(12) SejaX um espa¸co com a topologia induzida por uma distˆancia d. Dado um pontoxPXe um subconjuntoAĂX, definimosdpx, Aq “inftdpx, yq: yPAu.
(a) Mostre quedpx, Aq “0ôxPA.
(b) Fixemos agoraAĂX. Mostre que a fun¸c˜ao f:X ÑRdefinida por fpxq “dpx, Aq ´e cont´ınua.
(c) Dados fechados disjuntosF eGmostre quegpxq “dpx, Fq{`
dpx, Fq`
dpx, Gq˘
define uma fun¸c˜ao cont´ınua g:X Ñ r0,1stal que g|F “1 e g|G“0.
(d) Mostre que a fun¸c˜ao d:XˆXÑR´e cont´ınua.
(13) Considere a topologia TK em R gerada pelos intervalos abertos e por R´ t1,12,13,14, . . .u. Mostre que pR,TKq ´e Hausdorff e tem uma base cont´avel mas n˜ao ´e metriz´avel.
(14) Considere a topologiaT`emRgerada pelos intervalos da formara, brcom a, bPR. Mostre quepR,T`q´e normal e separ´avel mas n˜ao ´e metriz´avel.
(15) SejaT a topologia emRgerada pelos intervalos abertos e pelos conjuntos U ĂQ. Mostre queT ´e metriz´avel.
(16) SejaT a topologia em Zgerada pelos conjuntosAi,k “ i`kn:nPZ( , com i, kPZ. Mostre que T ´e metriz´avel.
(17) Seja X “ px, yq P R2 : y ą 0u e seja Y “ Qˆ t0u Ă R2. Seja T a topologia em XYY gerada pelas bolas contidas emX e pelos conjuntos
Ux,ε“ tpx,0qu YB`
px, εq, ε˘ para xPQe εą0. Mostre que T ´e metriz´avel.
(1) Tomemos um aberto U PU tal que aPU. Ent˜ao existe um xąa tal quera, xrĂU, pelo que xPA, logo sąa.
(2) Tomemos agora um abertoV PU tal quesPV. Comosąa, existe umc ă s tal que sc, ss Ă V. Como s ´e o menor dos majorantes, c n˜ao ´e um majorante deA logo existe umxPAtal quexąc. Ent˜ao existem U1, . . . , Uk P U tais que ra, xr Ă U1 Y ¨ ¨ ¨ YUk, e como sc, ss ĂV, temosra, ss ĂU1Y ¨ ¨ ¨ YUkYV.
(3) Para terminar a demonstra¸c˜ao basta observar que s “ b: caso contr´ario existiria um d ą s tal que rs, dr Ă V donde seguiria que ra, dr ĂU1Y ¨ ¨ ¨ YUkYV logodPA, o que ´e uma contradi¸c˜ao pois
s“supA.
Teorema 10.3. Seja f: XÑ Y cont´ınua, K ĂX compacto. Ent˜aofpKq
´
e compacto.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma cobertura aberta tUαu de fpKq tomamos uma
subcobertura finita de f´1pUαq.
Exemplo10.2. O c´ırculoS1´e compacto pois ´e a imagem der0,1spela fun¸c˜ao cont´ınuafptq “`
cosp2πtq,sinp2πtq˘ .
Teorema 10.4. Seja X um espa¸co compacto. Ent˜ao qualquer subconjunto F ĂX fechado ´e compacto.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma coberturatUαudeF, a colec¸c˜ao tUαu Y tX´Fu
´
e uma cobertura deX logo tem uma subcobertura finita.
Teorema 10.5. Seja X um espa¸co de Hausdorff, K Ă X um compacto.
Ent˜ao, dado um ponto a R K, existem abertos U, V disjuntos tais que K ĂU eaPV.
Demonstra¸c˜ao. Para cada x P K tomamos vizinhan¸cas disjuntas Ux P
V
xe Vx P
V
a. A colec¸c˜ao tUxu cobre K pelo que podemos tomas uma subco-bertura finitatUx1, . . . , Uxnu. Ent˜ao podemos tomarU “Ux1 Y ¨ ¨ ¨ YUxn eV “Vx1X ¨ ¨ ¨ XVxn.
