Logo, temos:
0= ˜Hq(X − Z)= ˜Hq(X − Z) for q < m; 0= Hq(Y − A)= Hq(Y − A) for q ≥ m.
Segue do Teorema3.3.3, que não existe G-aplicação entre X − Z e Y − A, o que é uma
contradição.
Observação 3.3.5. O resultado acima é uma generalização do Teorema 2.1 encontrado em (MARZANTOWICZ; MATTOS; SANTOS,2013b)
3.4
Detalhes da construção de Segal
Esta seção visa descrever os passos da demonstração do importante isomorfismo ω*
: HG*(X) −→ HG*(WU)
apresentado no Teorema3.2.1(i). Relembrando, G é um grupo de Lie compacto, X é um G-espaço compacto, U = {𝒰α}α∈Aé uma cobertura finita por fechados invariantes de X, WU é G-espaço compacto da construção de Segal e ω : WU −→ X é a projeção na primeira coordenada.
Para k ≥ 0, defina
Xk= {x ∈ X; x pertence a pelo menos k + 1 elementos da cobertura U} = ⋃︁ dim σ≥k Uσ. Wk= ω−1(Xk)= {(x,v) ∈ WU; x ∈ Xk}= ⋃︁ dim σ≥k Uσ× |σ|.
Observe que Xk é união finita de uma interseção finita de fechados, portanto é fechado. Logo compacto, pois está contido em X. Além disso, Wk é imagem inversa de um fechado, logo é fechado em WU, portanto compacto.
Também teremos as cadeias
X= X0⊃ X1⊃ X2⊃... ⊃ Xk⊃... e WU = W0⊃ W1⊃ W2⊃... ⊃ Wk⊃...
Para provarmos o isomorfismo ω* seguiremos os seguintes passos: 1) Provar que HG*(Xk− Xk+1) HG*(Wk− Wk+1).
2) Provar que HG*(Xk, Xk+1) HG*(Wk,Wk+1). 3) Provar que HG*(X, Xk) HG*(WU,Wk).
Observação 3.4.1. Com exceção do passo 2, os outros estão contidos no trabalho de G. Segal (SEGAL,1968b), no qual o autor utiliza a K-teoria de cohomologia equivariante. Em (SEGAL, 1968b, Proposição 2.9) temos a propriedade da excisão:
Seja A um G-espaço fechado de um G-espaço localmente compacto Y, então KG*(Y − A) KG*(Y, A),
no qual KG*(−) denota o anel de cohomologia da K-teoria equivariante.
Assim, os passos 1) e 2) são equivalentes em K-teoria equivariante. Na cohomologia de Borel, não temos esta propriedade. Em virtude disto, apresentamos um modo alternativo de concluirmos o passo 2) para o nosso contexto.
Passo 1.
Dados os pares Xk⊃ Xk+1 e Wk⊃ Wk+1temos o seguinte diagrama:
⨆︁ dim σ≥k (Uσ− Uσ′) × |σ| //Wk− Wk+1 ω ⨆︁ dim σ≥k (Uσ− Uσ′) //Xk− Xk+1,
nos quais Uσ′ = Uσ∩ Xk+1,⨆︀ simboliza união disjunta e ω é, por abuso de notação, a restrição de ω a Wk− Wk+1. As aplicações horizontais são homeomorfismos (SEGAL,1968b, p. 146). A aplicação vertical à esquerda é uma equivalência por homotopia, pois os espaços |σ| são contráteis. Assim,
ω*
: HG*(Xk− Xk+1) −→ HG*(Wk− Wk+1) induz um isomorfismo.
Passo 2.
Consideremos os pares Xk⊃ Xk+1 e Wk⊃ Wk+1. Seja V= (Vβ)β∈Ba família de todas as G-vizinhanças fechadas de Xk+1em Xk.
Lema 3.4.2. HG*(Vβ− Xk+1) HG*(ω−1(Vβ) − Wk+1), para cada vizinhança Vβ∈ V.
Prova. Seja Vβ uma G-vizinhança fechada de Xk+1 em Xk. Então, Xk+1 ⊂ Vβ⊂ Xk. Também, Wk+1⊂ω−1(Vβ) ⊂ Wk. Note que: ω−1 (Vβ)⋂︁ ⨆︁ dim σ≥k ((Uσ− Uσ′) × |σ|)= ⨆︁ dim σ≥k (Vβ∩ (Uσ− U′σ) × |σ|).
