(9) Considere a fun¸c˜ao f:CÑCdefinida porfpzq “z2.
(a) Mostre quef induz uma fun¸c˜ao g:S1 ÑS1 que ´e um quociente.
(b) Useg para mostrar que P1 ´e homeomorfo aS1.
(10) Dado um espa¸co topol´ogicoX, chamamos cone emXe representamos por CX o quociente de Xˆ r0,1spela rela¸c˜ao de equivalˆencia que identifica todos os pontos da forma px,0q, com xPX.
(a) Mostre que CSn ´e homeomorfo `a bola fechada Bn`1. Sugest˜ao:
considere a fun¸c˜ao f:Snˆ r0,1s ÑBn`1 definida porfpx, tq “tx.
(b) Mostre que, seX for compacto, ent˜ao CX tamb´em ´e compacto.
(11) Mostre que a fun¸c˜aof:S2 ÑR6definida porfpx, y, zq “ px2, y2, z2, xy, xz, yzq induz um mergulho de P2 em R6.
(12) Considere a fun¸c˜ao f:r´1,1s ÑS1 definida porfpxq “ px,?
1´x2q.
(a) Sejap:S1 ÑP1 a projec¸c˜ao. Mostre que p˝f ´e um quociente.
(b) Mostre que P1 ´e homeomorfo a S1.
(13) Mostre quePn´e homeomorfo ao quociente da bolaBn“ txPRn:}x} ď 1u obtido identificando os pontos da fronteira diametralmente opostos.
(14) Dado um espa¸co topol´ogico X, chamamos suspens˜ao de X ao quociente de Xˆ r0,1spela rela¸c˜ao de equivalˆencia que identifica todos os pontos da forma px,0q e identifica tamb´em todos os pontos da formapx,1q com xPX. mostre que a suspens˜ao da esfera Sn´1 ´e homeomorfa aSn. (15) Sejap:R2ztp0,0qu ÑX o quociente obtido identificando os pontos pela
rela¸c˜ao de equivalˆencia: px, yq „ pλx, λyq, para qualquer λPRzt0u. Seja A“Rˆ t0u ĂR2 o eixo dos xx.
(a) Mostre que a fun¸c˜aof :R2zAÑRdefinida porfpx, yq “x{y induz uma fun¸c˜ao cont´ınua ˜f :XzppAq ÑRtal quef “f˜˝p.
(b) Mostre que ˜f ´e um homeomorfismo. Sugest˜ao: use a fun¸c˜aog:RÑ R2 definida por gptq “ pt,1q para construir ˜f´1.
(c) Mostre queX ´e compacto. Sugest˜ao: mostre que a restri¸c˜ao de p a S1 ĂR2 ´e sobrejectiva.
(16) SejaX“ r´π{2, π{2s ˆRe considere as rela¸c˜oes de equivalˆencia obtidas a partir das seguintes parti¸c˜oes deX:
(i) As rectas x “ ˘π{2 e os gr´aficos das fun¸c˜oes y “ tanx `c, com cPR.
(ii) As rectasx“ ˘π{2 e os gr´aficos das fun¸c˜oes y“ p1{cosxq `c, com cPR.
Mostre que apenas um dos quocientes ´e Hausdorff.
Exemplo 12.1. O intervalo r0,1s´e uma compactifica¸c˜ao de s0,1r. O c´ırculo S1 ´e tamb´em uma compactifica¸c˜ao pois temos um mergulhof: s0,1r ÑS1 dado por fptq “`
cosp2πtq,sinp2πtq˘ .
Defini¸c˜ao 12.2. Dizemos que um espa¸co topol´ogico X ´e localmente com-pacto se para qualquer ponto x P X existir um compacto K Ă X tal que xPintK.
Teorema 12.1. SejaX um espa¸co de Hausdorff localmente compacto (mas n˜ao compacto). Ent˜ao existe uma compactifica¸c˜aoY deXtal que o conjunto Y ´X tem apenas um ponto.
Demonstra¸c˜ao. TomamosY “XY t8ue dizemos que um conjunto AĂY
´
e aberto seAĂX for aberto em X ou Y ´Afor compacto.
Chamamos a Y a compactifica¸c˜ao de Alexandrov (ouone point compac-tification) de X. Esta compactifica¸c˜ao ´e ´unica a menos de homeomorfismo:
Teorema 12.2. Seja X um espa¸co localmente compacto de Hausdorff Seja Y um espa¸co compacto de Hausdorff. Se existir um ponto y P Y tal que Y ´ tyu ´e homeomorfo a X ent˜ao Y ´e homeomorfo `a compactifica¸c˜ao de Alexandrov de X.
