Aula 7 Geometria
1. Comentários ... 2 2. Ângulos ... 2 I. Ângulo reto, agudo, obtuso ... 2 II. Bissetriz de um ângulo ... 4 III. Ângulos complementares, suplementares e replementares ... 4 IV. Ângulos opostos pelo vértice ... 4 3. Paralelismo ... 7 I. Lei Angular de Tales ... 10 4. Polígonos ... 11 I. Polígono Regular ... 13 II. Número de diagonais de um polígono de n lados ... 14 III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ... 18 5. Classificação dos Triângulos ... 25 I. Síntese de Clairaut ... 26 6. Teorema de Tales ... 30 7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações ... 33 I. Diagonal do quadrado ... 34 II. Altura do triângulo equilátero ... 34 8. Semelhança de Triângulos ... 44 9. Quadriláteros ... 50 I. Trapézios ... 50 II. Paralelogramo ... 52 III. Losango ... 52 IV. Retângulo ... 53 V. Quadrado ... 53 10. Circunferência e Círculo ... 59 I. Corda, diâmetro e tangentes ... 72 II. Relações entre cordas e secantes ... 81 11. Triângulos, circunferências e áreas ... 83 12. Relação das questões comentadas ... 87 13. Gabaritos ... 1011. Comentários
A Geometria é milenar. Imagine a quantidade de conhecimento que foi acumulada em pelo menos 2.000 anos de Geometria. Colocaremos nesta aula o que julgamos ser fundamental para resolver as questões de Geometria dos concursos. Quem quiser se aprofundar para ser “expert” em Geometria, aconselhamos o livro Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 9 (Atual Editora – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo).
Diga-se de passagem, que a ESAF costuma copiar muitas questões desta coleção. Depois que você passar no concurso de seu sonho e quiser virar um Pelé da Geometria, aconselhamos a compra dos seguintes livros:
- Elementos de Geometria (Autor: Frere Ignace Chaput (FIC) – Livraria Garnier)
Este livro é um clássico. Muitos consideram este livro a Bíblia da Geometria. Talvez você encontre no site www.estantevirtual.com.br
- Challenging Problems in Geometry (Autores: Alfred Posamentier e Charles Salkind – Editora Dover).
Este livro contém inúmeros exercícios resolvidos para os Pelés que estudaram pelo FIC.
2. Ângulos
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo.
O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB.
I. Ângulo reto, agudo, obtuso
Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus. Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos em radianos.
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua medida é, por definição, 180º (180 graus).
A
B O
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos.
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso.
Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais.
O ângulo reto tem 90 graus (90º).
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos (60’).
1° 60
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’).
1 60 O 180º
Quando este símbolo aparecer em alguma figura, estará indicado que se trata de um ângulo reto.
O
Ângulo agudo Ângulo obtuso
II. Bissetriz de um ângulo
Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares
Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o complemento do outro.
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é 90° . Por exemplo, o complemento de 30º é 30° 90° 30° 60°.
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o suplemento do outro.
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é 180° . Por exemplo, o suplemento de 30º é 30° 180° 30° 150°.
Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o replemento do outro.
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é 360° . Por exemplo, o replemento de 30º é 30° 360° 30° 330°.
IV. Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). O
EC 1. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor,
assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
Resolução
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em
tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e
dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup
, o seu
complemento é denotado por
e o seu replemento é denotado por
.
Assim, tem-se as seguintes relações:
sup
180
comp
90
rep
360
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o
maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor.
4 · 180
35
720
4
35
5
685
137
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos.
Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180
137
43 .
Letra C
EC 2. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura
abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o
valor da medida do ângulo X?
(A) 100º 45’
(B) 106º 37’
(C) 98º 99’
(D) 360º
(E) 111º 11’
Resolução
Vimos na questão passada que d
ois ângulos são suplementares se a soma de
suas medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por
sup
e
sup
180
sup 72 83′
180
72 83′
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e
72º83’=73º23’
sup 72 83′
179 60′
73 23′
sup 72 83′
106 37′
Letra B
EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º? Resolução
Vamos considerar que o ângulo mede graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° .
Podemos reescrever o enunciado assim:
90° 58°
90° 58°
2 148° 74° O ângulo procurado é 74º.
EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.
Resolução
Se um dos ângulos mede graus, então o outro medirá 180° . 3 · 180°
540° 3 4 540°
135° O outro ângulo é 180° 135° 45°.
Resposta: Os ângulos são 135º e 45º.
3. Paralelismo
Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns.
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas.
As retas r e s são paralelas e indicamos assim: .