3.4. Detalhes da construção de Segal 75
Como ⨆︁
dim σ≥k
((Uσ− Uσ′) × |σ|) −→ (Wk− Wk+1) é G-homeomorfismo, então
ω−1(V β)⋂︁ ⨆︁ dim σ≥k ((Uσ− U′σ) × |σ|) −→ ω−1(Vβ) ∩ (Wk− Wk+1)= (ω−1(Vβ) − Wk+1) também o é, ou seja, ⨆︁ dim σ≥k (Vβ ⋂︁ (Uσ− Uσ′) × |σ|)−→ ω−1(Vβ) − Wk+1. Analogamente, como ⨆︁ dim σ≥k (Uσ− Uσ′) −→ Xk− Xk+1 é G-homeomorfismo, então Vβ ⋂︁ ⨆︁ dim σ≥k (Uσ− Uσ′) −→ Vβ ⋂︁ (Xk− Xk+1)= Vβ− Xk+1, isto é, ⨆︁ dim σ≥k (Vβ ⋂︁ (Uσ− Uσ′)) −→ Vβ− Xk+1 é G-homeomorfismo. Consideremos o diagrama:
⨆︁ dim σ≥k (Vβ ⋂︁ (Uσ− Uσ′) × |σ|) //ω−1(V β) − Wk+1 ω ⨆︁ dim σ≥k (Vβ ⋂︁ (Uσ− Uσ′)) //Vβ− Xk+1.
Como anteriormente, as aplicações horizontais são G-homeomorfismos e a vertical à esquerda é uma equivalência por homotopia. Segue que
ω*
: HG*(Vβ− Xk+1) HG*(ω−1(Vβ) − Wk+1).
Lema 3.4.3. Para todo Vβ∈ V, temos
HG*(Xk,Vβ) H*(Xk− Xk+1,Vβ− Xk+1) e HG*(Wk,ω−1(Vβ)) HG*(Wk− Wk+1,ω−1(Vβ) − Wk+1). Prova. Segue diretamente do axioma da excisão para a cohomologia de Borel, pois
Xk+1= Xk+1⊂ int (Vβ) ⊂ Vβ, desde que Vβé uma vizinhança. Analogamente,
Wk+1= Wk+1⊂ int (ω−1(Vβ)).
Lema 3.4.4. Para todo Vβ∈ V, temos HG*(Xk,Vβ) HG*(Wk,ω−1(Vβ)).
Prova. Considere o diagrama
HG*(Xk− Xk+1) // HG*(Vβ− Xk+1) // HG*(Xk− Xk+1,Vβ− Xk+1) // HG*(Wk− Wk+1) //HG*(ω−1(Vβ) − Wk+1) //HG*(Wk− Wk+1,ω−1(Vβ) − Wk+1) // //H*+1 G (Xk− Xk+1) // HG*+1(Vβ− Xk+1) //H*+1 G (Wk− Wk+1) //H *+1 G (ω −1(V β) − Wk+1) As linhas horizontais são dadas pelas sequências exatas longas dos pares
(Xk− Xk+1,Vβ− Xk+1) e (Wk− Wk+1,ω−1(Vβ) − Wk+1).
A aplicação ω : Wk−→ Xk, restrição de ω : WU −→ X, induz as aplicações verticais.
Os isomorfismos vêm dos diagramas das discussões anteriores. Segue do Lema dos Cinco que HG*(Xk− Xk+1,Vβ− Xk+1) HG*(Wk− Wk+1,ω−1(Vβ) − Wk+1).
Pelos lemas anteriores
HG*(Xk,Vβ) HG*(Wk,ω−1(Vβ)).
Podemos definir a seguinte relação de quase-ordem (reflexiva e transitiva) em V= (Vβ)β∈B:
Vβ≤ Vγ, quando Vγ⊂ Vβ.
Com isto obtemos um sistema dirigido (V, ≤).
Observação 3.4.5. Dado o sistema dirigido (V, ≤), a família de imagens inversas W= (ω−1(Vβ)), juntamente com a relação de quase-ordem ≤ é também um sistema dirigido. Além disso, se considerarmos W1 a coleção de todas as G-vizinhanças fechadas de Wk+1 em Wk, então o sistema dirigido W será cofinal a W1, isto é, dado uma vizinhança U′ de Wk+1 em Wk, existe vizinhança ω−1(V′) ∈ W tal que Wk ⊂ ω−1(V′) ⊂ U′. De fato, observe que ω : Wk −→ Xk é sobrejetora e aberta (pois é restrição da projeção na primeira coordenada). Também temos que ω: Wk− Wk+1−→ Xk− Xk+1é sobrejetora.