Demonstra¸c˜ao. Sejaf:X ÑY´tyuum homeomorfismo. Definimos ˜f:XY t8u ÑY por ˜fpxq “fpxq paraxPX e ˜fp8q “y. Vamos ver que a fun¸c˜ao f˜´e cont´ınua. Dado um aberto U Ă Y, sey R U temos ˜f´1pUq “f´1pUq.
Se y PU temos ˜f´1pUq “ X´f´1pY ´Uq e como Y ´U ´e compacto e a fun¸c˜ao f´1 ´e cont´ınua, f´1pY ´Uq ´e compacto logo ˜f´1pUq´e aberto.
Exemplo 12.2. S1 ´e homeomorfo `a compactifica¸c˜ao de Alexandrov de s0,1r.
Exerc´ıcios
(1) Descreva o fechoNde Nna recta acabada e mostre queN´e homeomorfo
`
a compactifica¸c˜ao de Alexandrof de N.
(2) Mostre que a compactifica¸c˜ao de Alexandrof deN´e homeomorfa a 0,1,12,13,14, . . .( Ă R.
(3) SejaT a topologia emRgerada pelos intervalos da formas´8, nr, com nPZ.
(a) Mostre quepR,Tq´e localmente compacto.
(b) Mostre que o ´unico aberto com fecho compacto ´e o conjunto vazio.
(4) Mostre que a compactifica¸c˜ao de Alexandrof de Rn ´e homeomorfa a Sn (com nPN).
(5) Mostre que os seguintes espa¸cos topol´ogicos s˜ao localmente compactos:
(a) Um espa¸co com a topologia discreta.
(b) Rcom a topologia em que os abertos s˜ao os conjuntos que contˆem o zero, mais o conjunto vazio.
(c) Um conjunto ordenado obedecendo ao axioma do supremo, com a topologia da ordem.
(d) Rcom a topologia em que os abertos s˜ao os intervaloss´8, ar, mais o conjunto vazio e o R.
(6) Mostre que seX´e compacto de Haudforff, a ´unica compactifica¸c˜ao deX
´
e o pr´oprio X.
(7) Mostre que Qn˜ao ´e localmente compacto. Sugest˜ao: tomexRQe use a propriedade da intersec¸c˜ao finita com os intervalos da formarx´ε, x`εs.
(8) SejaX localmente compacto ef:X ÑY uma fun¸c˜ao cont´ınua.
(a) Mostre que sef ´e aberta ent˜ao fpXq ´e localmente compacto.
(b) Mostre atrav´es dum exemplo que em geralfpXq pode n˜ao ser local-mente compacto. Sugest˜ao: fpXq “Q.
(9) Mostre que a compactifica¸c˜ao de Alexandrof de px, yq PR2:xy“1( Ă R2 ´e homeomorfa `a uni˜ao de dois c´ırculos em R2 com um ponto em comum.
(10) Mostre que um espa¸co de Hausdorff ´e localmente compacto sse qualquer ponto tiver uma vizinhan¸ca cujo fecho ´e compacto.
(11) Mostre que um espa¸co localmente compacto de Hausdorff ´e regular.
(12) Mostre que num espa¸co localmente compacto de Hausdorff, para qualquer vizinhan¸ca U dum ponto a existe uma vizinhan¸ca V de a tal que V ´e compacto e V ĂU.
(13) SejaX um espa¸co com a topologia induzida por uma m´etrica d.
(a) Mostre queX´e localmente compacto sse para qualquerxPXexistir umδ ą0 tal que a bola fechadaty PX:dpx, yq ďδu ´e compacta.
(b) Mostre que o espa¸co `8 das sucess˜oes limitadas com a topologia da m´etrica n˜ao ´e localmente compacto.
(c) Seja X um espa¸co vectorial com um produto interno, e seja teαu uma base ortonormada. Mostre que X ´e localmente compacto sse tiver dimens˜ao finita. Sugest˜ao: se }eα} “ }eβ} “1 e xeα, eβy “ 0 ent˜ao dpeα, eβq “?
2.
(14) SejaY uma compactifica¸c˜ao deX tal queX ´e aberto emY. Mostre que X ´e localmente compacto.
(15) SejaXum espa¸co localmente compacto de Hausdorff. Quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras (comparar com o exerc´ıcio 22 na p´agina 44)?
