Letra D
EC 41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2 Resolução
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a metade da área de uma circunferência.
2
· 1 2 2
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:
2 1 3
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2.
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R. 2 · 32 2 2 ·94 2 2
9 8 2 9 4 8 5 8
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: 2 5 8 2 · 8 5 8 10 0,8 Letra C
EC 42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5 b) 7,5 c) 5 +
5
2/2
d)5
2
e) 10. Resolução.Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura com formato daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de criança.
Segue o desenho de um cone:
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície horizontal.
A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5).
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o solo).
Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao longo de uma mesma horizontal.
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d.
O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo:
O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.
O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5. Com isso, o triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com ambos valendo 5 cm.
Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem ser iguais entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que cada um dos ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º.
O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e uma horizontal).
Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de 45º, para que a soma entre ambos seja de 90º.
Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de seus ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima).
Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo isósceles. Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma medida.
Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm.
O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras: 2 2 2 5 5 + =d 2 25 2× =d
2
5
=
d
Letra DI. Corda, diâmetro e tangentes
Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.
O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro (ver segmento em azul na figura acima). O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio.
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto. A reta “toca” a circunferência.
As retas tangentes são perpendiculares aos raios traçados no ponto de tangência.
Há uma propriedade muito importante referente à retas tangentes.
Considere uma circunferência qualquer e marque um ponto P fora dela. A partir deste ponto P, trace duas retas tangentes à circunferência.
Pois bem, estas duas retas tangentes tocam a circunferência em dois pontos distintos A e B. O teorema afirma que PA é igual a PB, ou seja, a distância de P até A é igual à distância de P até B.
Em suma, o segmento azul tem o mesmo comprimento do segmento vermelho. B
A
Pois bem, a partir deste teorema, podemos inferir outro teorema (corolário) que é imediato.
Vamos traçar uma circunferência. A partir desta circunferência vamos desenhar um quadrilátero de forma que todos os lados do quadrilátero sejam tangentes à circunferência. Dizemos que o quadrilátero é circunscrito à circunferência. Da mesma forma, podemos dizer que a circunferência é inscrita ao quadrilátero.
Bom, a figura fica assim:
Os segmentos tangentes que forem congruentes, vamos colocar com cores iguais.
Vamos somar os pares de lados opostos: AB com CD e AD com BC.
Lembre-se que os segmentos de mesma cor são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
Portanto,
Resumindo o teorema diz o seguinte: um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
Esses dois teoremas já apareceram na ESAF... Vamos ver como foi!
C B
A
EC 43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe- se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:
a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm Resolução.
Um círculo é inscrito ao triângulo quando ele está dentro do triângulo, tangenciando todos os seus lados. A figura abaixo representa as informações do enunciado:
O raio do círculo mede 1 cm. O raio é o segmento de reta que parte do centro do círculo e termina na sua extremidade.
Abaixo desenhamos dois raios:
O ângulo entre o raio e o lado do triângulo, no ponto de tangência, é 90º. Logo, os dois ângulos destacados em vermelho, abaixo, são de 90º:
Como o triângulo é retângulo, o ângulo destacado em azul também é de 90º. Por fim, como a soma dos ângulos de um quadrilátero é 360º, o ângulo destacado em verde é também de 90º.
Com isso, podemos concluir que os dois segmentos abaixo medem 1 cm:
Agora vem a informação dada pela questão. Observem os segmentos a e b acima. Eles partem de um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferência. Quando isso acontece, os dois segmentos têm a mesma medida.
Repetindo:
- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto - ambos terminam sobre a circunferência, tangenciando-a.
Logo:
b
a
=
Isto vale sempre, para qualquer circunferência.
A hipotenusa do triângulo vale 20 cm. Logo:
20
=
+ c
a
A questão pede o perímetro do triângulo. O perímetro é dado pela soma de todos os seus lados. O perímetro fica:
Perímetro = (c+a)+(a+1)+(1+c)=? =
2a+ c2
+2
Lembrando que
a+ c=20
, temos: Perímetro = 2×(a+c)+2=
2×20+2=42
Letra DEC 44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 - c. b) 18 - x. c) 36 - a. d) 36 - c. e) 36 - x. Resolução.
Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma circunferência. Logo, estes dois segmentos têm o mesmo comprimento. Assim, o segmento BR também mede y.
O exercício pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z. O perímetro do triângulo é igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados é 36.
36 ) ( ) ( ) (y+x + x+z + z+ y = 36 ) ( 2 x+ y+z = 18 = + +y z x ) ( 18 x y z = − +
O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, concluímos que:
c
y
x+
=
Deste modo: ) ( 18 x y z = − +c
z
= 18−
Letra AEC 45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50 Resolução.
A figura abaixo representa um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ou seja, o quadrilátero está do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferência. Podemos também dizer que a circunferência está inscrita ao quadrilátero.
Vamos dar nomes aos pontos:
Já vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam tangenciando a mesma circunferência, eles têm a mesma medida. Assim, os segmentos PD e PA têm a mesma medida. O mesmo vale para QA e QB. Ou para RC e RB. E também para SD e SC.
Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e QB medem s. E assim por diante.
Vamos agora somar as medidas dos lados opostos. PQ e SR são opostos. Somando-os, temos:
) ( )
(p+s + q+r =
p+q+r+s
) ( )
(p+q + s+r =
p+q+r+s
Disto, concluímos que a soma dos lados opostos é constante. Isto vale sempre.
Em outras palavras: sempre que um quadrilátero for circunscrito a uma circunferência, as somas de seus lados opostos serão iguais entre si.
Nesta questão da CGU, os lados que medem a e b são opostos entre si. Consequentemente, c e d também são opostos entre si. Vamos somar os lados opostos. 6 7 ) 3 3 ( ) 9 4 ( − + + = − = +b x x x a
x
x
x
d
c+
=3
+2
=5
Como este quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, as duas somas acima são iguais entre si.
3
5
6
7x−
=
x⇒x=
O perímetro do quadrilátero fica:
30
6
36
6
12
−
=
−
=
=
+
+
+b
c
d
x
a
Letra BII. Relações entre cordas e secantes
Vejamos a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que existe entre os segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto exterior.
“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.
“Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos secantes” (PB e PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte exterior (PA) é igual ao produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”
Em suma, · · .
EC 46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada. a) 3 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 Resolução