3.4. Detalhes da construção de Segal 77
Agora, suponhamos que Wk+1⊂ U′⊂ Wk, com U′vizinhança fechada de Wkem Wk+1. Então, Wk− U′ é aberto e ω(Wk− U′) é aberto em Xk. Temos ω(Wk− U′) ⊂ Xk− Xk+1, pois Wk− U′⊂ Wk− Wk+1. Assim, V′= Xk− (ω(Wk− U′)) ⊃ Xk+1e é um fechado.
Note que se x ∈ ω−1(V′), então ω(x) ∈ Xk−ω(Wk− U′), isto é, ω(x) < ω(Wk− U′). Logo, x < Wk− U′e, portanto, x ∈ U′. Assim, ω−1(V′) ⊂ U′e contém Wk+1.
Segue da Observação3.4.5que lim −−→H * G(Wk,ω −1 (Vβ)) HG*(Wk,Wk+1), no qual o limite direto é tomado em relação a W= (ω−1(Vβ)). Proposição 3.4.6. HG*(Wk,Wk+1) HG*(Xk, Xk+1).
Prova. Basta considerarmos o diagrama a seguir. lim −−→H * G(Xk,Vβ) // HG*(Xk, Xk+1) lim −−→H * G(Wk,ω −1(V β)) //HG*(Wk,Wk+1). Com isto concluímos o passo 2.
Passo 3
Este passo também pode ser encontrado em (COSTINESCU,2012, página 21). Proposição 3.4.7. Para qualquer k temos HG*(X, Xk) HG*(WU,Wk).
Prova. Considere as triplas (Xk−2, Xk−1, Xk) e (Wk−2,Wk−1,Wk). Temos o seguinte diagrama comutativo: HG*(Xk−1, Xk) // HG*(Xk−2, Xk−1) // HG*(Xk−2, Xk) // HG*(Xk−1, Xk) // HG*(Xk−2, Xk−1) HG*(Wk−1,Wk) //HG*(Wk−2,Wk−1) //HG*(Wk−2,Wk) //HG*(Wk−1,Wk) //HG*(Wk−2,Wk−1) Segue do Lema dos Cinco que
HG*(Xk−2, Xk) HG*(Wk−2,Wk).
No próximo passo, considerando as triplas (Xk−3, Xk−1, Xk) e (Wk−3,Wk−1,Wk), obteremos HG*(Xk−3, Xk) HG*(Wk−3,Wk), para todo k.
Como X0= X e W0= WU, segue que no passo k, obtemos HG*(X0, Xk) HG*(W0,Wk), como
Finalmente estamos aptos a provar o isomorfismo ω*.
Como a dimensão por cobertura de X é finita, existe um k tal que Xk= ∅. Com isto, para este mesmo k, Wk= ∅. Assim,
ω*
: HG*(X, ∅) HG*(WU,∅).
O modelo WU construído depende da escolha da cobertura U. Agora apresentamos alguns conceitos relacionando duas escolhas de coberturas para o G-espaço X.
Definição 3.4.8. Sejam X e Y dois G-espaços compactos, U= {Uα}α∈Ae V = {Vβ}β∈Bcoberturas por fechados invariantes de X e Y, respectivamente. Um morfismo entre os pares (X, U) e (Y, V) é um par de aplicações ( f , θ) : (X, A) −→ (Y, B) tais que f : X −→ Y é uma G-aplicação e θ : A −→ B satisfaz f (Uα) ⊂ Vθ(α).
Observação 3.4.9. Se temos σ ∈ NU tal que σ = {α0,...,αp} e p ⋂︁ i=0 Uαi, ∅, então, ⋂︁ Vθ(αi), ∅.
Logo, θ é um morfismo entre os complexos simpliciais NUe NV. Além disso, podemos estendê-lo para uma aplicação |θ| : |NU| −→ |NV| e, consequentemente, obter uma aplicação
f × |θ|: WU(X) −→ WV(Y), nos quais WU(X)= ⋃︁ σ∈NU (Uσ× |σ|) e WV(Y)= ⋃︁ γ∈NV (Vγ× |γ|).