Vamos ver agora v´arios corol´arios.
Teorema 10.6. Seja X um espa¸co de Hausdorff, K Ă X um compacto.
Ent˜aoK ´e fechado em X.
Demonstra¸c˜ao. O Teorema 10.5 mostra que X´K ´e aberto.
Teorema 10.7(Weierstrass). SeX´e um espa¸co compacto, qualquer fun¸c˜ao cont´ınua f:XÑRtem m´aximo e m´ınimo.
Demonstra¸c˜ao. O conjunto fpXq´e compacto, logo ´e fechado. A cobertura de fpXq pelos abertos da forma s´n, nr tem uma subcobertura finita logo fpXq´e tamb´em limitado. Assim, fpXq tem m´aximo e m´ınimo.
Teorema 10.8. Um espa¸co compacto de Hausdorff ´e normal.
Demonstra¸c˜ao. Como os fechados em X s˜ao compactos, o Teorema 10.5 mostra queX´e regular. Repetindo o argumento do Teorema 10.5, provamos
queX ´e normal.
Teorema 10.9. Seja f:XÑY uma fun¸c˜ao cont´ınua, X compacto eY de Hausdorff. Ent˜ao:
(1) Sef for injectiva, f ´e um mergulho.
(2) Sef for bijectiva, f ´e um homeomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Basta observar que f ´e fechada: seF ĂX ´e fechado, ent˜ao
´
e compacto, logofpFq ´e compacto, e portanto fechado.
Defini¸c˜ao 10.2. Dizemos que uma colec¸c˜ao de conjuntosC tem a propri-edade de intersec¸c˜ao finita (ou PIF) se a intersec¸c˜ao dum n´umero finito de elementos de C for n˜ao vazia.
Teorema 10.10. Um espa¸coX ´e compacto sse para qualquer colec¸c˜aotFαu de fechados com a PIF se tiver Ş
FበH.
Demonstra¸c˜ao. Se X n˜ao for compacto, existe uma cobertura tUαu sem nenhuma subcobertura finita. Seja Fα “ X´Uα. Ent˜ao tFαu tem a PIF mas Ş
Fα“ H.
Reciprocamente, se tFαu tem a PIF mas Ş
Fα “ H, seja Uα “X´Fα. Ent˜ao tUαu ´e uma cobertura aberta sem nenhuma subcobertura finita.
Exemplo 10.3. O subespa¸co r0,1s XQde R n˜ao ´e compacto: a colec¸c˜ao de fechadostCnudefinidos porCn“ rx´ p1{nq, x` p1{nqs XQtem a PIF mas parax irracional,Ş
Cn“ H.
10.1. Produtos. O Lema do tubo
Vemos agora mostrar que o produto de dois espa¸cos compactos ´e compacto.
Para tal precisamos do
Lema 10.1 (Lema do tubo). Sejam X,Y espa¸cos topol´ogicos tais que X ´e compacto. Seja p:XˆY Ñ Y a projec¸c˜ao. Ent˜ao dado um ponto aPY e um aberto U ĂXˆY tal quep´1paq ĂU existe uma vizinhan¸caV ĂY de a tal quep´1pVq ĂU.
Demonstra¸c˜ao. Para cada x P X temos px, aq P U logo existem abertos Wx Ă X e Vx Ă Y tais que px, aq P WxˆVx Ă U. Como X ´e compacto a cobertura tWxu tem uma subcobertura finita Wx1, . . . , Wxn. Seja V “ ŞVxi. Ent˜ao p´1pVq ĂU: se px, yq Pp´1pVq ent˜ao xP Wxi para algumi
logo px, yq PWxiˆVxi ĂU.
Teorema 10.11. SeXeY s˜ao compactos ent˜aoXˆY ´e tamb´em compacto.