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s.
r s
Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados.
Vamos considerar dois grupos de ângulos: Grupo I 1, 3, 5, 7.
Grupo II 2, 4, 6, 8.
Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si. Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si.
Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180º).
Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes. Resumindo:
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos.
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual a 180º). 8 7 6 5 4 3 2 1 r s t
EC 3. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°. Resolução
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha é igual a . Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes.
Assim,
44 30′ 55 30′ 99 60′ 100 Letra A
I. Lei Angular de Tales
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.
EC 4. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90° Resolução
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 180º. Assim, 2 3 4 180 9 180 20 O maior ângulo é 4 4 · 20 80 Letra D
EC 5. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede:
a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º Resolução
A Lei Angular de Tales garante que 180°. Como 60°, então:
60° 180°
Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2.
Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales:
2 2 180° 2 180° Como 120°: 120° 2 180° 60° 180° 120° Letra D
4. Polígonos
De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais. Número de Lados Nome do polígono
3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono X C/2 B/2 60º
20 Icoságono
O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de um polígono por 2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por .
EC 6. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de
um terreno retangular de medida 94 m e 36 m.
(A) 320 m
(B) 280 m
(C) 260 m
(D) 270 m
(E) 300 m
Resolução
Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os
lados de um polígono) por 2p.
Assim, 2
94
94
36
36
260 .
Letra C
EC 7. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem (A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m. Resolução
O perímetro é igual a 96m.
Assim, 3 3 96
8 96
12
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. Letra A
I. Polígono Regular
Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero.
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo.
Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo. Polígono equilátero Polígono equiângulo
É muito importante observar o seguinte fato:
O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o triângulo.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede:
180°
3 60°
II. Número de diagonais de um polígono de n lados
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono.
Um pentágono e suas 5 diagonais.
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras:
i) Argumento combinatório
Um polígono de lados possui vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois dos vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a .
60º 60º
Destas há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos das “pseudo-diagonais” retirar os lados.
Portanto, o número de diagonais é igual a:
· 1 2 · 1 2 2 2 3 2 · 3 2 ii) Argumento geométrico
Considere um polígono com lados. De cada vértice partem 3 diagonais. Subtraímos o número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio vértice e nem para os vértices que estão “ao lado”.
Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados). Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3).
Pois bem, então de cada vértice partem 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi perguntado em prova!!
Como são vértices, “então”o total de diagonais seria igual a · 3 .
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a:
· 3
EC 8. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono.
a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95. Resolução
Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados.
Número de Lados Nome do polígono 3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono
Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n lados é igual a
· 3
2
Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a 20 · 20 3
2 170 .
Letra C
EC 9. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18
Resolução
Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo.
· 3
2
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes.
Um hexágono possui
6 · 6 3
2 9 .
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma,
3 9 12 Letra B
EC 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. Resolução
O número de diagonais é igual ao número de lados.
· 3
2
· 3 2
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”. 3 2
Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais.
Letra C
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com lados é 180° · 2
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo.
Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono).
Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais podemos traçar?
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono.
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono liga dois vértices. Só que os lados não são diagonais.
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um polígono.
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho na figura abaixo).
Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos demais.
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio.
Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele.
Abaixo detalhamos as duas diagonais:
Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar
n
−
3
diagonais (onde n é o número de vértices do polígono).Por que precisamos subtrair 3?
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice em análise.
→
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados:
3
−
n
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos. Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica:
º
540
º
180
3
×
=
Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar
n
−
3
diagonais. Com isso, dividimos a figura emn
−
2
triângulos. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:º 180 ) 2 (n− × →
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados º
180 ) 2 (n− ×
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de
lados é igual a:
180° · 2
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar.
3 â
180° · 3 2 180° · 1 180° Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales
4 á
180° · 4 2 180° · 2 360°
5 á
180° · 5 2 180° · 3 540°
EC 11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 Resolução
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x – 3” obtendo 3 2 · 180 . O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo 2 · 180 . Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será 3 2 · 180 . Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte equação:
3 2 · 180 2 · 180 3 2 · 180 3.240 5 · 180 2 · 180 1 · 180 3.240 180 · 900 180 · 360 180 · 180 3.240 540 · 1.080 3.240 540 · 1.080 3.240 540 · 4.320 8 Portanto, o número de lados de P2 é 8. O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados.
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por
· 3
2 Assim, o número de diagonais de P3 é
11 · 11 3
2 44
A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF.
EC 12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 Resolução
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da ESAF).
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de lados é igual a:
180° · 2
O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus).