Proposição 3.4.10 ((COSTINESCU,2012), Lemma 1). Dados dois morfismos ( f , θ1), ( f , θ2), estes induzem G-aplicações homotópicas entre WU(X) e WV(Y).
Fixemos uma cobertura U de X. Então, provaremos o Teorema3.2.1(ii):
Seja 𝒱 um refinamento de U. Então, existirá uma G-aplicação W𝒱−→ WU, definida a menos de G-homotopia, a qual respeita as filtrações e projeções anteriores.
Prova. Dado Vβ∈ 𝒱, existe pelo menos um Uα ∈ U tal que Vβ⊂ Uα. Para cada índice β, escolhendo α= θ(β), obtemos um morfismo θ entre 𝒱 e U e, como consequência, um aplicação i × |θ|: W𝒱−→ WU, no qual i é a inclusão. Por construção, esta G-aplicação respeita filtrações e projeções sobre X e, pela Proposição 3.4.10, outras escolhas para θ geram aplicações
homotópicas .
Temos a filtração de WU dada por
WU0 ⊂ WU1 ⊂ · · · ⊂ WU, nos quais WUp = ⋃︁
dim(σ)≤p
3.4. Detalhes da construção de Segal 79
Lema 3.4.11. (SEGAL,1968a, Lema 5.4),(SEGAL,1968b, p. 145 (iii)) A aplicação diagonal WU −→ WU× WUé G-homotópica a uma aplicação que preserva filtração, quando a filtração de WU× WU é definida por (WU× WU)n=
⋃︁ p+q=n
WUp× WUq.
Também temos a filtração de HG*(X):
HG*(X)= HG,0* (X) ⊃ HG,1* (X) ⊃ · · · ⊃ HG,s* (X) ⊃ · · · , no qual HG,s* (X)= ker[HG*(X) −→ HG*(WUs−1)].
A demonstração do Teorema3.2.1(iii) que diz: HG,s* (X) · HG,s* ′(X) ⊂ HG,s+s* ′(X), pode ser
81
Capítulo 4
Grafo de Reeb como subcomplexo de uma
variedade
O grafo de Reeb R( f ) é um invariante fundamental de uma função suave f : M → R cujos pontos críticos são isolados. Ele é definido como o espaço quociente M/∼de uma variedade Msuave fechada (compacta e sem bordo) por uma relação dependendo de f . Iremos construir um complexo 1-dimensional Γ( f ) mergulhado em M, o qual será equivalente por homotopia a R( f ). Como consequência, mostraremos que para toda função f definida em um variedade com grupo fundamental finito, seu grafo de Reeb R( f ) será uma árvore (grafo sem laços). Se π1(M) for um grupo abeliano, ou mais geralmente, um grupo discreto ameanable1, então R( f ) conterá no máximo um laço. Finalmente, provaremos que o número de laços do grafo de Reeb de qualquer função definida em uma superfície Mgé limitado superiormente por g, o genus de Mg.
Este capítulo é organizado da seguinte forma. Na Seção4.1, apresentamos as notações e hipóteses gerais válidas para todas as demais seções, bem como a definição de grafo de Reeb. Recordaremos algumas definições e resultados clássicos sobre variedades e trajetória gradiente. As Seções4.2e4.3são devotadas em estabelecer correspondência básica entre certos conjuntos de componentes conexas, conjuntos de classes de homotopias de caminhos e arestas e vértices do grafo de Reeb. Reunimos estes resultados na Seção4.4, onde definimos e estudamosΓ( f ). Finalmente, na Seção4.5, aplicaremos estes resultados para estimar o número de laços do grafo de Reeb R( f ) para uma superfície Mg.
4.1
Conceitos básicos
Sejam M uma variedade diferenciável sem bordo e f : M −→ R uma função diferenciável. Dizemos que p ∈ M é um ponto crítico de f quando f′(p) : TpM −→ R, a derivada de f no ponto p, for uma transformação linear nula, no qual TpMdenota o espaço tangente à variedade M no ponto p. Caso contrário, isto é, quando f′(p) for não nula (e, portanto, sobrejetora), o ponto p é dito regular. Um valor regular é um número real c ∈ R tal que f−1(c) possui somente pontos regulares. Caso contrário, quando possuir ao menos um ponto crítico, será chamado de valor crítico.
