logo,

Γ(R) n˜ao pode ser r-partido completo se r_{≥ 3.} _⊓_⊔

Nesta disserta¸cão, já vimos alguns exemplos de grafos divisores de zero r-partidos completos, r≥ 3. Na se¸cão anterior, mostramos que para qualquer primo p e qualquer inteiro n ≥ 1, existe um anel R tal que Γ(R) é isomorfo ao grafo completo Kpn₋₁

. Tais grafos divisores de zero s˜ao (pn_{− 1)-partidos completos, considerando que cada v´ertice de Γ(R) forma uma}

parte da parti¸cão desse grafo. Porém, não existem apenas grafos divisores de zero r-partidos completos com esta forma. No próximo exemplo, apresentamos um grafo divisor de zero r-partido, com r_{≥ 3, que possui uma de suas partes contendo mais do que um elemento.} Exemplo 2.41. Sejam p um número primo e n um inteiro positivo e consideremos Fpn um

corpo com pn _{elementos. Ent˜ao o anel R =} Fpn[x,y]

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 49

grafo pn_{-partido completo. De fato, primeiramente, notemos que, como y}2 _{= x, devemos}

ter x2 _{= y}2_{x = y(xy) = 0. Omitindo as barras, vemos que todo elemento de R ´e da forma}

r = ax + by + c, com a, b, c∈ Fpn. Desse modo, temos que:

(i) Se c_{6= 0, ent˜ao r ∈ U(R).}

Com efeito, sendo d o inverso de c em R temos q = (b2_d3 _{− ad}2_)x_{− bd}2_{y + d} _{6= 0 e}

rq = (ax + by + c)([b2_d3 _{− ad}2_]x_{− bd}2_{y + d) = adx}_{− b}2_d2_y2_{+ bdy + cb}2_d3_x_{− acd}2_x₋

bcd2_{y + cd = adx}_{− b}2_d2_{y + bdy + b}2_d2_x_{− adx − bdy + cd = 1}

(ii) Se c = 0, ent˜ao r∈ D(R).

Basta notarmos que (ax + by)x = ax2_{+ bxy = 0}

Logo, D(R) = _{{ax + by : a, b ∈ F}pn}. Escrevendo F_pn ={1 = a₁, a₂, . . . , a_pn−1, a_pn = 0},

vemos que as pn _{partes de Γ(R) s˜ao V}

1 ={x}, V2 ={a2x}, V3 ={a3x}, . . . , Vpn−1 ={a_pn−1x}

e Vpn ={ax + by : b 6= 0}.

Na Figura 2.20, temos o grafo divisor de zero do anel R = Z3[x,y]

(xy,y2_−x), um grafo 3-partido

completo.

Figura 2.20: Γ( Z3[x,y]

(xy,y2_−x))

Antes do próximo resultado, vamos fixar a seguinte nota¸cão: se Γ(R) é um grafo r-partido completo, denotaremos por V1, . . . , Vr as suas r partes (os r elementos da parti¸cão).

O pr´oximo resultado descreve algumas propriedades de um grafo divisor de zero r-partido completo, bem como algumas propriedades de um anel que possui como grafo divisor de zero um grafo com esta forma.

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 50

Teorema 2.42. ([1]) Seja R um anel. Se Γ(R) ´e um grafo r-partido completo, com r≥ 3,

então no máximo uma de suas partes possui mais do que um vértice. Ainda, se Vi contém

um único vértice, digamos Vi = {x}, então x2 = 0 e o ideal gerado por x é finito. Mais:

D(R)_{∈ Max(R) ∩ Ass(R), onde Max(R) denota o conjunto dos ideais maximais de R.}

Demonstra¸c˜ao: Por absurdo, vamos supor que existam duas partes distintas de Γ(R), digamos Vt e Vs, ambas contendo mais do que um v´ertice. Tomemos x∈ Vt e y ∈ Vs. Sendo

r ≥ 3, existe Vl distinta de Vt e Vs. Dado z ∈ Vl, temos que Ann(z) ⊆ Ann(x) ∪ Ann(y).