Demonstra¸c˜ao. Seja U uma cobertura aberta de XˆY. Para cada y PY o espa¸co p´1pyq “Xˆ tyu´e compacto ep´1pyq ĂŤ
WPU W. Seja Uy uma subcobertura finita de p´1pyq e seja Uy “ Ť
WPUyW. Pelo Lema do tubo existe um aberto Vy P
V
y tal que p´1pVyq Ă Uy. Como Y ´e compacto, acobertura tVyu tem uma subcobertura finita Vy1, . . . , Vyn. Ent˜ao XˆY “ Ť
iUyi pelo queUy1Y ¨ ¨ ¨ YUyn ´e uma subcobertura finita de U. Como corol´ario imediato temos:
Teorema 10.12. Um espa¸coXĂRn´e compacto sse for limitado e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Se um conjunto K ĂRn ´e fechado e limitado ´e compacto, pois como K ´e limitado, est´a contido num produto de intervalos ra, bsn que
´
e compacto. Como K ´e fechado, conclu´ımos que K ´e compacto. Recipro-camente, um compacto K ĂR ´e fechado pois Rn ´e Hausdorff, e ´e limitado pois a cobertura Bp0, nq(
de K tem uma subcobertura finita.
Exerc´ıcios
(1) Quais os espa¸cos compactos com a topologia discreta?
(2) Decida quais das seguintes coberturas de s0,1r tˆem uma subcobertura finita. s0,1r´e compacto?
(a) sx´13, x`13r(
xPs0,1r
(b) sx{2,2xr(
xPs0,1r
(c) sx´15,2xr(
xPs0,1r
(d) sx´1,1´xr(
xPs0,1r
(3) Decida quais dos seguintes subespa¸cos deRn s˜ao compactos:
(a) A“ px, yq PR2 :y“x2( (b) B “ s´1,0r Y s1,2s
(c) C“B
(d) D“ 0,1,12,13,14,15, . . .(
(e) Sn“ px0, . . . , xnq PRn`1 :x20` ¨ ¨ ¨ `x2n“1( (f) S1´A
(g) fpS1qem quef:R2ÑR´e a fun¸c˜aofpx, yq “sinpxcosyq´cospysinxq.
(h) S1ˆS2ˆS3 ĂR9.
(4) Sejam T, T1 topologias num conjunto X tais que T Ă T1. Se X for compacto numa das topologias, o que pode concluir sobre a outra topologia?
(5) Considere a topologia em R gerada pelos intervalos s´8, nrcom nP Z.
Mostre que um conjuntoAĂR´e compacto sse for majorado.
(6) Mostre que um espa¸co topol´ogico com um n´umero finito de pontos ´e compacto.
(7) Mostre que uma uni˜ao finita de espa¸cos compactos ´e compacta.
(8) SejaX um conjunto ordenado com a topologia da ordem. Mostre que se X ´e compacto ent˜ao Xtem m´aximo e m´ınimo. Sugest˜ao: seX n˜ao tiver m´aximo, considere a cobertura pelos abertos Sa“ txPX:xăau, com aPX.
(9) Mostre que um conjuntoX ĂRn tem fecho compacto sse for limitado.
(10) Considere a topologia em R cujos abertos, para al´em de H e R, s˜ao os intervalos s ´ 8, ar. Mostre que um subespa¸co Y Ă R ´e compacto sse tiver m´aximo.
(11) Considere a seguinte topologia emR: T “ tA ĂR : 0 RA ouA “Ru.
Mostre que um subespa¸co Y ĂR´e compacto sse for finito ou contiver o ponto 0.
(12) Dizemos que uma fun¸c˜ao f: X Ñ Y ´e localmente limitada se qualquer ponto xPX tiver uma vizinhan¸ca U tal quef|U ´e limitada. Mostre que seX ´e compacto, qualquer fun¸c˜ao localmente limitada ´e limitada.
(13) Dizemos que um conjunto AĂ X ´e localmente finito se qualquer ponto xPX tiver uma vizinhan¸ca U tal queAXU ´e finito. Mostre que se X´e compacto, qualquer conjunto localmente finito ´e finito.
(14) SejatUnunPN uma colec¸c˜ao de abertos em X tais que U1ĂU2Ă ¨ ¨ ¨ ĂUnĂ ¨ ¨ ¨ ĂX“
ďUk.
Mostre que, dado qualquer compacto K ĂX, existe um nP N tal que K ĂUn.
(15) Sejapxnquma sucess˜ao convergente num espa¸co topol´ogico Xcom limite a. Mostre que o conjuntotxn:nPNu Y tau ´e compacto.
