(22) Mostre que um espa¸co compacto de Hausdorff X ´e metriz´avel sse tiver uma base cont´avel. Sugest˜ao: para cadanPNcubraX por bolas de raio 1{n.
(23) Representamos porIo2 o quadrador0,1s ˆ r0,1scom a topologia da ordem do dicion´ario.
(a) Mostre queIo2 ´e compacto.
(b) Mostre que Io2 ´e normal.
(c) Mostre queIo2 n˜ao ´e separ´avel.
(d) Mostre que Io2 n˜ao ´e metriz´avel. Sugest˜ao: exerc´ıcio 22.
(24) Sejap:X ÑY uma fun¸c˜ao cont´ınua e sobrejectiva.
(a) Mostre quep ´e fechada sse satisfizer o lema do tubo, isto ´e, se dado qualquer y P Y e qualquer aberto U Ă X tal que p´1`
tyu˘ Ă U existir uma vizinhan¸caV P
V
y tal quep´1pVq ĂU.(b) Mostre que se p for fechada e X for normal ent˜ao Y ´e tamb´em normal.
(c) A fun¸c˜aopdiz-se perfeita se for fechada e para cadayPY,p´1` tyu˘ for compacto. Mostre que se pfor perfeita, ent˜ao X ´e compacto sse Y for compacto.
(d) Mostre que, se p ´e perfeita e X ´e Hausdorff, ent˜ao Y ´e tamb´em Hausdorff.
(e) Mostre que, sep ´e perfeita e X´e T3, ent˜ao Y ´e tamb´em T3.
(25) Seja C Ă Rn compacto e convexo (isto ´e, se x, y PC ent˜ao o segmento entre x e y est´a contido em C). Seja BC a fronteira de C. Assumindo que 0PintC mostre que:
(a) Qualquer semirecta com in´ıcio na origem intersecta BC em exacta-mente um ponto.
(b) A fun¸c˜aof:BCÑSn´1 definida porfpxq “x{}x}´e um homeomor-fismo.
(c) A fun¸c˜aog:BnÑCdefinida porgpxq “ }x}f´1px{}x}q´e um home-omorfismo. Sugest˜ao: para provar continuidade na origem comece por mostrar que existe uma constante M tal quegpxq ďM}x}.
Comop ´e sobrejectiva temos p`
p´1pBq˘
“B para qualquer B ĂV. Um conjuntoAĂXdiz-se saturado seA“p´1`
ppAq˘
. H´a uma correspondˆencia um para um entre os abertos em X{„ e os abertos saturados em X dada por pe p´1:
‚ Dado um aberto saturadoU ĂX o conjuntoppUq´e um aberto em X{„.
‚ Dado um abertoV ĂX{„, o conjuntop´1pVq´e um aberto saturado poisp`
p´1pVq˘
“V.
Exemplo 11.2. Vamos ver que Pn ´e Hausdorff. Dados a P Sn e r ą 0 representamos porBpa, rq “ tb PSn :}b´a} ăru as bolas em Sn. Dados x, yPSn com rxs ‰ rys seja Uε“Bpx, εq YBp´x, εq e seja Vε “Bpy, εq Y Bp´y, εq. Ent˜ao Uε e Vε s˜ao abertos saturados e para ε suficientemente pequeno temosUεXVε “ Hlogo ppUεqe ppVεq s˜ao vizinhan¸cas disjuntas de rxse de rysrespectivamente.
E importante ter presente que em geral umquociente n˜´ ao ´e Hausdorff. De facto X{„´e T1 sse as classes de equivalˆencia forem subconjuntos fechados de X.
Teorema 11.1. Seja X um espa¸co topol´ogico com uma rela¸c˜ao de equi-valˆencia „, e seja f: X Ñ Y uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que fpxq “ fpyq sempre quex„y. Ent˜ao a fun¸c˜aofˆ:X{„ ÑY definida porfˆ`
rxs˘
“fpxq
´
e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Sejap:X ÑX{„ a projec¸c˜ao. Ent˜ao f “fˆ˝p. Dado um aberto A Ă Y, como f ´e cont´ınua f´1pAq “ p´1`fˆ´1pAq˘
´e aberto, logo fˆ´1pAq ´e aberto. Assim, ˆf ´e cont´ınua.
