Esta aula não foi realizada na turma na qual a estágiaria realizou o estagio devido ao tempo incompatível com a escola, deste modo a estagiaria ajudou a colega de estagio, Luciana, da escola Dirlene Mendoça na condução desta aula proposta pela mesma com o auxilio de mais duas colegas Luciene e Rosangela também utilizaram desta turma para aplica a aula. Os alunos foram encaminhados para o laboratório de informática da UESB pelo transporte da UESB e sob responsabilidade dos estagiários que antes solicitaram autorização dos pais para que seus filhos participassem da aula. Como primeiro contato com os alunos, estes foram bem receptivos.
Durante o desenvolvimento da atividade, os alunos apresentaram envolvidos com a atividade, buscado sempre os estagiários para tirar dúvidas na execução de alguns comando como desfazer uma atividade, como abrir uma nova pagina em branco, que comando criava um segmento, etc. seno que todos os alunos conseguiram realizar a atividade dentro do tempo proposto.
68 contato com os computadores. Após apresentação do conteúdo pela estagiaria Luciana, os demais estagiários foram auxiliando os alunos no manuseio do programa. Ao terminar a aula os estagiários convidaram os alunos a conhecer um pouco do ambiente do qual fazemos parte e em seguida retornaram para casa.
69 Aplicabilidade dos Números Racionais no cotidiano
Vitória da Conquista Maio/2010
70 CÍNTIA JACKELLYNE SOUZA SILVA
Aplicabilidade dos Números Racionais no cotidiano
Projeto sobre a Aplicabilidade dos Números Racionais no cotidiano a ser aplicado no Colégio Instituto de Educação Euclides Dantas para a turma da 6ª serie B, turno matutino, como instrumento norteador da prática pedagógica da estagiária.
Vitória da Conquista Maio/2010
71 A educação é um ato de amor e, portanto um ato de coragem. Não pode temer o debate, a analise da realidade; não pode fugir à discussão criadora, sob pena de ser uma farsa. Paulo Freire
72 Muitas vezes à exposição de um conteúdo de matemática ocorre de maneira mecânica, o professor mostra como desenvolver o processo de um problema com uma serie de exemplos e em seguida passa aos seus alunos uma lista de exercícios, realizada repetitivamente; o aprendizado acaba por se tornar um treinamento/ mecânico. O aluno deste modo acostuma a receber todo o conhecimento tornando a experiência do aprendizado restrita. O que se vê em geral é que os alunos conhecem o assunto - seus termos, mas não sabem para quê serve.
Mudar este quadro não é fácil, mas também não é impossível. Pode-se mediar o aluno a raciocinar. Aqui raciocinar é pensar por si, com autonomia, ser questionador. Para ensinar Matemática para adolescentes deve-se levar em consideração a sua fase de desenvolvimento cognitivo, bem como propostas metodológicas que parta de uma realidade concreta e contextualizada para os conceitos desenvolvidos pela matemática. Dessa forma o papel do educador hoje está mais para instigador do educando na aventura de sua busca pelo conhecimento, não só na sala de aula, mas em toda parte, proporcionando ao aluno condições para que este amplie seu relacionamento diante da sociedade.
Em nossa realidade percebemos que o aluno possui maior facilidade quando o desenvolvimento do seu aprendizado não está apenas na observação como cópia de um modelo, mas na investigação do que o cerca, quanto mais ele explora mais ele é capaz de relacionar os fatos com as idéias, torna-se capaz de pensar e compreender com destreza.
Pode-se dizer que a atitude do professor em relação ao uso adequado do material concreto decorre da sua compreensão do ensino da matemática, tendo esta como um convite a exploração, a descoberta, ao raciocínio, porém percebe-se que atualmente os professores em geral vem cada dia exigindo menos dos alunos em relação aos cálculos com frações nas situações do cotidiano e consequentemente são poucas as relações com o concreto.