Convenção. O termo suave será destinado a objetos de classe 𝒞1, por exemplo, função suave e variedade suave referem-se à funções de classe C1e variedades de classe C1, respectivamente. Proposição 4.1.1 ((LIMA,2008, Capítulo VII, Proposição 1) ). Seja c ∈ R um valor regular de uma função suave f : M −→ R, no qual M é uma variedade suave de dimensão n. Então f−1(c) ou é o conjunto vazio ou é uma subvariedade de M de dimensão n − 1.
Vemos pela Proposição 4.1.1 que temos boas propriedades com respeito à valores regulares quando tratamos de variedades e funções suaves. Além disso, em (LIMA, 2008, Capítulo VII, Proposição 2), tem-se:
“O conjunto X dos pontos regulares de uma função suave f: M −→ R é aberto e f |X: X −→ R é uma função aberta."
Logo, se c ∈ R é valor regular de f : M −→ R, existe > 0 tal que f−1((−+ c, + c)) não contém pontos críticos.
Dizemos que uma variedade suave M é fechada quando M for uma variedade compacta e sem bordo. Neste caso, observamos que dado um valor regular c ∈ R de f , o número de componentes conexas de f−1(c) é finito. De fato, por ser subvariedade, f−1(c) é localmente conexo, logo, as componentes conexas formam uma cobertura aberta de f−1(c). Como f−1(c) é um subespaço fechado em M segue que é compacto e, portanto, que a cobertura é finita. Observe que neste caso, componentes conexas e componentes conexas por caminhos coincidem.
As componentes conexas de f−1(c) são ditas componentes conexas do nível c. No caso em que c for um valor crítico, as componentes conexas de f−1(c) que contiver pontos crítcos serão chamadas de componentes conexas críticas do nível c.
Um ponto crítico p ∈ M, com relação a f , será isolado quando existir uma vizinhança aberta U ⊂ M de p tal que U − {p} não contém pontos críticos. Então quando M for fechada e f: M −→ R for uma função suave que admite somente pontos críticos isolados, o conjunto Cr( f ) dos pontos críticos será finito. O resultado a seguir traz um estudo sobre as componentes conexas críticas de um dado valor.
4.1. Conceitos básicos 83
Proposição 4.1.2. Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Então, as componentes conexas críticas são também componentes conexas por caminhos.
Prova. Seja d ∈ R um valor crítico de f . Uma vez que espaços conexos por caminhos são necessariamente conexos, precisamos verificar somente que dada uma componente conexa C em
f−1(d), esta seja conexa por caminhos.
Vamos supor que C possui somente um único ponto crítico p. Se C= {p} não temos o que provar. Então suponhamos que C , {p}.
O espaço C − {p} é localmente conexo por caminhos. De fato,
dado y ∈ C − {p}, tome uma vizinhança aberta Uyem M tal que Vy= Uy∩ f−1(d) ⊂ C − {p} contém somente pontos regulares de f . Logo f |Uy: Uy−→ R é função suave com valor regular
de, portanto, f |−1U
y(d)= Vy é uma subvariedade de Uy, logo, localmente conexa por caminhos.
Então, dado y ∈ C − {p}, a componente conexa Cyde y em C − {p} é, portanto, conexa por caminhos. Além disso, temos p ∈ Cy. Com efeito,
se p < Cy, então Cy é fechado em C, pois Cy= Cyem C. Por outro lado, como Cyé aberto em C − {p}, segue que é aberto em C. Então, Cy é aberto e fechado em C e não contém p, logo Cy= ∅. Contradição!
Considere uma família de abertos em M encaixados, indexados em m ∈ N, ... ⊂ Dm⊂ Dm−1⊂... ⊂ D1,
difeomorfos a discos em Rn, cujo centros correspondem a p, no qual n é a dimensão de M. Tome y ∈ ∂D1, o bordo de D1. Note que Cy∩∂Dm, ∅, para todo m ∈ N, pois caso contrário Cy∩ Dme Cy− Dm seriam dois abertos disjuntos que cobririam Cy, contradizendo o fato deste ser conexo por caminhos.
