5. Se a função f tem somente pontos críticos isolados então toda trajetória gradiente converge para um ponto crítico de f quando t → ±∞. Ou seja, limt→±∞ϕp(t) são pontos críticos de
f, para todo p ∈ M.
4.2
Componentes arestas
Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados.
Nesta seção iremos estabelecer uma correspondência biunívoca entre certas componentes da variedade M e as arestas do grafo de Reeb R( f ). Além disso, apresentamos uma construção que antecede ao grafo de Reeb, e que se mostra como uma etapa muito útil para obtermos a construção do grafo de Reeb como classes de certos caminhos ligando pontos críticos.
Denotaremos por M(c,c′) a imagem inversa f−1(c, c′), no qual c < c′∈ R. Note que como (c, c′) é um intervalo aberto de R, o conjunto M(c,c′) é uma variedade suave sem bordo de mesma dimensão que M. Estamos interessados em estudar os diferentes tipos de componentes conexas de M(c,c′)com relação aos pontos críticos de f .
Definição 4.2.1. Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Dados valores c, c′∈ R tais que c < c′, existem três possibilidades para uma componente conexa C de M(c,c′):
1. C é do tipo I quando contém pelo menos um ponto crítico; 2. C é do tipo tipo II quando não contém nenhum ponto crítico;
No caso em que c, c′são valores críticos, teremos:
3. C é uma componente-aresta quando for uma componente do tipo II tal que C ∩ C*M
c, ∅
e C ∩ C*M
c′ , ∅, ou seja, o fecho de C contém pontos críticos de Mce de Mc ′.
Em outras palavras, componente-aresta é uma componente conexa de M(c,c′) a qual intersecta todas os conjuntos de nível de M(c,c′) e seu bordo intersecta alguma componente conexa crítica de Mce Mc′.
Uma componente-aresta é difeomorfa ao produto de uma componente conexa de um valor regular e um intervalo aberto, como podemos ver na proposição a seguir.
Proposição 4.2.2. Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Suponhamos que C seja uma componente-aresta de M(c,c′). Então existe um difeomorfismo
CMa× (c, c
′ ) C,
no qual CMa é uma componente conexa contida em C de um valor regular qualquer a ∈ (c, c
Prova. Seja g uma métrica Riemanniana para M e consideremos −∇ f o campo de vetores gradiente negativo. Temos ‖∇ f (p)‖g> 0, para todo p ∈ C, pois C não contém pontos críticos e ∇ f se anula somente em pontos críticos de f . Então, o campo de vetores suave X= ‖∇ f ‖−∇ f está bem definido em toda a variedade C, em particular, em todo o conjunto M[a,b]∩ C, no qual [a, b] ⊂ (c, c′).
Denotemos por k : C −→ R, a restrição de f em C, isto é, k = f |C.
Seja γpuma curva integral, com condição inicial p, para o campo X, no qual p ∈ k−1(a)= CMa. A aplicação suave f ∘ γp: R −→ R satisfaz
d
dtf(γp(t))= 1. Isto significa que no tempo t= 0, f está no conjunto de nível a, e atingirá o conjunto de nível b, quando t = b − a.
Obteremos um difeomorfismo h: CMa× [a, b] −→ C ∩ M
[a,b], definido por h(p,t) = γ
p(t − a), pois γp(t) depende suavemente de p e t e é difeomorfismo em cada coordenada.
Agora, estenderemos o difeomorfismo para toda a componente conexa C. Considere uma família ascendente de intervalos {[an,bn]}n∈N, tais que
⋃︁ n∈N [an,bn]= (c,c′) e a ∈ ⋂︁ n∈N [an,bn]. Em seguida obtemos hn: CMa× [an,bn] → k −1([a
n,bn]) de maneira similar à que obtemos h. Pela unicidade da curva integral passando através de um ponto, podemos definir um difeomorfismo como limite direto
lim −−→ n hn: CMa× ⋃︁ n [an,bn]= CMa× (c, c ′ ) →⋃︁ n g−1([an,bn])= C
pela fórmula (p, t) ↦→ hn(p, t), para algum n.
Observação 4.2.3. A Proposição 4.2.2 é uma extensão do Teorema (MATSUMOTO, 2002, Teorema 2.31), que diz que M[a,b] é homeomorfo a Ma× [0, 1]. Deste resultado, para todo c< a < b < c′, temos uma bijeção entre as componentes conexas de M[a,b] e as componentes conexas de Ma(ou Mb). Desde que uma componente conexa C do tipo II intersecta exatamente uma componente conexa de M[a,b], então intersecta somente uma componente conexa de Ma.
Em resumo, uma componente conexa C de M(c,c′) do tipo (II) intersecta exatamente uma componente conexa de Md, para cada conjunto de nível d ∈ (c, c′).
Verificaremos agora que o número de componentes conexas da variedade M(c,c′) é finito, para qualquer par c, c′∈ R. Em particular, o número de componentes-arestas será finito.
Corolário 4.2.4. Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Para um par c, c′∈ R, a variedade M(c,c′) tem um número finito de componentes conexas.