Sendo assim, explorar situações do cotidiano no aprendizado dos Números Racionais torna a compreensão mais fácil e consistente, sendo que a exposição do conteúdo não deixa de ser importante muito menos o seu registro. Lembrando que toda e qualquer atividade deve ter o porquê da sua aplicação, sendo que a intervenção do professor com questionamentos e incentivo a discussão é essencial para o bom aprendizado do aluno.
Partindo do concreto e de situações do cotidiano do aluno - nosso maior foco - para a inserção do conteúdo que se almeja estar trabalhando, neste caso os Números Racionais onde
73
será desenvolvida uma serie de atividades nas quais os conteúdos serão destrinchados através de atividade lúdicas e de descoberta.
Em varias conversas em reuniões, ou sala de professores vemos que o professor possui uma dificuldade de expor as frações aos alunos e estes uma dificuldade maior de estar relacionando a fração como a parte de um todo, o todo de uma parte e a parte da parte e que sua representação é um número. Devido à grande dificuldade de se apresentar o conceito de frações e vir a relacioná-los com o dia-a-dia que este projeto tem por objetivo utilizar das noções que os alunos possuem para a construção de uma noção consistente de fração utilizando vários materiais concretos e situações cordiais
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ABORDAGEM TEORICA
Frações: História e Contexto Escolar
Desde muito cedo, a humanidade pressentiu a existência de outros números, além dos números inteiros. Por exemplo, por força das circunstâncias, muitas vezes, um caçador via-se obrigado a repartir um peixe ou outra caça, isto quando só lhe restava uma única unidade. Sendo assim, dividia a mesma em duas partes iguais, ou em quatro partes, ou ainda em um número maior de frações, dependendo do número de pessoas que se encontravam para saciar sua fome. Neste caso, ele já estava usando seus conhecimentos espontâneos sobre frações.
Nos primórdios da civilização, a humanidade sentiu que havia uma necessidade de comunicação que os levou a criar os símbolos para criar quantidades. Os homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade do Bronze parece ter surgido à necessidade do conceito de fração e de notação para frações.
Porém há relatos de que o estudo das frações surgiu no Egito às margens do Rio Nilo para demarcação de terras. Os números fracionários surgiram das necessidades que os antigos geômetras dos faraós do Egito tinham de realizar as marcações das terras, isto há 3.000 anos a.C.. O motivo da utilização era porque no período de junho a setembro, o rio Nilo inundava essas terras apagando suas marcações, conforme figura 1 e 2. As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, pelo qual eles utilizavam as frações.
Fig 1: As margens do rio Nilo
75 Os egípcios usavam frações unitárias, ou seja, com o numerador um dividido por um número inteiro, como por exemplo: , , ,... Eram denominadas frações egípcias.
As frações unitárias eram representadas por inscrições hieroglíficas, como exemplo a fração era representada da seguinte maneira. Todas as frações tinham o sinal oval na parte superior, e o outro número com sua respectiva representação. Os egípcios utilizavam muitas frações, mas a fração era considerada a fração geral representada pelo sinal hierático, utilizada como base para as operações fracionárias, não como uma regra elementar, mas sim como parte de um processo, que sem o uso da mesma seria incompleto. Então para se obter um terço de um número, os egípcios primeiramente encontravam os dois terços, para em seguida, calcular a metade do valor obtido.
O mais antigo e extenso papiro é chamado Papyrus Rhind, que foi encontrado num quarto de uma arruinada construção junto ao Ramasseum. Ele que tem como conteúdo principal, questões relativas a equivalências de frações, as operações com números fracionários, as proporções, as regras de três, a regra de falsa posição, a decomposição em partes proporcionais aritméticas ou problemas geométricos.
Outro Papiro, que também aborda aspectos das frações, é o Papyro de Kalum dentre eles estão:
a) Transformações , , , , ...,
em soma de unidade fracionária, isto é, fração cujos denominadores são a unidade.
b) Produto da soma +
por 9.
c) A razão 110:8 é igual a 13 – –
e as suas sucessivas frações do quociente anterior pela soma + .