Defini¸c˜ao 11.2. Uma fun¸c˜ao sobrejectiva f:X Ñ Y diz-se um quociente se tiver a seguinte propriedade: um conjuntoAĂY ´e aberto ssef´1pAqfor aberto.
Uma fun¸c˜ao sobrejectiva f: X Ñ Y induz uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X: dizemos que x „y sse fpxq “fpyq. Ent˜ao a fun¸c˜ao ˆf:X{„ ÑY definida por ˆf`
rxs˘
“fpxq´e bijectiva.
Teorema 11.2. Uma fun¸c˜ao cont´ınua e sobrejectiva f:X ÑY ´e um quo-ciente sse a fun¸c˜ao induzida fˆ:X{„ ÑY for um homeomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Dado um aberto A Ă Y, ˆf´1pAq “ p´1pf´1pAqq pelo que fˆ´1pAq ´e aberto sse f´1pAq for aberto. Assim:
(1) Se ˆf for um homeomorfismo, A ´e aberto sse ˆf´1pAq for aberto, sse f´1pAq for aberto, pelo quef ´e um quociente.
(2) Sef for um quociente, A´e aberto ssef´1pAqfor aberto, sse ˆf´1pAq for aberto, pelo que ˆf ´e um homeomorfismo.
Teorema 11.3. Seja X um espa¸co compacto, Y um espa¸co de Hausdorff.
Ent˜ao qualquer fun¸c˜ao cont´ınua e sobrejectiva f:X ÑY ´e um quociente.
Demonstra¸c˜ao. O espa¸coX{„ “ppXq ´e compacto e a fun¸c˜ao ˆf ´e cont´ınua
e bijectiva, logo ˆf ´e um homeomorfismo.
Exemplo11.3. Sejar0,1s{„ o quociente obtido identificando os pontos 0 e 1.
A fun¸c˜aofptq “`
cosp2πtq,sinp2πtq˘
induz um homeomorfismo entrer0,1s{„
e o c´ırculo S1. Assim, o toro S1ˆS1 ´e homeomorfo a r0,1s{„ ˆ r0,1s{„, que ´e o quociente do quadrado r0,1s ˆ r0,1s obtido identificando os lados opostos.
Exemplo 11.4. Seja B2 “ tpx, yq P R2 : x2 `y2 ď 1u e seja f: B2 Ñ S2 a fun¸c˜ao definida por fpx, yq “ `
x, y,a
1´x2´y2˘
. A composi¸c˜ao de f com a projec¸c˜ao p:S2 Ñ S2{„ “ P2 induz um homeomorfismo entre o quociente deB2 obtido identificando os pontos deS1 ĂB2 diametralmente opostos eP2. ComoB2 ´e homeomorfo ao quadrador0,1s ˆ r0,1s, temos que P2 ´e homeomorfo a um quociente do quadrado obtido identificando os lados opostos, mas esta identifica¸c˜ao ´e obviamente diferente da usada para obter o toro.
Exerc´ıcios
(1) Seja X um espa¸co topol´ogico, „ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Mostre que o quocienteX{„´e T1 sse as classes de equivalˆencia forem conjuntos fechados.
(2) Considere a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia em R: x „ y sse x “ λy, com λ‰0. Descreva a topologia quociente emR{„.
(3) Considere a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia em R: x „y ssex “y“0 ou xyą0. Descreva a topologia quociente emR{„.
(4) Mostre que a fun¸c˜ao i: R3 Ñ R4 dada por ipx, y, zq “ px, y, z,0q induz uma fun¸c˜ao cont´ınuaP2 ÑP3.
(5) Sejap:R2 ÑX o quociente deR2 pela rela¸c˜ao de equivalˆencia px0, y0q „ px1, y1q ô x0y0“x1y1
(a) Mostre que a fun¸c˜ao f: R2 Ñ R definida por fpx, yq “ xy induz uma fun¸c˜ao cont´ınua ˜f :X ÑRtal quef “p˝f˜.