De fato, se a _{∈ Ann(z), ent˜ao a /}_{∈ V}l (pois Γ(R) ´e r-partido). Logo, a ∈ Vk, para algum

k ∈ {1, . . . , r} \ {l}. Se k 6= t e k 6= s, ent˜ao ax = ay = 0, donde a ∈ Ann(x) ∩ Ann(y). Se k = t, ent˜ao a /_{∈ V}s e da´ı ay = 0, ou seja, a∈ Ann(y). Se k = s, obtemos que a ∈ Ann(x).

Assim, Ann(z)⊆ Ann(x) ∪ Ann(y).

Afirmamos ainda que, neste caso, Ann(z) ⊆ Ann(x) ou Ann(z) ⊆ Ann(y). De fato, vamos supor que existe a_{∈ Ann(z) tal que a /}_{∈ Ann(y). Consideremos b ∈ Ann(z). Vamos} mostrar que b ∈ Ann(x). Com efeito, como a, b ∈ Ann(z), temos que a + b ∈ Ann(z) ⊆ Ann(x)_{∪ Ann(y). Se a + b ∈ Ann(x), então b = a + b − a ∈ Ann(x). Se a + b ∈ Ann(y),} então b ∈ Ann(x), pois se b ∈ Ann(y), teremos a = a + b − a ∈ Ann(y), uma contradi¸cão. Logo, Ann(z)_{⊆ Ann(x), donde vem que Ann(z) ⊆ Ann(x) ou Ann(z) ⊆ Ann(y).}

Sem perda de generalidade, vamos supor que Ann(z) _{⊆ Ann(x). Desse modo, conside-} rando w ∈ Vt\ {x}, temos que w ∈ Ann(z) ⊆ Ann(x), ou seja, wx = 0, o que contradiz o

fato de Γ(R) ser r-partido. Logo, no máximo uma parte de Γ(R) possui um único vértice. Para provarmos a segunda afirma¸cão, vamos assumir que Vi seja uma das partes de Γ(R)

que possuem um único vértice, digamos Vi = {x}. Como Γ(R) é r-partido completo, temos

que D(R)\ {x} ⊆ Ann(x). Seja y ∈ Vj, para algum j ∈ {1, . . . , r} \ {i}. Como r ≥ 3, existe

um vértice z adjacente aos vértices x e y. Então, xz = yz = 0 e (x + y)z = 0. Claramente, x 6= x + y. Assim, 0 = (x + y)x = x2 _{+ xy, donde x}2 _{= 0. Logo, x} _{∈ Ann(x). Como}

consequência, temos Ann(x) = D(R). Logo, pela Proposi¸cão 1.24, D(R) é um ideal primo. Sabemos que todo grafo r-partido admite uma r-colora¸cão própria (Proposi¸cão 1.42). Assim, temos aqui que χ(Γ(R)) é finito. Pelo Teorema 2.21, Γ(R) não possui um clique infinito. Como x2 _{= 0, temos que (ax)(bx) = abx}2 _{= 0, para quaisquer ax, bx} _{∈ (x). Desse}

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 51

modo, se (x) fosse infinito, (x) seria um clique infinito de Γ(R), o que n˜ao ocorre. Logo, devemos ter que o ideal (x) ´e finito

Consideremos f : R −→ (x) o homomorfismo sobrejetor de R-m´odulos definido por f (a) = ax. Claramente ker(f ) = Ann(x) e, assim, R

Ann(x) ∼= (x). Da´ı, visto que (x) ´e

finito, R

Ann(x) ´e finito. Sendo Ann(x) = D(R) um ideal primo, conclu´ımos que R Ann(x) ´e

um dom´ınio finito e, portanto, um corpo. Logo, D(R) ´e um ideal maximal de R, donde

D(R)∈ Max(R) ∩ Ass(R). ⊓⊔

Tendo em vista este último teorema e o comentário feito no parágrafo que antecede o Exemplo 2.41, vamos fixar a seguinte nota¸cão: se Γ(R) é r-partido completo, com r ≥ 3, então as partes V1, V2, . . . , Vr−1 possuem um único elemento, enquanto a parte Vr é a parte

que pode possuir mais do que um v´ertice.