Já os babilônios usavam as frações para registros de suas transações comerciais, representando com os mesmos valores monetários próprios de sua cultura. Na Babilônia o valor de um algarismo era determinado pela posição na escrita dos números, mas em vez de ser decimal como nosso sistema proporcional, era de base sexagesimal. A unidade era representada pelo símbolo ∇ . O número ∇ ∇ poderia tanto representar 60 + 1 = 1 + . Assim, todas as frações eram de forma , ( 2, 3 etc, representadas pelo símbolo∇ . Sua posição no número é que determinava o seu valor.
76 Os hindus, em meados do segundo milênio antes de Cristo, já conheciam frações de , chamada ardha; chamada parda; chamada trípada;
chamada Kala e as representavam de maneira muito semelhante à atual. Na Roma Antiga, aprendia-se a trabalhar inicialmente com as frações de denominador 12. Já na Índia, por volta do século V a.C. as Sinddhantas (Sistemas Astronômicos) apresentavam a circunferência dividida em 360 partes iguais.
Com o passar do tempo, muitas notações foram usadas para representar os números fracionários. A nossa maneira atual de representar uma fração por meio de uma barra separando um par ordenado de números data do século XVI.
CONCEITO DE FRAÇÃO
Fração é a representação da parte de um todo ( de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como adição, subtração, multiplicação, divisão, entres outras.
Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numérica, por exemplo, (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que um reta numerada estará entre os números 0 e 1.
Pode ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possuir uma nomenclatura especifica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
77 Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amiga e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
Você concorda com esta divisão? Por quê?
Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
No cotidiano, existem inúmeras situações nas quais se empregam frações, como por exemplo, nas eleições vence o candidato que obtiver ½ (metade) do total de votos mais um no primeiro turno ou a maioria simples no segundo; em mapas e plantas com o uso de escalas; razões e proporções empregadas na música, na medicina, na física, na culinária, entre outras.
Fração é todo par de números naturais na forma =
onde: o denominador “b” indica em quantas partes iguais o inteiro foi divido. O numerador “a” indica a quantidade utilizada dessas partes. Como não existe divisão por zero, não existe fração com denominador igual a zero.
Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que
é escrito sobre o traço de fração e o Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizaram o objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:
N = { ... ,-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
78 Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constitui os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.
Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número. Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
LEITURA DE FRAÇÕES
Para a leitura dos números fracionários onde o denominador é 2 ou 3 temos casos especiais como:
= um meio ou metade e, = um terço ou terça parte
Para os demais casos, lemos os numeradores normalmente, os denominadores até o numero 9, utilizamos os números ordinais, veja:
Frações com denominadores de 4 a 9 = três quartos = três quintos = três sextos = três sétimos = três oitavos = três nonos
Quando a fração tiver denominador a partir de 11, lemos a fração utilizando a palavra avos. Veja os exemplos:
= três onze avos = cinco quinze avos = um vinte e cinco avos
79 Frações com denominadores 10, 100, 1000 e assim por diante:
= dois décimos = cinco centésimos = oito milésimos
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro através de situações geométricas ou numéricas. Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar significa analisar qual representa a maior ou a menor quantidade ou se elas são iguais.
1ª situação
Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. Observe a comparação entre as frações . Note que os denominadores são iguais, dessa forma, vamos comparar os numeradores.
4 > 2 (quatro é maior que dois) então . Veja outra comparação envolvendo as frações
e .
Os denominadores também são iguais, assim basta indicarmos qual dos numeradores é maior. Percebemos que o 12 é maior que 7 (15 > 7), portanto
. 2ª situação:
Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da 1ª situação. O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é chamado de
redução e consiste em descobrir um numero pelo qual iremos multiplicar os membros de uma fração para que os denominadores assumam o mesmo valor. Observe:
80 multiplicar os membros da 1ª fração por 3 e multiplicar os membros da 2ª fração por 6.
Veja: Note que
, portanto . Observe que multiplicamos os membros da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração e os membros da 2ª fração pelo denominador da 1ª fração.
3ª situação: escrevendo na forma de decimal = 10 : 4 = 2,5 = 12 : 8 = 1,5 Como 2,5 > 1,5 então FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Exemplo: , , são equivalentes.
