Prova do Teorema 2.3.1

Para demonstrarmos o Teorema2.3.1, precisaremos de mais alguns resultados, como segue.

*Lema 2.3.11. Seja G= (Zp)kcom k ≥ 1. Considere uma família {H1,..., Hr} de subtoros de G com rank k − 1. Dado um subtoro qualquer H ⊂ G de rank k − 1, temos

2.3. Uma recíproca para o teorema de Borsuk-Ulam 59

(G/H1? ··· ?G/Hr)H G/H ? · · · ? G/H (s vezes), no qual 0 ≤ s ≤ r é o número de vezes que H aparece em {H1,..., Hr}. Prova. Denotemos G/H1? ··· ?G/Hnpor M.

O grupo G atua em M da seguinte maneira:

g[t1,g1H1,...,tn,grHr]= [t1,(gg1)H1,...,tr,(ggr)Hr],

para quaisquer g ∈ G e [t1,g1H1,...,tr,grHr] ∈ M. Assim, temos

MH= {[t1,g1H1,...,tn,grHr] ∈ M; [t1,(hg1)H1,...,tr,(hgr)Hr]= [t1,g1H1,...,tn,grHr], ∀ h ∈ H}.

Suponhamos que [t1,(hg1)H1,...,tn,(hgr)Hr]= [t1,g1H1,...,tn,grHr].

Se ti, 0, então hgiHi= giHi, para todo h ∈ H. Portanto, g−1_i hgi∈ Hi, para todo h ∈ H. Como G é comutativo, então h ∈ Hi, para todo h ∈ H. Assim, H ⊆ Hi. Logo, como são subtoros de rank k − 1 devemos ter H= Hi. Nos casos em que H , Hj, devemos ter tj= 0 sempre. Assim, MH= {[t1,g1H,...,tr,grH]; ti= 0 quando Hi, H}. Defina

ϕ: MH_{−→ G/H ? ··· ?G/H por [t}

1,g1H1,...,tr,grHr] ↦→ [ti1,gi1H,...,tis,gisH],

nos quais ij∈ {i; tipode ser não nulo}. Devemos imaginar ϕ como a projeção nas partes que contêm os espaços homogêneos G/H. A inclusão (G/H ? · · · ? G/H) ,→ MH definida por

[ti1,gi1H,...,tis,gisH] ↦→ [. . . , 0, Hi,...,ti1,gi1H,...,tisHis,...,0, Hj,...]

constitui na inversa natural da aplicação anterior. Portanto, temos um G/H-homeomorfismo. _ Observação 2.3.12. Seja si≥ 0 o número de subgrupos isomorfos a Hique aparece na coleção acima {H1,..., Hr}. Então, s1+ ··· + sr= r.

*Lema 2.3.13. Sejam G= (Zp)k, com k ≥ 1 e X uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimen- são n, tal que X é G-ANR e XG= ∅. Então, para qualquer subtoro H de rank k −1 tal que XH_{, ∅,} existe G/H-aplicação XH −→ G/H ? ··· ? G/H (s vezes). Além disso, s = n(H) + 1, no qual n(H) é a dimensão da esfera de cohomologia XH.

Prova. Segue do Corolário2.3.9que 𝒜-genus(X)= n+1 e, portanto, da caracterização do genus (veja Proposição1.6.11) existe uma aplicação G-equivariante f : X −→ G/H1? ··· ? G/Hn+1, com G/Hi ∈ 𝒜 = {G/H; H ( G subtoro de rank k − 1}. Pelo Lema 2.3.11, dado Hi, teremos

fHi_{: X}Hi _{−→ (G/H}

Note que, pelo Teorema2.3.8, n(Hi)+ 1 ≤ 𝒜Hi-genus(X

Hi_{) ≤ s}

i. Por outro lado, segue da Observação2.3.12que

r ∑︁

i=1

si= s1+ ... + sr= n + 1, no qual r é o número de subgrupos Hi distintos que aparecem no join acima. Pela fórmula de Borel (Teorema1.5.7), sabemos que n+ 1 = r ∑︁ i=1 n(Hi)+ 1. Portanto, n+ 1 = r ∑︁ i=1 n(Hi)+ 1 = r ∑︁ i=1 si= n + 1.