4.2. Componentes arestas 89
Prova. A variedade M(c,c′) se decompõe como união de componentes do tipo I e do tipo II. Como M é compacta e todos os pontos críticos de f são isolados, devemos ter que o número de pontos críticos é finito. Consequentemente, existe apenas um número finito de componentes do tipo I. Assim, é suficiente estimar o número de componentes do tipo II.
Seja um valor regular d ∈ (c, c′). Sabemos que o número de componentes conexas de Md é finito. Da teoria de Morse, existe mudança na topologia dos conjuntos de nível somente quando se passa através de um ponto crítico. Assim, como temos somente um número finito de valores críticos, teremos uma variação finita no número de componentes conexas dos valores regulares em (c, c′), isto é, um número finito de escolhas de valores regulares d cujos conjuntos de níveis não são homeomorfos. Logo, da Observação4.2.3, deveremos ter somente um número
finito de componentes do tipo II.
Denotaremos por π : M −→ R( f ) a projeção canônica com relação ao grafo de Reeb da função suave f : M −→ R. Note que existe uma única aplicação ˜f: R( f ) −→ R que faz o seguinte diagrama comutar. M f // π R R( f ) ˜ f ==
Iremos denotar o interior de um conjunto J por intJ .
Proposição 4.2.5. Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Existe uma bijeção entre as componentes-arestas em M e as arestas do grafo de Reeb R( f ).
Prova. Seja C uma componente-aresta de M(c,c′). Então c, c′são valores críticos, C ∩ C*M
c′ , ∅ e
C ∩ C*M
c, ∅. Segue do Lema 4.1.6 que π(C
*
Mc′)= p e π(C *
MC)= q correspondem a vértices em
R( f ).
Como C é conexo e não contém pontos críticos, π(C) corresponde a um trecho de aresta de R( f ). Mas note que ˜f ∘π(C) = (c,c′) e que ˜f ∘π(C*M
c′)= c
′, ˜f ∘π(C*
Mc)= c. Logo π(C)
corresponde ao interior do 1-simplexo cujos vértices são p, q.
Reciprocamente, seja J uma aresta em R( f ) tal que ˜f(J)= [c,c′] e seja x ∈ intJ. Supon- hamos que ˜f(x)= d, então π−1(x)= CMd é uma componente conexa regular de Md= f
−1(d). Seja C a componente conexa em M(c,c′) contendo CMd. Então, π(C) ⊂ intJ. De fato,
caso contrário π(C) deverá conter pelo menos um ponto crítico, uma vez que, para não estar inteiramente contido em intJ deverá conter pelo menos um dos vértices de J. Mas isto não ocorre pois f (C) ⊂ (c, c′) e os vértices de J correspondem aos valores c e c′.
Suponhamos que f (C)= (a,b) ⊂ (c,c′). Então CMd× [a, b] é homeomorfo a C. Tome
y ∈intJ tal que ˜f(y)= t e t > b (ou t < a). Então π−1(y) não intersecta C. Porém CMd× (a, t)
é homeomorfo a um espaço conexo C′⊂ M(c,c,′) tal que C ⊂ C′. Mas como C é componente conexa, C= C′, o que é uma contradição. Logo, não existe tal y e portanto f (C)= (c,c′).
Como π(C) ⊂ J, e ˜f ∘π(C) = (c,c′), a componente C é uma componente-aresta.
Observação 4.2.6. Segue do Corolário4.2.4e da Proposição4.2.5que o número de arestas do grafo de Reeb é finito.
Apresentaremos agora uma outra maneira de entendermos as componentes-arestas. Para tanto, consideraremos uma outra relação de equivalência sobre M com respeito a f , que antecede a relação do grafo de Reeb. Com efeito:
dizemos que x, y ∈ M são criticamente relacionados e denotamos por x ∼cy, quando x,y ∈ C*
Md, para algum valor crítico d de f ; ou
x ∼c x, quando estão em componentes conexas regulares.
Denotaremos por Rc( f ) o espaço quociente M/∼c e por πc: M −→ Rc( f ) a projeção
canônica. De modo análogo à relação do grafo de Reeb, existe uma única aplicação fc: R( f ) −→ R tal que fc∘πc= f .
Então, Rc( f ) é obtido apenas contraindo-se as componentes conexas críticas de M, ao passo que o grafo de Reeb R( f ) é construído contraindo-se todas as componentes conexas dos conjuntos de níveis.
Lema 4.2.7. Considere a aplicação fc: Rc( f ) −→ R. O grafo de Reeb de fccoincide com o grafo
de Reeb de f .
Consideremos C uma componente-aresta de M(c,c′) contendo a componente CMa, para
algum valor regular a ∈ (c, c′).
Denotaremos por S (CMa)= CMa× [−1, 1]/∼a suspensão da componente CMa. Os pontos
[*, 1], [*, −1] representam os vértices da suspensão.
Proposição 4.2.8. Os espaços πc(C) e S (CMa) são homeomorfos.
Prova. Usando as mesmas notações da demonstração da Proposição 4.2.2, definimos uma aplicação
ϕ: C → S (CMa) por p ↦→ [h