5° 180° · 2 180° · 2 5° 180° · 1 2 1 180° · 2 5° 180° · 1 1 180° · 2 5° 180° · 1 1 180° · 2 5° · 180° · 180° 1 180° · 360° 5° · 180° · 180° 1 185° · 360°
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
185° · 360° · 1 180° · 180° · 185° · 185° · 360° · 360° 180° · 180° · Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau.
5 5 360 0
Vamos dividir os dois membros da equação por 5. 72 0 √ 4 2 1 1 4 · 1 · 72 2 · 1 1 √289 2 1 17 2 Como é positivo, só devemos usar o +.
1 17 2
16 2 8
O polígono Y tem lados, então ele possui 8 lados.
Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira: 72 2 + n= n 72 ) 1 ( + = × n n
Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9. Letra A
Questão anulada
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa certa. Sabemos que X tem
n
+
1
lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais que Y.A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que é falso.
EC 13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.
O valor do ângulo ABC é: A) 18o B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o Resolução
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com lados utilizamos a fórmula:
180° · 2
Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: 180° · 5 2 180° · 3
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas).
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5. 540°
5 108°
Vamos calcular a medida do ângulo :
108° 108° 360° 216° 360°
144°
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. Vamos chamar os ângulos B e C de .
180° 2 144° 180°
2 36° 18° Letra A
5. Classificação dos Triângulos
Os triângulos podem ser classificados: i) Quanto aos lados
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno Tem os três lados congruentes.
Tem dois lados congruentes. Tem os três lados não- congruentes.
Quanto aos ângulos:
Triângulo Acutângulo Triângulo Retângulo Triângulo Obtusângulo
Tem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto.
Lados menores: catetos Lado maior (oposto ao ângulo reto): hipotenusa
Tem um ângulo obtuso.
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto é o ângulo do vértice.
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como Pons Asinorum).
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos medem 60º.
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos?
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será equilátero.
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no início desta página).
Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno.
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados? Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut.
I. Síntese de Clairaut
Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.
Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo. O triângulo é acutângulo se e somente se .
BASE Ângulos Congruentes Ângulo do vértice C B A a b c
O triângulo é obtusângulo se e somente se .
O triângulo é retângulo se e somente se (esta parte da Síntese de Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS).
EC 14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. a) 1, 2, 3 b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3 Resolução
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos.
Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut. Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado. O triângulo é acutângulo se e somente se .
O triângulo é retângulo se e somente se (Teorema de Pitágoras). O triângulo é obtusângulo se e somente se .
Coluna 1
1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 13 ? 6 12 169 ? 36 144
169 180 O triângulo é acutângulo (2).
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 13 ? 5 12 169 ? 25 144
169 169 O triângulo é retângulo (1).
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
12 ? 6 10 144 ? 36 100
144 136 O triângulo é obtusângulo (3).
Letra E
EC 15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes.
(B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto.
(E) dois ângulos obtusos.
Resolução
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C.
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B.
Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato marque a alternativa C.
EC 16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno Resolução
Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero. Letra C
EC 17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e , onde , , são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 45º, segue-se que:
a) 2 b) 3 2 c) 3 d) e) 2 Resolução
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales,
45° 90° 180° 45° Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º.
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais.
6. Teorema de Tales
Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas...
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe.
Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que:
EC 18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de:
d c b a Feixe de retas paralelas Transversais
(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2 Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Assim, 4 8 2 2 5 1 4 · 5 1 8 · 2 2 20 4 16 16 4 20 5 Letra B
EC 19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. a) 36.
b) 42. c) 49.
d) 96. e) 98. Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim,
10 30 21
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21).
30 · 10 · 21 30 · 210
7
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14.
2 2 14
2 12
6 O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. Letra B
EC 20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 Resolução
Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima.
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do feixe mede 2 10 18 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo.
Podemos afirmar que:
3 · 2 6 3 · 10 30 3 · 18 54 Letra A
7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações
Vamos considerar um triângulo retângulo.O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos.
Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e somente se . c a b 90 c b a 30 18 10 2 A B
Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns problemas envolvendo diretamente este assunto.
I. Diagonal do quadrado
Vamos considerar um quadrado de lado ℓ.
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (retos).
Pelo Teorema de Pitágoras:
ℓ ℓ 2ℓ ℓ√2
Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5 mede 5√2 .
II. Altura do triângulo equilátero
Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto.
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2.
Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que: ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ/2 ℓ ℓ
ℓ ℓ 2
ℓ ℓ
4
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador.
4ℓ 4 ℓ 3ℓ 4 3ℓ 4 ℓ√3 2
Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4 de lado é igual a: 4√3
2 2√3
EC 21.