Se tivéssemos si> n(Hi)+ 1, para algum i, então n+1 ∑︁ i=1 n(Hi)+ 1 < n+1 ∑︁ i=1

si, o que é uma contradição.

Portanto, si= n(Hi)+ 1, para todo i. 

*Lema 2.3.14 (Existência). Sejam G= (Z2)k ou (Zp)k, com k ≥ 1 e X uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão n tal que X é G-ANR e XG= ∅. Então, existe aplicação G-equivariante entre X e uma esfera de representação (complexa) de mesma dimensão.

Prova. Para o caso p= 2, segue do Corolário2.3.9que 𝒜-genus(X)= n+1, então pela Proposição 1.6.11, existe uma G-aplicação X −→ S0? ··· ? S0_{ S V, no qual dim S V = n.}

Agora, para p > 2, pelos Lemas2.3.11e2.3.13, existe uma aplicação G-equivariante f: X −→ G/K1? ··· ?G/Kn+1,

com Ki∈ ℋ = {H1,..., Hr} (família dos subtoros de rank k − 1 tais que XHi, ∅).

Pelo Lema2.3.13, o número de vezes, si, que cada G/Hiaparece em G/K1?...?G/Kn+1 é par, pois n(Hi)+ 1 é par. Então, reordenando e agrupando dois a dois os fatores no produto join acima, obtemos uma aplicação G-equivariante que ainda denotaremos por f ,

f: X −→ (G/H1?G/H1) ? · · · ? (G/H1?G/H1) ⏟ ⏞ s1 ?··· ? (G/Hr?G/Hr) ? · · · ? (G/Hr?G/Hr) ⏟ ⏞ sr .

Como na demonstração do Teorema2.3.8, segue que existe uma aplicação G-equivariante entre G/Hi?G/Hie S Vi, onde Videnota a representação irredutível de G associada ao caractere G/Hi,→ S1. Portanto, existe aplicação G-equivariante

(G/Hi?G/Hi) ? · · · ? (G/Hi?G/Hi) −→ S Vi? ··· ? S Vi ⏟ ⏞

si/2

 S Wi.

Como si= n(Hi)+ 1, então dimCS Wi= 2(si/2) − 1 = si− 1= n(Hi). Portanto, podemos definir uma aplicação G-equivariante

2.3. Uma recíproca para o teorema de Borsuk-Ulam 61

no qual S W1? ··· ? S Wr S W, tal que dimCS W= n, pois é o join de r ∑︁ i+1 (n(Ki)+ 1) 2 = 1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∑︁ i (n(Ki)+ 1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠= (n+ 1) 2 esferas S 1_.  Prova do Teorema2.3.1. Do Corolário2.2.4temos a condição necessária para a existência da aplicação. Agora suponhamos que dim XH≤ dim_CS VH, para todo H. Do Lema2.3.14existe aplicação G-equivariante X −→ S W, no qual dim_CS W= dim X tal que dim XH = dim_CS WH, para todo subtoro H de rank k − 1, com XH_{, ∅. Agora, por (}MARZANTOWICZ; MATTOS; SANTOS,2013b, Teorema 2.4), existe aplicação G-equivariante entre S W e S V, logo existe

aplicação G-equivariante entre X e S V. 

Como consequência interessante obtemos que a classe de Euler de uma ( mod p)-esfera de cohomologia X tal que XG= ∅, será polinomial quando X for um (Zp)k-ANR.

*Corolário 2.3.15. Seja G= (Zp)k, com k ≥ 1, e X uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão n tal que XG= ∅ e X é um G-ANR. Então,

a) (𝒜, H_G*, I)-length(X) = `(X) = n+ 1 2 . b) a classe de Euler e de X é polinomial.