O próximo resultado nos diz que se Γ(R) é um grafo r-partido completo infinito, então r é uma potência de algum número primo e o nilradical de R pode ser determinado a partir de seu grafo divisor de zero.

Teorema 2.43. ([1]) Seja R um anel infinito tal que Γ(R) ´e r-partido completo, com r≥ 3.

Ent˜ao N il(R) = Sr−1

i=1 Vi ∪ {0} ´e um ideal primo, Ass(R) = {Nil(R), D(R)} e |Nil(R)| =

r = pt_{, para algum primo p e algum inteiro t. Mais: para todo x}_{∈ V}

r, (x)⊆ Vr∪ {0}.

Demonstra¸c˜ao: Da prova do Teorema 2.42, vimos que D(R) _{∈ Ass(R), com D(R) =} Ann(x), para todo x∈Sr−1

i=1Vi.

Consideremos Q = [Sr−1

i=1 Vi]∪ {0}, que ´e um ideal da forma Q = Ann(z), para qualquer

z _{∈ V}r. Afirmamos que Q ∈ Spec(R). De fato, suponhamos que Q não é primo. Então,

Ass(R) = {D(R)}. De fato, tomemos Ann(a) ∈ Ass(R). Como Ann(a) ´e primo, temos Ann(a)_{6= R. Assim, a 6= 0 e, portanto, a ∈ D(R)}∗_{. Se a}_{∈ V}

i, para algum i∈ {1, . . . , r − 1},

então Ann(a) = D(R). Se a ∈ Vr, então Ann(a) = Q, que não é primo, uma contradi¸cão.

Assim, Ass(R) =_{D(R)}.

Sabemos, pela Proposi¸c˜ao 1.42, que χ(Γ(R)) ´e finito. Pelo item (iv) do Teorema 2.24, temos que M in(R)_{⊆ Ass(R). Logo, Min(R) = {D(R)} e, assim, Nil(R) =}T

P∈M in(R)P =

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 52

fato de R ser infinito (Teorema 2.11). Logo, Q ´e um ideal primo de R.

Afirmamos agora que Ass(R) = _{{Q, D(R)}. De fato, seja Ann(a) ∈ Ass(R) \ {D(R)}.} Ent˜ao, Ann(a) _{( D(R). Assim, existe z ∈ D(R) tal que z /}∈ Ann(a), ou seja, az 6= 0. Devemos ter ent˜ao que a, z_{∈ V}r, donde Ann(a) = Q. Assim, Ass(R) ={Q, D(R)}.

Ainda, temos que Q é o único primo minimal de R, pois M in(R) _{⊆ Ass(R). Desse modo,} segue da Proposi¸cão 1.6 que Q = N il(R).

Consideremos agora x∈ V1. Sabemos f : R→ (x) dada por f(r) = rx ´e um epimorfismo

de R-m´odulos, com ker(f ) = Ann(x) = D(R). Assim, R

D(R) ∼= (x). Vimos na demonstra¸c˜ao

do Teorema 2.42 que (x) ´e finito. Assim, _D(R)R ´e um corpo finito. Logo, existem um primo p e um inteiro k_{≥ 1 tais que |} R

D(R)| = p k_.

Observemos agora que, como D(R)N il(R) ={0}, Nil(R) ´e um R

D(R)-espa¸co vetorial. De

fato, consideremos o produto por escalar rx = rx. Tal opera¸cão está bem definida, pois se r1 = r2, então r1− r2 ∈ D(R). Assim, como D(R)Nil(R) = {0}, teremos (r1 − r2)x = 0,

para todo x_{∈ Nil(R), donde r}1x = r2x e o produto por escalar fica bem definido.

