Usemos a semelhança dos triângulos: 8
9. Quadriláteros
9. Quadriláteros
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.
I. Trapézios
Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do trapézio são as bases.
De acordo com os dois lados que não são bases, temos:
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. - trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes.
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos.
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º). Base Menor (b)
180°
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.
2
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: ·
2
Onde é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases.
c b d a a a b b Base Menor (b) Base Maior (B) BM
II. Paralelogramo
Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (a soma é 180º).
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases.
·
III. Losango
Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero equilátero).
Todo losango é um paralelogramo.
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos.
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos.
2
IV. Retângulo
Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida).
Todos os retângulos são paralelogramos.
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de Pitágoras.
A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura).
V. Quadrado
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular).
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes.
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango.
Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2. A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado.
ℓ d
b a
EC 32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e
formato retangular. As dimensões desse jardim são de: (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que · 36
Como o perímetro é igual a 26m, então
2 2 26
Dividindo ambos os membros por 2, temos 13
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema.
13 13 Substituindo essa expressão na equação (I):
· 36 · 13 36 13 · 36 13 36 0 √ 4 2
13 13 4 · 1 · 36 2 · 1 13 √169 144 2 13 5 2 Assim, 9 13 9 4 Ou 4 13 4 9.
Logo, as dimensões são 4m e 9m. Letra C
EC 33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m Resolução
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ .
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que 25
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que
4 4 28
Dividindo ambos os membros por 4, temos 7
Isolando o y:
7
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:
25
7 25
49 14 25
2 14 24 0
Dividindo ambos os membros por 2,
7 12 0 √ 4 2 7 7 4 · 1 · 12 2 · 1 7 1 2 Assim, 4 3 Ou 3 4
Assim, as dimensões são 3m e 4m. Letra A
EC 34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8.
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE.
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula passada) no triângulo ABE.
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, 3 5 9 25 16 4 Assim, a área do paralelogramo é dada por
Á · 8 · 4 32
Letra D
EC 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400 Resolução
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.
Lembremos a fórmula da área de um trapézio: · 2
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x.
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 17
289
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:
28 25
784 56 625
Sabemos por (I) que 289. Assim,
784 56 289 625 1.073 56 625
56 448 8 Voltemos para (I).
289
8 289
289 64 225 15 A fórmula da área de um trapézio:
· 2 44 16 · 15 2 60 · 15 2 450 Letra D