(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um
triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual
a:
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
Resolução
“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de
mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é
forçada a aprender.”
Simon Singh O Último Teorema de Fermat – Editora Record
O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado
da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar
esta frase.
Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo:
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É
sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de
medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de
catetos. O teorema de Pitágoras afirma que:
Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa
com o auxílio do teorema de Pitágoras.
9
12
81
144
225
15
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum
em geometria plana indicar o perímetro por 2 (desta forma o semiperímetro é
indicado por
.
2
9
12
15
36
Letra A
EC 22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?
a) 5 km b) 4 km c)
4
2
km d) 3 km e)5
2
km Resolução. a b cA figura abaixo representa a situação dada:
Vamos chamar a distância entre os dois carros de x.
O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
2 2 2 4 3 + = x 25 16 9 2 = + = x
5
=
x
Letra AEC 23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Resolução
O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do poste).
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
12 18 12 18 144 324 36 36 324 144 36 180 5 Letra B
EC 24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Resolução
Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y.
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim,
2 36
2 2 36
Dividindo ambos os membros por 2, temos 18
18 çã
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
2 2 çã
Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações.
Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução.
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las. Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas.
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar algumas alternativas:
a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.
5
=
x
Da equação I, temos: x y= 18− ⇒ y=13Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. 2 2 2
)
2
2
(
x
x
y
=
+
+
2 2 25
)
2
5
2
(
13
=
×
+
+
25
144
169
=
+
169
169
=
As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta.
Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal.
18 çã 2 2 çã Como 18 , 2 2 18 4 8 4 324 36 4 44 320 0
Dividindo ambos os membros por 4, obtemos:
11 80 0 √ 4 2 11 11 4 · 1 · 80 2 · 1 11 √441 2 11 21 2
Como x > 0, então
11 21
2 5
A base é 2x, logo a base é
2 2 · 5 10
Como a altura é 2x+2, então
2 · 5 2 12
Letra B
EC 25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m Resolução
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um segmento que ligue estes dois pontos.
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD.
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente 11. Está formado o triângulo retângulo ADE.
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
11 13 290
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17 289, portanto:
17 Letra C
EC 26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:
a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km Resolução 4 9 4 E 11
O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte:
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo.
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho. 8 4 80 Como 9 81, então: 9 Letra C 2 11 3 6
8. Semelhança de Triângulos
Observem os dois triângulos da figura abaixo:
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são semelhantes. Um é o outro “aumentado”.
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né?
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.
Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.
Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é:
A constante de proporcionalidade é a chamada razão de semelhança.
Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”.
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande.
a a’
b' c'
b c
Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é , pode-se afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos é .
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada por 16 = 4².
EC 27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é:
(A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25 Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
15 5 3 3 75 25 Letra E
EC 28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
5,4 80 60 60 432 7,2 Letra E
EC 29.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura
tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura
ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa
criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
Resolução
Usemos a semelhança dos triângulos:
81,6
â
â
â
â
6
8
1,6
6
5
5
6
4
6
1,5
Letra A
EC 30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é
igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do
triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2. Resolução
Relembremos uma propriedade importantíssima:
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Assim, 128 8 128 64 64 · 128 2 Letra E
EC 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:
a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4 Resolução
Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC.
8 6 100 10
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de . O outro ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de .
Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então 5.
Os triângulos ABC e MNB são semelhantes. â â â â 10 5 8 8 · 5 · 10 50 8 6,25 6,25 8 1,75 175 100 7 4 Letra A
9. Quadriláteros
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.
I. Trapézios
Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do trapézio são as bases.
De acordo com os dois lados que não são bases, temos:
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. - trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes.
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos.
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º). Base Menor (b)
180°
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.
2
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: ·
2
Onde é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases.
c b d a a a b b Base Menor (b) Base Maior (B) BM
II. Paralelogramo
Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (a soma é 180º).
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases.
·
III. Losango
Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero equilátero).
Todo losango é um paralelogramo.
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos.
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos.
2
IV. Retângulo
Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida).
Todos os retângulos são paralelogramos.
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de Pitágoras.
A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura).
V. Quadrado
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular).
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes.
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango.
Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2. A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado.
ℓ d
b a
EC 32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e
formato retangular. As dimensões desse jardim são de: (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que · 36
Como o perímetro é igual a 26m, então
2 2 26
Dividindo ambos os membros por 2, temos 13
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema.