Como N il(R) ´e um R

D(R)-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita (pois N il(R) ´e finito), N il(R)

é isomorfo a um produto direto de um número finito de cópias de R

D(R). Como | R D(R)| = p

k_,

temos_{|Nil(R)| = p}t_{, para algum inteiro positivo t.}

Por fim, tomemos x _{∈ V}r. Sabemos que, para qualquer y ∈ R, xy ∈ D(R). Desse

modo, se xy 6= 0, ent˜ao xy ∈ V (Γ(R)). Suponhamos que, para algum y ∈ R, tenhamos xy _∈ Sr−1

i=1Vi = N il(R)∗. Assim, (xy)m = 0, para algum inteiro m ≥ 2. Como Nil(R) ´e

um ideal primo e x /∈ Nil(R) (pois x ∈ Vr), temos que y ∈ Nil(R)∗. Mas, isto implica que

xy = 0, uma contradi¸c˜ao. Logo, para todo x_{∈ V}r, devemos ter que (x)⊆ Vr∪ {0}. ⊓⊔

A partir de agora, nesta se¸cão, estudaremos grafos divisores de zero r-partidos completos finitos. O próximo resultado nos diz que anéis finitos que possuem grafos divisores de zero com esta forma devem ser locais e apresenta ainda algumas propriedades desses grafos. Teorema 2.44. ([1]) Seja R um anel finito tal que Γ(R) é um grafo r-partido completo, com r≥ 3. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 53

(ii) Se|Vr| ≥ 2, ent˜ao existe um n´umero primo p e inteiros t ≥ 0 e k ≥ 0 tais que r = pt e

|R| = pk_;

(iii) Se _|Vr| ≥ 2, ent˜ao para todo z ∈ Vr, temos z2 6= 0 e z3 = 0;

(iv) Para todo x_{∈ V}r e para todo y ∈ D(R), temos que xy /∈ Vr.

Demonstra¸c˜ao: (i) Sendo Γ(R) um grafo r-partido completo com r ≥ 3, R n˜ao pode ser isomorfo a um anel da formaZ2× F , com F um corpo, pois se isso ocorresse, ter´ıamos Γ(R)

bipartido (pelo Teorema 2.37) e, neste caso, r = 2. Logo, pelo Corolário 2.28, R é local. (ii) Pelo item (i) e pela Proposi¸cão 1.37, existem um número primo p e um inteiro k≥ 0 tais que _{|R| = p}k_{. Como}

|Vr| ≥ 2, podemos escolher v´ertices distintos x, y ∈ Vr. Sendo

Ann(x)∩ Ann(y) = Sr−1

i=1 Vi ∪ {0} um ideal de R, devemos ter que |Ann(x) ∩ Ann(y)| =

|Sr−1

i=1 Vi ∪ {0}| é uma potência de p, digamos pt, para algum inteiro positivo t. Da´ı, r é

também uma potência de p. De fato, se i6= r, então |Vi| = 1. Da´ı, |Sr−1_i=1 Vi| = r − 1. Assim,

pt ₌

|Sr−1

i=1Vi∪ {0}| = |

Sr−1

i=1 Vi| + 1 = r − 1 + 1 = r, donde r = pt.

(iii) Sejam x, y ∈ Vr v´ertices distintos. Sabemos, pelo item anterior, que |R| = pk,

com p primo e k _{≥ 0 inteiro, donde vem que todo ideal de R deve ser uma potˆencia de} p. Desse modo, |(Ann(x) ∩ Ann(y))| = ps_{, para algum inteiro s} _{≥ 0. Suponhamos que}

exista z _{∈ V}r tal que z2 = 0. Ent˜ao, Ann(z) = {z} ∪ (Ann(x) ∩ Ann(y)) ´e um ideal, mas

|Ann(z)| = |{z}| + |(Ann(x) ∩ Ann(y))| = 1 + ps_{, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao. Logo,}

z2 _{6= 0, para todo z ∈ V} r.