(a) SeX tiver uma base cont´avel ent˜ao ´e metriz´avel.
(b) SeX for metriz´avel ent˜ao tem uma base cont´avel.
(c) SeY for metriz´avel ent˜ao X tem uma base cont´avel.
Sugest˜ao: topologia discreta.
(16) Seja X um espa¸co localmente compacto de Hausdorff com uma base cont´avel.
(a) Mostre que existe uma colec¸c˜ao cont´avel de compactos tKnu tais que para qualquer compacto K ĂX existe um n tal que K ĂKn. Sugest˜ao: considere uni˜oes finitas de fechos de elementos da base.
(b) Mostre que a compactifica¸c˜ao de Alexandrov de X tem uma base cont´avel e portanto ´e metriz´avel.
SejaB8 a colec¸c˜ao dos complementos de uni˜oes finitas de
(17) Dizemos que uma fun¸c˜ao cont´ınuaf:XÑY ´e pr´opria se para qualquer compacto KĂY,f´1pKq for tamb´em compacto.
(a) Sejam X, Y espa¸cos localmente compactos de Hausdorff. Mostre que uma fun¸c˜ao f:X Ñ Y ´e pr´opria sse o prolongamento ˜f:XY t8Xu ÑY Y t8Yu `as compactifica¸c˜oes de Alexandrov definido por f˜p8Xq “ 8Y for uma fun¸c˜ao cont´ınua.
(b) Mostre que uma fun¸c˜ao pr´opria e bijectiva entre espa¸cos localmente compactos de Hausdorff ´e um homeomorfismo.
(c) Mostre que um homeomorfismof:XÑY entre espa¸cos localmente compactos de Hausdorff pode ser prolongado `as compactifica¸c˜oes de Alexandrov.
(18) SejaX um espa¸co localmente compacto de Hausdorff. Mostre que qual-quer subespa¸co de X que seja aberto ou fechado ´e tamb´em localmente compacto de Hausdorff.
(19) Um espa¸co topol´ogico X diz-se compactamente gerado se a seguinte condi¸c˜ao se verificar: um conjunto U Ă X ´e aberto sse para qualquer compacto KĂX,KXAfor compacto.
(a) Mostre que um espa¸co localmente compacto ´e compactamente ge-rado.
(b) Mostre que um espa¸co que satisfa¸ca o primeiro axioma de numera-bilidade ´e compactamente gerado.
(c) Mostre que, seX ´e compactamente gerado, uma fun¸c˜ao f:XÑ Y
´
e cont´ınua sse para qualquer compactoK ĂX,f|K for cont´ınua.
(20) SejaX um espa¸co localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado um compacto K Ă X e um aberto A ĄK, existe uma fun¸c˜ao cont´ınua f :XÑRtal quefpxq “1 para qualquerxPK e txPX:fpxq ‰0u Ă A.
(21) Um espa¸co X diz-se Lindel¨of se qualquer cobertura aberta de X tiver uma subcobertura cont´avel. Mostre que um espa¸co localmente compacto de Hausdorff X ´e Lindel¨of se e s´o se existir uma sucess˜ao de compactos pKnq tais queX “Ť
Kn e KnĂKn`1 para qualquernPN.
(22) SejaX um espa¸co localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado um fechado F e um compacto K tal que F XK “ H existem abertos disjuntosU e V tais que F ĂU eK ĂV.
(23) SejaX um espa¸co localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado um fechado F e um compacto K tal queF XK “ H existe uma fun¸c˜ao cont´ınua f:X Ñ r0,1stal quef|F “0 e f|K “1.
(24) Mostre queXˆY ´e localmente compacto sseX eY ambos forem local-mente compactos.
(25) Seja X um espa¸co localmente compacto de Hausdorff e seja C0pXq o conjunto das fun¸c˜oesf:X ÑRtais que, para qualquerεą0, existe um compacto K Ă X tal que |fpxq| ă ε para x R K (dizemos que f tem limite zero no infinito).
(a) Mostre que existe o prolongamento por continuidade def `a compac-tifica¸c˜ao de Alexandroff deX.
(b) Mostre que, dado um compactoK existe um abertoAtal queKĂA e A´e compacto.
(c) Considere a topologia emC0pXq gerada por Bpf, εq “ gPC0pXq: sup|fpxq ´gpxq| ăε(
. Mostre que o conjunto CcpXq das fun¸c˜oesf que se anulam fora dum compacto ´e denso emC0pXq.