definições completas, tais definições devem necessariamente fazer suposições metafísicas e psicológicas sobre o mundo, caso contrário, faremos um empreendimento fútil (OTTE, 2003b, p. 224).
Finalmente, não há, de fato, nenhuma possibilidade de determinar o significado de número desconectado de uma estrutura conjunto teórica.
Em um artigo intitulado What numbers could not be, Benacerraf (1965) mostra que o conceito de número pode ser reduzido ao conceito de conjuntos de várias maneiras distintas, sem possibilidade de escolher dentre as interpretações conjunto teóricas aquela que realmente caracteriza a verdadeira identidade dos números naturais em termos de conjuntos.
Benacerraf (1965) conclui que os números não podem ser reduzidos exclusivamente a conjuntos, ou conjunto de conjuntos, pois existem muitos significados distintos para dar conta e pelas referências de palavras que os números ou termos determinam na teoria. Mesmo que fosse possível reduzir univocamente o conceito de número à noção de conjuntos, não haveria um ganho representativo, pois o próprio Russell descobriu os paradoxos teóricos dos conjuntos.
Conforme Kuyk (1977), há pelo menos três razões que podem ser dadas para este desenvolvimento.
Em primeiro lugar, os resultados de Gödel mostraram que a forma tradicional de estabelecer teorias, utilizando exclusivamente sistemas axiomáticos, está longe de ser completa. Em outras palavras, os resultados que podem ser provados em uma abordagem axiomática estão além do que pode ser formulado em linguagem natural, isto é, versões não axiomáticas de tais teorias.
Assim, o ponto de vista intuicionista a respeito do papel limitado da linguagem é enfatizado pelas descobertas da escola formalística (KUYK, 1977, p. 129).
Para o matemático intuicionista Brouwer a natural atividade matemática não pode ser completamente formalizada e axiomatizada. Aparentemente, Brouwer ficou consternado quando seu discípulo, Heyting, formulou um grupo de axiomas para a lógica intuicionista (BUNGE, 2005, p. 63).
Há, em segundo lugar, um conhecimento crescente em relação aos dilemas tradicionais e antigos, tais como o apriorismo e empirismo, realismo e o idealismo etc., no entanto ainda não existe clareza em relação a muitos dilemas.
Assim, pode-se sugerir que, de certa forma, ocorre um retorno ao realismo moderado (KUYK, 1977, p. 129).
Em terceiro lugar, numerosas considerações intermediadas entre as três tendências gerais do logicismo, intuicionismo e o formalismo foram expressas, evidenciando um conhecimento crescente (KUYK,1977;BUNGE, 2005).
Para Kuyk (1977, p. 130) o ponto de vista pluralista da ciência foi desenvolvido após a Segunda Guerra Mundial. Na verdade, a atitude pluralista enfatiza a formação de muitas ciências interdisciplinares, entre as quais as teorias da informação, a cibernética e as ciências da computação são alguns dos exemplos.
Essa atitude foge do tipo de dogmatismo que possa excluir o desenvolvimento de qualquer ramo da ciência. Esse pluralismo, contudo, não releva o fato de que problemas filosóficos permaneçam inerentes na Matemática, embora seja pouco provável que matemáticos contemporâneos acreditem na existência de um único tipo de Matemática.