Mostremos que z3 _{= 0. Notemos que, sendo R um anel local finito, D(R) = N il(R) (pelo}

Teorema 1.36). Consideremos n o menor inteiro positivo tal que zn _{= 0. Por absurdo, vamos}

supor que n_{≥ 4. Ent˜ao, z}n−1 _{∈ V}_/

r, pois zn= 0. Agora, como n≥ 4 implica 2n − 4 ≥ n, n˜ao

podemos ter zn−2_{∈ V}

r, pois (zn−2)2 = z2n−4 = 0. Mas disso resulta que 0 = zzn−2 = zn−1, o

que contradiz a minimalidade de n. Portanto, z3 _{= 0.}

(iv) Suponhamos que existam x, y _{∈ V}r tais que xy ∈ Vr. Como y3 = 0 e y2 6= 0 (pelo

item anterior), temos que (xy)y = xy2 _{= 0, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao com o fato de}

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 54

Por este último resultado, pelos Teoremas 2.43 e 2.32, pelo Exemplo 2.41 e pelo comentário feito no parágrafo anterior a este mesmo exemplo, podemos afirmar que:

(i) existe um anel R tal que Γ(R) é um grafo divisor de zero r-partido completo, com r _{≥ 3 e todas as partes da parti¸cão de Γ(R) contendo um único vértice se, e somente} se, r = pn_{− 1, para algum primo p e algum inteiro n ≥ 2;}

(ii) existe um anel R tal que Γ(R) ´e um grafo divisor de zero r-partido completo, com r_{≥ 3} e |Vr| ≥ 2 se, e somente se, r = pn, para algum primo p e algum inteiro n≥ 1.

Terminamos esta se¸cão com um resultado que nos diz quais são os anéis finitos que possuem um grafo p-partido completo como grafo divisor de zero quando p é um primo ´ımpar. Para mostrarmos tal resultado, precisaremos do seguinte lema:

Lema 2.45. ([1]) Se R um anel finito. Suponha que Γ(R) ´e um grafo r-partido completo,

com r_{≥ 3. Ent˜ao |D(R)| ≤ r}2_.

Demonstra¸c˜ao: Seja x∈ Vre tomemos a fun¸c˜ao f : D(R)−→ Ann(x) dada por f(a) = ax.

Pelo item (iv) do Teorema 2.44, f está bem definida. Claramente vemos que f é um homomorfismo de R-módulos. Se |Vr| = 1, então |D(R)| = r + 1 ≤ r2. Se |Vr| ≥ 2, então

|Ann(x)| = r. Como ker(f) = Ann(x), obtemos tamb´em |D(R)| ≤ r2_. _⊓_⊔

Teorema 2.46. ([1]) Sejam R um anel finito e p _{6= 2 um número primo tal que Γ(R) é} p-partido completo. Então |Γ(R)| = p2_, _{|R| = p}3 _{e R é isomorfo a um dos seguintes anéis:}

Zp3, Zp (xy,y2 −x) ou Z_p2[y] (py,y2 −ps), para algum s ∈ {1, . . . , p − 1}.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos |Vp| ≥ 2 e tomemos z ∈ Vp. Pelo Teorema 2.44, temos que

|Ann(z)| = p e, assim, |D(R)| = pt_{, para algum inteiro t} _{≥ 2. Pelo Lema 2.45, sabemos que}

|D(R)| ≤ p2_{. Da´ı, p}2 _{≤ |D(R)| ≤ p}2_{, donde}_{|D(R)| = p}2_.