Prova. Para o item a), como existe f : X −→ S W tal que dim_CS W= dim X e `(S W) = n+ 1 2 , segue que n+ 1 2 ≤`(X) ≤ `(S W) ≤ n+ 1 2 . O item b) segue do Corolário2.1.8, pois `(X)=∑︁

H

`H(XH), no qual H percorre os subtoros de

63

Capítulo 3

Uma versão Bourgin-Yang do teorema de Borsuk-

Ulam

Em 1954/55, Yang(YANG,1954;YANG,1955) e independentemente, em 1955, D. G. Bourgin(BOURGIN,1955) provaram que a dimensão por cobertura do conjunto Zf dos zeros de uma Z2-aplicação f : Sn−→ Rm, isto é, a dimensão do conjunto Zf := {x ∈ Sn; f (x)= 0} satisfaz

dim Zf ≥ n − m − 1.

A versão deste teorema apresentada aqui substitui a esfera Snpor uma esfera de coho- mologia X de dimensão n e o espaço euclidiano Rm por um espaço topológico satisfazendo a condição de que Y − YG seja uma esfera de cohomologia de dimensão m. Logo, estamos interessados em estudar a dimensão por cobertura do conjunto Zf = f−1(YG).

Primeiramente, na Seção3.1, apresentaremos uma consequência imediata do length das esferas de cohomologia que nos permite estimar por baixo o length do espaço Zf. Na Seção3.2, a construção de um modelo simplicial (à la Cech) de um G-espaço topológico, encontrado em (SEGAL,1968b, Seção 5) é exibida. Assim, obteremos um limitante superior para o índice length envolvendo a dimensão por cobertura do espaço estudado e o número de órbitas maximais da ação do grupo G. E isto nos permite concluir, na Seção3.3, o teorema principal deste capítulo, uma versão Bourgin-Yang (veja Teorema3.3.1) neste contexto. A Seção3.4é dedicada a apresentar alguns detalhes da construção de Segal (SEGAL,1968b).

No caso particular, em que X é uma variedade topológica fechada orientável, é possível obter uma versão com estimativa ótima do teorema de Bourgin-Yang, como mostrado no Teorema 3.3.4.

3.1

LEMA A: uma estimativa inferior do length de Z

.

Diferentemente dos resultados obtidos no capítulo anterior, nesta seção exploraremos as três propriedades básicas que uma teoria de índices deve possuir (FADELL; HUSSEINI,1988): monotonicidade, subaditividade e continuidade. A validação destas propriedades para o índice lengthé dada na Proposição1.6.3.

*Lema 3.1.1 (LEMA A). Seja G= (Z2)k, (Zp)kou (S1)k, com k ≥ 1. Suponhamos que f : X −→ Y seja uma aplicação G-equivariante, nos quais X é uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão n tal que XG= ∅, e Y − YG é uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão m. Considere Zf = f−1(YG). Então, (i) se p= 0 ou p > 2, `(Zf) ≥ n − m 2 , ou (ii) se p= 2, `(Zf) ≥ n − m.

A notação `(Zf) é uma abreviação para (𝒜, H_G*, I) − length(Zf), com as escolhas canônicas como no Teorema2.2.2.

Prova. Pela continuidade do length, existe uma vizinhança de Zf, denotada por 𝒱, aberta em X e G-invariante tal que `(𝒱)= `(Zf). Então, podemos escrever X= (X − Zf) ∪ 𝒱. Segue da subaditividade do length que

`(X) = `((X − Zf) ∪ 𝒱) ≤ `(X − Zf)+ `(𝒱).

A restrição da aplicação f com relação a X − Zf é uma aplicação G-equivariante f |X−Zf: X − Zf −→ Y − Y

G

e, portanto, pela monotonicidade do length, `(X − Zf) ≤ `(Y − YG). Desta maneira, rearranjando as fórmulas anteriores, obtemos a desigualdade

`(Zf) ≥ `(X) − `(Y − YG).

Então, aplicando o Teorema2.2.2, obtemos (i) para o caso p= 0 e (ii).