(16) Sejam T, T1 topologias num conjunto X tais que X ´e compacto de Hausdorff em ambas as topologias. Mostre que, ou T “T1, ou T e T1 n˜ao s˜ao compar´aveis.
(17) SejaBuma base deX. Mostre queX´e compacto sse qualquer cobertura de X por elementos deBtiver uma subcobertura finita. Sugest˜ao: dada uma cobertura tUαu, para cada α e cada xPUα tome um Bα,x PB tal que xPBα,x e Bα,xĂUα.
(18) Chamamos toro aS1ˆS1ĂR2ˆR2 “R4. Mostre que a fun¸c˜aof:R4 Ñ R3 definida por fpx, y, z, wq “`
p2`xqz,p2`xqw, y˘
induz um mergulho do toro em R3.
(19) Mostre directamente que num espa¸co m´etrico X um conjunto compacto A ´e fechado, do seguinte modo: dado um ponto aP A´A, considere a cobertura deA pelos abertos X´Bpa,1{nq(
nPN.
(20) Um espa¸co X diz-se Lindel¨of se qualquer cobertura aberta de X tiver uma subcobertura cont´avel.
(a) Mostre que sef:X ÑY ´e cont´ınua eAĂX´e Lindel¨of, ent˜aofpAq
´
e Lindel¨of.
(b) Mostre que seX ´e Lindel¨of eAĂX ´e fechado ent˜ao A ´e Lindel¨of.
(c) Mostre que, seB for uma base da topologia,X ´e Lindel¨of sse qual-quer cobertura por elementos de B tiver uma subcobertura finita.
(d) Mostre que seX tem uma base cont´avel B, ent˜aoX ´e Lindel¨of.
(21) SejamTf eTc respectivamente as topologias cofinita e cocont´avel em R.
(a) Mostre queTf e Tc s˜ao Lindel¨of.
(b) Averigue seTf eTcs˜ao compactas.
(22) Mostre que um espa¸co compacto de Hausdorff X ´e metriz´avel sse tiver uma base cont´avel. Sugest˜ao: para cadanPNcubraX por bolas de raio 1{n.
(23) Representamos porIo2 o quadrador0,1s ˆ r0,1scom a topologia da ordem do dicion´ario.
(a) Mostre queIo2 ´e compacto.
(b) Mostre que Io2 ´e normal.
(c) Mostre queIo2 n˜ao ´e separ´avel.
(d) Mostre que Io2 n˜ao ´e metriz´avel. Sugest˜ao: exerc´ıcio 22.
(24) Sejap:X ÑY uma fun¸c˜ao cont´ınua e sobrejectiva.
(a) Mostre quep ´e fechada sse satisfizer o lema do tubo, isto ´e, se dado qualquer y P Y e qualquer aberto U Ă X tal que p´1`
tyu˘ Ă U existir uma vizinhan¸caV P
V
y tal quep´1pVq ĂU.(b) Mostre que se p for fechada e X for normal ent˜ao Y ´e tamb´em normal.
(c) A fun¸c˜aopdiz-se perfeita se for fechada e para cadayPY,p´1` tyu˘ for compacto. Mostre que se pfor perfeita, ent˜ao X ´e compacto sse Y for compacto.
(d) Mostre que, se p ´e perfeita e X ´e Hausdorff, ent˜ao Y ´e tamb´em Hausdorff.
(e) Mostre que, sep ´e perfeita e X´e T3, ent˜ao Y ´e tamb´em T3.
(25) Seja C Ă Rn compacto e convexo (isto ´e, se x, y PC ent˜ao o segmento entre x e y est´a contido em C). Seja BC a fronteira de C. Assumindo que 0PintC mostre que:
(a) Qualquer semirecta com in´ıcio na origem intersecta BC em exacta-mente um ponto.
(b) A fun¸c˜aof:BCÑSn´1 definida porfpxq “x{}x}´e um homeomor-fismo.
(c) A fun¸c˜aog:BnÑCdefinida porgpxq “ }x}f´1px{}x}q´e um home-omorfismo. Sugest˜ao: para provar continuidade na origem comece por mostrar que existe uma constante M tal quegpxq ďM}x}.