Escolhidos ym∈ Cy∩∂Dm, para cada m ∈ N, com y = y1, existem caminhos γm: [0, 1] −→ Cy unindo yma ym+1. Podemos então definir o seguinte caminho γ : [0, 1] −→ Cy∪ {p}:
γ(t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ γ1(t) se 0 ≤ t ≤ 1/2, γ2(t) se 1/2 ≤ t ≤ 1/4, ... ... γn(t) se 1 − 1/2n≤ t ≤ 1 − 1/2n+1, ... ... p se t= 1.
Então, para todo ponto y ∈ C próximo de p, existe um caminho ligando p a y. Assim, C é localmente conexo por caminhos e, por sua vez, será conexo por caminhos.
Note que todo argumento pode ser dado localmente ao redor de p e que, portanto é suficiente considerar somente o caso em que C contém somente um único ponto crítico. Observação 4.1.3. Note também que todos os caminhos γnusados na construção de γ podem ser tomados como mergulhos homeomorfos a intervalos de comprimento 1/2n. Consequentemente, o caminho limite γ : I → C satisfaz γ(0)= y, γ(1) = p e é homeomorfo a I, isto é, um arco. Observação 4.1.4. Como comentado em (SHARKO, 2006), uma componente conexa C de um valor crítico é uma variedade com singularidades de codimensão 1, no qual o conjunto de singularidades consiste dos pontos críticos que estão em C.
Grafo de Reeb
Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Então, denotaremos por Mco conjunto f−1(c). Observe que M=
⋃︁
c∈R
Mc. Mais ainda, M é a união disjunta de todas as componentes conexas (ou conexas por caminhos) de todos os conjunto de níveis de Mc, c ∈ R. Estas componentes estabelecem uma relação de equivalência que definiremos a seguir.
Definição 4.1.5 (Grafo de Reeb). Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. Dados x, y ∈ M, dizemos que x se relaciona com y e denotamos por x ∼ y se, e somente se, f (x)= f (y) = c e x,y pertencem à mesma componente conexa em Mc, para algum c ∈ R. O espaço quociente M/∼é chamado grafo de Reeb da função
f e é denotado por R( f ).
Em virtude da Proposição 4.1.2, podemos dizer que dois pontos x, y ∈ M estão rela- cionados se, e somente se, existe um caminho γ : [0, 1] −→ M tal que γ(0)= x, γ(1) = y e
f(γ(t))= f (x) = f (y), para todo t ∈ [0,1].
O espaço quociente R( f ) acima recebe o nome de grafo de Reeb por ter sido introduzido por G. Reeb em (REEB,1946). Mas também pode ser encontrado na literatura com o nome de grafo de Kronrod-Reeb, como consta em (SHARKO,2006), devido ao trabalho de A. S. Kronrod em (KRONROD,1950). O termo grafo será melhor explicado após o seguinte lema.
Lema 4.1.6 ( (KRONROD,1950;REEB,1946;SHARKO,2006)). Sejam M uma variedade suave fechada e f : M −→ R uma função suave com pontos críticos isolados. O espaço quociente R( f ) é homeomorfo a um complexo simplicial de dimensão 1. Mais ainda, os vértices de R( f ) correspondem às classes dos pontos críticos de f , ou seja, as componentes conexas de valores críticos que contenham pontos críticos.
4.1. Conceitos básicos 85
Observação 4.1.7. Um grafo é um complexo simplicial abstrato de dimensão 12. Ao dizermos que R( f ) é um grafo, estamos identificando-o com sua realização geométrica como um complexo CW de dimensão 1.
Notações. Uma componente conexa qualquer de Mcserá denotada por CMc. Quando esta possuir
pelo menos um ponto crítico de f , escreveremos C*M
c e a chamaremos de uma componente
conexa crítica de Mc.
Então, as componentes conexas críticas correspondem aos vértices do grafo de Reeb R( f ).
Trajetórias gradiente
Para prosseguirmos com as próximas construções das seções seguintes precisamos resgatar alguns fatos sobre campos de vetores e fluxo gradiente.
Seja M uma variedade suave. Denotaremos por T M o fibrado tangente de M, isto é, T M= ⋃︁
p∈M
{p} × TpM. Um campo de vetores suave sobre M é uma aplicação suave X : M −→ T M tal que π1∘ X(p)= p, no qual π1: T M −→ M é projeção na primeira coordenada. Denotaremos o conjunto de todos os campos vetoriais suaves sobre M porΓ(M).