(b) Mostre queX´e homeomorfo aR. Sugest˜ao: use a fun¸c˜aog:RÑR2 definida porgptq “ pt,1q para construir uma inversa.
(6) Sejap:R2 ÑX o quociente deR2 pela rela¸c˜ao de equivalˆencia px0, y0q „ px1, y1q ô x20`y02“x21`y12
Mostre que a fun¸c˜ao f:R2 ÑRdefinida porfpx, yq “x2`y2 induz um homeomorfismo entre X e um subespa¸co de R.
(7) Sejap:R2 ÑX o quociente deR2 pela rela¸c˜ao de equivalˆencia px0, y0q „ px1, y1q ô x0`y02“x1`y12
O espa¸co X ´e homeomorfo a um espa¸co familiar. Qual?
(8) Mostre que o quociente deRpela rela¸c˜ao de equivalˆenciax„yôx´yP Z´e homeomorfo aS1.
(9) Considere a fun¸c˜ao f:CÑCdefinida porfpzq “z2.
(a) Mostre quef induz uma fun¸c˜ao g:S1 ÑS1 que ´e um quociente.
(b) Useg para mostrar que P1 ´e homeomorfo aS1.
(10) Dado um espa¸co topol´ogicoX, chamamos cone emXe representamos por CX o quociente de Xˆ r0,1spela rela¸c˜ao de equivalˆencia que identifica todos os pontos da forma px,0q, com xPX.
(a) Mostre que CSn ´e homeomorfo `a bola fechada Bn`1. Sugest˜ao:
considere a fun¸c˜ao f:Snˆ r0,1s ÑBn`1 definida porfpx, tq “tx.
(b) Mostre que, seX for compacto, ent˜ao CX tamb´em ´e compacto.
(11) Mostre que a fun¸c˜aof:S2 ÑR6definida porfpx, y, zq “ px2, y2, z2, xy, xz, yzq induz um mergulho de P2 em R6.
(12) Considere a fun¸c˜ao f:r´1,1s ÑS1 definida porfpxq “ px,?
1´x2q.
(a) Sejap:S1 ÑP1 a projec¸c˜ao. Mostre que p˝f ´e um quociente.
(b) Mostre que P1 ´e homeomorfo a S1.
(13) Mostre quePn´e homeomorfo ao quociente da bolaBn“ txPRn:}x} ď 1u obtido identificando os pontos da fronteira diametralmente opostos.
(14) Dado um espa¸co topol´ogico X, chamamos suspens˜ao de X ao quociente de Xˆ r0,1spela rela¸c˜ao de equivalˆencia que identifica todos os pontos da forma px,0q e identifica tamb´em todos os pontos da formapx,1q com xPX. mostre que a suspens˜ao da esfera Sn´1 ´e homeomorfa aSn. (15) Sejap:R2ztp0,0qu ÑX o quociente obtido identificando os pontos pela
rela¸c˜ao de equivalˆencia: px, yq „ pλx, λyq, para qualquer λPRzt0u. Seja A“Rˆ t0u ĂR2 o eixo dos xx.
(a) Mostre que a fun¸c˜aof :R2zAÑRdefinida porfpx, yq “x{y induz uma fun¸c˜ao cont´ınua ˜f :XzppAq ÑRtal quef “f˜˝p.
(b) Mostre que ˜f ´e um homeomorfismo. Sugest˜ao: use a fun¸c˜aog:RÑ R2 definida por gptq “ pt,1q para construir ˜f´1.
(c) Mostre queX ´e compacto. Sugest˜ao: mostre que a restri¸c˜ao de p a S1 ĂR2 ´e sobrejectiva.
(16) SejaX“ r´π{2, π{2s ˆRe considere as rela¸c˜oes de equivalˆencia obtidas a partir das seguintes parti¸c˜oes deX:
(i) As rectas x “ ˘π{2 e os gr´aficos das fun¸c˜oes y “ tanx `c, com cPR.
(ii) As rectasx“ ˘π{2 e os gr´aficos das fun¸c˜oes y“ p1{cosxq `c, com cPR.
Mostre que apenas um dos quocientes ´e Hausdorff.