Consideremos agora a_{∈ Ann(z), a 6= 0 e o epimorfismo de R-módulos f : R → (a) dado} por f (r) = ra. Como a_{6= 0 e a /}_{∈ V}p (já que az = 0 e z ∈ Vp), temos que {a} é uma parte da

p-parti¸cão de Γ(R), donde a2 _{= 0 e a é adjacente aos demais vértices, ou seja, f (r) = ar = 0,}

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 55

Ainda, como a ∈ Ann(z), temos que (a) ⊆ Ann(z). Desse modo, R

D(R) ∼= (a) ⊆ Ann(z),

donde vem que _|D(R)||R| _{≤ |Ann(z)| = p. Temos ent˜ao} _|D(R)||R| = p e, assim, _{|R| = p}3_.

Agora, seja y0 ∈ Vp. Ent˜ao, y₀2 = x0 6= 0 e y03 = 0 (pelo Teorema 2.44). Com isso, obtemos

que x2

0 = (y02)2 = y0y30 = 0. Analisemos os seguintes casos:

Caso 1: Char(R) = p

Dado um inteiro k _{≥ 0, denotemos por k · 1 o elemento de R obtido a partir da soma de} k termos todos iguais a identidade 1 do anel. Ent˜ao, S ={1R, 2· 1, 3 · 1, . . . , p · 1 = 0} ⊆ R ´e

um subanel de R. Sabemos que S ´e isomorfo ao anelZp. Da´ı, podemos escrever S =Zp

Seja A ={ax0+ by0 : a, b ∈ Zp}. Como x0(ax0+ by0) = 0, temos que A⊆ D(R). Vamos

mostrar que os elementos de A s˜ao dois a dois distintos. Tomemos ax0+by0, cx0+dy0 ∈ A tais

que ax0+by0 = cx0+dy0. Afirmamos que a = c e b = d. Com efeito, multiplicando por y0 em

ambos os lados da igualdade x0(c−a) = y0(b−d), obtemos 0 = y03(c−a) = y20(b−d) = x0(b−d),

donde vem que b− d = 0 e b = d (pois b − d ∈ Zp e x0 6= 0). Assim, (a − c)x0 = 0, donde

a = c. Logo, os elementos de A s˜ao dois a dois distintos. Fazendo uma contagem simples, temos que|A| = p2 _{e, como A}_{⊆ D(R), obtemos a igualdade A = D(R).}

Consideremos agora B ={a + bx0+ cy0 : a, b, c∈ Zp}. Se a + bx0+ cy0 = d + ex0+ f y0,

ent˜ao a_{− d = x}0(e− b) + y0(f − c). Multiplicando por x0 em ambos os lados desta ´ultima

equa¸c˜ao, temos x0(a−d) = x20(e−b)+x0y0(f−c) = y04(e−b)+y30(f−c) = 0, donde a−d = 0

e a = d. Logo, bx0 + cy0 = ex0 + f y0. Com o mesmo racioc´ınio empregado no par´agrafo

anterior, obtemos b = e e c = f . Assim, R = B. Podemos ver que os elementos de Zp[x,y]

(xy,y2_−x) s˜ao da forma ax + by + c, com a, b, c ∈ Zp,

visto que x2 _{= y}3 _{= y}2 _{= y = xy. Mostremos agora que h :} Zp[x,y]

(xy,y2

−x) → R dada por

h(ax + by + c) = ax0+ by0+ c ´e um isomorfismo.