Um fluxo sobre M é uma função contínua ϕ : R × M −→ M satisfazendo: ϕ(0, x) = x e ϕ(t1+ t2, x) = ϕ(t1,ϕ(t2, x)),
para todo t1,t2∈ R e x ∈ M. Em outras palavras, interpretando (R, +) como grupo topológico aditivo, a função ϕ é uma ação de R sobre M.
Por ϕp entenderemos a trajetória ϕp: R −→ M tal que ϕp(t)= ϕ(t, p). Em termos de ação, a imagem de ϕpé a órbita de p. Por ϕt, temos ϕt: M −→ M, um homeomorfismo, tal que ϕt(x)= ϕ(t, x), para t ∈ R. Em termos de ação, este último é, na verdade, a translação por t. Teorema 4.1.8 ((BURNS; GIDEA,2005, Teorema 2.3.3)). Sejam M uma variedade suave e X um campo de vetores suave em M. Para cada ponto p ∈ M, existe uma curva suave ϕp: (−, ) ⊂ R −→ M tal que ϕp(0)= p satisfazendo
ϕ′
p(t)= X(ϕp(t)) e ϕp(0)= p.
Esta curva é dita curva integral (ou solução), com condição inicial p, para o campo de vetores X. Se µ : (−δ, δ) −→ M é outra curva integral com condição inicial p para o campo de vetores X, então ϕp= µ num intervalo (−c,c) ⊂ (−δ,δ) ∩ (−,).
A solução ϕp(t) depende continuamente da condição inicial p. Existe um intervalo maximal Ipno qual a solução ϕpestá definida. A aplicação ϕ : {(t, p); p ∈ M e t ∈ Ip} −→ M é
um fluxo local, isto é, ϕ(0, p)= p e ϕ(t1+ t2, p) = ϕ(t1,ϕ(t2, p)), sempre que t1,t2,t1+ t2∈ Ip. Se M for compacta, então o fluxo pode ser definido globalmente sobre R × M.
Definição 4.1.9 ((BURNS; GIDEA,2005, Definição 8.2.1)). Sejam (M, g) uma variedade Rie- manniana3sem bordo e f : M −→ R uma função suave. O campo de vetores gradiente ∇ f (ou gradf) é unicamente definido pela condição:
para cada p ∈ M, o vetor ∇ f (p) é o único que satisfaz
g(∇ f (p), X(p))p= f′(p)(X(p)), para todo campo de vetores X em M.
Substituindo X por −∇ f no Teorema4.1.8, obtemos algumas definições. Uma curva integral, com condição inicial p, para o campo gradiente negativo −∇( f ) é chamada de trajetória gradiente passando por p. Um fluxo local (ou global) com respeito a este campo será chamado de fluxo gradiente.
O próximo teorema resume algumas das propriedades envolvendo −∇ f , no qual f : M −→ R é uma função suave.
Teorema 4.1.10 ((KATOK; HASSELBLATT,1995, Capítulo 1, Seção 6),(BURNS; GIDEA, 2005, Teorema 8.3.1)). Sejam (M, g) uma variedade suave fechada e Riemanniana e f : M −→ R uma função suave. Seja −∇ f (x) : M → T M o campo de vetores gradiente negativo definido por
f e pela estrutura Riemanniana. Então, as seguintes condições são satisfeitas:
1. A função f é estritamente decrescente ao longo de uma trajetória gradiente, exceto ao longo de trajetórias gradientes passando por pontos críticos de f , no qual neste caso f será constante.
2. O campo −∇ f é ortogonal aos conjuntos de níveis f−1(c), com c ∈ R.
Denotaremos por ω−∇ f(p) o conjunto {q ∈ M; ∃ tn−→ ∞ tal que ϕp(tn)= q} e o chamare- mos de conjunto ω-limite, no qual ϕ é um fluxo gradiente. De modo semelhante, denotare- mos por α−∇ f(p) o conjunto {q ∈ M; ∃ tn−→ −∞ tal que ϕp(tn)= q} e o chamaremos de conjunto α-limite.
3. Para todo p ∈ M, o conjunto ω−∇ f(p) ou contém um único ponto ou infinitos pontos. O mesmo vale para α−∇ f(x).
4. O conjunto ω-limite e o conjunto α-limite consistem de pontos críticos de f .
3 Uma métrica Riemanniana numa variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto
p ∈ Mum produto interno no espaço tangente TpM. Uma variedade M juntamente com uma métrica Riemanniana