De certa forma, a história dos fundamentos da Matemática pode ser observada como um conjunto de tentativas para unir uma variedade de aspectos da atividade matemática. Alguns destes aspectos são ressaltados por Kuyk (1977):
(1) o papel da lógica, ou “lógica ingênua”, como espontânea, habilidade inata do homem para formar conceitos das coisas e uma infinita variedade de conceitos das coisas, conceitos dos conceitos das coisas, etc.;
(2) o papel da linguagem, como uma ferramenta comunicativa, que retém informação;
(3) o papel da lógica (formal), como um conjunto historicamente revelador de regras do pensamento (mais ou menos formalizados), criados com a proposta específica de ordenar e organizar, coerentemente e de forma dedutível, os conceitos pertencentes aos domínios específicos do pensamento (tais como matemáticos, físicos, etc.);
(4) o papel do pensamento construtivo, no sentido de construir novas entidades das entidades dadas de tal maneira que as propriedades das novas propriedades possam ser derivadas de propriedades de entidades anteriores, sem o uso de terminologia que pré suponha a existência de um mundo platônico de todas as propriedades de alguma forma;
(5) o papel da intuição, como uma ganância imediata de evidência relacionada às coisas, por exemplo, uma forma de chegar ao conhecimento, independentemente da dedução;
(6) a avaliação da questão, se em Matemática há um “primeiro conhecimento” como oposto ao “extremo conhecimento derivado”, ou
“conhecimento secundário” (por exemplo, o conceito de número é primário ou o conceito de um “conjunto” é básico a tudo da Matemática, como os Cantoristas assumem?);
(7) uma descrição do fato de que ao longo dos caminhos dedutivos a aplicação dos métodos matemáticos puros, sempre levam ao verdadeiro conhecimento (aproximado) sobre o mundo, por exemplo, que as propriedades básicas da Matemática do número e o conhecimento da topologia e análise possam encontrar aplicações nos domínios não matemáticos (por exemplo, o conceito de grupo que é aplicável em física é acidental ou as estruturas matemáticas devem ser consideradas como parte de um modelo de pensamento mais amplo, incluindo o pensamento nas ciências (naturais)?) (KUYK, 1977, p. 130, tradução nossa).
Esse filósofo e matemático sustenta que todos esses aspectos têm que ser levados em conta numa filosofia de valores matemáticos. Há, contudo, dois
caminhos diferentes pelos quais se pode lidar com estas questões, a saber, uma questão implícita e outra explícita.
Explicar o papel dos fatores mencionados é filosofar ou teorizar sobre Matemática. No passado, a maioria das teorias avaliou dessa forma os papéis dos diferentes aspectos, do ponto de vista de um único, ou considerando poucos deles, desse modo omitindo, negando ou negligenciando o papel dos outros (KUYK, 1977).
Além disso, a maioria das teorias relacionadas aos fundamentos considera tudo o que se pode chamar de Matemática, ou seja, todas as áreas da Matemática, mesmo aquelas que amplamente divergem de uma teoria central e unificada. Quando esta área (teoricamente central) ou algumas de suas características salientes é considerada como típica para toda a organização matemática, então o reducionismo filosófico acontece (KUYK, 1977).
O próprio Kuyk (1977, p. 132) menciona que qualquer soma, exercício ou cálculo pode ser considerado como um “experimento” em análise abstrata ou álgebra, mesmo se o significado da palavra “experimento” tenha que ser redefinido de alguma forma para distingui-la dos experimentos físicos.
Geralmente, num certo sentido, toda teoria tem uma tendência a simplificar.
Assim certas características são acentuadas e outras apagadas. É compreensível que as principais tendências do formalismo e logicismo selecionem os aspectos lógicos formais da Matemática como seus pontos de vantagem em vez de aspectos construtivo-intuitivos ou experimentais. Contudo, ao tentar explicar esta tendência, encontramos novamente o problema básico relacionado à distinção entre os métodos sintéticos e analíticos, entre construção e dedução.
A forma implícita de lidar com os aspectos básicos da Matemática começa com o trabalho do matemático. Para Kuyk (1977, p. 133), um matemático trabalhando em domínios, tais como teoria dos números, topologia, geometria algébrica, etc., nunca poderá evitar qualquer um dos sete aspectos mencionados.
Todos eles estão engendrados naquilo que ele faz, especialmente quando o trabalho trata de uma extensão direta de teorias clássicas da Matemática. Por
exemplo, é improvável que alguém que trabalhe com problemas na teoria dos números não use sua “intuição” com menor ou maior magnitude.
Assim, as ideias matemáticas que ele aplica estão mais próximas do que Kuyk (1977, p. 130) chamou de “lógica” no sentido do aspecto (1) do que lógica formal no sentido de (3). Naturalmente, como o desenvolvimento histórico da Matemática moderna mostra, as formas diferentes da lógica aplicada não devem ser separadas completamente.
Embora matemáticos que trabalhem nas áreas clássicas tenham que escolher de tempos em tempos, de maneira mais ou menos explícita, que grupo de teorias utilizar, ainda há uma natureza particular para a atividade deles. Tal natureza pode ser observada quando alguém simplifica o número de áreas inflexíveis da Matemática para a filosofia formalista ou intuicionista, entre outras correntes. O pensamento matemático criativo, inocente e espontâneo deve ser cuidadosamente distinguido da lógica formal (Kuyk, 1977, p. 133).