Omitindo as barras dos elementos de Zp[x,y]

(xy,y2_−x), vamos mostrar primeiramente que h est´a

bem definida. Se a+bx+cy = d+ex+f y, ent˜ao a_{−d+(b−e)x+(c−f)y ∈ (xy, y}2_{−x). Logo,}

existem polinˆomios α = α(x, y), β = β(x, y)_{∈ Z}p[x, y] tais que a− d + (b − e)x + (c − f)y =

αxy + βy2_{−βx, donde a−d+(b−e+β)x+(c−f)y −αxy −βy}2 _{= 0. Disso resulta que a = d}

e c = f . Escrevendo β = r + s(x, y), com r o termo constante e s(x, y) os termos envolvendo x ou y, temos que 0 = (b_{−e+β)x−αxy −βy}2 _{= (b}_{−e+r+s(x, y))x−αxy −(r+s(x, y))y}2 ₌

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 56

(b− e + r)x + s(x, y)x − αxy − ry2_{− s(x, y)y}3_{, donde b}_{− e + r = 0 e r = 0. Logo, b = e e,}

portanto, h est´a bem definida.

Claramente, h ´e um homomorfismo sobrejetor. Como os elementos de Zp[x,y]

(xy,y2

−x) s˜ao da

forma a + bx + cy, com a, b, c_{∈ Z}p, e |R| = p3, conclu´ımos que R ∼= _(xy,yZp[x,y]2_−x).

Caso 2: Char(R) = p2_.

Como p2 _{= 0, temos que p = p}_{· 1 ∈ D(R) \ V}

p. Assim, py0 = 0. Consideremos o

subanel de S ={1, 2 · 1, 3 · 1, . . . , p2_{· 1 = 0} de R isomorfo a Z}

p2. Escrevendo simplesmente

S =_{{1, 2, 3, . . . , p}2 _{= 0}_{}, seja T = {0, 1, . . . , (p − 1) · 1} ⊆ S. Vemos que K = {ap + by} 0 :

a, b∈ T } ⊆ D(R), pois p(ap + by0) = 0. Utilizando o mesmo racioc´ınio do caso 1, temos que

os elementos de K s˜ao dois a dois distintos. Assim, _{|K| = p}2_{, donde K = D(R).}

Como y2

0 6= 0 e y0y02 = 0, temos que existem s, t ∈ T tais que y20 = sp + ty0, donde

0 = y0(y02− sp) = ty02. Como t∈ T e py0 = 0, devemos ter t = 0. Assim, y02 = ps, para algum

s∈ T = {1, 2, . . . , p}.

Assim, como no Caso 1, podemos verificar que os elementos de D ={a + by0 : a∈ S, b ∈

T_{} s˜ao dois a dois distintos, donde R = D. O homomorfismo f : Z}p2[y] → R dado por

f (γ(y)) = γ(y0) induz um homomorfismo h :

Z_p2[y]

(py,y2_−ps) → R dado por h(γ(y)) = γ(y0), pois

(py, y2 _{− ps) ⊆ Ker(f). Mostremos que h ´e injetora. Sejam a + by, c + dy ∈} Zp2[y]

(py,y2

−ps) tais

que h(a + by) = h(c + dy), ou seja, a + by0 = c + dy0. Ent˜ao existem α(y) = Pnj=0ajyj e

β(y) =Pm

k=0bkyk polinˆomios deZp2[y] tais que (a−c)+(b−d)y = α(y)py+β(y)y2−β(y)ps =

a0py + a1py2+ . . . + anpyn+ b0y2+ b1y3+ . . . + bmym+2− b0ps− b1psy− . . . − bmpsym, donde

vem que 0 = a1p+b0−b2ps. Assim, o inteiro p divide b0, ou seja, b0 = pw, para algum w ∈ Z.

Como a− c = −b0ps =−p2ws, temos a− c = 0, ou seja, a = c. Agora, b − d = a0p− b1ps.

Como a2p + b1− b3ps = 0, segue que p divide b1. Assim, sendo p2 = 0, temos b− d = a0p.

Logo, p divide b− d, donde b − d = 0. Logo, h ´e injetora e temos assim que R ∼= Zp2[y]

(py,y2_−ps).

Caso 3: Char(R) = p3

Temos neste caso que R =_{{1, 2 · 1, 3 · 1, . . . , p}3_{· 1 = 0}, que, por sua vez, ´e isomorfo ao}

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