Agora para o caso p > 2 em (i), como constatado no Corolário2.3.15, uma condição suficiente para que `(Y − YG) ≤ m+ 1

2 , é exigirmos que Y − Y

G _{seja um espaço G-ANR. Para} contornarmos esta situação, utilizaremos a propriedade do limitante inferior dada no Teorema 2.1.7. Para cada H subtoro de G de rank k − 1, encontramos uma vizinhança de ZH_f , denotada por 𝒱(H), aberta em XH e G/H-invariante tal que

3.1. LEMA A: uma estimativa inferior do length de Zf. 65

A notação `H é uma abreviação para (𝒜H, H<sub>G/H</sub>* , IH) − length, com as escolhas canônicas como no Teorema2.1.7. Então `(Zf) ≥ ∑︁ H `H(ZH<sub>f</sub> )= ∑︁ H `H(𝒱(H)) ≥ ∑︁ H `H(XH) −∑︁ `H((Y − YG)H). Segue da fórmula de Borel (Teorema1.5.7) que

∑︁ H `H(XH) − ∑︁ H `H((Y − YG)H)= (dim X − dim(Y − YG)) 2 .  Do Lema3.1.1podemos obter algumas informações sobre o homomorfismo

p*_Zf: H*(BG) −→ H_G*(Zf), nos casos em que p= 0 ou 2.

*Corolário 3.1.2. Seja G= (Z2)k ou (S1)k, com k ≥ 1. Suponhamos que f : X −→ Y seja uma aplicação G-equivariante, nos quais X é uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão n tal que XG= ∅, e Y − YG é uma ( mod p)-esfera de cohomologia de dimensão m. Considere Zf = f−1(YG). Então, m−n−1 ⨁︁ i=0 Hi(BG) −→ H_G*(Zf) será um monomorfismo.

Prova. Por hipótese ZG_f = ∅, assim p*_Z

f possui núcleo não trivial (veja a ProposiçãoA.2.11). Os

elementos do núcleo de p*_Z

f: H

*

(BG) −→ H_G*(Zf) são polinomiais, pois estamos considerando apenas o caso p= 0,2. Como vimos na Seção2.1, um elemento que realiza o valor de `(Zf), é polinomial e fatorado por geradores dos núcleos de homomorfismos da forma

H*(BG) −→ H*(BH),

com H subtoro de rank k − 1 de G tal que ZH_{f , ∅. Tais geradores estão em H}1(BG), quando p= 2, ou em H2(BG), quando p= 0. Assim, em ambos os casos, se α ∈ ker p*_Z com grau menor

ou igual a m − n − 1, segue que p*_Z(α) , 0. 

Observação 3.1.3. O caso p > 2 não pode ser tratado diretamente pelo Corolário3.1.2devido ao fato de que possivelmente elementos nilpotentes participem do núcleo da aplicação p*_Z

f (dada

no Corolário3.1.2).

Imediatamente do Corolário3.1.2, supondo G= Z2ou S1e ações livres, podemos concluir que dim cohom(Zf/G) ≥ n − m − 1 e, portanto, pelo Teorema2.3.2,

Observação 3.1.4. Esta conclusão é apenas um caso particular de resultados encontrados na literatura.

Bourgin-Yang clássico (DOLD, 1988; IZYDOREK; RYBICKI, 1992; JAWOROWSKI, 2004;NAKAOKA,1989) Considerando X, Y e f : X −→ Y como nos resultados anteriores e G= Z2, Zpou S1, então dim Z ≥ m − n − 1.

As referências dadas anteriormente no resultado acima são para versões parametrizadas do teorema de Bourgin-Yang, isto é, no contexto de fibrados. Quando particularizadas para espaços bases com um único ponto, podemos enunciá-las como no Corolário3.1.2. Especificamente, em (DOLD,1988) é tratado o caso G= Z2, em (IZYDOREK; RYBICKI,1992;JAWOROWSKI, 2004) o caso G= Zpe em (NAKAOKA,1989) o caso G= S1, bem como os casos G= Z2e Zp. Observação 3.1.5. Na demonstração do Lema3.1.1, utilizando apenas as três propriedades básicas do length, obtemos `(Zf)= `( f−1(YG)) ≥ `(X) − `(Y − YG). Até então, se não temos nenhuma informação a mais sobre `(X) e `(Y − YG), o resultado é o mesmo da versão abstrata do Teorema de Bourgin-Yang (BŁASZCZYK; MARZANTOWICZ; SINGH,2015, Teorema 3.1), bastando trocar YGpor um subespaço invariante fechado A e Y − YGpor f (X) − A.