13 13 Substituindo essa expressão na equação (I):
· 36 · 13 36 13 · 36 13 36 0 √ 4 2
13 13 4 · 1 · 36 2 · 1 13 √169 144 2 13 5 2 Assim, 9 13 9 4 Ou 4 13 4 9.
Logo, as dimensões são 4m e 9m. Letra C
EC 33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m Resolução
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ .
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que 25
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que
4 4 28
Dividindo ambos os membros por 4, temos 7
Isolando o y:
7
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:
25
7 25
49 14 25
2 14 24 0
Dividindo ambos os membros por 2,
7 12 0 √ 4 2 7 7 4 · 1 · 12 2 · 1 7 1 2 Assim, 4 3 Ou 3 4
Assim, as dimensões são 3m e 4m. Letra A
EC 34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8.
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE.
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula passada) no triângulo ABE.
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, 3 5 9 25 16 4 Assim, a área do paralelogramo é dada por
Á · 8 · 4 32
Letra D
EC 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400 Resolução
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.
Lembremos a fórmula da área de um trapézio: · 2
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x.
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 17
289
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:
28 25
784 56 625
Sabemos por (I) que 289. Assim,
784 56 289 625 1.073 56 625
56 448 8 Voltemos para (I).
289
8 289
289 64 225 15 A fórmula da área de um trapézio:
· 2 44 16 · 15 2 60 · 15 2 450 Letra D
10.
Circunferência e Círculo
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um
ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro
do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem
as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro.
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é
uma região do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo.
Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento.
Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área.
Existe um número muito famoso em matemática chamado (pi). Este é um
número irracional e suas primeiras casas decimais são:
3,1415926535 …
Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por:
2
A área do círculo é dada por:
EC 36.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra
três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O
raio da circunferência de centro A é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
Resolução
AB = 34, BC = 18 e CA = 30
Temos o seguinte sistema:
34
18
30
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um
sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de
duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo
de sistema é o seguinte:
i) Escolha a incógnita que você quer calcular.
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a
incógnita escolhida por você.
iii) Some as três equações.
Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos
calcular o valor de
.
O termo não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois
membros da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três
equações. Desta forma,
serão cancelados.
34
18
30
34
18
30
2
46
23
Letra B
EC 37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16 Resolução
Como a área é igual a 16 , então
16 16 4 O círculo está inscrito em um quadrado.
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro). Assim, ℓ 2 · 4 8.
O perímetro do quadrado é igual a
2 ℓ ℓ ℓ ℓ 4 · ℓ 4 · 8 32 Letra A
EC 38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.
Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m² Resolução
A área de um quadrado de lado é igual a . A área de uma circunferência de raio é igual a .
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.
í / ℓ 4 6
3,14 · 6
4 7,74
Letra A
EC
39.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco
quadrado com 8 cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de
raio.
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é,
aproximadamente:
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
Resolução
Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo.
A área de um quadrado de lado é igual a
.
Portanto, a área do quadrado é igual a 8
64
.
A área de um círculo de raio é igual a
. (
3,1415926535 …
Portanto, a área do círculo é igual a
· 2
4
4 · 3,14
12,56
Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza
devemos dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por
12,56
64
· 100%
1256
64
%
19,625%
Letra D
EC 40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está
inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e
R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Resolução
Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a 2 .
Comprimento da circunferência:
2 r
Área do círculo:
Área do quadrado:
ℓ
2
4
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos
calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.
ã
ã
4
Usando uma boa aproximação para o número
3,14:
ã
4
3,14
0,86
Como á área do quadrado é 4 , então a metade da área do quadrado é 2 .
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do
que a metade da área total do quadrado.
0,86
2
O item é verdadeiro.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância
AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
2
√2
Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado
do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao
raio da circunferência e
√2
.
O item é falso.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado.
O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 3/4 do
comprimento da circunferência.
3
4
· 2
3
2
3 · 3,14 ·
2
4,71
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:
Este comprimento é igual a
2
2
6 .
22
Como 4,71
6 , o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é
mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.
Letra D
EC 41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2 Resolução
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a metade da área de uma circunferência.
2
· 1 2 2
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:
2 1 3
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2.
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R. 2 · 32 2 2 ·94 2 2
9 8 2 9 4 8 5 8
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: 2 5 8 2 · 8 5 8 10 0,8 Letra C
EC 42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5 b) 7,5 c) 5 +
5
2
/
2
d)5
2
e) 10. Resolução.Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura com formato daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de criança.
Segue o desenho de um cone:
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície horizontal.
A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5).
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o solo).
Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao longo de uma mesma horizontal.
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d.
O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo:
O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.