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração . x = x = x = x =
Portanto as frações
são algumas das frações equivalentes a SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
81 Uma fração equivalente a
, com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração
pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de
.
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NUMEROS RACIONAIS Temos que analisar dois casos:
1º. Denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º. Denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações e .
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 = (10:2).5 = 25 + =
82 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
=
=
=
= =
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
=
83 PROPOSTA DE ATIVIDADE
Todo o trabalho com frações pode ser feito a partir de atividades lúdicas. Estas foram sugeridas devido à importância de estar motivando o aluno a estudar de forma que alcance o objetivo de maneira prazerosa.
As atividades propostas enfocarão os conceitos de fração, sendo que as atividades a serem apresentadas não fiquem apenas na fixação de conteúdo, mas que se estenda a problemas e jogos que levem a descoberta do conceito.
As atividades aqui apresentadas são apenas uma amostra do que pode ser desenvolvido podendo ser exploradas de acordo com o nível a ser trabalhado.
OBJETIVOS GERAIS
o Aplicar o conhecimento sobre frações para representar e resolver situações problema;
o Desenvolver os conteúdos de fração através de aulas investigativas utilizando de materiais concretos;
o Trabalhar a representação dos números fracionários na reta numérica; o Mostrar como se realiza as operações com os números fracionários;
o Verificar se os conceitos de fração foram compreendidos através de exercícios; o Estimular diferentes formas de resolução para a questão;
o Aplicar diferentes tipos de jogos a fim de provocar no aluno a descoberta, a apresentação e fixação dos conteúdos de fração;
o Mostrar alguns softwares que contém jogos de avaliação do conhecimento.
o Construir os significados dos números através de experiências do mundo real utilizando de materiais físicos;
OBJETIVOS ESPECIFICOS
o Ampliar e construir novos significados para os números racionais a partir de sua utilização no contexto social;
o Identificar a idéia de fração em conjuntos contínuos;
o Identificar a idéia de fração em vários contextos como parte-todo e como quociente; o Associar números racionais a situações concretas;
84 o Utilizar os diferentes significados e representações dos números racionais e das operações
envolvendo esses números para resolver problemas em contextos sociais; o Adicionar ou subtrair com números racionais;
o Resolver problemas envolvendo adição e subtração com números racionais; o Calcular o produto ou o quociente de números racionais;
o Resolver problema envolvendo multiplicação e divisão de números racionais; o Conhecer e representar as frações equivalentes;
o Identificar e calcular frações utilizando-se de jogos e softwares matemáticos;
CONCEITOS A SEREM DESENVOLVIDOS o Noção de fração;
o Adição e subtração de números racionais; o Multiplicação e divisão de números racionais;
MATERIAIS DIDATICOS E AMBIENTE PARA O ENSINO
Este projeto será desenvolvido nas aulas de matemática onde as atividades serão aplicadas com toda a turma. Busca proporcionar ao aluno um clima de exploração e descoberta onde o professor procurará mediar o aluno a formar o seu conhecimento.
Devido à dificuldade que os alunos possuem de assimilar o conteúdo de fração e visto que o ensino de matemática quando trabalhado com a manipulação de materiais concretos facilita o entendimento, que este projeto foi elaborado.
Neste projeto serão utilizados diversos materiais para manipulação fornecidos pelo professor, além de atividades impressas e utilização do laboratório de informática para verificação do aprendizado. Por indução, mostrarei alguns conceitos como Comparação, Simplificação, Equivalência de frações e Operações com frações com o intuito que o aluno formule o seu próprio conceito, interiorizando-os através das situações apresentadas para vir relacionar com o seu cotidiano.
Dentre as atividades a serem desenvolvidas destacamos: Reta numérica de fita colorida e fichas com valores;
Domino de frações; Tabua de frações;
85
Tudo vira pizza;
Domino das operações; Corrida do ouro; Corrida das frações;
Utilização de software para verificação do aprendizado (como o enigma das frações que se